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  • 2021-05-13 发布

北大附中高考数学专题复习概率与统计知识拓展

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学科:数学 教学内容:概率与统计知识拓展 ‎【知识拓展】‎ ‎1.“偶然”、“随机”应用的妙处.‎ 在某些国家的天气预报节目中,你会看到画面下方有一行注释性的文字:“降水概率82%”,关于这些注释,不用解说员过多解释人们也能明白:“今天下雨的可能性很大”.或人们常说的:“八成要下雨了,带上伞比较好.”但如果说降水概率为20%,你要不要为下雨作准备呢?一般人可能会想:“算了,下雨的可能性不大,不用带伞了.”可有时就因为这20%,你就会被雨淋一下子,这时你能怪气象台吗?天气预报并没有说不下雨,只是下雨的“概率”很小而已.‎ 太阳从东方升起,这是必然现象,永远也不会改变,但明天是否下雨,一般来说就没有必然性了,可能下,也可能不下,是偶然事件.在数学上,把偶然事件又称作随机事件,可事件的发生与否会随机而定吗?‎ 必然事件发生的可能性是100%,不发生的可能性为0%,而随机事件就不是这样了,发生的可能性可以为1%,也可以为99%,发生的大小可以用一个小数来衡量,这个数就叫做概率,概率的最大值取1,最小值取0.‎ 随机事件大量存在,自然界刮风下雨,社会中的彩票,炒股等等,都是随机现象.今天的股票是涨还是跌?那可没准,既可能疯狂飚升,也可能一落千丈.其他如某城市一天中交通事故的数目、学生某次考试的成绩等都具有随机性.人们常说的“风险”就是随机事件的一种认识.人活于世,不可能事事顺心,样样如意,有时候必须去搏,敢于冒险,对随机事件做出自己的判断,把“不一定”发生的事情变成现实,这就是我们的“胜利”.如果老是想干十拿九稳的事,大概成就不了大事业.‎ 说了这么多,究竟“偶然”、“随机”有什么用处呢?概率论能帮我们去处理随机事件吗?回答是肯定的,概率论就是用数学方法来计算各种随机事件发生的概率的大小,并用于指导人们的行动,虽说“天有不测风云”,气象台还是要给出各种天气现象发生的概率.1999年的冬天,中央气象台没有预报内蒙古的一次大的降雪过程(即得出降雪的概率为0).结果那里下了大雪,为此天气预报主持人还表示道歉,由此表明,中央电视台的预报准确率还是比较高的,由于偶然出错,才需要道歉.同样,尽管股市风险无常,股评家仍然在电视台上做各种预测,只不过其准确性远不如气象预报,股评不准,电台就不会负责任了.‎ 如此看来,概率确实和人们的生活息息相关,从而我们都应去了解概率的知识,“偶然”、“随机”各有自己的妙处,在各种场合的中奖问题中,这一点尤为突出.‎ 为了筹措特殊的资金,比如用于社会福利和体育事业,我国已经开始发行福利彩票和体育彩票了,这种彩票的面值不大,中奖后的奖金却高达上百万元.例如,上海的福利彩票,每期的发行量在1000万元左右,如果仅拿出价值的一半做为奖金,头奖的金额就可达100万元,而剩余的一半可用于上海的福利事业.这样既可满足许多人寻求中大奖,发大财的心理需求,又能解决上海市的福利资金问题,可以说是一举两得的善事,又由于彩票的面值较小,多数人不能中奖,就当是为国家的福利事业做了贡献.正是由于这种彩票采取了公开的“幸运抽奖”‎ 的方式,且有国家公证机关来保证抽奖的公正性,因而又不同于一般的赌搏,因此受到了政府的支持和人民的信任,这可以说是“偶然”、“随机”为国家做的大贡献,关于其他方面的知识,请读者自己去查阅相关资料.‎ ‎2.“街头摸奖”可信吗?