5年高考数学试题分类汇编与解析10圆锥曲线 92页

‎5年高考数学试题分类汇编与解析10 圆锥曲线 一、选择题 ‎1.【2012高考新课标文4】设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（ ）‎ ‎ ‎ ‎2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（ ）‎ ‎ ‎ ‎3.【2012高考山东文11】已知双曲线：的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 ‎ (A) 　(B) 　　(C)　　(D)‎ ‎4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎5.【2012高考全国文10】已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎ 【答案】C ‎【解析】双曲线的方程为，所以，因为|PF1|=|2PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=‎2a=,所以解得|PF2|=，|PF1|=，‎ 所以根据余弦定理得,选C.‎ ‎6.【2012高考浙江文8】 如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 A.3 B‎.2 C. D. ‎ ‎7.【2012高考四川文9】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。若点到该抛物线焦点的距离为，则（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎8.【2012高考四川文11】方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）‎ A、28条 B、32条 C、36条 D、48条 ‎ 【答案】B ‎9.【2012高考上海文16】对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ）‎ A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 ‎【答案】B.‎ ‎【解析】∵＞0，∴或。‎ 方程=1表示的曲线是椭圆，则一定有故“＞0”是“方程=1表示的是椭圆”的必要不充分条件。‎ ‎10.【2012高考江西文8】椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|,|F‎1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎11.【2012高考湖南文6】已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为 A．-=1 B.-=‎1 ‎‎ C.-=1 D.-=1[w~#ww.zz&st^ep.com@]‎ ‎12.【2102高考福建文5】已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于 A B C D ‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】根据焦点坐标知，由双曲线的简单几何性质知，所以，因此.故选C.‎ 二 、填空题 ‎13.【2012高考四川文15】椭圆为定值，且的的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。‎ ‎14.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x2 y2 =1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由双曲线的方程可知 ‎15.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为 ▲ ． ‎ ‎16.【2012高考陕西文14】右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面‎2米，水面宽‎4米，水位下降‎1米后，水面宽 米.‎ ‎17.【2012高考重庆文14】设为直线与双曲线 左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率 ‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】由得，又垂直于轴，所以，即离心率为。‎ ‎18.【2012高考安徽文14】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则=______。‎ ‎19.【2012高考天津文科11】已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且的右焦点为,则 ‎ 三、解答题 ‎20.（本小题满分14分）‎ 已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎（a>b>0）,点P（a‎5‎a,‎2‎‎2‎a）在椭圆上。‎ ‎（I）求椭圆的离心率。‎ ‎（II）设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线的斜率的值。‎ ‎【答案】‎ ‎21.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．‎ ‎（i）若，求直线的斜率；‎ ‎（ii）求证：是定值．‎ ‎ ‎ ‎22.【2012高考安徽文20】（本小题满分13分）‎ 如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，=60°.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）已知△的面积为40，求a, b 的值. ‎ ‎【解析】‎ ‎23.【2012高考广东文20】（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的左焦点为，且点在上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎24.【2102高考北京文19】(本小题共14分)‎ 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为， 直线y=k(x-1)与椭圆C交与不同的两点M,N ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程 ‎（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值 ‎ ‎【答案】‎ ‎25.【2012高考山东文21】 (本小题满分13分)‎ 如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆M的标准方程；‎ ‎(Ⅱ) 设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不 同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.