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  • 2021-05-13 发布

江苏省泰州市姜堰二中高考数学四模试卷解析

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‎2016年江苏省泰州市姜堰二中高考数学四模试卷 ‎ ‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎1.已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},集合B={x|1<x≤3},则A∪B=_______.‎ ‎2.已知i为虚数单位,复数z=2i+,则复数z的模为_______.‎ ‎3.命题“∃x≥0,使x(x+3)≥0”的否定是_______.‎ ‎4.执行如图程序:‎ 输出的结果S是_______.‎ ‎5.在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P(x,y),则|x|+y≤0的概率为_______.‎ ‎6.底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为_______.‎ ‎7.函数f(x)=6cos2+sinωx﹣3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B,C为图象与x轴的交点,且△ABC为正三角形,则ω=_______.‎ ‎8.已知O为坐标原点,A,B两点的坐标均满足不等式组则tan∠AOB的最大值等于_______.‎ ‎9.x≥0,y>0,x+y≤2,则+最小值_______.‎ ‎10.已知sin(+α)+sinα=,则sin(α+)的值是_______.‎ ‎11.设点P为双曲线﹣=1(a>0,b>0)上一点,F1,F2分别是左右焦点,I是△PF1F2的内心,若△IPF1,△IPF2,△IF1F2的面积S1,S2,S3满足2(S1﹣S2)=S3,则双曲线的离心率为_______.‎ ‎12.已知函数f(x)=x|x﹣a|,若对任意x1∈[2,3],x2∈[2,3],x1≠x2恒有,则实数a的取值范围为_______.‎ ‎13.已知O为△ABC的垂心,且+2+3=,则A角的值为_______.‎ ‎14.设各项均为正整数的无穷等差数列{an},满足a54=4028,且存在正整数k,使a1,a54,ak成等比数列,则公差d的所有可能取值之和为_______.‎ ‎ ‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.‎ ‎15.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱,BC=CC1=4,D是A1C1中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:A1B∥平面B1CD;‎ ‎(Ⅱ)求点B到平面B1CD的距离.‎ ‎16.已知△ABC中,,记.‎ ‎(1)求f(x)解析式及定义域;‎ ‎(2)设g(x)=6m•f(x)+1,,是否存在正实数m,使函数g(x)的值域为?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎17.如图,某广场为一半径为80米的半圆形区域,现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛,该扇形的圆心角为变量2θ(0<2θ<π),其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形,半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切,且与OA、OB相切.‎ ‎(1)求半径较大的花坛⊙P的半径(用θ表示);‎ ‎(2)求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值.‎ ‎18.已知椭圆+=1(a>b>0)上顶点A(0,2),右焦点F(1,0),设椭圆上任一点到点M(0,6)的距离为d.‎ ‎(1)求d的最大值;‎ ‎(2)过点F的直线交椭圆于点S,T两点,P为准线l上一动点.‎ ‎①若PF⊥ST,求证:直线OP平分线段ST;‎ ‎②设直线PS,PF,PT的斜率分别为k1,k2,k3,求证:k1,k2,k3成等差数列.‎ ‎19.已知函数f(x)=alnx+(x﹣c)|x﹣c|,a<0,c>0.‎ ‎(1)当a=﹣,c=时,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)当c=+1时,若f(x)≥对x∈(c,+∞)恒成立,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)设函数f(x)的图象在点P(x1,f(x1))、Q(x2,f(x2))两处的切线分别为l1、l2.若x1=,x2=c,且l1⊥l2,求实数c的最小值.‎ ‎20.