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- 2021-05-13 发布
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高考中的抽象函数专题练习
1、下列结论:①函数和是同一函数;②函数的定义域为,则函数的定义域为;③函数的递增区间为;④若函数的最大值为,那么的最小值就是
其中正确的个数为 ( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.定义在上的函数满足,且当时,,则等于( )
A. B. C. D.
3.已知是定义在上的函数,且,,则值为( )
A. B. C. D.
4.已知,方程在内有且只有一个根,则在区间内根的个数为( )
A. B. C. D.
5.已知函数对任意实数,满足,且.若存在整数,使得 ,则取值的集合为______.
6.定义在上的函数满足:,且函数为奇函数,对于下列命题:
①函数满足;②函数图象关于点对称;③函数的图象关于直线对称;④函数的最大值为;⑤.
其中正确的序号为_________.
7.已知函数定义在上,对于任意的,有,且当时,.
验证函数是否满足这些条件;
若,且,求的值.
若,试解关于的方程.
8.已知函数满足:对于任意实数,都有恒成立,且当时,恒成立;
求的值,并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数;
判定函数在上的单调性,并加以证明;
若函数(其中)有三个零点,求的取值范围.
9.已知函数满足对任意实数都有成立,且当时,,.
求的值;
判断在上的单调性,并证明;
若对于任意给定的正实数,总能找到一个正实数,使得当时,,则称函数在处连续.
试证明:在处连续.
10.已知函数满足对一切都有,且,当时有.
求的值;
判断并证明函数在上的单调性;
解不等式:.
11.定义在上的函数,,当时,,且对任意实数,有,求证:
证明:是上的增函数;
若,求的取值范围.
12.已知函数 对任意实数,都有,且当时,,,求在上的值域.
13.已知是定义在上的增函数,且满足 ,
求证:
求不等式的解集.
答案和解析
1.答案:A
分析:因为函数的定义域为,的定义域为所以①不成立. 由函数的定义域为,所以所以函数要满足,所以函数的定义域为故②不成立,因为函数的定义域为或所以递增区间为不正确,所以③不成立.因为函数与函数的图像关于轴对称,所以④不正确.故选
2.答案:C
分析:由,得,,又,,,又时,,所以若,,,则在区间上,又,.
3.答案:A
分析:∵,,令代入上式得,
,令代入上式得,,函数
的周期,,故选.
4.答案:C
分析:
∴是一个周期为的函数;
∴是一个偶函数;∵在内有且只有一个根,
则在内有且只有一个根
又∵周期为,∴在内有且只有一个根
为的一个周期函数,有根;
等价于也只有根;故内根的个数为个
5.答案:
分析:
6.答案:①②③⑤
分析:由得,则,所以的周期为,则①对,由为奇函数得的图像关于点对称,则②对,由为奇函数得,令得,又,,则③对,由得,故.
7.答案:见解析
分析:由可得,即其定义域为
又
又当时,,∴,∴
故满足这些条件.
令,∴,令,有,
∴为奇函数
由条件得,解得.
设,则,
则,
∴在上是减函数
∵,∴
原方程即为,
∴
又∵,∴ 故原方程的解为.
8.答案:;函数在R上单调递增;
分析:取代入题设中的式得:
特例:
(验证)
判定:在上单调递增
证明:任取且,则
∵,∴
∴,所以函数在上单调递增
由
又由知在上单调递增,
所以
.
构造由
或,∴,于是,题意等价于:
与的图象有三个不同的交点(如上图,不妨设这三个零点),则 为的两根,即是一元二次方程的两根,∴,
∴,(变量归一法),
由在上单调递减,于是可得:.
9.答案:见解析
分析:, ;
设,则 ,.
在上单调递增;
令,得 ,,对任意,
,
,,
又,,
要证,对任意,
当时,取,则当即时,由单增可得
即;
当时,必存在使得,取,则当
即时,有,
而,
,综上,在处连续.
10.答案:;见解析;,或
分析:令,得,,
再令,得,
即,从而.
任取,
.
∵,,即.
在上是减函数.
由条件知,,
设,则,即,
整理,得,,
而,不等式即为,
又因为在上是减函数,,即,
,从而所求不等式的解集为,或.
11.答案:见解析
分析:令则∵∴
任取,则∴ ∴
∴在上是增函数
又,在上递增
∴ 由得:
12.答案:见解析
分析:设 ,且 ,则 ,由条件当时, ,所以
又 ,所以为增函数.
令,则
又令 得 ,所以.即为奇函数.
所以
所以在上的值域为.
13.答案:见解析
分析:由题意得,进一步得到.
不等式化为∵∴
∵是上的增函数∴解得