2017高考理科数学圆锥曲线 18页

‎2017高考理科数学圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备：‎ ‎1. 直线方程的形式 ‎（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。‎ ‎（2）与直线相关的重要内容 ‎①倾斜角与斜率 ‎②点到直线的距离 ③夹角公式：‎ ‎（3）弦长公式 直线上两点间的距离：‎ ‎ 或 ‎（4）两条直线的位置关系 ‎①=-1 ② ‎ ‎2、圆锥曲线方程及性质 ‎(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）‎ ‎ 标准方程：‎ ‎ 距离式方程：‎ ‎ 参数方程：‎ ‎(2)、双曲线的方程的形式有两种 ‎ 标准方程：‎ ‎ 距离式方程：‎ ‎(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？‎ ‎ ‎ ‎(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？‎ 如：已知是椭圆的两个焦点，平面内一个动点M满足则动点M的轨迹是（ ）‎ A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线 ‎(5)、焦点三角形面积公式：‎ ‎ ‎ ‎（其中）‎ ‎(6)、记住焦半径公式：（1），可简记为“左加右减，上加下减”。‎ ‎ （2）‎ ‎ （3）‎ ‎(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ ‎ 第二、方法储备 ‎1、点差法（中点弦问题）‎ 设、，为椭圆的弦中点则有 ‎，；两式相减得 ‎=‎ ‎2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？‎ ‎ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点，将这两点代入曲线方程得到两个式子，然后-，整体消元······，若有两个字 母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为，就意味着k存在。‎ 例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.‎ ‎（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;‎ ‎（2）若角A为，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.‎ 分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为可得出AB⊥AC，从而得，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；‎ 解：（1）设B（,）,C(,),BC中点为(),F(2,0)则有 两式作差有 (1) F(2,0)为三角形重心，所以由，得，由得，代入（1）得 直线BC的方程为 2)由AB⊥AC得 （2）‎ 设直线BC方程为，得 ， 代入（2）式得 ，解得或 直线过定点（0，，设D（x,y），则，即 所以所求点D的轨迹方程是。‎ ‎3、设而不求法 例2、如图，已知梯形ABCD中，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率的取值范围。‎ 分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系，如图，若设C，代入，求得，进而求得再代入，建立目标函数，整理，此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略,‎ 建立目标函数，整理,化繁为简.‎ ‎ 解法一：如图，以AB为垂直平分线为轴，直线AB为轴，建立直角坐标系，则CD⊥轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于轴对称 ‎ 依题意，记A，C，E，其中为双曲线的半焦距，是梯形的高，由定比分点坐标公式得 ‎ ， ‎ 设双曲线的方程为，则离心率 由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和代入双曲线方程得 ‎ ， ①‎ ‎ ② ‎ 由①式得 ， ③‎ 将③式代入②式，整理得 ‎ ‎ ，‎ 故 ‎ 由题设得，‎ 解得 ‎ 所以双曲线的离心率的取值范围为 ‎ 分析：考虑为焦半径,可用焦半径公式, 用的横坐标表示，回避的计算, 达到设而不求的解题策略．‎ ‎ 解法二：建系同解法一，，‎ ‎，又，代入整理，由题设得，‎ 解得 ‎ 所以双曲线的离心率的取值范围为 ‎ ‎4、判别式法 例3已知双曲线，直线过点，斜率为，当时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线的距离为，试求的值及此时点B的坐标。‎ 分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段.‎ ‎ 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式. 由此出发，可设计如下解题思路：‎ 把直线l’的方程代入双曲线方程，消去y，令判别式 直线l’在l的上方且到直线l的距离为 分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线的距离为”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：‎ 转化为一元二次方程根的问题 求解 问题 关于x的方程有唯一解 简解：设点为双曲线C上支上任一点，则点M到直线的距离为：‎ ‎ ‎ 于是，问题即可转化为如上关于的方程.‎ 由于，所以，从而有 于是关于的方程 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由可知：‎ ‎ 方程的二根同正，故恒成立，于是等价于 ‎.‎ ‎ 由如上关于的方程有唯一解，判别式，就可解得 .‎ 点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.‎ 例4已知椭圆C:和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.‎ 分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.‎ 由于点的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率作为参数，如何将与联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件：来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到，要建立与的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.‎ 通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数. ‎ 将直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理 利用点Q满足直线AB的方程：y = k (x—4)+1，消去参数k 点Q的轨迹方程 在得到之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于的方程（不含k），则可由解得，直接代入即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。‎ 简解：设，则由可得：，‎ 解之得： （1）‎ 设直线AB的方程为：，代入椭圆C的方程，消去得出关于 x的一元二次方程：‎ ‎ （2）‎ ‎∴ ‎ 代入（1），化简得 (3)‎ 与联立，消去得：‎ 在（2）中，由，解得 ，结合（3）可求得 ‎ 故知点Q的轨迹方程为： （）.‎ 点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.‎ ‎5、求根公式法 例5设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.‎ 分析：本题中，绝大多数同学不难得到：=，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求 变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.