已知有穷数列{an}各项均不相等,将{an}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{Pn},称{Pn}为{an}的“序数列”,例如数列:a1,a2,a3满足a1>a3>a2,则其序数列{Pn}为1,3,2.‎ ‎(1)求证:有穷数列{an}的序数列{Pn}为等差数列的充要条件是有穷数列{an}为单调数列;‎ ‎(2)若项数不少于5项的有穷数列{bn},{cn}的通项公式分别是bn=n•()n(n∈N*),cn=﹣n2+tn(n∈N*),且{bn}的序数列与{cn}的序数列相同,求实数t的取值范围;‎ ‎(3)若有穷数列{dn}满足d1=1,|dn+1﹣dn|=()n(n∈N*),且{d2n﹣1}的序数列单调减,{d2n}的序数列单调递增,求数列{dn}的通项公式.‎ ‎ ‎ 附加题[选修4-1:几何证明选讲](任选两个)‎ ‎21.如图,AB为⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点D,AC⊥CD,DE⊥AB,C、E为垂足,连接AD,BD.若AC=4,DE=3,求BD的长.‎ ‎ ‎ 附加题[选修4-2:矩阵与变换]‎ ‎22.已知矩阵M=,N=,试求曲线y=sinx在矩阵(MN)﹣1变换下的函数解析式.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎23.已知直线l:(t为参数)恒经过椭圆C:(φ为参数)的右焦点F.‎ ‎(1)求m的值;‎ ‎(2)当α=时直线l与椭圆C相交于A,B两点,求FA•FB的值.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.已知正实数a,b,c满足a+b2+c3=1,求证:≥27.‎ ‎ ‎ 解答题 ‎25.自2016年1月1日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性调整,使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿,某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查,得到如下数据:‎ 产假安排(单位:周)‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 有生育意愿家庭数 ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎20‎ ‎26‎ ‎(1)若用表中数据所得的频率代替概率,面对产假为14周与16周,估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少?‎ ‎(2)假设从5种不同安排方案中,随机抽取2种不同安排分别作为备选方案,然后由单位根据单位情况自主选择.‎ ‎①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率;‎ ‎②如果用ξ表示两种方案休假周数和.求随机变量ξ的分布及期望.‎ ‎26.在数列|an|中,a1=t﹣1,其中t>0且t≠1,且满足关系式:an+1(an+tn﹣1)=an(tn+1﹣1),(n∈N+)‎ ‎(1)猜想出数列|an|的通项公式并用数学归纳法证明之;‎ ‎(2)求证:an+1>an,(n∈N+).‎ ‎ ‎ ‎2016年江苏省泰州市姜堰二中高考数学四模试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位置上.‎ ‎1.已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0},集合B={x|1<x≤3},则A∪B= {x|﹣1≤x≤3} .‎ ‎【考点】并集及其运算.‎ ‎【分析】求解一元二次不等式化简集合A,然后直接利用并集运算得答案.‎ ‎【解答】解:由x2﹣x﹣2≤0,解得﹣1≤x≤2.‎ ‎∴A={x|﹣1≤x≤2},‎ 又集合B={x|1<x≤3},‎ ‎∴A∪B={x|﹣1≤x≤3},‎ 故答案为:{x|﹣1≤x≤3},‎ ‎ ‎ ‎2.已知i为虚数单位,复数z=2i+,则复数z的模为  .‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算.‎ ‎【分析】利用复数的运算性质、复数模的计算公式即可得出.‎ ‎【解答】解:复数z=2i+=2i+=2+i,‎ 则复数|z|==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎3.命题“∃x≥0,使x(x+3)≥0”的否定是 ∀x≥0,x(x+3)<0 .‎ ‎【考点】命题的否定.‎ ‎【分析】根据命题“∃x≥0,使x(x+3)≥0”是特称命题,其否定为全称命题,即∀x≥0,使x(x+3)<0,从而得到答案.‎ ‎【解答】解:∵命题“∃x≥0,使x(x+3)≥0”是特称命题 ‎∴否定命题为∀x≥0,x(x+3)<0,‎ 故答案为:∀x≥0,x(x+3)<0‎ ‎ ‎ ‎4.执行如图程序:‎ 输出的结果S是 880 .‎ ‎【考点】循环结构.‎ ‎【分析】模拟执行程序代码,依次写出每次循环得到的S,I的值,当I=10时,结束循环,从而得解.