‎ ‎26.【2102高考福建文21】（本小题满分12分）‎ 如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。‎ （1） 求抛物线E的方程；‎ （1） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。‎ ‎【答案】‎ ‎27.【2012高考上海文22】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分 在平面直角坐标系中，已知双曲线 ‎（1）设是的左焦点，是右支上一点，若，求点的坐标；‎ ‎（2）过的左焦点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；‎ ‎（3）设斜率为（）的直线交于、两点，若与圆相切，求证：⊥‎ ‎【答案】‎ ‎28．【2012高考新课标文20】（本小题满分12分）‎ 设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.‎ ‎（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；‎ ‎（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.‎ ‎【答案】‎ ‎29.【2012高考浙江文22】本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：=2px（P＞0）的准线的距离为。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。‎ ‎（1）求p,t的值。‎ ‎（2）求△ABP面积的最大值。‎ ‎30.【2012高考湖南文21】（本小题满分13分）‎ 在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标.‎ ‎　　‎ ‎【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出即得椭圆E的方程，第二问设出点P坐标，利用过P点的两条直线斜率之积为，得出关于点P坐标的一个方程，利用点P在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P坐标.‎ ‎31.【2012高考湖北文21】（本小题满分14分）‎ 设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。‎ ‎（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。‎ ‎（2）过原点斜率为K的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎21. 【答案】‎ ‎ ‎ ‎【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.‎ ‎33.【2012高考辽宁文20】(本小题满分12分)‎ 如图，动圆,10，故有两个正三角形，可知选C.‎ ‎13.（2011年高考辽宁卷文科7)已知 F 是抛物线 的焦点，A．B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为 ‎ (A) (B)1 (C) (D) ‎ 答案： C 解析：设A、B的横坐标分别是m、n，由抛物线定义，得=m++n+= m+n+=3，故m+n=，，故线段AB的中点到y轴的距离为。‎ 二、填空题：‎ ‎14. （2011年高考山东卷文科15)已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .‎ ‎16. （2011年高考四川卷文科14)双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么点P到左准线的距离是 .‎ 答案：16‎ 解析：由双曲线第一定义，|PF1|-|PF2|=±16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12舍去），设P到左准线的距离是d，由第二定义，得，解得.‎ ‎17.（2011年高考全国卷文科16)已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线．则|AF2| = .‎ 已知F1、F2分别为双曲线C: - =1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2| = .‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】：，由角平分线的性质得 又 ‎ ‎18．（2011年高考重庆卷文科9)设双曲线的左准线与两条渐近线交于 两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 ‎ A． B． C． D．，‎ ‎【答案】B 三、解答题：‎ ‎18. （2011年高考山东卷文科22)（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若∙，（i）求证：直线过定点；‎ ‎（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.‎ ‎（Ⅱ）（i）证明:由题意知:n>0,因为直线OD的方程为,所以由得交点G的纵坐标为,又因为,,且∙，所以,又由（Ⅰ）知: ,所以解得,所以直线的方程为,即有,令得,y=0,与实数k无关,所以直线过定点(-1,0).‎ ‎（ii）假设点，关于轴对称,则有的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上,‎ 由（i）知点G(,所以点B(,又因为直线过定点(-1,0),所以直线的斜率为，又因为，所以解得或6，又因为,所以舍去,即，此时k=1，m=1，E，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为，G(,圆半径为，圆的方程为.综上所述, 点，关于轴对称,此时的外接圆的方程为.‎ ‎19. （2011年高考江西卷文科19) (本小题满分12分）‎ 已知过抛物线的焦点，斜率为的直 线交抛物线于（）两点，且．‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．‎ ‎【解析】（1）直线AB的方程是 ‎ ‎ 所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，‎ 抛物线方程为：‎ （2） 由p=4，化简得，从而,从而A:(1,),B(4,)‎ 设=，又，即8（4），即，解得.‎ ‎20. （2011年高考福建卷文科18)（本小题满分12分）‎ 如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x2=4y相切于点A。