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  • 2021-05-13 发布

高考数学理一轮复习导学案45

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学案45 空间向量及其运算 导学目标: 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.‎ 自主梳理 ‎1.空间向量的有关概念 ‎(1)空间向量:在空间中,具有______和______的量叫做空间向量.‎ ‎(2)相等向量:方向______且模______的向量.‎ ‎(3)共线向量定理 对空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是______________________________.‎ 推论 如图所示,点P在l上的充要条件是:=+ta①‎ 其中a叫直线l的方向向量,t∈R,在l上取=a,则①可化为=___________________或=(1-t)+t.‎ ‎(4)共面向量定理 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb,推论的表达式为=x+y或对空间任意一点O有,=__________________或=x+y+z,其中x+y+z=____.‎ ‎2.空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组{x,y,z},使得p=____________________________,把{a,b,c}叫做空间的一个基底.‎ ‎3.空间向量的数量积及运算律 ‎(1)数量积及相关概念 ‎①两向量的夹角 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则________叫做向量a与b的夹角,记作________,其范围是________________,若〈a,b〉=,则称a与b______________,记作a⊥b.‎ ‎②两向量的数量积 已知两个非零向量a,b,则______________________叫做向量a,b的数量积,记作________,即______________________________.‎ ‎(2)空间向量数量积的运算律 ‎①结合律:(λa)·b=____________________;‎ ‎②交换律:a·b=________;‎ ‎③分配律:a·(b+c)=________________.‎ ‎4.空间向量的坐标表示及应用 ‎(1)数量积的坐标运算 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),‎ 则a·b=____________________.‎ ‎(2)共线与垂直的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),‎ 则a∥b(b≠0)⇔____________⇔________,__________,________________,‎ a⊥b⇔________⇔_________________________________ (a,b均为非零向量).‎ ‎(3)模、夹角和距离公式 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),‎ 则|a|==_____________________________________________________________,‎ cos〈a,b〉==_________________________________________________________ .‎ 若A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),‎ 则||=__________________________________________________________________.‎ 自我检测 ‎1.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b,则(  )‎ A.x=1,y=1 B.x=,y=- C.x=,y=-D.x=-,y= ‎2.(2011·青岛月考)‎ 如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(  )‎ A.