‎ ‎【解答】解:模拟执行程序代码,可得 S=1,‎ I=1,执行循环体,S=2,‎ I=4,执行循环体,S=10‎ I=7,执行循环体,S=80‎ I=10,执行循环体,S=880‎ 输出S的值为880.‎ 故答案为:880.‎ ‎ ‎ ‎5.在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P(x,y),则|x|+y≤0的概率为  .‎ ‎【考点】几何概型.‎ ‎【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出(x,y)对应图形的面积,及满足条件|x|+y≤0的点对应的图形的面积,然后再结合几何概型的计算公式进行求解.‎ ‎【解答】解:如图所示,满足条件|x|+y≤0”的区域为图中扇形的面积即阴影部分的面积,‎ ‎∵|x|+y≤0,‎ ‎∴扇形的圆心角为90°,‎ ‎∵R=2,‎ ‎∴S阴影=×4π=π,圆的面积为4π,‎ 故|x|+y≤0的概率为=,‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎6.底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为 4+4 .‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积.‎ ‎【分析】由已知中正四棱锥的底面边长为2,高为2,求出棱锥的侧高,进而求出棱锥的侧面积,加上底面积后,可得答案.‎ ‎【解答】解:如下图所示:正四棱锥S﹣ABCD中,AB=BC=CD=AD=2,S0=2,E为BC中点,‎ 在Rt△SOE中,OE=AB=1,‎ 则侧高SE==,‎ 故棱锥的表面积S=2×2+4×(×2×)=4+4.‎ 故答案为:4+4.‎ ‎ ‎ ‎7.函数f(x)=6cos2+sinωx﹣3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B,C为图象与x轴的交点,且△ABC为正三角形,则ω=  .‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象.‎ ‎【分析】由降幂公式和三角恒等变换公式化简f(x),由正三角形知道高和底,由此知道周期,得到ω.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=6cos2+sinωx﹣3(ω>0)‎ ‎=3cosωx+sinωx=2sin(ωx+),‎ ‎∵△ABC为正三角形,∴△ABC的高为2,BC=4,‎ ‎∴周期T=8,∵T==8‎ ‎∴ω=.‎ ‎ ‎ ‎8.已知O为坐标原点,A,B两点的坐标均满足不等式组则tan∠AOB的最大值等于  .‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域,只需求出A,B在图中的位置,∠AOB最大,即tan∠AOB最大即可.‎ ‎【解答】解:作出可行域,则A、B在图中所示的位置时,∠AOB最大,即tan∠AOB最大,‎ 由题意可得A(1,2),B(2,1)‎ ‎∴KOA=tan∠AOM=2,KOB=tan∠BOM=‎ ‎∵∠AOB=∠AOM﹣∠BOM,‎ ‎∴tan∠AOB=tan(∠AOM﹣∠BOM)‎ ‎=‎ ‎==,‎ 所以tan∠AOB的最大值为,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎9.x≥0,y>0,x+y≤2,则+最小值  .‎ ‎【考点】基本不等式.‎ ‎【分析】由条件可得[(x+2y)+(2x+y)](+)=5++,运用基本不等式和不等式的性质,即可得到所求最小值.‎ ‎【解答】解:x≥0,y>0,x+y≤2,可得 ‎[(x+2y)+(2x+y)](+)=5++‎ ‎≥5+2=9,‎ 可得+≥‎ ‎=≥‎ 当且仅当2(2x+y)=x+2y,即x=0,y=2时,取得最小值.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎10.已知sin(+α)+sinα=,则sin(α+)的值是 ﹣ .‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数.‎ ‎【分析】由条件利用两角和差的正弦公式,求得sin(α+)的值,再利用诱导公式求得sin(α+)=﹣sin(α+)的值.‎ ‎【解答】解:∵sin(+α)+sinα=cosα+sinα+sinα=(cosα+sinα)=sin(α+)=,‎ ‎∴sin(α+)=,故sin(α+)=﹣sin(α+)=﹣,‎ 故答案为:﹣.‎ ‎ ‎ ‎11.设点P为双曲线﹣=1(a>0,b>0)上一点,F1,F2分别是左右焦点,I是△PF1F2的内心,若△IPF1,△IPF2,△IF1F2的面积S1,S2,S3满足2(S1﹣S2)=S3,则双曲线的离心率为 2 .‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】先根据题意作出示意图,利用平面几何的知识利用三角形面积公式,代入已知式2(S1﹣S2)=S3,化简可得|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|,再结合双曲线的定义与离心率的公式,可求出此双曲线的离心率.