- 617.50 KB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
等差数列及其前n项和
【考纲说明】
1、理解等差数列的概念,学习等差数列的基本性质.
2、探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
3、体会等差数列与一次函数的关系.
4、本部分在高考中占5-10分左右.
【知识梳理】
一、等差数列的相关概念
1、等差数列的概念
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个常数称为等差数列的公差.通常用字母d表示。
2、等差中项
如果,,成等差数列,那么叫做与的等差中项.即:或
推广:
3、等差数列通项公式
若等差数列的首项是,公差是,则.
推广:,从而。
4、等差数列的前项和公式
等差数列的前项和的公式:①;②.
5、等差数列的通项公式与前n项的和的关系
( 数列的前n项的和为).
二、等差数列的性质
1、等差数列与函数的关系
当公差时,
(1)等差数列的通项公式是关于的一次函数,斜率为;
(2)前和是关于
的二次函数且常数项为0。
2、等差数列的增减性
若公差,则为递增等差数列,若公差,则为递减等差数列,
若公差,则为常数列。
3、通项的关系
当时,则有,
特别地,当时,则有.
注:
4、常见的等差数列
(1)若、为等差数列,则都为等差数列。
(2)若{}是公差为的等差数列,则,…也成等差数列(公差为)。
(3)数列为等差数列,每隔项取出一项仍为等差数列。
5、前n项和的性质
设数列是等差数列,为公差,是奇数项的和,是偶数项项的和,是前项的和.
①当项数为偶数时,则
②当项数为奇数时,则
(其中是项数为的等差数列的中间项)
6、求的最值(或求中正负分界项)
(1)因等差数列前项是关于的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性.
(2)①“首正”的递减等差数列中,前项和的最大值是所有非负项之和
即当,由可得达到最大值时的值.
②“首负”的递增等差数列中,前项和的最小值是所有非正项之和.
即当,由可得达到最小值时的值.
三、等差数列的判定与证明
1、等差数列的判定方法:
(1)定义法:若或(常数)是等差数列;
(2)等差中项:数列是等差数列;
(3)数列是等差数列(其中是常数);
(4)数列是等差数列,(其中、是常数).
2、等差数列的证明方法:
定义法:若或(常数)是等差数列.
题型一:性质的应用
例1(1)是等差数列,若,,求
(2)是等差数列,是其前项和,若,求
例2(2010山东)已知等差数列满足:,,的前项和为.
(Ⅰ)求及;
(Ⅱ)令(),求数列的前项和为.
题型二:求最值
例3是等差数列,是其前项和,若,求使得最大的的值.
例4是等差数列,,求的最小值.
题型三:证明
例5已知数列,是其前项和,且满足,,求证:是等差数列.
等比数列及其前n项和
重要知识点:
1. 定义:,为数列的公比
2. 等比中项:若成等比数列,那么A叫做与的等比中项。提醒:不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个。如已知两个正数的等差中项为A,等比中项为B,则A与B的大小关系为______(答:A>B)
3. 等比数列的前项和公式:
等比数列前项和公式有两种形式,为此在求等比数列前项和时,首先要判断公比是否为1,再由的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比是否为1时,要对分和两种情形讨论求解。
4.等比数列的性质:
(1)当时,则有,特别地,当时,则有.
(2)一公比为的等比数列,其和成等比数列,公比为.
(3)若,则为递增数列;若, 则为递减数列;若 ,则为递减数列;若, 则为递增数列;若,则为摆动数列;若,则为常数列.
(4) 当时,,这里,但,这是等比数列前项和公式的一个特征,据此很容易根据,判断数列是否为等比数列。如若是等比数列,且,则=
(答:-1)
(5) 如果数列既成等差数列又成等比数列,那么数列是非零常数数列.
4. 等差数列的判定
①定义法:
②等比中项;(,)①
注①:i. ,是a、b、c成等比的双非条件,即a、b、c等比数列.
ii. (ac>0)→为a、b、c等比数列的充分不必要.
iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分.
iv. 且→为a、b、c等比数列的充要.
注意:任意两数a、c不一定有等比中项,除非有ac>0,则等比中项一定有两个.
5. 一些常用公式
①1+2+3 …+n =
②
[注]:熟悉常用通项:9,99,999,…;
5,55,555,….
例1数列中,=4+1 ()且=1,若,求证:数列是等比数列。
例2等比,,设,
(1) 证明等差
(2) 求的前项和和的通项公式、
等差,等比数列练习
1.(01天津理,2)设Sn是数列{an}的前n项和,且Sn=n2,则{an}是( )
A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列
C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列
2.(06全国I)设是公差为正数的等差数列,若,,则( )
A. B. C. D.
3.(06全国II)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=( )
A. B. C. D.
4.(02京)若一个等差数列前3项的和为34,最后3项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有( )
A.13项 B.12项 C.11项 D.10项
5. 设数列,,若以,,,为系数的二次方程:
,(且)都有根、满足。
(1)求证:为等比数列;
(2)求;
(3)求的前项和.