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- 2021-05-13 发布
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命题要点:(1)函数图象的识辨(′11年2考,′10年3考);(2)函数图象的应用(′11年4考,′10年2考).
A级
(时间:40分钟 满分:60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.(★)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是( ).
解析 (筛选法)选项A中,一次函数的斜率a>0,而二次函数开口向下,相互矛盾,排除A,同理排除D.
y=ax2+bx+c的对称轴为x=-,
当a>0,b>0时,x=-<0,∴排除B.
当a<0,b<0时,x=-<0,∴C符合.
答案 C
【点评】 本题采用了筛选法.解决此类问题时一般结合两种函数的特殊元素、特殊位置等内容确定它们是否吻合.
2.(2012·北京海淀模拟)函数f(x)=loga|x|+1(0<a<1)的图象大致为( ).
解析 f(x)在(0,+∞)上为减函数,只能是A或D.f(1)=1,只能是A.
答案 A
3.已知f(x)=则下列函数的图象错误的是( ).
解析 先在坐标平面内画出函数y=f(x)的图象,再将函数y=f(x)的图象向右平移1个长度单位即可得到y=f(x-1)的图象,因此A正确;作函数y=f(x)的图象关于y轴的对称图形,即可得到y=f(-x)的图象,因此B正确,y=f(x)的值域是[0,2],因此y=|f(x)|的图象与y=f(x)的图象重合,C正确;y=f(|x|)的定义域是[-1,1],且是一个偶函数,当0≤x≤1时,y=f(|x|)=,相应这部分图象不是一条线段,因此选项D不正确.综上所述,选D.
答案 D
4.函数y=2x-x2的图象大致是( ).
解析 由于2x-x2=0在x<0时有一解;在x>0时有两解,分别为x=2和x=4.因此函数y=2x-x2有三个零点,故应排除B,C.又当x→-∞时,2x→0,而x2→+∞,故y=2x-x2→-∞,因此排除D.
答案 A
5.(2011·陕西)方程|x|=cos x在(-∞,+∞)内( ).
A.没有根 B.有且仅有一个根
C.有且仅有两个根 D.有无穷多个根
解析 把原方程根的个数问题转化为两函数y=|x|,y=cos x
的交点问题,再由这两个函数均为偶函数,只需画出这两个函数在[0,+∞)上的图象即可(如下图).
答案 C
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.把函数f(x)=(x-2)2+2的图象向左平移1个单位,再向上平移1个单位,所得图象对应的函数解析式是________.
解析 把函数f(x)=(x-2)2+2的图象向左平移1个单位,得y=[(x+1)-2]2+2=(x-1)2+2,再向上平移1个单位,得y=(x-1)2+2+1=(x-1)2+3.
答案 y=(x-1)2+3.
7.函数f(x)=的图象的对称中心为________.
解析 f(x)==1+,故f(x)的对称中心为(0,1).
答案 (0,1)
8.已知f(x)=x,若f(x)的图象关于直线x=1对称的图象对应的函数为g(x),则g(x)的表达式为________.
解析 在函数g(x)的图象上任取一点(x,y),在函数f(x)=x的图象上任取一点(x0,y0),则
∴y=2-x=3x-2.
答案 y=3x-2
三、解答题(共23分)
9.(11分)(2011·南昌五校联考)已知函数y=f(x)的图象关于原点对称,且x>0时,f(x)=x2-2x+3,试求f(x)在R上的表达式,并画出它的图象,根据图象写出它的单调区间.
解 ∵f(x)的图象关于原点对称,
∴f(-x)=-f(x),又当x>0时,f(x)=x2-2x+3,
∴当x<0时,f(x)=-x2-2x-3.当x=0时,f(x)=0.
∴函数解析式为:
f(x)=
作出函数的图象如图.根据图象可以得函数的增区间为:
(-∞,-1),(1,+∞).
函数的减区间为:(-1,0),(0,1).
10.(12分)(2011·郑州)已知函数y=f(x)的定义域为R,并对一切实数x,都满足f(2+x)=f(2-x).