‎ ‎【解答】解:如图,设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、‎ PF2分别相切于点E、F、G,连接IE、IF、IG,‎ 则IE⊥F1F2,IF⊥PF1,IG⊥PF2,‎ 它们分别是△IF1F2,△IPF1,△IPF2的高,‎ ‎∴S1=|PF1|•|IF|=|PF1|r,‎ S2=|PF2|•|IG|=|PF2|r,‎ S3=|F1F2|•|IE|=|F1F2|r,‎ 其中r是△PF1F2的内切圆的半径.‎ ‎∵S1﹣S2=S3,‎ ‎∴|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|,‎ 两边约去得:|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|,‎ 根据双曲线定义,得|PF1|﹣|PF2|=2a,|F1F2|=2c,‎ ‎∴2a=c⇒离心率为e==2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ ‎12.已知函数f(x)=x|x﹣a|,若对任意x1∈[2,3],x2∈[2,3],x1≠x2恒有,则实数a的取值范围为 [3,+∞) .‎ ‎【考点】分段函数的应用.‎ ‎【分析】根据凸函数和凹函数的定义,作出函数f(x)的图象,利用数形结合进行求解即可.‎ ‎【解答】解:满足条件有的函数为凸函数,‎ f(x)=,作出函数f(x)的图象,‎ 由图象知当x≤a时,函数f(x)为凸函数,当x≥a时,函数f(x)为凹函数,‎ 若对任意x1∈[2,3],x2∈[2,3],x1≠x2恒有,‎ 则a≥3即可,‎ 故实数a的取值范围是[3,+∞),‎ 故答案为:[3,+∞)‎ ‎ ‎ ‎13.已知O为△ABC的垂心,且+2+3=,则A角的值为  .‎ ‎【考点】向量的线性运算性质及几何意义.‎ ‎【分析】取AC,BC的中点分别为E,F;化简可得2+4=0,从而记||=x,则||=2x,|AB|=6x,|AC|=|EC|=,|EH|=2xcosA,从而可得=cosA,从而解得.‎ ‎【解答】解:∵+2+3=,‎ ‎∴++2+2=,‎ 取AC,BC的中点分别为E,F;‎ ‎∴2+4=0,‎ 记||=x,则||=2x,‎ ‎|AB|=6x,|AC|=|EC|=,|EH|=2xcosA,‎ 故=cosA,‎ 即=2cosA,‎ 解得cosA=或cosA=﹣(舍去),‎ 故A=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.设各项均为正整数的无穷等差数列{an},满足a54=4028,且存在正整数k,使a1,a54,ak成等比数列,则公差d的所有可能取值之和为 301 .‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合.‎ ‎【分析】由题意和等差数列的通项公式得a1+53d=4028,由d为正整数得a1是53的倍数,由等比中项的性质列出式子:a542=a1ak=4×4×19×19×53×53,对a1分类讨论,分别化简后结合题意可得结论.‎ ‎【解答】解:由题意得a54=4028,则a1+53d=4028,‎ 化简得+d=76,‎ ‎∵d为正整数,∴a1是53的倍数,‎ ‎∵a1,a54,ak成等比数列,‎ ‎∴a542=a1ak=4×4×19×19×53×53,且an是整数,‎ ‎(1)若a1=53,53+53d=4028,解得d=75,‎ 此时ak=4×4×19×19×53=53+75(k﹣1),得k=4081,成立,‎ ‎(2)若a1=2×53,106+53d=4028,解得d=74,‎ 此时ak=2×4×19×19×53=2×53+74(k﹣1),得k=2886,成立,‎ ‎(3)若a1=3×53,159+53d=4028,解得d=73,‎ 此时ak=(4×4×19×19×53)不是整数,舍去,‎ ‎(3)若a1=4×53,212+53d=4028,解得d=72,‎ 此时ak=4×19×19×53=4×53+72(k﹣1),得k=1060,成立,‎ ‎(4)若a1=16×53=848,848+53d=4028,得53d=3180,d=60,‎ 此时ak=19×19×53=16×53+60(k﹣1),得k不是整数,不成立,‎ ‎(5)若a1=19×53=1007,1007+53d=4028,得53d=3021,d=57,‎ 此时ak=4×4×19×53=19×53+57(k﹣1),得k=265,成立,‎ ‎(6)若a1=53×53=2809,2809+53d=4028,得53d=1219,d=23,‎ 此时ak=4×4×19×19=53×53+72(k﹣1),得k=129,成立,‎ ‎∴公差d的所有可能取值之和为75+74+72+57+23=301.‎ 故答案为:301.‎ ‎ ‎ 二、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.‎ ‎15.