‎ （1） 求实数b的值；‎ ‎（11） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.‎ ‎【解析】（I）由得 ()‎ 因为直线与抛物线C相切,所以,解得.‎ ‎（II）由（I）可知,故方程()即为,解得,将其代入,得y=1,故点A(2,1).‎ 因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r,‎ 即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为.‎ ‎【命题立意】本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想.‎ ‎21．（2011年高考湖南卷文科21)已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1．‎ ‎（I）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．‎ 解析：（I）设动点的坐标为，由题意为 化简得 当、‎ 所以动点P的轨迹C的方程为 ‎（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．‎ 由，得 设则是上述方程的两个实根，于是 ‎ ．‎ 因为，所以的斜率为．‎ 设则同理可得 故 当且仅当即时，取最小值16．‎ ‎22. （2011年高考陕西卷文科17)（本小题满分12分）设椭圆C: ‎ 过点（0，4），离心率为（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标 解：（Ⅰ）将（0，4）代入C的方程得 ∴b=4又 得即， ‎ ‎∴ ∴C的方程为 ‎（ Ⅱ）过点且斜率为的直线方程为，‎ 设直线与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，将直线方程代入Ｃ的方程，‎ 得，即，解得，，‎ ‎ AB的中点坐标， ，即中点为。‎ 注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。‎ ‎23. （2011年高考四川卷文科21)（本小题共12分）‎ 过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点.‎ ‎（I）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；‎ ‎（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值.‎ 解析：（I）因为椭圆过C(1,0)，所以b=1.因为椭圆的离心率是，所以，故，椭圆方程为.‎ 当直线过椭圆右焦点时，直线的方程为，由得或则,故.‎ ‎（Ⅱ）直线CA的方程为 ①.设点P，则直线AP的方程为 ②.‎ 把②代入椭圆方程，得，从而可求.‎ 因为B(-2,0),所以直线BD的方程为 ③，‎ 由①③可得，从而求得.‎ ‎，‎ 所以为定值.‎ ‎24.（2011年高考全国卷文科22) (本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)‎ 已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足(Ⅰ)证明：点P在C上；‎ ‎（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.‎ ‎【解析】(Ⅰ)证明：由，，‎ 由 设 ‎，，‎ 故点P在C上 ‎（Ⅱ）法一：点P，P关于点O的对称点为Q，，‎ ‎，即，同理即， A、P、B、Q四点在同一圆上.‎ 法二：由已知有则的中垂线为：设、的中点为 ‎∴‎ ‎∴则的中垂线为：‎ 则的中垂线与的中垂线的交点为∴‎ 到直线的距离为 ‎∴即 ‎∴、、、四点在同一圆上。‎ ‎25. （2011年高考湖北卷文科21) （本小题满分13分）‎ 平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加 上A1、A2两点所在所面的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的位置关系；‎ ‎(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C1：对给定的，对应的曲线为C2，‎ 设F1、F2是C2的两个焦点，试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面 积，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.‎ 本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想.‎ 解析：（1）设动点为M，其坐标（x, y）.‎ ‎ 当时，由条件可得 即又的坐标满足 ‎ 故依题意，曲线C的方程为 ‎ 当时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；‎ ‎ 当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；‎ ‎ 当时，曲线C 的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；‎ ‎ 当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线.‎ ‎（2）由（1）知，当时，C1的方程为；‎ ‎ 当时，C2的两个焦点分别为.‎ ‎ 对于给定的，C1上存在点使得的充要条件是 ‎①‎ ‎②‎ ‎ ‎ ‎ 由①得，由②得 ‎ 当即，或时.‎ ‎ 存在点N, 使 ‎ ‎ 当即，或时，‎ ‎ 不存在满足条件的点N.‎ ‎ 当时，‎ ‎ 由，‎ ‎ 可得 ‎ 令 ‎ 则由可得，‎ ‎ 从而于是由 ‎ 可得，即 ‎ 综上可得：‎ ‎ 当时，在C1上，存在点N，使得，且 ‎ 当时，在C1上，存在点N，使得，且；‎ ‎ 当时，在C1上，不存在满足条件的点N.‎ ‎26．（2011年高考浙江卷文科22)（本题满分15分）如图，设是抛物线:上动点。圆:的圆心为点M，过点做圆的两条切线，交直线：于两点。（Ⅰ）求的圆心到抛物线 准线的距离。‎ ‎（Ⅱ）是否存在点，使线段被抛物线在点处得切线平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎【解析】：（Ⅰ）由得准线方程为，由得M，圆心M到抛物线的准线的距离为 ‎（Ⅱ）设点的坐标为抛物线在点处的切线交直线于点，再设横坐标分别为，过点的抛物线的切线方程为（1）‎ 当时，过点与圆的切线为可得，；当时，过点与圆的切线为可得，，所以。设切线，的斜率为则：（2）：‎ ‎27. (2011年高考天津卷文科18)（本小题满分13分）‎ 设椭圆的左、右焦点分别为,点满足.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A,B两点.若直线与圆相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设，（），因为，所以，整理得 ‎，即，解得.