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- 2021-05-13 发布
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学案45 空间向量及其运算
导学目标: 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
自主梳理
1.空间向量的有关概念
(1)空间向量:在空间中,具有______和______的量叫做空间向量.
(2)相等向量:方向______且模______的向量.
(3)共线向量定理
对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是______________________________.
推论 如图所示,点P在l上的充要条件是:=+ta①
其中a叫直线l的方向向量,t∈R,在l上取=a,则①可化为=___________________或=(1-t)+t.
(4)共面向量定理
如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb,推论的表达式为=x+y或对空间任意一点O有,=__________________或=x+y+z,其中x+y+z=____.
2.空间向量基本定理
如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=____________________________,把{a,b,c}叫做空间的一个基底.
3.空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则________叫做向量a与b的夹角,记作________,其范围是________________,若〈a,b〉=,则称a与b______________,记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知两个非零向量a,b,则______________________叫做向量a,b的数量积,记作________,即______________________________.
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律:(λa)·b=____________________;
②交换律:a·b=________;
③分配律:a·(b+c)=________________.
4.空间向量的坐标表示及应用
(1)数量积的坐标运算
若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
则a·b=____________________.
(2)共线与垂直的坐标表示
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
则a∥b(b≠0)⇔____________⇔________,__________,________________,
a⊥b⇔________⇔_________________________________ (a,b均为非零向量).
(3)模、夹角和距离公式
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
则|a|==_____________________________________________________________,
cos〈a,b〉==_________________________________________________________ .
若A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),
则||=__________________________________________________________________.
自我检测
1.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b,则( )
A.x=1,y=1 B.x=,y=-
C.x=,y=-D.x=-,y=
2.(2011·青岛月考)
如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是( )
A.-a+b+cB.a+b+c
C.a-b+cD.-a-b+c
3.(2011·广州调研)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中,已知∠BAD=∠A′AB=∠A′AD=60°,AB=3,AD=4,AA′=5,则||=________.
4.有下列4个命题:
①若p=xa+yb,则p与a、b共面;
②若p与a、b共面,则p=xa+yb;
③若=x+y,则P、M、A、B共面;
④若P、M、A、B共面,则=x+y.
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).
探究点一 空间基向量的应用
例1 已知空间四边形OABC中,M为BC的中点,N为AC的中点,P为OA的中点,
Q为OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.
变式迁移1
如图,在正四面体ABCD中,E、F分别为棱AD、BC的中点,则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________.
探究点二 利用向量法判断平行或垂直
例2(2011·合肥调研)两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB,∠EBC=90°,点M、N分别在BD、AE上,且AN=DM.
(1)求证:MN∥平面EBC;(2)求MN长度的最小值.
变式迁移2
如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.
求证:(1)AM∥平面BDE;(2)AM⊥面BDF.
探究点三 利用向量法解探索性问题
例3(2011·泉州月考)如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别
为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10.
(1)设G是OC的中点,证明FG∥平面BOE;
(2)在△AOB内是否存在一点M,使FM⊥平面BOE?若存在,求出点M到OA,OB的距离;若不存在,说明理由.
变式迁移3 已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D为A1C1的中点,E为B1C的中点.
(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值;
(2)在线段AA1上是否存在点F,使CF⊥平面B1DF?若存在,求出AF;若不存在,请说明理由.
1.向量法解立体几何问题有两种基本思路:一种是利用基向量表示几何量,简称基向量法;另一种是建立空间直角坐标系,利用坐标法表示几何量,简称坐标法.
2.利用坐标法解几何问题的基本步骤是:(1)建立适当的空间直角坐标系,用坐标准确表示涉及到的几何量.(2)通过向量的坐标运算,研究点、线、面之间的位置关系.(3)根据运算结果解释相关几何问题.
(满分:75分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.下列命题:
①若A、B、C、D是空间任意四点,则有+++=0;
②|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件;
③若a、b共线,则a与b所在直线平行;
④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C,若=x+y+z(其中x、y、z∈R)则P、A、B、C四点共面.其中假命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.
如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M、N分别是棱DD1、D1C1的中点,则直线OM( )
A.既垂直于AC,又垂直于MN
B.垂直于AC,但不垂直于MN
C.垂直于MN,但不垂直于AC
D.与AC、MN都不垂直
3.(2011·绍兴月考)
如图所示,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E、F分别是棱AB、BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是( )
A.45° B.60°
C.90° D.120°
4.设点C(2a+1,a+1,2)在点P(2,0,0)、A(1,-3,2)、B(8,-1,4)确定的平面上,则a等于( )
A.16 B.4 C.2 D.8
5.在直角坐标系中,A(-2,3),B(3,-2),沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角,则AB的长度为( )
A.B.2C.3D.4
二、填空题(每小题4分,共12分)
6.
(2011·信阳模拟)如图所示,已知空间四边形ABCD,F为BC的中点,E为AD的中点,若=λ(+),则λ=________.
7.(2011·铜川模拟)在正方体ABCD—A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:
①(-)-; ②(+)-;
③(-)-2; ④(+)+.
其中能够化简为向量的是________.(填所有正确的序号)
8.(2011·丽水模拟)
如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos〈,〉=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为________.