如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱,BC=CC1=4,D是A1C1中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:A1B∥平面B1CD;‎ ‎(Ⅱ)求点B到平面B1CD的距离.‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设BC1∩B1C于点E,连DE,利用三角形的中位线性质,证明DE∥A1B,即可证明A1B∥平面B1CD;‎ ‎(Ⅱ)利用等体积,求点B到平面B1CD的距离.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)设BC1∩B1C于点E,连DE,‎ ‎∵在△A1BC1中,D为A1C1的中点,E为BC1的中点,‎ ‎∴DE∥A1B,‎ ‎∵DE⊂平面B1CD,A1B⊄平面B1CD,‎ ‎∴A1B∥平面B1CD.‎ ‎(Ⅱ)解:△B1CD中,B1D=CD==2,B1C=4,‎ ‎∴==4.‎ 设点B到平面B1CD的距离为h,则h=,‎ ‎∴h=.‎ ‎ ‎ ‎16.已知△ABC中,,记.‎ ‎(1)求f(x)解析式及定义域;‎ ‎(2)设g(x)=6m•f(x)+1,,是否存在正实数m,使函数g(x)的值域为?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由.‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算;正弦函数的定义域和值域;正弦定理.‎ ‎【分析】(1),结合正弦定理,可以表示出BC、AB边的长,根据边长为正,可求出x的取值范围,即定义域,同时我们不难给出求f(x)解析式.‎ ‎(2)由(1)的结论写出g(x)的解析式,并求出g(x)的值域(边界含参数),利用集合相等,边界值也相等,易确定参数的值.‎ ‎【解答】解:(1)由正弦定理有:‎ ‎∴=‎ ‎(2)g(x)=6mf(x)+1=‎ 假设存在实数m符合题意,∵,∴.‎ 因为m>0时,的值域为(1,m+1].‎ 又g(x)的值域为,解得;‎ ‎∴存在实数,使函数f(x)的值域恰为.‎ ‎ ‎ ‎17.如图,某广场为一半径为80米的半圆形区域,现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛,该扇形的圆心角为变量2θ(0<2θ<π),其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形,半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切,且与OA、OB相切.‎ ‎(1)求半径较大的花坛⊙P的半径(用θ表示);‎ ‎(2)求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值.‎ ‎【考点】三角函数的最值;三角函数中的恒等变换应用.‎ ‎【分析】(1)设⊙P切OA于M,⊙Q切OA于N,记⊙P、⊙Q的半径分别为rP、rQ.可得|OP|=80﹣rP,由此求得rP的解析式.‎ ‎(2)由|PQ|=rP+rQ,求得rQ= (0<θ<).令t=1+sinθ∈(1,2),求得rQ=80(﹣1﹣+),再利用二次函数的性质求得它的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)设⊙P切OA于M,连PM,⊙Q切OA于N,连QN,‎ 记⊙P、⊙Q的半径分别为rP、rQ.‎ ‎∵⊙P与⊙O内切,∴|OP|=80﹣rP,‎ ‎∴+rP=80,∴rP= (0<θ<).‎ ‎(2)∵|PQ|=rP+rQ∴|OP|﹣|OQ|=﹣=rP+rQ,‎ ‎∴rQ= (0<θ<).‎ 令t=1+sinθ∈(1,2),∴rQ=80•=80(﹣1﹣+),‎ 令m=∈(,1),rQ=80(﹣2m2+3m﹣1),∴m=时,有最大值10.‎ ‎ ‎ ‎18.已知椭圆+=1(a>b>0)上顶点A(0,2),右焦点F(1,0),设椭圆上任一点到点M(0,6)的距离为d.‎ ‎(1)求d的最大值;‎ ‎(2)过点F的直线交椭圆于点S,T两点,P为准线l上一动点.‎ ‎①若PF⊥ST,求证:直线OP平分线段ST;‎ ‎②设直线PS,PF,PT的斜率分别为k1,k2,k3,求证:k1,k2,k3成等差数列.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)由题意可得b=2,c=1,解得a,可得椭圆的方程,设椭圆上一点(m,n),代入椭圆方程,再由两点的距离公式,化简整理可得n的二次函数,即可得到所求最大值;‎ ‎(2)①当过点F(1,0)的直线的斜率不存在,显然成立;当过点F的直线的斜率存在,设为x=my+1,代入椭圆方程4x2+5y2=20,运用韦达定理和中点坐标公式,可得ST的中点Q的坐标,再由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,可得n=﹣4m,由直线的斜率公式即可得证;‎ ‎②由①可得k2=,运用两点的斜率公式,计算k1+k3,运用点满足直线方程,化简整理,代入韦达定理,结合等差数列的中项的性质即可得证.