‎ ‎(Ⅱ)由（Ⅰ）知,可得椭圆方程为,直线的方程为,‎ A,B两点坐标满足方程组,消y整理得,解得或,所以 A,B两点坐标为,,所以由两点间距离公式得|AB|=,‎ 于是|MN|=|AB|=,圆心到直线的距离,‎ 因为,所以,解得,所以椭圆方程为.‎ ‎【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.‎ ‎28. (2011年高考江苏卷18)如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k ‎（1）当直线PA平分线段MN，求k的值；‎ ‎（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；‎ ‎（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB ‎【解析】（1）因为、,‎ 所以MN的中点坐标为(-1,),又因为直线PA平分线段MN，‎ 所以k的值为 ‎(2)因为k=2,所以直线AP的方程为,由得交点P()、A(),‎ 因为PC⊥x轴，所以C（)，所以直线AC的斜率为1，直线AB的方程为，所以 点P到直线AB的距离d==.‎ ‎（3）法一：由题意设，‎ A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，‎ ‎，两式相减得：‎ 法二：设,‎ A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,‎ ‎,两式相减得：,‎ ‎,.‎ ‎29. （2011年高考辽宁卷文科21) (本小题满分12分)‎ 如图，已知椭圆C1的中心在圆点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C1的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C1‎ 交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D.‎ ‎（I）设e=，求|BC|与|AD|的比值；‎ ‎（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO//AN,并说明理由.‎ 解析：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设 ‎。‎ 设直线分别和C1，C2联立，求得。‎ 当时，，分别用yA，yB表示A、B的纵坐标，可知 ‎|BC|:AD|= ‎ ‎（II）t=0时的l不符合题意，t≠0时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即 ‎，‎ 解得。‎ 因为，又，所以，解得。‎ 所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；当时，存在直线l使得BO//AN。‎ ‎30.(2011年高考安徽卷文科17)（本小题满分13分）‎ 设直线 ‎（I）证明与相交；‎ ‎（II）证明与的交点在椭圆上.‎ ‎【命题意图】：本题考察直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考察反证法的证明思路、推理论证能力和运算求解能力。‎ ‎【解析】：（1）（反证法）假设与不相交，则与必平行， 代入得 ‎，与是实数相矛盾。从而，即与相交。‎ ‎（2）（方法一）由得交点p的坐标（x,y）为 ‎,‎ 而 所以与的交点p的（x,y）在椭圆上 ‎（方法二）与的交点p的（x,y）满足：，，从而 ‎，代入得，整理得 所以与的交点p的（x,y）在椭圆上 ‎【解题指导】：两直线的位置关系判定方法：‎ ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ 证明两数不等可采用反证法的思路。‎ 点在线上的判断与证明只要将点的坐标代入曲线方程判断其是否成立即可，或求出交点的轨迹方程并判断与所给的曲线方程是否一致即可。本题属于中档题。‎ ‎31．(2011年高考广东卷文科21)（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设P是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足．‎ （1） 当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；‎ ‎（2）已知．设H是E上动点，求的最小值，并给出此时点H的坐标；‎ ‎（3）过点且不平行于轴的直线与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．‎ ‎【解析】‎ ‎32．（2011年高考重庆卷文科21)（本小题满分12分。（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）‎ 如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是 ‎ （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；‎ ‎ （Ⅱ）设动点P满足：，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F，使得与点P到直线l：的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。‎ 解：（I）由 解得，故椭圆的标准方程为 ‎ （II）设，则由 得 因为点M，N在椭圆上，所以 ‎，‎ 故 ‎ ‎ 设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知 因此 所以 所以P点是椭圆上的点，该椭圆的右焦点为，离心率是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点，使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。‎ ‎【2010年高考试题】‎ ‎（2010陕西文数）9.已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为 [C]‎ ‎ （A） （B）1 （C）2 （D）4‎ 解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y2＝2px（p>0）的准线方程为，因为抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，所以 ‎ 法二：作图可知，抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切与点（-1,0）‎ ‎ 所以 ‎（2010辽宁文数）（9）设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，‎ 则一个焦点为 一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，，‎ ‎，解得.