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- 2021-05-13 发布
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2014年上海市高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、填空题(本大题共14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分。
1.(4分)(2014•上海)函数y=1﹣2cos2(2x)的最小正周期是 .
考点:
二倍角的余弦;三角函数的周期性及其求法.菁优网版权所有
专题:
三角函数的求值.
分析:
由二倍角的余弦公式化简,可得其周期.
解答:
解:y=1﹣2cos2(2x)
=﹣[2cos2(2x)﹣1]
=﹣cos4x,
∴函数的最小正周期为T==
故答案为:
点评:
本题考查二倍角的余弦公式,涉及三角函数的周期,属基础题.
2.(4分)(2014•上海)若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则(z+)•= 6 .
考点:
复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有
专题:
数系的扩充和复数.
分析:
把复数代入表达式,利用复数代数形式的混合运算化简求解即可.
解答:
解:复数z=1+2i,其中i是虚数单位,
则(z+)•=
=(1+2i)(1﹣2i)+1
=1﹣4i2+1
=2+4
=6.
故答案为:6
点评:
本题考查复数代数形式的混合运算,基本知识的考查.
3.(4分)(2014•上海)设常数a∈R,函数f(x)=|x﹣1|+|x2﹣a|,若f(2)=1,则f(1)= 3 .
考点:
函数的值.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
利用f(x)=|x﹣1|+|x2﹣a|,f(2)=1,求出a,然后求解f(1)即可.
解答:
解:常数a∈R,函数f(x)=|x﹣1|+|x2﹣a|,若f(2)=1,
∴1=|2﹣1|+|22﹣a|,∴a=4,
函数f(x)=|x﹣1|+|x2﹣4|,
∴f(1)=|1﹣1|+|12﹣4|=3,
故答案为:3.
点评:
本题考查函数值的求法,基本知识的考查.
4.(4分)(2014•上海)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 x=﹣2 .
考点:
椭圆的简单性质.菁优网版权所有
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
由题设中的条件y2=2px(p>0)的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,故可以先求出椭圆的右焦点坐标,根据两曲线的关系求出p,再由抛物线的性质求出它的准线方程
解答:
解:由题意椭圆+=1,故它的右焦点坐标是(2,0),
又y2=2px(p>0)的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,
故得p=4,
∴抛物线的准线方程为x=﹣=﹣2.
故答案为:x=﹣2
点评:
本题考查圆锥曲线的共同特征,解答此类题,关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征,熟练运用这些性质与几何特征解答问题.
5.(4分)(2014•上海)某校高一、高二、高三分别有学生1600名,1200名,800名.为了解该校高中学生的牙齿健康状况
,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取20名学生,则高一、高二共需抽取的学生数为 70 .
考点:
分层抽样方法.菁优网版权所有
专题:
概率与统计.
分析:
根据分层抽样的定义,建立比例关系,即可得到结论.
解答:
解:∵高一、高二、高三分别有学生1600名,1200名,800名,
∴若高三抽取20名学生,设共需抽取的学生数为x,
则,解得x=90,
则高一、高二共需抽取的学生数为90﹣20=70,
故答案为:70.
点评:
本题主要考查分层抽样的应用,比较基础.
6.(4分)(2014•上海)若实数x,y满足xy=1,则x2+2y2的最小值为 2 .
考点:
基本不等式.菁优网版权所有
专题:
不等式的解法及应用.
分析:
由已知可得y=,代入要求的式子,由基本不等式可得.
解答:
解:∵xy=1,
∴y=
∴x2+2y2=x2+≥2=2,
当且仅当x2=,即x=±时取等号,
故答案为:2
点评:
本题考查基本不等式,属基础题.
7.(4分)(2014•上海)若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与轴所成角的大小为 arcsin (结果用反三角函数值表示)
考点:
旋转体(圆柱、圆锥、圆台).菁优网版权所有
专题:
空间位置关系与距离.
