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  • 2021-05-13 发布

排列组合与二项式定理高考试题

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排列组合与二项式定理 一、排列组合 1.(2016 年四川高考)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数 为( ) (A)24 (B)48 (C)60 (D)72 【答案】D【解析】由题意,要组成没有重复的五位奇数,则个位数应该为 1、3、5,其他 位置共有 ,所以其中奇数的个数为 ,故选 D. 2.(2015 年四川高考)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中比 40000 大的偶数共有( ) (A)144 个 (B)120 个 (C)96 个 (D)72 个 【答案】B【解析】据题意,万位上只能排 4、5.若万位 上排 4,则有 个;若万位上 排 5,则有 个.所以共有 个.选 B. 3. (2015 年广东高考)某高三毕业班有 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言, 那么全班共写了 条毕业留言.(用数字作答) 【答案】 .【解析】依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 人中任选两人的 排列数,所以全班共写了 条毕业留言,故应填入 . 4.(2014 大纲全国,理 5)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组 成一个医疗小组,则不同的选法共有(  ). A.60 种 B.70 种 C.75 种 D.150 种 答案:C 解析:从 6 名男医生中选出 2 名有 种选法,从 5 名女医生中选出 1 名有 种 选法,故共有 种选法,选 C. 5.(2014 福建,理 10)用 a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球.由加法原理及乘法原理, 从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式 1+a+b+ab 表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球 都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别 的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的 是(  ). A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5 B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5 C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5) D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5) 答案:A 解析:本题可分三步:第一步,可取 0,1,2,3,4,5 个红球,有 1+a+a2+a3+a4+a5 种取法;第二步,取 0 或 5 个蓝球,有 1+b5 种取法;第三步,取 5 个有区别的黑球,有(1 +c)5 种取法.所以共有(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5 种取法.故选 A. 6.(2014 辽宁,理 6)6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为 3 42 A× 3 43 A× 3 42 A× 3 43 5 24 120A+ × = × = 40 1560 40 2 40 40 39 1560A = × = 1560 4 4A 4 43 72A = 2 6C 1 5C 2 1 6 5 6 5C C 5 752 1 ×⋅ = × =× (  ). A.144 B.120 C.72 D.24 答案:D 解析:插空法.在已排好的三把椅子产生的 4 个空档中选出 3 个插入 3 人即可.故 排法种数为 =24.故选 D. 7.(2014 四川,理 6)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲, 则不同的排法共有(  ). A.192 种 B.216 种 C.240 种 D.288 种 答案:B 解析:(1)当最左端排甲的时候,排法的种数为 ;(2)当最左端排乙的时候,排法 种数为 . 因此不同的排法的种数为 =120+96=216. 8.(2014 重庆,理 9)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目 的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是(  ). A.72 B.120 C.144 D.168 答案:B 解析:解决该问题分为两类:第一类分两步,先排歌舞类 ,然后利用插空法将 剩余 3 个节目排入左边或右边 3 个空,故不同排法有 .第二类也分两步,先排 歌 舞 类 , 然 后 将 剩 余 3 个 节 目 放 入 中 间 两 空 排 法 有 , 故 不 同 的 排 法 有 ,故共有 120 种不同排法,故选 B. 9.(2014 浙江,理 14)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖 券分配给 4 个人,每人 2 张,不同的获奖情况有________种(用数字作答). 答案:60 解析:不同的获奖情况分为两种,一是一人获两张奖券一人获一张奖券,共有 种;二是有三人各获得一张奖券,共有 种.因此不同的获奖情况有 36+24 =60 种. 10.(2014 北京,理 13)把 5 件不同产品摆成一排.若产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产 品 C 不相邻,则不同的摆法有__________种. 答案:36 解析:产品 A,B 相邻时,不同的摆法有 种.