‎ ‎（2010辽宁文数）（7）设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线斜率为，那么 ‎（A） （B） 8 （C） （D） 16‎ 解析：选B.利用抛物线定义，易证为正三角形，则 ‎（2010全国卷2文数）（12）已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若。则k =‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ ‎【解析】B：，∵ ，∴ ， ∵ ，设，，∴ ，直线AB方程为。代入消去，∴ ，∴ ，‎ ‎，解得，‎ ‎（2010浙江文数）（10）设O为坐标原点，,是双曲线（a＞0，b＞0）的焦点，若在双曲线上存在点P，满足∠P=60°，∣OP∣=,则该双曲线的渐近线方程为 ‎（A）x±y=0 （B）x±y=0‎ ‎（C）x±=0 （D）±y=0‎ 解析：选D，本题将解析几何与三角知识相结合，主要考察了双曲线的定义、标准方程，几何图形、几何性质、渐近线方程，以及斜三角形的解法，属中档题 ‎（2010广东文数）7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A. B. C. D. ‎ ‎（2010福建文数）11．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为 A．2 B．‎3 ‎ C．6 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，F（-1，0），设点P，则有,解得，‎ 因为，，所以 ‎==，此二次函数对应的抛物线的对称轴为，因为，所以当时，取得最大值，选C。‎ ‎【命题意图】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。‎ ‎（2010全国卷1文数）（8）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则 ‎(A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8‎ ‎8.B【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.‎ ‎【解析1】.由余弦定理得 cos∠P=‎ ‎4‎ ‎【解析2】由焦点三角形面积公式得：‎ ‎4‎ ‎（2010四川文数）（10）椭圆的右焦点为F，其右准线与轴的交点为．在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是 ‎（A）（0，] （B）（0，] （C）[，1） （D）[，1）‎ 解析：由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点，‎ 即F点到P点与A点的距离相等 而|FA|＝‎ ‎ |PF|∈[a－c,a＋c]‎ 于是∈[a－c,a＋c]‎ 即ac－c2≤b2≤ac＋c2‎ ‎∴‎ Þ 又e∈(0,1)‎ 故e∈‎ 答案：D ‎（2010四川文数）(3)抛物线的焦点到准线的距离是 ‎(A) 1 (B)2 (C)4 (D)8‎ 解析：由y2＝2px＝8x知p＝4‎ ‎ 又交点到准线的距离就是p 答案：C ‎（2010湖北文数）9.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是 A.[,] B.[,3]‎ C.[-1,] D.[,3]‎ ‎（2010上海文数）8.动点到点的距离与它到直线的距离相等，则的轨迹方程为 y2=8x 。‎ 解析：考查抛物线定义及标准方程 定义知的轨迹是以为焦点的抛物线，p=2所以其方程为y2=8x ‎（2010全国卷2文数）(15)已知抛物线C：y2=2px（p>0）的准线l，过M（1,0）且斜率为的直线与l相交于A，与C的一个交点为B，若，则p=_________‎ ‎【解析】2：本题考查了抛物线的几何性质 设直线AB：，代入得，又∵ ，∴ ，解得，解得（舍去）‎ ‎（2010安徽文数）(12)抛物线的焦点坐标是 ‎ 答案：‎ ‎【解析】抛物线，所以，所以焦点.‎ ‎【误区警示】本题考查抛物线的交点.部分学生因不会求，或求出后，误认为焦点，还有没有弄清楚焦点位置，从而得出错误结论.‎ ‎（2010重庆文数）（13）已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，，则____________ . ‎ 解析：由抛物线的定义可知 ‎ ‎ 故2‎ ‎（2010北京文数）（13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。‎ 答案：() ‎ ‎（2010天津文数）（13）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。则双曲线的方程为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程，属于容易题。‎ 由渐近线方程可知 ①‎ 因为抛物线的焦点为（4，0），所以c=4 ②‎ 又 ③‎ 联立①②③，解得，所以双曲线的方程为 ‎【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解，注意双曲线中c最大。‎ ‎（2010福建文数）13． 若双曲线-=1(b>0)的渐近线方程式为y=，则ｂ等于　　　　　　　　。‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题意知，解得b=1。‎ ‎【命题意图】本小题考查双曲线的几何性质、待定系数法，属基础题。‎ ‎（2010全国卷1文数）(16)已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点， 且，则的离心率为 .‎ ‎16. 【命题意图】‎ 本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径. ‎ ‎【解析1】如图，,‎ 作轴于点D1,则由，得 ‎,所以,‎ 即,由椭圆的第二定义得 又由,得 ‎【解析2】设椭圆方程为第一标准形式，设，F分 BD所成的比为2，，代入 ‎，‎ ‎（2010湖北文数）15.已知椭圆的两焦点为,点满足,则||+|的取值范围为_______，直线与椭圆C的公共点个数_____。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意知，点P在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当P在原点处时，当P在椭圆顶点处时，取到为 ‎，故范围为.因为在椭圆的内部，则直线上的点（x, y）均在椭圆外，故此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.‎ ‎（2010上海文数）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.‎ 已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.