分析:
由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍,可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,在轴截面中,求出母线与轴所成角的正弦值,进而可得母线与轴所成角.
解答:
解:设圆锥母线与轴所成角为θ,
∵圆锥的侧面积是底面积的3倍,
∴==3,
即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,
故圆锥的轴截面如下图所示:
则sinθ==,
∴θ=arcsin,
故答案为:arcsin
点评:
本题考查的知识点是旋转体,其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍,是解答的关键.
8.(4分)(2014•上海)在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示,则切割掉的两个小长方体的体积之和等于 24 .
考点:
由三视图求面积、体积.菁优网版权所有
专题:
空间位置关系与距离.
分析:
由已知中的三视图,分别判断切割前后几何体的形状,并分别计算出切割前后几何体的体积,相减可得答案.
解答:
解:由已知中的三视图,可知:
大长方体的长,宽,高分别为:3,4,5,
故大长方体的体积为:60,
切去两个小长方体后的几何体是一个以主视图为底面,高为3的柱体,
其底面面积为4×5﹣2×2×2×2=12,
故切去两个小长方体后的几何体的体积为:12×3=36,
故切割掉的两个小长方体的体积之和为:60﹣36=24,
故答案为:24
点评:
本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知中的三视图分析出几何体的形状是解答的关键.
9.(4分)(2014•上海)设f(x)=,若f(0)是f(x)的最小值,则a的取值范围为 (﹣∞,2] .
考点:
分段函数的应用.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
分别由f(0)=a,x≥2,a≤x+综合得出a的取值范围.
解答:
解:当x=0时,f(0)=a,
由题意得:a≤x+,
又∵x+≥2=2,
∴a≤2,
故答案为:(﹣∞,2].
点评:
本题考察了分段函数的应用,基本不等式的性质,是一道基础题.
10.(4分)(2014•上海)设无穷等比数列{an}的公比为q,若a1=(a3+a4+…an),则q= .
考点:
极限及其运算.菁优网版权所有
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
由已知条件推导出a1=,由此能求出q的值.
解答:
解:∵无穷等比数列{an}的公比为q,
a1=(a3+a4+…an)
=(﹣a1﹣a1q)
=,
∴q2+q﹣1=0,
解得q=或q=(舍).
故答案为:.
点评:
本题考查等比数列的公比的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意极限知识的合理运用.
11.(4分)(2014•上海)若f(x)=﹣,则满足f(x)<0的x的取值范围是 (0,1) .
考点:
指、对数不等式的解法;其他不等式的解法.菁优网版权所有
专题:
不等式的解法及应用.
分析:
直接利用已知条件转化不等式求解即可.
解答:
解:f(x)=﹣,若满足f(x)<0,
即<,
∴,
∵y=是增函数,
∴的解集为:(0,1).
故答案为:(0,1).
点评:
本题考查指数不等式的解法,函数的单调性的应用,考查计算能力.
12.(4分)(2014•上海)方程sinx+cosx=1在闭区间[0,2π]上的所有解的和等于 .
考点:
两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象.菁优网版权所有
专题:
三角函数的求值.
分析:
由三角函数公式可得sin(x+)=,可知x+=2kπ+,或x+=2kπ+,k∈Z,结合x∈[0,2π],可得x值,求和即可.
解答:
解:∵sinx+cosx=1,
∴sinx+cosx=,
即sin(x+)=,
可知x+=2kπ+,或x+=2kπ+,k∈Z,
又∵x∈[0,2π],
∴x=,或x=,
∴+=
故答案为:.
点评:
本题考查两角和与差的三角函数公式,属基础题.
13.(4分)(2014•上海)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是 (结果用最简分数表示).
考点:
古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有
专题:
概率与统计.
分析:
要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,选择的3天恰好为连续3天的概率,须先求在10天中随机选择3天的情况,
再求选择的3天恰好为连续3天的情况,即可得到答案.
