高考数学模拟试题文科全国卷 12页

‎2007年高考数学模拟试题（文科）（全国卷）‎ 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.‎ ‎1. 已知映射,其中,对应法则若对实数,在集合A中不存在原象,则的取值范围是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2． 的展开式中的系数为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.在等差数列中，若，则的值为 ( ) ‎ ‎ A．14 B．‎15 ‎C．16 D．17‎ ‎4．已知，则的值为 ( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙地位于南纬东经，则甲、乙两地的球面距离为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若是常数，则“”是“对任意，有”的 ( ) ‎ ‎ A．充分不必要条件. B．必要不充分条件.‎ ‎ C．充要条件. D．既不充分也不必要条件.‎ ‎7．双曲线的左、右顶点分别为、，为其右支上一点，且，则等于 （ ）‎ A． 无法确定 B． C． D．‎ ‎8．已知直线(不全为)与圆有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线有 ( )‎ A.66条 B.72条 C.74条 D.78条 ‎9. 从8名女生，4名男生中选出6名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法种数为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎10．如图,函数的图象是中心在原点,焦点在轴上的椭圆的两段弧,则不等式的解集为 （ ）‎ A. ‎ B.‎ C. ‎ ‎ D.‎ ‎11.用正偶数按下表排列 ‎ ‎ 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第一行 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ 第二行 ‎16‎ ‎14‎ ‎12‎ ‎10‎ 第三行 ‎18‎ ‎20‎ ‎22‎ ‎24‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎28‎ ‎26‎ 则2006在第 行第 列.‎ A．第 251 行第 3 列 B．第 250 行第 4 列 ‎ C．第 250 行第 3 列 D．第 251 行第 4 列 ‎12.半径为4的球面上有A、B、C、D四点，且AB，AC，AD两两互相垂直，则、、面积之和的最大值为 （ ）‎ ‎ A．8 B．‎16 ‎C．32 D．64‎ ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题卡相应位置。‎ ‎13．命题“若都是偶数，则是偶数”的否命题是_________ ‎ ‎14．函数的定义域是 .‎ ‎15．定义一种运算“”对于正整数满足以下运算性质：‎ ‎（1）；（2）,则的值是 ‎ ‎16．如果直线与圆相交于两点,且点关于直线对称,则不等式组所表示的平面区域的面积为________.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分12分，第一、第二、第三小问满分各4分)‎ 已知函数.‎ ‎(1)求的定义域;‎ ‎(2)求该函数的反函数;‎ ‎(3)判断的奇偶性.‎ ‎18．（本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分）某港口水的深度 y（米）是时间t（，单位：时）的函数，记作y=f（t），下面是某日水深的数据：‎ t（时）‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎21‎ ‎24‎ y（米）‎ ‎10.0‎ ‎13.0‎ ‎10.01‎ ‎7.0‎ ‎10.0‎ ‎13.0‎ ‎10.01‎ ‎7.0‎ ‎10.0‎ 经长期观察，y=f（t）的曲线可以近似地看成函数的图象.‎ ‎（Ⅰ）试根据以上数据，求出函数的近似表达式；‎ ‎（Ⅱ）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为‎5米或‎5米以上时认为是安全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可），某船吃水深度（船底离水面的距离）为‎6.5米.如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需的时间）．‎ ‎19. （本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分）已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．‎ ‎(1) 第一小组做了三次实验，求至少两次实验成功的概率；‎ ‎(2) 第二小组进行试验，到成功了4次为止，求在第四次成功之前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率．‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分）‎ 如图，在斜三棱柱ABC－A1B‎1C1　　中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成600的角， AA1= 2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点。E是线段BC1上一点，且BE=BC1 ．‎ ‎（１）求证： GE∥侧面AA1B1B ；‎ ‎（２）求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小 ．