‎ ‎（1）若点满足，求点的坐标；‎ ‎（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；‎ ‎（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.‎ 解析：(1) ； (2) 由方程组，消y得方程， 因为直线交椭圆于、两点， 所以D>0，即， 设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)， 则， 由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p， 又因为，所以， 故E为CD的中点； ‎ ‎(3) 因为点P在椭圆Γ内且不在x轴上，所以点F在椭圆Γ内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程． ，直线OF的斜率，直线l的斜率， 解方程组，消y：x2-2x-48=0，解得P1(-6,-4)、P2(8,3)．‎ ‎（2010湖南文数）19.（本小题满分13分）‎ 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距‎8Km的A、B两点各建一个考察基地，视冰川面为平面形，以过A、B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图4）。考察范围到A、B两点的距离之和不超过‎10Km的区域。‎ （I） 求考察区域边界曲线的方程：‎ （II） 如图4所示，设线段 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动‎0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍。问：经过多长时间，点A恰好在冰川边界线上？‎ ‎（2010陕西文数）20.（本小题满分13分）‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎ (Ⅱ)设n 为过原点的直线，l是与n垂直相交与点P，与椭圆相交于A,B两点的直线 立？若存在，求出直线l的方程；并说出；若不存在，请说明理由。‎ ‎（2010辽宁文数）（20）（本小题满分12分） K^S*5U.C#‎ 设，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆 相交于,两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的焦距；‎ ‎（Ⅱ）如果,求椭圆的方程.‎ 解：（Ⅰ）设焦距为，由已知可得到直线l的距离 所以椭圆的焦距为4. ‎ ‎ （Ⅱ）设直线的方程为 ‎ 联立 ‎ 解得 ‎ 因为 ‎ 即 ‎ ‎ 得 故椭圆的方程为 ‎（2010全国卷2文数）（22）（本小题满分12分）‎ 已知斜率为1的直线1与双曲线C：相交于B、D两点，且BD的中点为M（1.3）‎ ‎（Ⅰ）（Ⅰ）求C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF|=17证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切。‎ ‎【解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。‎ ‎（1）由直线过点（1，3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于BD两点的中点为（1，3），可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出A,B的关系式即求得离心率。‎ ‎（2）利用离心率将条件|FA||FB|=17，用含A的代数式表示，即可求得A，则A点坐标可得（1，0），由于A在X轴上所以，只要证明2AM=BD即证得。‎ ‎（2010安徽文数）17、（本小题满分12分）‎ 椭圆经过点，对称轴为坐标轴，‎ 焦点在轴上，离心率。‎ ‎ (Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)求的角平分线所在直线的方程。‎ ‎17.【命题意图】本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力.‎ ‎【解题指导】（1）设椭圆方程为，把点代入椭圆方程，把离心率用表示，再根据，求出，得椭圆方程；（2）可以设直线l上任一点坐标为，根据角平分线上的点到角两边距离相等得.‎ 解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为 ‎【规律总结】对于椭圆解答题，一般都是设椭圆方程为，根据题目满足的条件求出，得椭圆方程，这一问通常比较简单；（2）对于角平分线问题，利用角平分线的几何意义，即角平分线上的点到角两边距离相等得方程.‎ ‎（2010重庆文数）（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分. ）‎ 已知以原点为中心，为右焦点的双曲线的离心率.‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的标准方程及其渐近线方程；‎ ‎（Ⅱ）如题（21）图，已知过点的直线：与过点（其中）的直线：的交点在双曲线上，直线与双曲线的两条渐近线分别交于、两点，求的值. ‎ ‎（2010浙江文数）（22）、（本题满分15分）已知m是非零实数，抛物线（p>0）‎ 的焦点F在直线上。‎ ‎（I）若m=2，求抛物线C的方程 ‎（II）设直线与抛物线C交于A、B，△A,△的重心分别为G,H 求证：对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的焦点在以线段GH为直径的圆外。‎ ‎（2010北京文数）（19）（本小题共14分）‎ 已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P,圆心为P。‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；‎ ‎（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值。‎ 解：（Ⅰ）因为，且，所以 所以椭圆C的方程为 ‎（Ⅱ）由题意知 由 得 所以圆P的半径为 解得 所以点P的坐标是（0，）‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程。因为点在圆P上。所以 设，则 当，即，且，取最大值2.‎ ‎（2010天津文数）（21）（本小题满分14分）‎ 已知椭圆（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）.‎ ‎ （i）若，求直线l的倾斜角；‎ ‎ （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.‎ ‎【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合 的思想，考查综合分析与运算能力.