(1)证明:函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称;
(2)若f(x)是偶函数,且x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求x∈[-4,0]时的f(x)的表达式.
(1)证明 设P(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点,则y0=f(x0),点P关于直线x=2的对称点为P′(4-x0,y0).因为f(4-x0)=f[2+(2-x0)]=f[2-(2-x0)]=f(x0)=y0,
所以P′也在y=f(x)的图象上,所以函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称.
(2)解 当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],
所以f(-x)=-2x-1.
又因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=-2x-1,x∈[-2,0].
当x∈[-4,-2]时,4+x∈[0,2],所以f(4+x)=2(4+x)-1=2x+7,
而f(4+x)=f(-x)=f(x),
所以f(x)=2x+7,x∈[-4,-2].
所以f(x)=
B级
(时间:30分钟 满分:40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(2011·沈阳六校联合)定义运算a⊕b=则函数y=1⊕2x的图象只可能是( ).
解析 由y=2x的图象知,当x<0时,0<2x<1;当x≥0时,2x≥1,结合题目中的定义知1⊕2x=
答案 A
2.已知函数f(x)=|lg x|,若a≠b,且f(a)=f(b),则a+b的取值范围是( ).
A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(2,+∞) D.[2,+∞)
解析 如图,由f(a)=f(b),得|lg a|=|lg b|.设0<a<b,则lg a+lg b=0.
∴ab=1,∴a+b>2=2.
答案 C
二、填空题(每小题4分,共8分)
3.(★)(2012·苏州模拟)设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如下图,则不等式f(x)<0的解集是________.
解析 (数形结合法)利用函数f(x)的图象关于原点对称.
∴f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,5).
答案 (-2,0)∪(2,5)
【点评】 本题采用了数形结合法,根据奇函数的性质作出y轴左边的图象.
4.(★)已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1),且x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则函数y=f(x)与y=log5x的图象交点的个数为________.
解析 (数形结合法)根据f(x+1)=f(x-1),得f(x)=f(x+2),则函数f(x)是以2为周期的函数,分别作出函数y=f(x)与y=log5x的图象(如图),可知函数y=f(x)与y=log5x的图象的交点个数为4.
答案 4
【点评】 本题采用了数形结合法.数形结合,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合起来,通过对图形的处理,发挥直观对抽象的支持作用,实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.
三、解答题(共22分)
5.(★)(10分)已知函数f(x)=|x2-4x+3|.
(1)求函数f(x)的单调区间,并指出其增减性;
(2)若关于x的方程f(x)-a=x至少有三个不相等的实数根,求实数a的取值范围.
思路分析 分别作出函数y=f(x)与y=x+a的图象,观察它们的交点个数.
解 f(x)=
作出图象如图所示.
(1)递增区间为[1,2],[3,+∞),
递减区间为(-∞,1),(2,3).
(2)由题意|x2-4x+3|=x+a.
于是,设y=x+a,在同一坐标系下再作出y=x+a的图象.如图所示.则当直线y=x+a过点(1,0)时a=-1;当直线y=x+a与抛物线y=-x2+4x-3相切时,
由⇒x2-3x+a+3=0.
由Δ=9-4(3+a)=0,得a=-.
由图象知当a∈时方程至少有三个不等实根.
【点评】
数形结合思想是高考每年必考内容,它对选择题、填空题、解答题均有很大的帮助,但对于解答题而言,图形只是起到帮助分析问题的作用,步骤还要有适当数学语言来表示.
6.(12分)已知函数f(x)=-,(a>0,a≠1).
(1)证明:函数y=f(x)的图象关于点对称;
(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.
(1)证明 函数f(x)的定义域为R,任意一点(x,y)关于点对称的点的坐标为(1-x,-1-y).
由已知,f(x)=-,
则-1-y=-1+=-.
f(1-x)=-=-=-=-,
∴-1-y=f(1-x).
即函数y=f(x)的图象关于点对称.
(2)解 由(1)知有-1-f(x)=f(1-x).
即f(x)+f(1-x)=-1.
∴f(-2)+f(3)=f(-1)+f(2)=f(0)+f(1)=-1,
∴f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.