‎ 你相信那些用摸彩来吸引人去碰“运气”的游戏吗?我们不妨来试试下面的彩球游戏.准备一个布袋,内装6个红球与6个白球,除颜色不同外,六个球完全一样,每次从袋中摸6个球,输赢的规则为:‎ ‎6个全红 赢得100元 ‎5红1白 赢得50元 ‎4红2白 赢得20元 ‎3红3白 输100元 ‎2红4白 赢得20元 ‎1红5白 赢得50元 ‎6个全白 赢得100元 如果你摸出了3红3白则输100元.而对于其他六种情况,你均能赢利相应的钱数,而不用花其他的钱,怎么样?动心了吗?[注:这个规则有时称为“袋子”模型]‎ 乍一看,此规则似乎处处对顾客有利,许多人都难免动心去碰碰“运气”,甚至有人连连试了数次.然而,顾客一个个都免不了扫兴而去,一连十几个人各试了5次,结果都以失败告终,每人输的钱在60元到130元不等,而且试的次数越多,则输的越多.‎ 其实,我们想一想也该明白,天下哪有免费的午餐呢?但要知道为什么会输就要用到我们的概率的知识了,要弄清这个问题并不难,我们不妨逐一计算顾客中奖的可能性,也就是输赢规则中7种情况各自出现的概率大小.‎ 用概率论的语言说,假如7种情况是等可能的,则赢的机会为,输的机会仅为,摸7次有6次都应该赢.但游戏的妙处就在于这7种情况的发生不是等可能的.由于球的形状、大小、重量等完全一样,所以我们无法看到的情况下是无法区分红球和白球的,任意摸6个球,不论红或白,共有种可能,由此就可以计算出摸到5红1白的概率为.而摸到3红3白的概率为.可见,输钱的可能性约占,正是由于各种情况出现的概率不均等,才导致了人们上当受骗,这7种情况出现的概率如下所示:‎ 结果 出现的概率 ‎6个全红 0.1%‎ ‎5红1白 3.9%‎ ‎4红2白 24.4%‎ ‎3红3白 43.2%‎ ‎2红4白 24.4%‎ ‎1红5白 3.9%‎ ‎6个全白 0.1%‎ 很显然,上面7种情况的概率加起来是1,它们把全部的可能性100%进行了不均等的概率分配,从中还可以看出,要想摸出“6个全红”或“6个全白”的可能性仅为0.1%‎ ‎,相当于1000次中只有1次会赢100元,这是一个概率很小的事件,根据实际推断原理,在一次摸取中,基本上是不会发生的,而摸到3红3白的可能性为43.2%,即几乎每两次就有一次可能出现,几乎有一半的机会输掉100元,这就是摸得越多,输得越多的原因.为了进一步分析,我们设随机变量η表示赢的钱数,则η的分布列应为 η ‎100‎ ‎50‎ ‎20‎ ‎-100‎ P ‎0.002‎ ‎0.078‎ ‎0.488‎ ‎0.432‎ 表1-33‎ 所以,我们赢钱的数学期望为 ‎=2×(0.1+1.95+4.88)-43.2‎ ‎=-29.34.‎ 由期望的实际意义可知,我们每摸一次,平均就输掉29.34元.‎ 事实上,这种摸彩是一种“机会游戏”,它不过是概率论这门学科的低极表现形式而已,并不是什么新鲜的玩意儿,但若涉及到金钱,它就变成了赌搏.这就告诉我们,遇到诱惑时要谨慎行事,一般来说,诱惑越大的游戏,就越能使人输钱,以至于倾家荡产.‎ ‎3.“同年同月同日生”真的很稀奇吗?‎ 如果你学过概率,你就能得出一些使人吃惊的结论来,让我们来看一个著名的数学问题:生日的相合,367个人中间,肯定有两个人的生日相同.[注:这里我们只讨论出生的月份及日期,而不考虑年份.]这是根据抽屉原理得来的(因为一年最多只能有366天).抽屉原理可叙述为:假如有n+1个(或更多)物体装入n个盒子,那么一定有某个盒子至少装有两个物体.‎ 生日问题也许令人困惑:23个人中有两人生日相同的概率便超过.你也许认为这是巧合.其实,这个奥妙也可以用概率的方法推断出来.为了简单,我们不记闰年,一年按365天算.