-a+b+cB.a+b+c C.a-b+cD.-a-b+c ‎3.(2011·广州调研)在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中,已知∠BAD=∠A′AB=∠A′AD=60°,AB=3,AD=4,AA′=5,则||=________.‎ ‎4.有下列4个命题:‎ ‎①若p=xa+yb,则p与a、b共面;‎ ‎②若p与a、b共面,则p=xa+yb;‎ ‎③若=x+y,则P、M、A、B共面;‎ ‎④若P、M、A、B共面,则=x+y.‎ 其中真命题的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎5.A(1,0,1),B(4,4,6),C(2,2,3),D(10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).‎ 探究点一 空间基向量的应用 例1 已知空间四边形OABC中,M为BC的中点,N为AC的中点,P为OA的中点,‎ Q为OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.‎ 变式迁移1‎ 如图,在正四面体ABCD中,E、F分别为棱AD、BC的中点,则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________.‎ 探究点二 利用向量法判断平行或垂直 例2(2011·合肥调研)两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB,∠EBC=90°,点M、N分别在BD、AE上,且AN=DM.‎ ‎(1)求证:MN∥平面EBC;(2)求MN长度的最小值.‎ 变式迁移2‎ 如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.‎ 求证:(1)AM∥平面BDE;(2)AM⊥面BDF.‎ 探究点三 利用向量法解探索性问题 例3(2011·泉州月考)如图,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E,F,O分别 为PA,PB,AC的中点,AC=16,PA=PC=10.‎ ‎(1)设G是OC的中点,证明FG∥平面BOE;‎ ‎(2)在△AOB内是否存在一点M,使FM⊥平面BOE?若存在,求出点M到OA,OB的距离;若不存在,说明理由.‎ 变式迁移3 已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D为A1C1的中点,E为B1C的中点.‎ ‎(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值;‎ ‎(2)在线段AA1上是否存在点F,使CF⊥平面B1DF?若存在,求出AF;若不存在,请说明理由.‎ ‎1.向量法解立体几何问题有两种基本思路:一种是利用基向量表示几何量,简称基向量法;另一种是建立空间直角坐标系,利用坐标法表示几何量,简称坐标法.‎ ‎2.利用坐标法解几何问题的基本步骤是:(1)建立适当的空间直角坐标系,用坐标准确表示涉及到的几何量.(2)通过向量的坐标运算,研究点、线、面之间的位置关系.(3)根据运算结果解释相关几何问题.‎ ‎(满分:75分)‎ 一、选择题(每小题5分,共25分)‎ ‎1.下列命题:‎ ‎①若A、B、C、D是空间任意四点,则有+++=0;‎ ‎②|a|-|b|=|a+b|是a、b共线的充要条件;‎ ‎③若a、b共线,则a与b所在直线平行;‎ ‎④对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C,若=x+y+z(其中x、y、z∈R)则P、A、B、C四点共面.其中假命题的个数是(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎2.‎ 如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M、N分别是棱DD1、D1C1的中点,则直线OM(  )‎ A.既垂直于AC,又垂直于MN B.垂直于AC,但不垂直于MN C.垂直于MN,但不垂直于AC D.与AC、MN都不垂直 ‎3.(2011·绍兴月考)‎ 如图所示,在三棱柱ABC—A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点E、F分别是棱AB、BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角是(  )‎ A.45° B.60°‎ C.90° D.120°‎ ‎4.