解答:
解:在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况,
其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种,分别是(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,6),
(5,6,7),(6,7,8),(7,8,9),(8,9,10),
∴选择的3天恰好为连续3天的概率是,
故答案为:.
点评:
本题考查古典概型以及概率计算公式,属基础题.
14.(4分)(2014•上海)已知曲线C:x=﹣,直线l:x=6,若对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的Q使得+=,则m的取值范围为 [2,3] .
考点:
直线与圆的位置关系.菁优网版权所有
专题:
直线与圆.
分析:
通过曲线方程判断曲线特征,通过+=,说明A是PQ的中点,结合x的范围,求出m的范围即可.
解答:
解:曲线C:x=﹣,是以原点为圆心,2 为半径的圆,并且xP∈[﹣2,0],
对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的Q使得+=,
说明A是PQ的中点,Q的横坐标x=6,
∴m=∈[2,3].
故答案为:[2,3].
点评:
本题考查直线与圆的位置关系,函数思想的应用,考查计算能力以及转化思想.
二、选择题(共4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,选对得5分,否则一律得零分
15.(5分)(2014•上海)设a,b∈R,则“a+b>4”是“a>2且b>2”的( )
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充要条件
D.
既非充分又非必要条件
考点:
必要条件、充分条件与充要条件的判断.菁优网版权所有
专题:
简易逻辑.
分析:
根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判定.
解答:
解:当a=5,b=0时,满足a+b>4,但a>2且b>2不成立,即充分性不成立,
若a>2且b>2,则必有a+b>4,即必要性成立,
故“a+b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件,
故选:B.
点评:
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本题的关键,比较基础.
16.(5分)(2014•上海)已知互异的复数a,b满足ab≠0,集合{a,b}={a2,b2},则a+b=( )
A.
2
B.
1
C.
0
D.
﹣1
考点:
集合的相等.菁优网版权所有
专题:
集合.
分析:
根据集合相等的条件,得到元素关系,即可得到结论.
解答:
解:根据集合相等的条件可知,若{a,b}={a2,b2},
则 ①或 ②,
由①得,
∵ab≠0,∴a≠0且b≠0,即a=1,b=1,此时集合{1,1}不满足条件.
由②得,若b=a2,a=b2,则两式相减得a2﹣b2=b﹣a,即(a﹣b)(a+b)=﹣(a﹣b),
∵互异的复数a,b,
∴a﹣b≠0,即a+b=﹣1,
故选:D.
点评:
本题主要考查集合相等的应用,根据集合相等得到元素相同是解决本题的关键,注意要进行分类讨论.
17.(5分)(2014•上海)如图,四个边长为1的小正方形排成一个大正方形,AB是大正方形的一条边,Pi(i=1,2,…,7)是小正方形的其余顶点,则•(i=1,2,…,7)的不同值的个数为( )
A.
7
B.
5
C.
3
D.
1
考点:
平面向量数量积的运算.菁优网版权所有
专题:
计算题;平面向量及应用.
分析:
建立适当的平面直角坐标系,利用坐标分别求出数量积,由结果可得答案.
解答:
解:如图建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(0,2),P1(0,1),P2(1,0),P3(1,1),P4(1,2),P5
(2,0),P6(2,1),P7(2,2),
∴,=(0,1),=(1,0),=(1,1),=(1,2),=(2,0),=(2,1),=(2,2),
∴=2,=0,=2,=4,=0,=2,=4,
∴•(i=1,2,…,7)的不同值的个数为3,
故选C.
点评:
本题考查平面向量的数量积运算,属基础题.
18.(5分)(2014•上海)已知P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是( )
A.
无论k,P1,P2如何,总是无解
B.
无论k,P1,P2如何,总有唯一解
C.
存在k,P1,P2,使之恰有两解
D.
存在k,P1,P2,使之有无穷多解
考点:
一次函数的性质与图象.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用;直线与圆.
