2007年江苏高考数学试卷及答案 8页

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试 数　　学（江苏卷）‎ 参考公式：‎ 次独立重复试验恰有次发生的概率为：‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．下列函数中，周期为的是（D）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知全集，，则为（A）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（A）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：（C）‎ ‎① ②‎ ‎③ ④‎ 其中正确命题的序号是 A．①③ B．②④ C．①④ D．②③‎ ‎5．函数的单调递增区间是（D）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有（B）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎7．若对于任意实数，有，则的值为（B）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设是奇函数，则使的的取值范围是（A）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（C）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在平面直角坐标系，已知平面区域且，则平面区域的面积为（B）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上。‎ ‎11．若，.则　　1/2　　.‎ ‎12．某校开设9门课程供学生选修，其中三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修4门，共有　　75　　种不同选修方案。（用数值作答）‎ ‎13．已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则　　32　　.‎ ‎14．正三棱锥高为2，侧棱与底面所成角为，则点到侧面的距离是 ‎　　　　.‎ ‎15．在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆 上，则　　5/4　　.‎ ‎16．某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，当时间时，点与钟面上标的点重合，将两点的距离表示成的函数，则 ‎　　　　，其中。‎ 三、解答题：本大题共5小题，共70分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本小题满分12分）某气象站天气预报的准确率为，计算（结果保留到小数点后面第2位）‎ ‎（1）5次预报中恰有2次准确的概率；（4分）‎ ‎（2）5次预报中至少有2次准确的概率；（4分）‎ ‎（3）5次预报中恰有2次准确，且其中第次预报准确的概率；（4分）‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎18．（本小题满分12分）如图，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在上，且，‎ ‎（1）求证：四点共面；（4分）‎ ‎（2）若点在上，，点在上，‎ ‎，垂足为，求证：面；（4分）‎ ‎（3）用表示截面和面所成锐二面角大小，求。（4分）‎ 解：（1）证明：在DD上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFDN是平行四边形，所以D F//CN，同理四边形DNEA是平行四边形，所以EN//AD，且EN=AD，又 BC//AD，且AD=BC，所以EN//BC，EN=BC，所以四边形CNEB是平行四边形，所以 CN//BE，所以DF//BE，所以四点共面。‎ ‎（2）因为所以∽MBG，所以，即，所以MB=1，因为AE=1，所以四边形ABME是矩形，所以EM⊥BB又平面ABBA⊥平面BCCB ‎，且EM在平面ABBA内，所以面 ‎（3）面，所以BF，MH，，所以∠MHE就是截面和面所成锐二面角的平面角，∠EMH=，所以，ME=AB=3，∽MHB，所以3：MH=BF：1，BF=，所以MH=，所以=‎ ‎19、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，‎ ‎（1）若，求的值；（5分）‎ ‎（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）‎ ‎（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）‎ 解：（1）设过C点的直线为，所以，即，设A，=，，因为，所以 ‎，即，‎ 所以，即所以 ‎（2）设过Q的切线为，，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。‎ ‎（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，所以 因为，所以P为AB的中点。‎ ‎20．（本小题满分16分）已知 是等差数列，是公比为的等比数列，，记为数列的前项和，‎ ‎（1）若是大于的正整数，求证：；（4分）‎ ‎（2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；（8分）‎ ‎（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；（4分）‎ 解：设的公差为，由，知，（）‎ ‎（1）因为，所以，‎ ‎，‎ 所以 ‎（2），由，‎ 所以解得，或，但 ‎，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，设数列中任意一项为 ‎，设数列中的某一项=‎ 现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可，，所以 ‎，若，则，那么，当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为 与数列的第项相等，从而结论成立。‎ ‎（3）设数列中有三项成等差数列，则有 ‎2设，所以2，令，则，因为，所以，所以，即存在使得中有三项成等差数列。‎ ‎21．（本小题满分16分）已知是不全为的实数，函数，‎ ‎，方程有实根，且的实数根都是的根，反之，的实数根都是的根，‎ ‎（1）求的值；（3分）‎ ‎（2）若，求的取值范围；（6分）‎ ‎（3）若，求的取值范围。（7分）‎ 解（1）设是的根，那么，则是的根，则 即，所以。‎ ‎（2）因为，所以，则 ‎==0的根也是的根。‎ ‎（a）若，则，此时的根为0，而的根也是0，所以，‎ ‎（b）若，当时，的根为0，而的根也是0，当时，‎ 的根为0和，而的根不可能为0和，所以必无实数根，所以所以，从而 所以当时，；当时，。‎ ‎（3），所以，即的根为0和1，‎ 所以=0必无实数根，‎ ‎（a）当时，==，即函数在，恒成立，又，所以，即所以；‎ ‎（b）当时，==，即函数在，恒成立，又，所以，‎ ‎，而，所以，所以不可能小于0，‎ ‎（c）则这时的根为一切实数，而，所以 符合要求。‎ 所以