而 A,B 相邻,A,C 也 相邻时的摆法为 A 在中间,C,B 在 A 的两侧,不同的摆法共有 (种).故产品 A 与产品 B 相邻,且产品 A 与产品 C 不相邻的不同摆法有 48-12=36(种). 11.(2013 山东,理 10)用 0,1,…,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为(  ) A.243 B.252 C.261 D.279 B [解析] (排除法)十个数排成不重复数字的三位数求解方法是:第一步,排百位数字,有 9 种方法(0 不能作首位),第二步,排十位数字,有 9 种方法,第三步,排个位数字,有 8 种 方法,根据乘法原理,共有 9×9×8 = 648(个)没有重复数字的三位数.可以组成所有三位 数的个数:9×10×10=900,所以可以组成有重复数字的三位数的个数是:900-648=252. 12.(2013 福建,理 5) 满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数 解的有序数对(a,b)的个数为(  ) A.14 B.13 C.12 D.10 B [解析] 当 a=0 时,2x+b=0,∴ x=-b 2,有序数对(0,b)有 4 个;当 a≠0 时,Δ=4- 4ab≥0,∴ ab≤1,有序数对(-1,b)有 4 个,(1,b)有 3 个,(2,b)有 2 个,综上共有 4+ 4+3+2=13 个,故选 B. 13.(2013 大纲全国,理 14)6 个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________ 种.(用数字作答) 480 [解析] 先排另外四人,方法数是 A44,再在隔出的五个位置安插甲乙,方法数是 A25,根 据乘法原理得不同排法共有 A44A25=24×20=480 种. 14.(2013 北京,理 13) 将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至 少 1 张,如果分给同一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是________. 3 4A 5 5A 1 4 4 4C A 5 1 4 5 4 4A +C A 3 3A 3 3 3 3A 2A 72⋅ = 3 3A 1 2 2 2 2 2C A A 3 2 2 1 3 2 2 2A A A C 48= 2 2 3 4C A =36 3 4A =24 2 4 2 4A A =48 2 3 2 3A A =12 96 [解析] 5 张参观券分为 4 堆,有 2 个连号有 4 种分法,然后每一种全排列有 A 44种方法, 所以不同的分法种数是 4A44=96. 解析:按照要求要把序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券分成 4 组,然后再分配给 4 人,连号 的情况是 1 和 2,2 和 3,3 和 4,4 和 5,故其方法数是 4A44=96. 15.(2013 浙江,理 14) 将 A,B,C,D,E,F 六个字母排成一排,且 A,B 均在 C 的同侧, 则不同的排法共有________种(用数字作答). 480 [解析一] 先在 6 个位置找 3 个位置,有 C 36种情况,A,B 均在 C 的同侧,有 CAB, CBA,ABC,BAC,而剩下 D,E,F 有 A 33种情况,故共有 4C36A33=480 种. 解析二:本题考查对排列、组合概念的理解,排列数、组合数公式的运用,考查运算求解能 力以及利用所学知识解决问题的能力.“小集团”处理,特殊元素优先,C36C12A22A33=480. 16.(2012·安徽卷)6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多 交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知 6 位同学之间共进行了 13 次交换, 则收到 4 份纪念品的同学人数为(  ) A.1 或 3 B.1 或 4 C.2 或 3 D.2 或 4 D [解析] 任意两个同学之间交换纪念品共要交换 C26=15 次,如果都完全交换,每个人都要 交换 5 次,也就是得到 5 份纪念品,现在 6 个同学总共交换了 13 次,少交换了 2 次,这 2 次如果不涉及同一个人,则收到 4 份纪念品的同学人数有 4 人;如果涉及同一个人,则收到 4 份纪念品的同学人数有 2 人,答案为 D. 17.(2012·辽宁卷)一排 9 个座位坐了 3 个三口之家.若每家人坐在一起,则不同的坐法种 数为(  ) A.3×3! B.3×(3!)3 C.(3!)4 D.9! C [解析] 本小题主要考查排列组合知识.解题的突破口为分清是分类还是分步,是排列还 是组合问题.由已知,该问题是排列中捆绑法的应用,即先把三个家庭看作三个不同元素进 行全排列,而后每个家庭内部进行全排列,即不同坐法种数为 A33·A33·A33·A33=(3!)4. 18.(2011 北京,理 12)用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样 的四位数共有__________个.(用数字作答) 【答案】 【解析】个数为 . 19.(2010 山东,理 8)某台小型晚会由 6 个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排 在前两位、节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编 排方案共有( ) (A)36 种 (B)42 种 (C)48 种 (D)54 种 【答案】B【解析】分两类:一类为甲排在第一位共有 种,另一类甲排在第二位共 有 种,故编排方案共有 种,故选 B. 14 42 2 14− = 4 4 24A = 1 3 3 3 18C A = 24 18 42+ = 20.(2009 四川卷理)3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女 生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是( ) A. 360 B. 288 C. 216 D. 96 解析:6 位同学站成一排,3 位女生中有且只有两位女生相邻的排法有 种, 其中男生甲站两端的有 ,符合条件的排法故共有 288 解析 2:由题意有 ,选 B. 21.