满分14分. ‎ ‎（Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.‎ 由题意可知，即ab=2.‎ 解方程组得a=2，b=1. ‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.‎ 于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得 ‎.‎ 由，得.从而.‎ 所以.‎ 由，得.‎ 整理得，即，解得k=.‎ 所以直线l的倾斜角为或.‎ ‎（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为.‎ 以下分两种情况：‎ ‎（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是 由，得。‎ ‎（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。‎ 令，解得。‎ 由，，‎ ‎，‎ 整理得。故。所以。‎ 综上，或 ‎（2010广东文数）21.（本小题满分14分）‎ 已知曲线,点是曲线上的点，‎ ‎（2010福建文数）19．（本小题满分12分）‎ 已知抛物线C：过点A （1 , -2）。‎ ‎（I）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；‎ ‎（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由。K^S*5U.C#O ‎（2010四川文数）（21）（本小题满分12分）‎ 已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N ‎（Ⅰ）求E的方程；‎ ‎（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.‎ ‎【2009年高考试题】‎ ‎10．(2009·山东文)设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )． ‎ A． B． C． D． ‎ 解析：: 抛物线的焦点F坐标为,则直线的方程为,它与轴的交点为A,所以△OAF的面积为,解得．所以抛物线方程为,故选B． ‎ 答案:B．‎ ‎ 12．（2009·安徽文）下列曲线中离心率为的是 ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ 解析：依据双曲线的离心率可判断得．．选B。‎ 答案：B ‎13．（2009·安徽文）直线过点（-1，2）且与直线垂直，则的方程是 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ 解析：可得斜率为即，选A。‎ 答案：A ‎14．（2009·天津文）设双曲线的虚轴长为2，焦距为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A B C D 答案：C ‎ 解析：由已知得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为 ‎【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。‎ ‎17．（2009·宁夏海南文）已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 ‎（A）+=1 （B）+=1‎ ‎（C）+=1 （D）+=1‎ 答案：B 解析：设圆的圆心为（a，b），则依题意，有，解得：，对称圆的半径不变，为1，故选B。．‎ ‎18．（2009·福建文）若双曲线的离心率为2，则等于 A． 2 B． ‎ C． D． 1‎ 解析：由，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D．‎ ‎20．（2009·浙江文）已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴， 直线交轴于点．若，则椭圆的离心率是（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ 答案：D ‎ 解析：对于椭圆，因为，则 ‎ ‎17．（2009·天津文）若圆与圆的公共弦长为，则a=________．‎ 答案：1‎ ‎ 解析：由已知，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 ，利用圆心（0，0）到直线的距离d为，解得a=1‎ ‎19．（2009·宁夏海南文）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为 。‎ 答案：‎ 解析：设抛物线为y2＝kx，与y＝x联立方程组，消去y，得：x2－kx＝0，＝k＝2×2，故．‎ ‎11．(2009·年广东文)（本小题满分14分）‎ 已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12．圆:的圆心为点．‎ ‎(1)求椭圆G的方程 ‎(2)求的面积 ‎(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由．‎ 解析：（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;‎ ‎ 则 , 解得 , ‎ ‎ 所求椭圆G的方程为：． ‎ ‎(2 )点的坐标为 ‎ ‎ ‎（3）若，由可知点（6，0）在圆外，‎ ‎ 若，由可知点（-6，0）在圆外；‎ ‎ 不论K为何值圆都不能包围椭圆G．‎ ‎13．（2009·浙江文）（本题满分15分）已知抛物线：上一点到其焦点的距离为．‎ ‎ （I）求与的值；‎ ‎ （II）设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点．若是的切线，求的最小值．‎ 解析（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义 点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得 抛物线方程为：，将代入抛物线方程，解得 ‎（Ⅱ）由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。‎ 则，当 则。‎ 联立方程，整理得：‎ 即：，解得或 ‎，而，直线斜率为 ‎ ‎，联立方程 整理得：，即：‎ ‎ ，解得：，或 ‎，‎ 而抛物线在点N处切线斜率：‎ MN是抛物线的切线，， 整理得 ‎，解得（舍去），或，‎ ‎16． (2009·山东文)（本小题满分14分）‎ 设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E．‎ ‎（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; ‎ ‎（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;‎ ‎(3)已知,设直线与圆C:(1