‎ ‎21．（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二、第三小问满分各5分）设函数 （a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，取极小值 ‎ （1）求a、b、c、d的值；‎ ‎ （2）当时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；‎ ‎ （3）若时，求证：.‎ ‎22．（本小题满分12分，第一、第二小问满分各6分）过抛物线的对称轴上的定点，作直线与抛物线相交于两点. ‎ ‎（1）试证明两点的纵坐标之积为定值；‎ ‎（2）若点是定直线上的任一点，试探索三条直线的斜率之间的关系，并给出证明.‎ 参考答案 ‎2007年高考数学模拟试题（文科）（全国卷）‎ 一、选择题 ‎1.B 提示：设,据题意知此方程应无实根 ‎， ，故选B ‎2.B 提示：‎ 展开式中的系数为 故选B ‎3.C 提示：设等差数列的公差为， 由等差数列的性质知：‎ ‎ ,选C．‎ ‎4.D 提示：由已知得，两边平方得，求得．‎ 或令，则，所以 ‎ ‎5.D 提示：求两点间的球面距离，先要求出球心与这两点所成的圆心角的大小，∠AOB=120°，∴ A、B两点间的球面距离为×2πR=. 选D．‎ ‎6.A 提示：易知对任意恒成立。‎ 反之，对任意恒成立不能推出 ‎ 反例为当时也有对任意恒成立 ‎“”是“对任意，有的充分不必要条件,选A．‎ ‎7.D 提示：设，，过点作轴的垂线，垂足为，则 ‎ （ 其中）‎ 设 ， 则 ‎ ， 即， 故选 D．‎ ‎8.B 提示：先考虑时,圆上横、纵坐标均为整数的点有、、，依圆的对称性知,圆上共有个点横纵坐标均为整数,经过其中任意两点的割线有条,过每一点的切线共有12条,又考虑到直线不经过原点,而上述直线中经过原点的有6条，所以满足题意的直线共有条,故选B.‎ ‎9.A 提示：应从8名女生中选出4人，4名男生中选出2‎ 人，有种选法，故选A．‎ ‎10.A 提示：由图象知为奇函数知，‎ 原不等式可化为,此不等式的几何含义是的图象在图象下方的对应的的取值集合,将椭圆与直线联立得 ,.‎ 观察图象知故选A.‎ ‎11.D 提示： 每行用去4个偶数，而2006是第2006÷2=1003个偶数 ‎ 又1003÷4=‎ ‎ 前250行共用去250×4=1000个偶数，剩下的3个偶数放入251行，考虑到奇数行所排数从左到右由小到大,且前空一格，‎ ‎ 2006在251行，第4列 故选D．‎ ‎12.C 提示：由AB，AC，AD两两互相垂直，将之补成长方体知AB2+AC2+AD2=(2R)2=64．‎ ‎ ‎ ‎ ≤=．‎ 等号当且仅当取得，所以的最大值为32 ，选C．‎ 二、填空题 ‎13.答案：若不都是偶数，则不是偶数；‎ ‎14.答案：（lg2，＋∞）‎ 提示：由已知得，即，所以.‎ ‎15. 答案：‎ 提示：设 则且 ‎ ， 即，‎ ‎16. 答案：1/4‎ 提示： 两点,关于直线对称,‎ ‎,又圆心在直线上 原不等式组变为作出不等式组表示的平面区域并计算得面积为.‎ 三、解答题 ‎17. 解: (1) 故函数的定义域是(－1,1)‎ ‎(2)由,得(R),所以, ‎ 所求反函数为 ( R). ‎ ‎(3) ==－,所以是奇函数. ‎ ‎18. 解：（Ⅰ）由已知数据，易知函数y=f（t）的周期T=12,振幅A=3, b=10‎ ‎∴（0≤t≤24）‎ ‎（Ⅱ）由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5=11.5（米） ‎ ‎∴‎ ‎∴ 解得， ‎ ‎ 　　‎ 在同一天内，取k=0或1　‎ ‎∴1≤t≤5或13≤t≤17 ‎ ‎∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港口内最多停留16个小时。‎ ‎19. 解：(1) 第一小组做了三次实验，至少两次实验成功的概率是 ‎． ‎ ‎(2) 第二小组在第4次成功前，共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，其各种可能的情况种数为．因此所求的概率为 ‎． ‎ ‎20.解：(1)延长B1E交BC于F, ∵ΔB1EC∽ΔFEB,　BE＝ＥＣ１‎ ‎∴ＢＦ＝Ｂ１Ｃ１＝ＢＣ，从而Ｆ为ＢＣ的中点．　　‎ ‎∵Ｇ为ΔＡＢＣ的重心，∴Ａ、Ｇ、Ｆ三点共线，且＝ ＝，∴GE∥AB1，‎ 又GE侧面AA1B1B， ∴GE∥侧面AA1B1B　　　　　　‎ ‎（２）在侧面AA1B1B内，过B1作B1Ｈ⊥ＡＢ，垂足为Ｈ，∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，‎ ‎∴B1Ｈ⊥底面ABC．又侧棱AA1与底面ABC成600的角， AA1= 2，‎ ‎∴∠B1ＢＨ＝６００，ＢＨ＝１，B1Ｈ＝．‎ 在底面ABC内，过Ｈ作ＨＴ⊥ＡＦ，垂足为Ｔ，连B1Ｔ．由三垂线定理有B1Ｔ⊥ＡＦ，‎ 又平面B1GE与底面ABC的交线为ＡＦ，∴∠B1ＴＨ为所求二面角的平面角．‎ ‎∴ＡＨ＝ＡＢ＋ＢＨ＝３，∠ＨＡＴ＝３００，　∴ＨＴ＝ＡＨsin300＝，‎ 在ＲｔΔB1ＨＴ中，ｔａｎ∠B1ＴＨ＝＝　，‎ 从而平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为arctan　‎ ‎21. 解（1）∵函数图象关于原点对称，∴对任意实数，‎ ‎，即恒成立 ‎ ‎ ‎ ，‎ 时，取极小值，解得 ‎ ‎ （2）当时，图象上不存在这样的两点使结论成立. ‎ 假设图象上存在两点、，使得过此两点处的切线互相垂直，‎ 则由知两点处的切线斜率分别为，‎ 且 （ *）‎ ‎、，‎ 此与（*）相矛盾，故假设不成立. ‎ 证明（3），‎ 或，‎ 上是减函数，且 ‎ ‎∴在[－1，1]上，时，‎ ‎. ‎ ‎22. （1）证明:.设 有，下证之：‎ 设直线的方程为:与联立得 ‎ ‎ ‎ ‎ 消去得 由韦达定理得 ,‎ ‎（2）解：三条直线的斜率成等差数列，下证之：‎ 设点，则直线的斜率为;‎ 直线的斜率为 又直线的斜率为 即直线的斜率成等差数列.‎