三、解答题(共38分)
9.(12分)
如图所示,已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1.
(1)求证:E、B、F、D1四点共面;
(2)若点G在BC上,BG=,点M在BB1上,GM⊥BF,垂足为H,求证:EM⊥平面BCC1B1.
10.(12分)(2009·福建)如图,
四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,E为BC的中点.
(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值;
(2)在线段AN上是否存在点S,使得ES⊥平面AMN?若存在,求线段AS的长;若不存在,请说明理由.
11.(14分)(2011·汕头月考)
如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M、N分别是AB、CD的中点.
(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;
(2)求MN的长;
(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.
学案45 空间向量及其运算
自主梳理
1.(1)大小 方向 (2)相同 相等 (3)存在实数λ,使得a=λb+t (4)+x+y 1 2.xa+yb+zc 3.(1)①∠AOB 〈a,b〉 0≤〈a,b〉≤π 互相垂直 ②|a||b|cos〈a,b〉 a·ba·b=|a||b|cos〈a,b〉
(2)①λ(a·b) ②b·a③a·b+a·c 4.(1)a1b1+a2b2+a3b3 (2)a=λba1=λb1a2=λb2a3=λb3 (λ∈R) a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0 (3)
自我检测
1.C [∵a∥b,∴==,
∴x=,y=-.]
2.A [=++
=-++
=-a+c+(a+b)=-a+b+c.]
3.
解析 ∵=++=++,
∴||2=2+2+2+2·+2·+2·=32+42+52+2×3×4×cos 60°+2×4×5×cos 60°+2×3×5×cos 60°=97,
∴||=.
4.B [①正确.②中若a、b共线,p与a不共线,则p=xa+yb就不成立.③正确.④中若M、A、B共线,点P不在此直线上,则=x+y不正确.]
5.共面
解析 =(3,4,5),=(1,2,2),=(9,14,16),设=x+y,
即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y).
∴,从而A、B、C、D四点共面.
课堂活动区
例1解题导引 欲证a⊥b,只要把a、b用相同的几个向量表示,然后利用向量的数量积证明a·b=0即可,这是基向量证明线线垂直的基本方法.
证明 如图所示
.
设=a,=b,=c.
∵=(+)=(b+c),
=(+)=(a+c),
∴=+=-a+(b+c)
=(b+c-a),
=+=-b+(a+c)=(a+c-b).
∴·=[c-(a-b)][c+(a-b)]
=[c2-(a-b)2]=(||2-||2)
∵||=||,∴·=0.
即⊥,故PM⊥QN.
变式迁移1
解析 设{,,}为空间一组基底,
则=+,
=+=+(-)
=-+.
∴·=·
=-·-2+·+·
=-2-2+2+2
=-2.
又||=||=||,∴||·||=||2.
∴cos〈,〉===-.
∴异面直线AF与CE所成角的余弦值为.
例2解题导引
如图所示,建立坐标系后,要证MN平行于平面EBC,只要证的横坐标为0即可.
(1)证明 如图所示,以、、为单位正交基底建立空间直角坐标系,
则A(1,0,0),D(1,1,0),E(0,0,1),B(0,0,0),
设==λ,则=++=λ++λ
=λ(1,1,0)+(0,-1,0)+λ(-1,0,1)=(0,λ-1,λ).
∵0<λ<1,∴λ-1≠0,λ≠0,且的横坐标为0.
∴平行于平面yBz,即MN∥平面EBC.
(2)解 由(1)知||==
= ,
∴当λ=时,MN取得长度的最小值为.
变式迁移2证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,
设AC∩BD=N,连接NE.
则点N、E的坐标分别为
、(0,0,1).
∴=.
又点A、M的坐标分别为(,,0)、,
∴=.
∴=且NE与AM不共线.
∴NE∥AM.
又∵NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)得,=,
∵D(,0,0),F(,,1),B(0,,0),
∴=(0,,1),=(,0,1).
∴·=0,·=0.∴⊥,⊥,
即AM⊥DF,AM⊥BF.
又DF∩BF=F,
∴AM⊥平面BDF.
例3解题导引 建立适当的空间直角坐标系后,写出各点坐标.第(1)题证明与平面BOE的法向量n垂直,即·n=0即可.第(2)题设出点M的坐标,利用∥n即可解出,然后检验解的合理性.
(1)证明
如图,连接OP,以点O为坐标原点,分别以OB,OC,OP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系O—xyz.
则O(0,0,0),A(0,-8,0),
B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(4,0,3).
由题意,得G(0,4,0).
因为=(8,0,0),=(0,-4,3),
所以平面BOE的法向量n=(0,3,4).
由=(-4,4,-3),得n·=0.
又直线FG不在平面BOE内,所以FG∥平面BOE.
(2)解 设点M的坐标为(x0,y0,0),
则=(x0-4,y0,-3).
因为FM⊥平面BOE,所以∥n,
因此x0=4,y0=-,
即点M的坐标是.
在平面直角坐标系xOy中,△AOB的内部区域可表示为不等式组
经检验,点M的坐标满足上述不等式组.