(2009 天津卷理)用数字 0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的四位数,其中个位、 十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个(用数字作答) 解析:个位、十位和百位上的数字为 3 个偶数的有: 种;个位、十 位和百位上的数字为 1 个偶数 2 个奇数的有: 种,所以共有 个. 22.(2009 浙江卷理)甲、乙、丙 人站到共有 级的台阶上,若每级台阶最多站 人,同 一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 (用数字作答). 答案:336 【解析】对于 7 个台阶上每一个只站一人,则有 种;若有一个台阶有 2 人, 另一个是 1 人,则共有 种,因此共有不同的站法种数是 336 种.. 23.(2009·宁夏、海南,12)7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动.若 每天安排 3 人,则不同的安排方案共有________种(用数字作答). 解析:法一:先从 7 人中任取 6 人,共有 C67种不同的取法.再把 6 人分成两部分,每部分 3 人,共有C36C33 A22 种分法.最后排在周六和周日两天,有 A 22种排法,∴C67×C36C33 A22 ×A22=140 种. 法二:先从 7 人中选取 3 人排在周六,共有 C37种排法.再从剩余 4 人中选取 3 人排在周日, 共有 C 34种排法,∴共有 C37×C34=140 种.答案:140 24.(2010 浙江,10)有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、 “肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试,每位同学上、下午各测试一个项目,且不 重复.若上午不测“握力”项目,下午不测“台阶”项目,其余项目上、下午都各测试一 人.则不同的安排方式共有________种(用数字作答). 解析:上午测试安排有 A 44种方法,下午测试分为: (1)若上午测试“台阶”的同学下午测试“握力”,其余三位同学有 2 种方法测试; (2)若上午测试“台阶”的同学下午不测试“握力”,则有 C13种方法选择,其余三位同学选 1 1442 2 2 3 2 3 2 2 1 2 =AACAA 901 3 3 3 1 4 3 3 2 3 =+ CACAC 2341 3 3 3 2 3 1 3 1 4 3 3 2 3 =+ CACCCAC 32423490 =+ 3 7 2 3 7A 3 2 2 2 3 3 4 2A C A A 432= 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 42A (C A ) C C +A (C A ) A 288⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 2 2 3 7C A 人测试“握力”有 C 13种方法,其余两位只有一种方法,则共有 C13·C13=9 种, 因此测试方法共有 A44·(2+9)=264 种.答案:264 25.(2009·辽宁,5)从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其 中男、女医生都有,则不同的组队方案共有(  ) A.70 种 B.80 种 C.100 种 D.140 种 解析:分恰有 2 名男医生和恰有 1 名男医生两类,从而组队方案共有:C25×C14+C15×C24=70 种.答案:A 26.(2013 重庆,5)从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾 医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是________(用数字作 答). 解析:本题考查排列组合问题,意在考查考生的思维能力.直接法分类,3 名骨科,内科、 脑外科各 1 名;3 名脑外科,骨科、内科各 1 名;3 名内科,骨科、脑外科各 1 名;内科、 脑外科各 2 名,骨科 1 名;骨科、内科各 2 名,脑外科 1 名;骨科、脑外科各 2 名,内科 1 名.所以选派种数为 C33·C14·C15+C34·C13·C15+C35·C13·C14+C24·C25·C13+C23·C25·C14+C23·C24·C15=590. 答案:590 27.(2012 新课标全国,5)将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参 加社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有(  ) A.12 种 B.10 种 C.9 种 D.8 种 解析:先安排 1 名教师和 2 名学生到甲地,再将剩下的 1 名教师和 2 名学生安排到乙地,共 有 C12C24=12 种安排方案.答案:A 二、二项式定理 1、(2016 年北京高考)在 的展开式中, 的系数为__________________.(用数 字作答) 【答案】60. 2、(2016 年山东高考)若(ax2+ )5 的展开式中 x5 的系数是—80,则实数 a=_______. 【答案】-2 6(1 2 )x− 2x 1 x 3、(2016 年上海高考)在 的二项式中,所有项的二项式系数之和为 256,则常 数项等于_________21 教育网 【答案】112 4、(2016 年四川高考)设 i 为虚数单位,则 的展开式中含 x4 的项为( ) (A)-15x4 (B)15x4 (C)-20i x4 (D)20i x4 【答案】A 5、(2016 年天津高考) 的展开式中 x2 的系数为__________.(用数字作答) 【答案】 6、(2016 年全国 I 高考) 的展开式中,x3 的系数是 .(用数字填写答 案) 【答案】 n xx      − 23 6( i)x + 2 81( )x x − 56− 5(2 )x x+ 10