‎ ‎【解答】解:(1)由题意可得b=2,c=1,a==,‎ 可得椭圆方程为+=1,‎ 设椭圆上一点(m,n),可得+=1,即m2=5(1﹣),‎ 即有d==‎ ‎==,‎ 由于﹣2≤n≤2,可得n=﹣2时,d取得最大值8;‎ ‎(2)①证明:当过点F(1,0)的直线的斜率不存在,即为x=1,‎ 显然有直线OP平分线段ST;‎ 当过点F的直线的斜率存在,设为x=my+1,‎ 代入椭圆方程4x2+5y2=20,可得 ‎(4m2+5)y2+8my﹣16=0,‎ 设S(x1,y1),T(x2,y2),可得 y1+y2=﹣,y1y2=﹣,(*)‎ 线段ST的中点Q坐标为(,﹣),‎ 由椭圆的准线方程可得l:x=5,‎ 设P(5,n),即有直线OP的斜率为,‎ 由PF⊥ST,可得kPF==﹣m,即n=﹣4m,‎ 可得直线OP的斜率和直线OQ的斜率相等,且为﹣,‎ 则直线OP平分线段ST;‎ ‎②证明:由①可得k2=,‎ k1+k3=+=+‎ ‎=,‎ 代入(*),可得k1+k3==,‎ 即有k1+k3=2k2,则k1,k2,k3成等差数列.‎ ‎ ‎ ‎19.已知函数f(x)=alnx+(x﹣c)|x﹣c|,a<0,c>0.‎ ‎(1)当a=﹣,c=时,求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)当c=+1时,若f(x)≥对x∈(c,+∞)恒成立,求实数a的取值范围;‎ ‎(3)设函数f(x)的图象在点P(x1,f(x1))、Q(x2,f(x2))两处的切线分别为l1、l2.若x1=,x2=c,且l1⊥l2,求实数c的最小值.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值.‎ ‎【分析】(1)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系,即可求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若f(x)≥对x∈(c,+∞)恒成立,则只需求出f(x)的最小值即可;‎ ‎(3)由l1⊥l2知,,得到,分类讨论,再由导数与单调性的关系,即可得到实数c的最小值.‎ ‎【解答】解:函数,求导得.‎ ‎(1)当,时,,‎ 若,则恒成立,所以f(x)在上单调减;‎ 若,则,令f′(x)=0,解得或(舍),‎ 当时,f′(x)<0,f(x)在上单调减;‎ 当时,f′(x)>0,f(x)在上单调增.‎ 所以函数f(x)的单调减区间是,单调增区间是.‎ ‎(2)当x>c,时,,而,所以 当c<x<1时,f′(x)<0,f(x)在(c,1)上单调减;‎ 当x>1时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调增.‎ 所以函数f(x)在(c,+∞)上的最小值为,‎ 所以恒成立,解得a≤﹣1或a≥1,‎ 又由,得a>﹣2,所以实数a的取值范围是(﹣2,﹣1].‎ ‎(3)由l1⊥l2知,,而,则,‎ 若,则,所以,‎ 解得,不符合题意;‎ 故,则,‎ 整理得,,由c>0得,,‎ 令,则,t>2,所以,‎ 设,则,‎ 当时,g′(t)<0,g(t)在上单调减;‎ 当时,g′(t)>0,g(t)在上单调增.‎ 所以,函数g(t)的最小值为,故实数c的最小值为.‎ ‎ ‎ ‎20.已知有穷数列{an}各项均不相等,将{an}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{Pn},称{Pn}为{an}的“序数列”,例如数列:a1,a2,a3满足a1>a3>a2,则其序数列{Pn}为1,3,2.‎ ‎(1)求证:有穷数列{an}的序数列{Pn}为等差数列的充要条件是有穷数列{an}为单调数列;‎ ‎(2)若项数不少于5项的有穷数列{bn},{cn}的通项公式分别是bn=n•()n(n∈N*),cn=﹣n2+tn(n∈N*),且{bn}的序数列与{cn}的序数列相同,求实数t的取值范围;‎ ‎(3)若有穷数列{dn}满足d1=1,|dn+1﹣dn|=()n(n∈N*),且{d2n﹣1}的序数列单调减,{d2n}的序数列单调递增,求数列{dn}的通项公式.‎ ‎【考点】数列的应用.‎ ‎【分析】(1)由题意,分别证明充分性和必要性.其中,充分性证明即若有穷数列{an}的序数列{Pn}为等差数列,则有穷数列{an}为单调数列,分别讨论{Pn}为递增数列时,数列{an}的特点是项由大到小依次排列,得到有穷数列{an}为单调递减数列;‎ 同理{Pn}为递减数列,有穷数列{an}为单调递增数列.必要性证明同样需将有穷数列{an}分为递增和递减来讨论,最后得出其序数列{Pn}为等差数列;‎ ‎(2)通过作差法比较相邻两项的大小关系,即bn+1﹣bn=•()n,得到当n≥2时,bn+1<bn.所以需要比较第一项的大小所在的位置,计算可以得出b2>b3>b1>b4的大小关系.由数列{cn}大小关系为c2>c3>c1>c4>c5>…>cn﹣1>cn.‎ 分别算出c1=t﹣1,c2=2t﹣4,c3=3t﹣9.由列c2>c3>c1列不等式并求解得t的取值范围.‎ ‎(3)因为{d2n﹣1}的序数列单调减,即d2n+1﹣d2n﹣1>0,将其变形可得到d2n+1﹣d2n+d2n﹣d2n﹣1>0.