设点C(2a+1,a+1,2)在点P(2,0,0)、A(1,-3,2)、B(8,-1,4)确定的平面上,则a等于(  )‎ A.16 B.4 C.2 D.8‎ ‎5.在直角坐标系中,A(-2,3),B(3,-2),沿x轴把直角坐标系折成120°的二面角,则AB的长度为(  )‎ A.B.2C.3D.4 二、填空题(每小题4分,共12分)‎ ‎6.‎ ‎(2011·信阳模拟)如图所示,已知空间四边形ABCD,F为BC的中点,E为AD的中点,若=λ(+),则λ=________.‎ ‎7.(2011·铜川模拟)在正方体ABCD—A1B1C1D1中,给出以下向量表达式:‎ ‎①(-)-;  ②(+)-;‎ ‎③(-)-2;  ④(+)+.‎ 其中能够化简为向量的是________.(填所有正确的序号)‎ ‎8.(2011·丽水模拟)‎ 如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos〈,〉=,若以DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为________.‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9.(12分)‎ 如图所示,已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1.‎ ‎(1)求证:E、B、F、D1四点共面;‎ ‎(2)若点G在BC上,BG=,点M在BB1上,GM⊥BF,垂足为H,求证:EM⊥平面BCC1B1.‎ ‎10.(12分)(2009·福建)如图,‎ 四边形ABCD是边长为1的正方形,MD⊥平面ABCD,NB⊥平面ABCD,且MD=NB=1,E为BC的中点.‎ ‎(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值;‎ ‎(2)在线段AN上是否存在点S,使得ES⊥平面AMN?若存在,求线段AS的长;若不存在,请说明理由.‎ ‎11.(14分)(2011·汕头月考)‎ 如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M、N分别是AB、CD的中点.‎ ‎(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;‎ ‎(2)求MN的长;‎ ‎(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.‎ 学案45 空间向量及其运算 自主梳理 ‎1.(1)大小 方向 (2)相同 相等 (3)存在实数λ,使得a=λb+t (4)+x+y 1 2.xa+yb+zc 3.(1)①∠AOB 〈a,b〉 0≤〈a,b〉≤π 互相垂直 ②|a||b|cos〈a,b〉 a·ba·b=|a||b|cos〈a,b〉‎ ‎(2)①λ(a·b) ②b·a③a·b+a·c 4.(1)a1b1+a2b2+a3b3 (2)a=λba1=λb1a2=λb2a3=λb3 (λ∈R) a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0 (3) 自我检测 ‎1.C [∵a∥b,∴==,‎ ‎∴x=,y=-.]‎ ‎2.A [=++ ‎=-++ ‎=-a+c+(a+b)=-a+b+c.]‎ ‎3. 解析 ∵=++=++,‎ ‎∴||2=2+2+2+2·+2·+2·=32+42+52+2×3×4×cos 60°+2×4×5×cos 60°+2×3×5×cos 60°=97,‎ ‎∴||=.‎ ‎4.B [①正确.②中若a、b共线,p与a不共线,则p=xa+yb就不成立.③正确.④中若M、A、B共线,点P不在此直线上,则=x+y不正确.]‎ ‎5.共面 解析 =(3,4,5),=(1,2,2),=(9,14,16),设=x+y,‎ 即(9,14,16)=(3x+y,4x+2y,5x+2y).‎ ‎∴,从而A、B、C、D四点共面.‎ 课堂活动区 例1解题导引 欲证a⊥b,只要把a、b用相同的几个向量表示,然后利用向量的数量积证明a·b=0即可,这是基向量证明线线垂直的基本方法.‎ 证明 如图所示 ‎.‎ 设=a,=b,=c.‎ ‎∵=(+)=(b+c),‎ =(+)=(a+c),‎ ‎∴=+=-a+(b+c)‎ ‎=(b+c-a),‎ =+=-b+(a+c)=(a+c-b).