分析:
判断直线的斜率存在,通过点在直线上,推出a1,b1,P2,a2,b2的关系,然后求解方程组的解即可.
解答:
解:P1(a1,b1)与P2(a2,b2)是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,直线y=kx+1的斜率存在,
∴k=,即a1≠a2,并且b1=ka1+1,b2=ka2+1,∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1
,
①×b2﹣②×b1得:(a1b2﹣a2b1)x=b2﹣b1,
即(a1﹣a2)x=b2﹣b1.
∴方程组有唯一解.
故选:B.
点评:
本题考查一次函数根与系数的关系,直线的斜率的求法,方程组的解额指数的应用.
三、解答题(共5小题,满分74分)
19.(12分)(2014•上海)底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC,其表面展开图是三角形P1P2P3,如图,求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V.
考点:
棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有
专题:
空间位置关系与距离.
分析:
利用侧面展开图三点共线,判断△P1P2P3是等边三角形,然后求出边长,利用正四面体的体积求出几何体的体积.
解答:
解:根据题意可得:P1,B,P2共线,∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2,∠ABC=60°,
∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°,
∴∠P1=60°,同理∠P2=∠P3=60°,
∴△P1P2P3是等边三角形,P﹣ABC是正四面体,
∴△P1P2P3的边长为4,
VP﹣ABC==
点评:
本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力,几何体的侧面展开图和体积的求法.
20.(14分)(2014•上海)设常数a≥0,函数f(x)=.
(1)若a=4,求函数y=f(x)的反函数y=f﹣1(x);
(2)根据a的不同取值,讨论函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由.
考点:
反函数;函数奇偶性的判断.菁优网版权所有
专题:
函数的性质及应用.
分析:
(1)根据反函数的定义,即可求出,
(2)利用分类讨论的思想,若为偶函数求出a的值,若为奇函数,求出a的值,问题得以解决.
解答:
解:(1)∵a=4,
∴
∴,
∴,
∴调换x,y的位置可得,x∈(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞).
(2)若f(x)为偶函数,则f(x)=f(﹣x)对任意x均成立,
∴=,整理可得a(2x﹣2﹣x)=0.
∵2x﹣2﹣x不恒为0,
∴a=0,此时f(x)=1,x∈R,满足条件;
若f(x)为奇函数,则f(x)=﹣f(﹣x)对任意x均成立,
∴=﹣,整理可得a2﹣1=0,
∴a=±1,
∵a≥0,
∴a=1,
此时f(x)=,满足条件;
综上所述,a=0时,f(x)是偶函数,a=1时,f(x)是奇函数.
点评:
本题主要考查了反函数的定义和函数的奇偶性,利用了分类讨论的思想,属于中档题.
21.(14分)(2014•上海)如图,某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD,其中D为顶端,AC长35米,CB长80米,设点A、B在同一水平面上,从A和B看D的仰角分别为α和β.
(1)设计中CD是铅垂方向,若要求α≥2β,问CD的长至多为多少(结果精确到0.01米)?
(2)施工完成后,CD与铅垂方向有偏差,现在实测得α=38.12°,β=18.45°,求CD的长(结果精确到0.01米).
考点:
解三角形的实际应用.菁优网版权所有
专题:
解三角形.
分析:
(1)设CD的长为x,利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论.
(2)利用正弦定理,建立方程关系,即可得到结论.
解答:
解:(1)设CD的长为x米,则tanα=,tanβ=,
∵0,
∴tanα≥tan2β>0,
∴tan,
即=,
解得0≈28.28,
即CD的长至多为28.28米.
(2)设DB=a,DA=b,CD=m,
则∠ADB=180°﹣α﹣β=123.43°,
由正弦定理得,
即a=,
∴m=≈26.93,
答:CD的长为26.93米.
