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- 2021-05-13 发布
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专题十 计数原理
第三十一讲 二项式定理
一、选择题
1.(2018全国卷Ⅲ)的展开式中的系数为
A.10 B.20 C.40 D.80
2.(2017新课标Ⅰ)展开式中的系数为
A.15 B.20 C.30 D.35
3.(2017新课标Ⅲ)的展开式中的系数为
A.80 B.40 C.40 D.80
4.(2016年四川) 设为虚数单位,则的展开式中含的项为
A.-15 B.15 C.-20 D.20
5.(2015湖北)已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为
A. B. C. D.
6.(2015陕西)二项式的展开式中的系数为15,则
A.4 B.5 C.6 D.7
7.(2015湖南)已知的展开式中含的项的系数为30,则
A. B. C.6 D.-6
8.(2014浙江)在的展开式中,记项的系数为,
则=
A.45 B.60 C.120 D. 210
9.(2014湖南)的展开式中的系数是
A.-20 B.-5 C.5 D.20
10.(2013辽宁)使得的展开式中含常数项的最小的为
A. B. C. D.
11.(2013江西)展开式中的常数项为
A.80 B.-80 C.40 D.-40
12.(2012安徽)的展开式的常数项是( )
A. B. C. D.
13.(2012天津)在的二项展开式中,的系数为
A.10 B.-10 C.40 D.-40
14.(2011福建)的展开式中,的系数等于
A.80 B.40 C.20 D.10
15.(2011陕西)(R)展开式中的常数项是
A. B. C.15 D.20
二、填空题
16.(2018天津)在的展开式中,的系数为 .
17.(2018浙江)二项式的展开式的常数项是___________.
18.(2017浙江)已知多项式=,则=___,=___.
19.(2017山东)已知的展开式中含有项的系数是,则 .
20.(2016年山东)若的展开式中的系数是-80,则实数a=_______.
21.(2016年全国I)的展开式中,x3的系数是 .(用数字填写答案)
22.(2015北京)在的展开式中,的系数为 .(用数字作答)
23.(2015新课标2) 的展开式中的奇数次幂项的系数之和为32,
则=______.
24.(2014新课标1)的展开式中的系数为 .(用数字填写答案)
25.(2014新课标2)的展开式中,的系数为15,则=___.(用数字填写答案)
26.(2014山东)若的展开式中项的系数为20,则的最小值为 .
27.(2013安徽)若的展开式中的系数为7,则实数______.
28.(2012广东)的展开式中的系数为______.(用数字作答)
29.(2012浙江)若将函数表示为
,其中,,,…,为实数,则 .
30.(2011浙江)设二项式的展开式中的系数为A,常数项为B,若B=4A,则的值是 .
31.(2010安徽)展开式中,的系数等于 .
专题十 计数原理
第三十一讲 二项式定理
答案部分
1.C【解析】,由,得,所以的系数为.故选C.
2.C【解析】展开式中含的项为,故前系数为30,选C.
3.C【解析】的展开式的通项公式为:,
当时,展开式中的系数为,
当时,展开式中的系数为,
所以的系数为.选C.
4.A【解析】通项,令,得含的项为,故选A.
5.D【解析】因为的展开式中的第4项与第8项的二项式系数相等,所以,解得,所以二项式的展开式中奇数项的二项式系数和为.
6.C【解析】由,知,
∴,解得或(舍去),故选C.
7.D【解析】,令,可得,故选D.
8.C【解析】由题意知,,,,因此.
9.A【解析】由二项展开式的通项可得,第四项,故的系数为-20,选A.
10.B【解析】通项,常数项满足条件,所以时最小.
11.C【解析】,令,解得,所以常数项为.
12.D【解析】第一个因式取,第二个因式取得:,第一个因式取,第二个因式取得: 展开式的常数项是.
13.D【解析】∵=,∴,即,
∴的系数为.
14.B【解析】的展开式中含的系数等于,系数为40.答案选B.
15.C【解析】,
令,则,所以,故选C.
16.【解析】,令,得,
所以的系数为.
17.7【解析】,令,解得,所以所求常数项为.
18.16,4【解析】将变换为,则其通项为,取和可得,
,令,得.
19.4【解析】,令得:,解得.
20.【解析】因为,所以由,
因此
21.【解析】由得,令得,此时系数为10.
22.40【解析】由通项公式,,令,得出的系数为.
23.3【解析】展开式的通项为,由题意可知,
,解得.
24.-20【解析】中,令,再令,
得的系数为.
25.【解析】二项展开式的通项公式为,当时,,
,则,故.
26.2【解析】,令,得,
故,∴,当且仅当或时等号成立.
27.【解析】通项
所以.
28.20【解析】的展开式中第项为
令得:的系数为.
29.10【解析】法一:由等式两边对应项系数相等.
即:.
法二:对等式:两边连续对x求导三次得:,再运用赋值法,令得:,即.
法三:,则。
30.2【解析】由题意得,
∴,,又∵,
∴,解之得,又∵,∴.
31.15【解析】.