数学理哈尔滨市第三中学高三第四次高考模拟考试数学试题理工类 7页

黑龙江省哈尔滨市第三中学 2013 年高三第四次高考模拟考试 数学试题（理工类） 考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试 时间 120 分钟． （1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚； （2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整，字迹清楚； （3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第 I 卷 （选择题，共 60 分） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．) 1． 已知全集 {1,3,5,7,9,11}U  ， {3,5,9}M  ， {7,9}N  ，则集合{1,11}  A． M N B． M N C． ( )UC M N D． ( )UC M N 2． 设 a，b R ，i 是虚数单位，则“复数 z a bi  为纯虚数”是“ 0ab ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3． 一个棱锥的三视图如右图所示，则这个棱锥的体积为 A．12 B．36 C．16 D．48 4． 已知双曲线 12 2 2 2  b y a x 的左、右焦点分别为 21, FF ，左、右 顶点将线段 21FF 三等分，则该双曲线的渐近线方程为 A． xy 22 B． xy 2 C． xy 2 2 D． xy  5． 如右图，若输入 n 的值为 4，则输出 m 的值为 开始 输入 n i=1，m=2 A． 3 B． 3 1 C． 2 D． 2 1 6． 函数   52ln  xxxf 的零点个数为 A．0 B．1 C．2 D．3 7． 在直角梯形 ABCD 中，已知 BC∥AD，AB⊥AD， AB＝4，BC＝2，AD＝4，若 P 为 CD 的中点， 则PA→·PB→的值为 A．－5 B．－4 C．4 D．5 8． 若 6 2( )ax x  的展开式中常数项为10 ，则直线 0, ,x x a x  轴与曲线 cosy x 围 成的封闭图形的面积为 A． 32 2  B． 3 2 C． 3 1 D．1 9． 函数 ( ) sin( )f x A x   (其中 0, 2A   )的 图象如右图所示，为了得到 ( ) sing x x 的图象， 可以将 ( )f x 的图象 A．向左平移 6  个单位长度 B．向左平移 3  个单位长度 C．向右平移 6  个单位长度 D．向右平移 3  个单位长度 10．已知椭圆  012 2 2 2  ba b y a x ， 21, FF 为左、右焦点， 1A 、 2A 、 1B 、 2B 分别是 其左、右、上、下顶点，直线 21FB 交直线 22 AB 于 P 点，若 21PAB 为直角，则此椭 圆的离心率为 A． 2 1 2  B． 5 1 2  C． 2 2 D． 3 2 11．已知 PC 为球 O 的直径，A，B 是球面上两点，且 2AB  ， 4APC BPC     ， 若球 O 的体积为 32 3  ，则棱锥 A PBC 的体积为 A． 4 3 B． 4 3 3 C． 2 2 D． 3 2 2 12．已知函数 3 2( ) 3 sinf x x x x   ，则 1 2 4024 4025( ) ( ) ( ) ( )2013 2013 2013 2013f f f f     A． 4025 B． 4025 C．8050 D． 8050 哈尔滨市第三中学第四次高考模拟考试 数学试卷（理工类） 第Ⅱ卷 （非选择题， 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13．已知实数 0a  ， 0b  且 2a b  ，则 1 4 a b  的最小值为 ． 14．已知  yx, 满足：  0 0, 0 x y m m x y      ，若 yxz  2 的最大值为 2，则 m ． 15．某高校“统计初步”课程的教师为了检验 主修统计专业是否与性别有关系，随机 调查了选该课的学生人数情况，具体数 据如右表,则最大有 的把 握认为主修统计专业与性别有关系． 参考公式： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      16．△ABC 中，∠A=60°，点 D 在边 AC 上， 3DB  ，且  ( ) 0 sin sin BA BCBD BA A BC C         ，则 AC+AB 的最大值为 ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分 12 分） 非统计专业 统计专业 男 15 10 女 5 20 2 0( )P K k 0．025 0．010 0．005 0．001 0k 5．024 6．635 7．879 10．828 已知数列{ }na 满足： *2 2( )n nS a n N   ． （Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式； （Ⅱ）令 ( 1)n nb n a  ，求数列{ }nb 的前 n 项和 nT ． 18．（本小题满分 12 分） 小建大学毕业后要出国攻读硕士学位，他分别向三所不同的大学提出了申请．根据 统计历年数据，在与之同等水平和经历的学生中，申请 A 大，B 大，C 大成功的频 率分别为 1 2 3, ,2 3 4 ．若假设各大学申请成功与否相互独立，且以此频率为概率计算． （Ⅰ）求小建至少申请成功一所大学的概率； （Ⅱ）设小建申请成功的学校的个数为 X，试求 X 的分布列和期望． 19．（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA⊥平面 ABCD， 且 PA=AB=1，E 为 PB 中点． （Ⅰ）求证：AE⊥平面 PBC； （Ⅱ）若 AD=2，求二面角 D-EC-B 的平面角的余弦值． 20．（本小题满分 12 分） 已知抛物线  02: 2  ppxyC ，过焦点 F 作动直线交 C 于 BA, 两点，过 BA, 分 P AB C D E 别作圆 12: 2 2       ypxD 的两条切线，切点分别为 QP, ．若 AB 垂直于 x 轴时， 1 1 4sin sinPAF QBF    ． （Ⅰ）求抛物线方程； （Ⅱ）若点 H 也在曲线C 上，O 为坐标原点，且 OHtOBOA  ， 8 HBHA ， 求实数 t 的取值范围． 21．（本小题满分 12 分） 已知函数    baxxexf x  2 在点   0,0 f 处的切线方程为 046  yx ． （Ⅰ）求函数  xf 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若方程    Rkkxxf  有三个实根，求实数 k 的取值范围． 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分 10 分） 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，边 AD，BC 的延长线交于点 P，直线 AE 切⊙O 于点 A，且 PCADCDAB  ．求证： A E D （Ⅰ） ABD ∽ CPD ； （Ⅱ）AE∥BP． 23．（本小题满分 10 分） 已知曲线 1C ： cos 3 sin6 x y     （ 为参数）， 2C ： 2 cos2 sin x t y t          （t 为参数）． （Ⅰ）将 1C 、 2C 的方程化为普通方程； （Ⅱ）若 2C 与 1C 交于 M、N，与 x 轴交于 P，求 PNPM  的最小值及相应 的值． 24．（本小题满分 10 分） 设函数 212)(  xxxf ． （Ⅰ）求不等式 4)( xf 的解集； （Ⅱ）若不等式 2)(  mxf 的解集是非空集合，求实数 m 的取值范围． 2013 年哈尔滨市第三中学第四次高考模拟考试 数学试卷（理工类）答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A A A C B D A C B B D 二、填空题： 13. 9 2 14.1 15. %5.99 16. 2 7 三、解答题： 17．（Ⅰ） 2n na  ； （Ⅱ）   12 2n nT n   4 18．（Ⅰ） 23 24 （Ⅱ） 23 12EX  19. （Ⅰ）略； （Ⅱ） 2 34 17  20. （Ⅰ） 2 4y x ； （Ⅱ） 20, 3      21. （Ⅰ）    422  xxexf x ，增区间：    ,6,6, ；减区间： 6,6 （Ⅱ）        0,25,2 2 2 e ee  22. 略 23. （Ⅰ） 2 2 1 2 2: 12 1; : sin cos 02C x y C x y          （Ⅱ） 1 24 ； ,2k k Z    24. （Ⅰ）  4,0 ,3      ； （Ⅱ）   , 1 5,   X 0 1 2 3 P 1 24 1 4 11 24 1 4