利用|d2n+1﹣d2n|=<|d2n﹣d2n﹣1|=可得d2n﹣d2n﹣1>0,即d2n﹣d2n﹣1==①,由d2n+1﹣d2n<0,d2n+1﹣d2n==②‎ 整理①②得dn+1﹣dn=.所以可知数列{dn+1﹣dn}是等比数列,则可求其前n项和为Tn﹣1=(d2﹣d1)+(d3﹣d2)+…+(dn﹣dn﹣1)=dn﹣d1.即可求出数列{dn}的通项公式.‎ ‎【解答】(1)证明:由题意得,‎ 充分条件:‎ 因为有穷数列{an}的序数列{Pn}为等差数列 所以①{Pn}为1,2,3,…,n﹣2,n﹣1,n 所以有穷数列{an}为递减数列,‎ ‎②{Pn}为n,n﹣1,n﹣2,…,3,2,1‎ 所以有穷数列{an}为递增数列,‎ 所以由①②,有穷数列{an}为单调数列 必要条件:‎ 因为有穷数列{an}为单调数列 所以①有穷数列{an}为递减数列 则{Pn}为1,2,3,…,n﹣2,n﹣1,n的等差数列 ‎②有穷数列{an}为递增数列 则{Pn}为n,n﹣1,n﹣2,…,3,2,1的等差数列 所以由①②,序数列{Pn}为等差数列 综上,有穷数列{an}的序数列{Pn}为等差数列的充要条件是有穷数列{an}为单调数列 ‎(2)解:由题意得,‎ 因为bn=n•()n(n∈N*)‎ 所以bn+1﹣bn=•()n 当n≥2时,bn+1﹣bn<0即bn+1<bn b2=,b2=,b3=,b4=‎ b2>b3>b1>b4>b5>…>bn﹣1>bn 又因为cn=﹣n2+tn(n∈N*),且{bn}的序数列与{cn}的序数列相同 所以c2>c3>c1>c4>c5>…>cn﹣1>cn 又因为c1=t﹣1,c2=2t﹣4,c3=3t﹣9‎ 所以2t﹣4>3t﹣9>t﹣1‎ 所以4<t<5即t∈(4,5)‎ ‎(3)解:由题意得,d2n+1﹣d2n﹣1>0‎ 所以d2n+1﹣d2n+d2n﹣d2n﹣1>0‎ 又因为|d2n+1﹣d2n|=<|d2n﹣d2n﹣1|=‎ 所以d2n﹣d2n﹣1>0,即d2n﹣d2n﹣1==①‎ d2n+1﹣d2n<0,d2n+1﹣d2n==②‎ 整理①②得dn+1﹣dn=‎ 令数列Bn=dn+1﹣dn则数列{Bn}是以为首相,为公比的等比数列,所以{Bn}的前n﹣1项和为Tn﹣1==‎ 所以dn=d1+Tn﹣1=‎ ‎ ‎ 附加题[选修4-1:几何证明选讲](任选两个)‎ ‎21.如图,AB为⊙O的直径,直线CD与⊙O相切于点D,AC⊥CD,DE⊥AB,C、E为垂足,连接AD,BD.若AC=4,DE=3,求BD的长.‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段.‎ ‎【分析】先证明△EDA∽△DBA,再证明△ACD≌△AED,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:因为CD与⊙O相切于点D,所以∠CDA=∠DBA,…‎ 又因为AB为⊙O的直径,所以∠ADB=90°.‎ 又DE⊥AB,所以△EDA∽△DBA,‎ 所以∠EDA=∠DBA,所以∠EDA=∠CDA.…‎ 又∠ACD=∠AED=90°,AD=AD,所以△ACD≌△AED.‎ 所以AE=AC=4,所以AD=5,…‎ 又=,所以BD=.…‎ ‎ ‎ 附加题[选修4-2:矩阵与变换]‎ ‎22.已知矩阵M=,N=,试求曲线y=sinx在矩阵(MN)﹣1变换下的函数解析式.‎ ‎【考点】二阶行列式与逆矩阵.‎ ‎【分析】先求出MN,从而求出矩阵(MN)﹣1=,设(x,y)是曲线y=sinx上的任意一点,在矩阵(MN)﹣1变换下对应的点为(a,b),得到x=,y=2b,由此能求出曲线y=sinx在矩阵(MN)﹣1变换下的曲线方程.‎ ‎【解答】解:∵矩阵M=,N=,‎ ‎∴MN==,‎ ‎∵→,‎ ‎∴矩阵(MN)﹣1=,‎ 设(x,y)是曲线y=sinx上的任意一点,在矩阵(MN)﹣1变换下对应的点为(a,b).‎ 则=,‎ ‎∴,即x=,y=2b,‎ 代入y=sinx得:2b=sin(a),即b=sin(a).‎ 即曲线y=sinx在矩阵(MN)﹣1变换下的曲线方程为y=sin(x).‎ ‎ ‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎23.已知直线l:(t为参数)恒经过椭圆C:(φ为参数)的右焦点F.‎ ‎(1)求m的值;‎ ‎(2)当α=时直线l与椭圆C相交于A,B两点,求FA•FB的值.‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程.‎ ‎【分析】(1)椭圆C:(φ为参数),利用平方关系消去参数化为普通方程,可得右焦点F(1,0).根据直线l:(t为参数)恒经过点(c,0),可得m.‎ ‎(2)当α=时,直线l的参数方程为:,代入椭圆方程可得:3t2+2t﹣2=0,利用|FA|•|FB|=|t1t2|,即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)椭圆C:(φ为参数),消去参数化为: +y2=1,可得右焦点F(1,0).‎ 直线l:(t为参数)恒经过点(1,0),取t=0,则m=1.‎ ‎(2)当α=时,直线l的参数方程为:,代入椭圆方程可得:3t2+2t﹣2=0,‎ ‎∴t1t2=﹣.