‎ ‎∴·=[c-(a-b)][c+(a-b)]‎ ‎=[c2-(a-b)2]=(||2-||2)‎ ‎∵||=||,∴·=0.‎ 即⊥,故PM⊥QN.‎ 变式迁移1 解析 设{,,}为空间一组基底,‎ 则=+,‎ =+=+(-)‎ ‎=-+.‎ ‎∴·=· ‎=-·-2+·+· ‎=-2-2+2+2‎ ‎=-2.‎ 又||=||=||,∴||·||=||2.‎ ‎∴cos〈,〉===-.‎ ‎∴异面直线AF与CE所成角的余弦值为.‎ 例2解题导引 ‎ 如图所示,建立坐标系后,要证MN平行于平面EBC,只要证的横坐标为0即可.‎ ‎(1)证明 如图所示,以、、为单位正交基底建立空间直角坐标系,‎ 则A(1,0,0),D(1,1,0),E(0,0,1),B(0,0,0),‎ 设==λ,则=++=λ++λ ‎=λ(1,1,0)+(0,-1,0)+λ(-1,0,1)=(0,λ-1,λ).‎ ‎∵0<λ<1,∴λ-1≠0,λ≠0,且的横坐标为0.‎ ‎∴平行于平面yBz,即MN∥平面EBC.‎ ‎(2)解 由(1)知||== ‎= ,‎ ‎∴当λ=时,MN取得长度的最小值为.‎ 变式迁移2证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 设AC∩BD=N,连接NE.‎ 则点N、E的坐标分别为 、(0,0,1).‎ ‎∴=.‎ 又点A、M的坐标分别为(,,0)、,‎ ‎∴=.‎ ‎∴=且NE与AM不共线.‎ ‎∴NE∥AM.‎ 又∵NE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE,‎ ‎∴AM∥平面BDE.‎ ‎(2)由(1)得,=,‎ ‎∵D(,0,0),F(,,1),B(0,,0),‎ ‎∴=(0,,1),=(,0,1).‎ ‎∴·=0,·=0.∴⊥,⊥,‎ 即AM⊥DF,AM⊥BF.‎ 又DF∩BF=F,‎ ‎∴AM⊥平面BDF.‎ 例3解题导引 建立适当的空间直角坐标系后,写出各点坐标.第(1)题证明与平面BOE的法向量n垂直,即·n=0即可.第(2)题设出点M的坐标,利用∥n即可解出,然后检验解的合理性.‎ ‎(1)证明 ‎ 如图,连接OP,以点O为坐标原点,分别以OB,OC,OP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系O—xyz.‎ 则O(0,0,0),A(0,-8,0),‎ B(8,0,0),C(0,8,0),P(0,0,6),E(0,-4,3),F(4,0,3).‎ 由题意,得G(0,4,0).‎ 因为=(8,0,0),=(0,-4,3),‎ 所以平面BOE的法向量n=(0,3,4).‎ 由=(-4,4,-3),得n·=0.‎ 又直线FG不在平面BOE内,所以FG∥平面BOE.‎ ‎(2)解 设点M的坐标为(x0,y0,0),‎ 则=(x0-4,y0,-3).‎ 因为FM⊥平面BOE,所以∥n,‎ 因此x0=4,y0=-,‎ 即点M的坐标是.‎ 在平面直角坐标系xOy中,△AOB的内部区域可表示为不等式组 经检验,点M的坐标满足上述不等式组.‎ 所以,在△AOB内存在一点M,使PM⊥平面BOE.‎ 由点M的坐标,得点M到OA,OB的距离分别为4,.‎ 变式迁移3解 ‎ ‎(1)以点B为原点,以BA、BC、BB1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则B(0,0,0),B1(0,0,3a),‎ ‎∵△ABC为等腰直角三角形,‎ ‎∴AB=BC=AC=a,‎ ‎∴A(a,0,0),C(0,a,0),C1(0,a,3a),‎ E,A1(a,0,3a),‎ ‎∴=,=(-a,a,-3a),‎ cos〈,〉===-.‎ ‎∴直线BE与A1C所成的角的余弦值为.‎ ‎(2)假设存在点F,使CF⊥平面B1DF,‎ 并设=λ=λ(0,0,3a)=(0,0,3λa) (0<λ<1),‎ ‎∵D为A1C1的中点,∴D,‎ =-(0,0,3a)=,‎ =++=(0,0,-3a)+(a,0,0)+(0,0,3λa)=(a,0,3a(λ-1)),‎ =+=(a,-a,0)+(0,0,3λa)‎ ‎=(a,-a,3λa).‎ ‎∵CF⊥平面B1DF,∴⊥,⊥,‎ ,即,‎ 解得λ=或λ= ‎∴存在点F使CF⊥面B1DF,且 当λ=时,||=||=a,‎ 当λ=时,||=||=2a.‎ 课后练习区 ‎1.C [②③④均不正确.]