所以,在△AOB内存在一点M,使PM⊥平面BOE.
由点M的坐标,得点M到OA,OB的距离分别为4,.
变式迁移3解
(1)以点B为原点,以BA、BC、BB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),B1(0,0,3a),
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴AB=BC=AC=a,
∴A(a,0,0),C(0,a,0),C1(0,a,3a),
E,A1(a,0,3a),
∴=,=(-a,a,-3a),
cos〈,〉===-.
∴直线BE与A1C所成的角的余弦值为.
(2)假设存在点F,使CF⊥平面B1DF,
并设=λ=λ(0,0,3a)=(0,0,3λa) (0<λ<1),
∵D为A1C1的中点,∴D,
=-(0,0,3a)=,
=++=(0,0,-3a)+(a,0,0)+(0,0,3λa)=(a,0,3a(λ-1)),
=+=(a,-a,0)+(0,0,3λa)
=(a,-a,3λa).
∵CF⊥平面B1DF,∴⊥,⊥,
,即,
解得λ=或λ=
∴存在点F使CF⊥面B1DF,且
当λ=时,||=||=a,
当λ=时,||=||=2a.
课后练习区
1.C [②③④均不正确.]
2.A [以D为坐标原点,以DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建系,设棱长为2,则M(0,0,1),N(0,1,2),O(1,1,0),A(2,0,0),C(0,2,0),
∴=(-2,2,0),=(0,1,1),=(-1,-1,1),
∴·=0,·=0,
∴OM⊥AC,OM⊥MN.]
3.B [
如图建立坐标系,设AB=BC=AA1=2,则E(0,1,0),F(0,0,1),C1(2,0,2),
∴=(0,-1,1),=(2,0,2),
∴cos〈,〉==.
∵〈,〉∈[0°,180°]
∴EF与BC1所成的角是60°.]
4.A [由=λ1+λ2得:
(2a-1,a+1,2)=λ1(-1,-3,2)+λ2(6,-1,4),
∴ 解得a=16.]
5.B [
过A、B分别作AA1⊥x轴,BB1⊥x轴,垂足分别为A1和B1,则AA1=3,A1B1=5,BB1=2,
∵=++,
∴2=2+2+2+2·=32+52+22+2×3×2×cos 60°=44.∴||=2.]
6.
解析 ∵=++,
又=++,
∴2=+,∴=(+),∴λ=.
7.①②
解析 ①(-)-=-=;
②(+)-=-=;
③(-)-2=-2≠;
④(+)+=+(+)=≠.
8.(1,1,1)
解析 设DP=y>0,则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,y),E,=(0,0,y),=.
∴cos〈,〉====.
解得y=2,∴E(1,1,1).
9.证明 (1)
建立如图所示的空间直角坐标系,
则=(3,0,1),=(0,3,2),
=(3,3,3).(2分)
所以=+.
故、、共面.
又它们有公共点B,∴E、B、F、D1四点共面.(6分)
(2)设M(0,0,z),则=.
而=(0,3,2),
由题设,得·=-×3+z·2=0,得z=1.(8分)
∴M(0,0,1),E(3,0,1),∴=(3,0,0).
又=(0,0,3),=(0,3,0),∴·=0,
∴·=0,从而ME⊥BB1,ME⊥BC.
又∵BB1∩BC=B,∴ME⊥平面BCC1B1.(12分)
10.
解 (1)如图所示,以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系D—xyz.
依题意,得D(0,0,0),
A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),
E.(2分)
∴=,
=(-1,0,1).
∵cos〈,〉===-,
∴异面直线NE与AM所成角的余弦值为.
(6分)
(2)假设在线段AN上存在点S,使得ES⊥平面AMN.
∵=(0,1,1),可设=λ=(0,λ,λ),
又=,
∴=+=.(8分)
由ES⊥平面AMN,
得即(10分)
故λ=,此时=,||=.
经检验,当AS=时,ES⊥平面AMN.
故线段AN上存在点S,
使得ES⊥平面AMN,此时AS=.(12分)
11.(1)证明 设=p,=q,=r.
由题意可知:|p|=|q|=|r|=a,且p、q、r三向量两两夹角均为60°.
=-=(+)-
=(q+r-p),(2分)
∴·=(q+r-p)·p
=(q·p+r·p-p2)
=(a2·cos 60°+a2·cos 60°-a2)=0.
∴MN⊥AB
又∵=-=r-q,
∴·=(q+r-p)·(r-q)
=(q·r-q2+r2-q·r-p·r+p·q)
=(a2cos 60°-a2+a2-a2cos 60°-a2cos 60°+a2cos 60°)
=0,∴MN⊥CD.(4分)
(2)解 由(1)可知=(q+r-p),
∴||2=2=(q+r-p)2
=[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)]
=
=×2a2=.
∴||=a,∴MN的长为a.(9分)
(3)解 设向量与的夹角为θ.
∵=(+)=(q+r),
=-=q-p,
∴·=(q+r)·
=
=
==.(12分)
又∵||=||=a,
∴·=||·||·cos θ
即a·a·cos θ=.
∴cos θ=,(13分)
∴向量与的夹角的余弦值为,从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.(14分)