点评:
本题主要考查解三角形的应用问题,利用三角函数关系式以及正弦定理是解决本题的关键.
22.(16分)(2014•上海)在平面直角坐标系xOy中,对于直线l:ax+by+c=0和点P1(x1,y1),P2(x2,y2),记η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c),若η<0,则称点P1,P2被直线l分隔,若曲线C与直线l没有公共点,且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔,则称直线l为曲线C的一条分隔线.
(1)求证:点A(1,2),B(﹣1,0)被直线x+y﹣1=0分隔;
(2)若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线,求实数k的取值范围;
(3)动点M到点Q(0,2)的距离与到y轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E,求E的方程,并证明y轴为曲线E的分隔线.
考点:
直线的一般式方程.菁优网版权所有
专题:
直线与圆.
分析:
(1)把A、B两点的坐标代入η=(ax1+by1+c)(ax2+by2+c),再根据η<0,得出结论.
(2)联立 可得 (1﹣4k2)x2=1,根据此方程无解,可得1﹣4k2≤0,从而求得k的范围.
(3)设点M(x,y),与条件求得曲线E的方程为[x2+(y﹣2)2]x2=1 ①.由于y轴为x=0,显然与方程①联立无解.把P1、P2的坐标代入x=0,由η=1×(﹣1)=﹣1<0,可得x=0是一条分隔线.
解答:
解:(1)把点(1,2)、(﹣1,0)分别代入x+y﹣1可得η=(1+2﹣1)(﹣1﹣1)=﹣4<0,
∴点(1,2)、(﹣1,0)被直线 x+y﹣1=0分隔.
(2)联立 可得 (1﹣4k2)x2=1,根据题意,此方程无解,故有1﹣4k2≤0,
∴|k|≥.当|k|≥时,对于直线y=kx,曲线x2﹣4y2=1上的点(﹣1,0)和(1,0)满足η=﹣k2<0,即点(﹣1,0)和(1,0)被y=kx分隔.
故实数k的取值范围是(﹣∞,﹣]∪[,+∞).
(3)设点M(x,y),则 •|x|=1,故曲线E的方程为[x2+(y﹣2)2]x2=1 ①.
对任意的y0,(0,y0)不是上述方程的解,即y轴与曲线E没有公共点.
又曲线E上的点(1,2)、(﹣1,2)对于y轴(x=0)满足η=1×(﹣1)=﹣1<0,即点(﹣1,2)和(1,2)被y轴分隔,所以y轴为曲线E的分隔线.
点评:
本题主要考查新定义,直线的一般式方程,求点的轨迹方程,属于中档题.
23.(18分)(2014•上海)已知数列{an}满足an≤an+1≤3an,n∈N*,a1=1.
(1)若a2=2,a3=x,a4=9,求x的取值范围;
(2)若{an}是等比数列,且am=,求正整数m的最小值,以及m取最小值时相应{an}的公比;
(3)若a1,a2,…a100成等差数列,求数列a1,a2,…a100的公差的取值范围.
考点:
数列的求和;数列递推式.菁优网版权所有
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
(1)由题意可得:,,代入解出即可;
(2)设公比为q,由已知可得,,由于,可得.而,可得,再利用对数的运算法则和性质即可得出.
(3)设公差为d,由已知可得3[1+(n﹣2)d],其中2≤n≤100,即,解出即可.
解答:
解;(1)由题意可得:,∴;
又,∴3≤x≤27.
综上可得:3≤x≤6.
(2)设公比为q,由已知可得,,又,
∴.因此,
∴,
∴m=1﹣logq1000==1﹣=≈7.28.
∴m的最小值是8,因此q7=,
∴=.
(3)设公差为d,由已知可得≤1+nd≤3[1+(n﹣1)d]
即,
令n=1,得.
当2≤n≤99时,不等式即,.
∴.
综上可得:公差d的取值范围是.
点评:
本题综合考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的性质、对数的运算法则等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.