‎ ‎∴|FA|•|FB|=|t1t2|=.‎ ‎ ‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎24.已知正实数a,b,c满足a+b2+c3=1,求证:≥27.‎ ‎【考点】不等式的证明.‎ ‎【分析】由正实数a,b,c满足a+b2+c3=1,运用三元均值不等式,可得ab2c3≤,再由均值不等式即可得证.‎ ‎【解答】证明:因为正实数a,b,c满足a+b2+c3=1,‎ 所以,即,‎ 所以,‎ 因此.‎ ‎ ‎ 解答题 ‎25.自2016年1月1日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性调整,使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿,某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查,得到如下数据:‎ 产假安排(单位:周)‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 有生育意愿家庭数 ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎20‎ ‎26‎ ‎(1)若用表中数据所得的频率代替概率,面对产假为14周与16周,估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少?‎ ‎(2)假设从5种不同安排方案中,随机抽取2种不同安排分别作为备选方案,然后由单位根据单位情况自主选择.‎ ‎①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率;‎ ‎②如果用ξ表示两种方案休假周数和.求随机变量ξ的分布及期望.‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型随机变量及其分布列.‎ ‎【分析】(1)由表中信息可知,利用等可能事件概率计算公式能求出当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率和当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率.‎ ‎(2)①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A,由已知从5种不同安排方案中,随机地抽取2种方案选法共有10种,由此利用列举法能求出其和不低于32周的概率.‎ ‎②由题知随机变量ξ的可能取值为29,30,31,32,33,34,35.分别求出相应的概率,由此能求出ξ的分布列和E(ξ).‎ ‎【解答】解:(1)由表中信息可知,当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为;‎ 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为…‎ ‎(2)①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A,‎ 由已知从5种不同安排方案中,随机地抽取2种方案选 法共有(种),‎ 其和不低于32周的选法有14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、18,共6种,‎ 由古典概型概率计算公式得…‎ ‎②由题知随机变量ξ的可能取值为29,30,31,32,33,34,35.‎ ‎,,‎ ‎,‎ 因而ξ的分布列为 ξ ‎29‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎34‎ ‎35‎ P ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 所以E(ξ)=29×0.1+30×0.1+31×0.2+32×0.2+33×0.2+34×0.1+35×0.1=32,…‎ ‎ ‎ ‎26.在数列|an|中,a1=t﹣1,其中t>0且t≠1,且满足关系式:an+1(an+tn﹣1)=an(tn+1﹣1),(n∈N+)‎ ‎(1)猜想出数列|an|的通项公式并用数学归纳法证明之;‎ ‎(2)求证:an+1>an,(n∈N+).‎ ‎【考点】用数学归纳法证明不等式.‎ ‎【分析】(1)由原递推式得到,再写出前几项,从而猜想数列|an|的通项公式,进而利用数学归纳法证明.‎ ‎(2)利用(1)的结论,作差进行比较,故可得证.‎ ‎【解答】解:(1)由原递推式得到,, =‎ 猜想得到…‎ 下面用数学归纳法证明 ‎10当n=1时 a1=t﹣1 满足条件 ‎20假设当n=k时,‎ 则,∴,∴‎ 即当n=k+1时,原命题也成立.‎ 由10、20知…‎ ‎(2)==‎ 而ntn﹣(tn﹣1+tn﹣2+…+t+1)=(tn﹣tn﹣1)+(tn﹣tn﹣2)+…+(tn﹣t)+(tn﹣1)=tn﹣1(t﹣1)+tn﹣2(t2﹣1)+tn﹣3(t3﹣1)+…+t(tn﹣1﹣1)+(tn﹣1)=‎ 故t>0,且t≠1时有an+1﹣an>0,即an+1>an…‎ ‎ ‎ ‎2016年9月9日