‎ ‎2.A [以D为坐标原点,以DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建系,设棱长为2,则M(0,0,1),N(0,1,2),O(1,1,0),A(2,0,0),C(0,2,0),‎ ‎∴=(-2,2,0),=(0,1,1),=(-1,-1,1),‎ ‎∴·=0,·=0,‎ ‎∴OM⊥AC,OM⊥MN.]‎ ‎3.B [‎ 如图建立坐标系,设AB=BC=AA1=2,则E(0,1,0),F(0,0,1),C1(2,0,2),‎ ‎∴=(0,-1,1),=(2,0,2),‎ ‎∴cos〈,〉==.‎ ‎∵〈,〉∈[0°,180°]‎ ‎∴EF与BC1所成的角是60°.]‎ ‎4.A [由=λ1+λ2得:‎ ‎(2a-1,a+1,2)=λ1(-1,-3,2)+λ2(6,-1,4),‎ ‎∴ 解得a=16.]‎ ‎5.B [‎ 过A、B分别作AA1⊥x轴,BB1⊥x轴,垂足分别为A1和B1,则AA1=3,A1B1=5,BB1=2,‎ ‎∵=++,‎ ‎∴2=2+2+2+2·=32+52+22+2×3×2×cos 60°=44.∴||=2.]‎ ‎6. 解析 ∵=++,‎ 又=++,‎ ‎∴2=+,∴=(+),∴λ=.‎ ‎7.①②‎ 解析 ①(-)-=-=;‎ ‎②(+)-=-=;‎ ‎③(-)-2=-2≠;‎ ‎④(+)+=+(+)=≠.‎ ‎8.(1,1,1)‎ 解析 设DP=y>0,则A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,y),E,=(0,0,y),=.‎ ‎∴cos〈,〉====.‎ 解得y=2,∴E(1,1,1).‎ ‎9.证明 (1)‎ 建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则=(3,0,1),=(0,3,2),‎ =(3,3,3).(2分)‎ 所以=+.‎ 故、、共面.‎ 又它们有公共点B,∴E、B、F、D1四点共面.(6分)‎ ‎(2)设M(0,0,z),则=.‎ 而=(0,3,2),‎ 由题设,得·=-×3+z·2=0,得z=1.(8分)‎ ‎∴M(0,0,1),E(3,0,1),∴=(3,0,0).‎ 又=(0,0,3),=(0,3,0),∴·=0,‎ ‎∴·=0,从而ME⊥BB1,ME⊥BC.‎ 又∵BB1∩BC=B,∴ME⊥平面BCC1B1.(12分)‎ ‎10.‎ 解 (1)如图所示,以点D为坐标原点,建立空间直角坐标系D—xyz.‎ 依题意,得D(0,0,0),‎ A(1,0,0),M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1),‎ E.(2分)‎ ‎∴=,‎ =(-1,0,1).‎ ‎∵cos〈,〉===-,‎ ‎∴异面直线NE与AM所成角的余弦值为.‎ ‎(6分)‎ ‎(2)假设在线段AN上存在点S,使得ES⊥平面AMN.‎ ‎∵=(0,1,1),可设=λ=(0,λ,λ),‎ 又=,‎ ‎∴=+=.(8分)‎ 由ES⊥平面AMN,‎ 得即(10分)‎ 故λ=,此时=,||=.‎ 经检验,当AS=时,ES⊥平面AMN.‎ 故线段AN上存在点S,‎ 使得ES⊥平面AMN,此时AS=.(12分)‎ ‎11.(1)证明 设=p,=q,=r.‎ 由题意可知:|p|=|q|=|r|=a,且p、q、r三向量两两夹角均为60°.‎ =-=(+)- ‎=(q+r-p),(2分)‎ ‎∴·=(q+r-p)·p ‎=(q·p+r·p-p2)‎ ‎=(a2·cos 60°+a2·cos 60°-a2)=0.‎ ‎∴MN⊥AB 又∵=-=r-q,‎ ‎∴·=(q+r-p)·(r-q)‎ ‎=(q·r-q2+r2-q·r-p·r+p·q)‎ ‎=(a2cos 60°-a2+a2-a2cos 60°-a2cos 60°+a2cos 60°)‎ ‎=0,∴MN⊥CD.(4分)‎ ‎(2)解 由(1)可知=(q+r-p),‎ ‎∴||2=2=(q+r-p)2‎ ‎=[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)]‎ ‎= ‎=×2a2=.‎ ‎∴||=a,∴MN的长为a.(9分)‎ ‎(3)解 设向量与的夹角为θ.‎ ‎∵=(+)=(q+r),‎ =-=q-p,‎ ‎∴·=(q+r)· ‎= ‎= ‎==.(12分)‎ 又∵||=||=a,‎ ‎∴·=||·||·cos θ 即a·a·cos θ=.‎ ‎∴cos θ=,(13分)‎ ‎∴向量与的夹角的余弦值为,从而异面直线AN与CM所成角的余弦值为.(14分)‎