‎ 分析1: 从第一条想法入手，=已经是一个关系式，但由于有两个变量，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.‎ 所求量的取值范围 把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 xA= f（k），xB = g（k）‎ 得到所求量关于k的函数关系式 求根公式 AP/PB = —（xA / xB）‎ 由判别式得出k的取值范围 简解1：当直线垂直于x轴时，可求得;‎ 当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 解之得 ‎ 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.‎ 当时，，，‎ 所以 ===.‎ 由 , 解得 ，‎ 所以 ，综上 .‎ ‎ 分析2:‎ ‎ 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于不是关于的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于的对称关系式.‎ 把直线l的方程y = kx+3代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程 xA+ xB = f（k），xA xB = g（k）‎ 构造所求量与k的关系式 关于所求量的不等式 韦达定理 AP/PB = —（xA / xB）‎ 由判别式得出k的取值范围 简解2：设直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得 ‎ （*）‎ 则 令，则，‎ 在（*）中，由判别式可得 ，‎ 从而有 ，所以 ，解得 . 结合得. ‎ 综上，.‎ 点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.‎ 解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.‎ 第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。‎ 例6椭圆长轴端点为，为椭圆中心，为椭圆的右焦点，且，．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）记椭圆的上顶点为，直线交椭圆于两点，问：是否存在直线，使点恰为的垂心？若存在，求出直线的方程;若不存在，请说明理由。‎ 思维流程：‎ 写出椭圆方程 由，‎ ‎，‎ ‎（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ 由F为的重心 ‎（Ⅱ） ‎ 两根之和，‎ 两根之积 得出关于 m的方程 解出m ‎ 消元 ‎ 解题过程： ‎ ‎（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为,则 又∵即 ，∴ ‎ 故椭圆方程为 ‎ ‎（Ⅱ）假设存在直线交椭圆于两点，且恰为的垂心，则 设，∵，故，‎ 于是设直线为 ，由得， ‎ ‎∵ 又 得 即 ‎ 由韦达定理得 ‎ ‎ 解得或（舍） 经检验符合条件．‎ 点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．‎ 例7、已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过、、三点．（Ⅰ）求椭圆的方程：‎ ‎（Ⅱ）若点D为椭圆上不同于、的任意一点，，当Δ内切圆的面积最大时，求Δ内心的坐标；‎ 由椭圆经过A、B、C三点 设方程为 得到的方程组 解出 思维流程：‎ ‎（Ⅰ） ‎ ‎ ‎ 由内切圆面积最大 转化为面积最大 转化为点的纵坐标的绝对值最大最大 为椭圆短轴端点 面积最大值为 ‎（Ⅱ） ‎ ‎ ‎ 得出点坐标为 解题过程： （Ⅰ）设椭圆方程为，将、‎ ‎、代入椭圆E的方程，得 解得.∴椭圆的方程 ． ‎ ‎（Ⅱ），设Δ边上的高为 ‎ 当点在椭圆的上顶点时，最大为，所以的最大值为．‎ ‎ 设Δ的内切圆的半径为，因为Δ的周长为定值6．所以，‎ ‎ 所以的最大值为．所以内切圆圆心的坐标为.‎ 点石成金： ‎ 例8、已知定点及椭圆，过点的动直线与椭圆相交于两点.‎ ‎（Ⅰ）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）在轴上是否存在点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ 思维流程：‎ ‎（Ⅰ）解：依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，‎ 将代入， 消去整理得 ‎ 设 ‎ 则 ‎ 由线段中点的横坐标是， 得，解得，符合题意。‎ 所以直线的方程为 ，或 . ‎ ‎（Ⅱ）解：假设在轴上存在点，使为常数.‎ ① 当直线与轴不垂直时，由（Ⅰ）知 ‎ 所以 ‎ 将代入，整理得 ‎ 注意到是与无关的常数， 从而有， 此时 ‎ ② 当直线与轴垂直时，此时点的坐标分别为，当时， 亦有 ‎ ‎ 综上，在轴上存在定点，使为常数.‎ 点石成金：‎ ‎ ‎ 例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m≠0），交椭圆于A、B两个不同点。 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求m的取值范围； （Ⅲ）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.‎ 思维流程：解：（1）设椭圆方程为 则 ∴椭圆方程为 ‎（Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m 又KOM= ‎ 由 ‎∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点， ‎ ‎（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可 设 ‎ 则 由 而 ‎ 故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.‎ 点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形 例10、已知双曲线的离心率，过 的直线到原点的距离是 （1）求双曲线的方程；‎ ‎ （2）已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.‎ ‎ 思维流程：解：∵（1）原点到直线AB：的距离.‎ ‎ 故所求双曲线方程为 ‎ ‎（2）把中消去y，整理得 .‎ ‎ 设的中点是，则 ‎ ‎ ‎ ‎ 即 故所求k=±.‎ 点石成金: C，D都在以B为圆心的圆上BC=BDBE⊥CD;‎ 例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （II）若直线y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ 思维流程：解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为，‎ ‎ 由已知得：，‎ ‎ 椭圆的标准方程为．‎ ‎ （II）设． 联立 ‎ 得 ，则 ‎ ‎ ‎ 又．‎ ‎ 因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，‎ ‎ ，即. ．‎ ‎ ． ．‎ ‎ 解得：，且均满足．‎ ‎ 当时，的方程，直线过点，与已知矛盾；‎ ‎ 当时，的方程为，直线过定点．‎ ‎ 所以，直线过定点，定点坐标为．‎ 点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 CA⊥CB;‎ 例12、已知双曲线的左右两个焦点分别为,点P在双曲线右支上.‎ ‎（Ⅰ）若当点P的坐标为时,,求双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若,求双曲线离心率的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.‎ 思维流程：解：（Ⅰ）(法一)由题意知,, ,‎ ‎, （1分）‎ 解得 . 由双曲线定义得: ‎ ‎, ‎ ‎ 所求双曲线的方程为: ‎ ‎ (法二) 因,由斜率之积为,可得解.‎ ‎（Ⅱ）设,‎ ‎ (法一)设P的坐标为, 由焦半径公式得,,， ‎ 的最大值为2,无最小值. 此时,‎ 此时双曲线的渐进线方程为 ‎ ‎(法二)设,.‎ ‎(1)当时, , ‎ 此时 .‎ ‎(2)当,由余弦定理得:‎ ‎ ,‎ ‎,,综上,的最大值为2,但无最小值. (‎