‎ 某年级有n个人(n≤365),问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大?‎ 试验是对人数为n的年级进行生日调查,试验的基本结果是n个人生日的一种具体分布.由于生日出现的随机性,保证了n个生日种种分布的等可能性.‎ 基本事件的数学结构——构造性处理:把365天设想为365个“房间”,然后按n个人的生日“对号人室”.这相当于n个可辨质点的每一个都以相同的概率,等可能地被分配到某一“室”内.形象示意图如下:‎ ‎×表示人 □表示日子 ‎×‎ ‎××‎ ‎×××‎ ‎…‎ ‎××‎ ‎×‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎364‎ ‎365‎ 图1-13‎ 基本结果总数就是把n个人安排进这365个“房间”的所有可能的不同方法数.基本结果的差异不仅依“人”、依“房”,而且还依“房”内的“人数”相鉴别.因而基本事件总数恰为从365个不同元素中每次取出n个的允许重复的排列数(乘法原理).‎ 所关心的事件A={至少有两人的生日在同一天}={有两个人的生日在同一天}U{有三个人的生日在同一天}U…U{n个人的生日在同一天}.这是一个比较复杂的事件,我们应从反面去考虑原事件的逆事件的结构:‎ ‎={n个人的生日全不相同}‎ ‎={365个不同元素,每次任取n个依一定的顺序排成一列}.‎ 这样就抓住了事件的数学结构的本质,从而可知的基本事件数为!.由互逆事件的概率关系,即知 具体地计算可有下面的结果:‎ n人中有两个生日相同的概率 n ‎15‎ ‎20‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ ‎55‎ P ‎0.25‎ ‎0.41‎ ‎0.51‎ ‎0.54‎ ‎0.57‎ ‎0.71‎ ‎0.89‎ ‎0.97‎ ‎0.99‎ 表1-34‎ 从表1-34中可知,只要人数n≥55,则有2人生日相同的概率已相当接近1了.‎ 不少团体人数都在23人以上,若有2人生日相同,可能彼此觉得真有缘分,备感亲切.而我们现在知道这其实是一件很容易发生的事件.‎ 中国人有十二种属相,这由某人生于何年而定.可能会令你不解的是:任意四个人中,有两人属相一样的可能约有一半.而在一个6口之家中,几乎可以断定有两个人属相一样.这种问题也是概率论研究的对象.‎ 有人曾查阅资料发现:美国前36任总统中有两个人生日一样,3人死在同一天(当然年份不同).‎ 概率论这个数学工具是和人们“朝夕相处”的.‎ ‎4.小概率事件都可以被忽略吗?‎ 概率论的目的就在于从偶然性中探求必然性,从无序中探求有序.概率论是机遇的数学模型.‎ 你使用过号码锁吗?如果使用过,那你应该知道,一定不能忘了开锁的号码.‎ 比如你家门上的号码锁(如图1-14)有6个拨盘.由于每个拨盘上都有10个数字,因此一共可以组成个不同的6位数码,组成每个数码的可能性是相等的,其中只有惟一的一个数码(例如图中的408226)对准开锁线时,锁才能打开.如果你忘记了开锁的号码,想试着拨一个数码就把锁打开,其概率仅有:.‎ 这个概率是很小的,因此,你想一次就把锁打开几乎是不可能的.‎ 做个有心人,我们会发现,生活中有不少这类发生的可能性很小的事情.我们称这类随机事件为小概率事件.人们从长期的实践中总结出:一件事件如果发生的概率很小的话,那它在一次试验中几乎是不会发生的.数学上称这个结论为小概率原理.‎ 例如,虽然飞机也有发生事故的时候,但据统计,发生事故的概率为,可能性很小,因此,人们可以放心地乘坐飞机.‎ 又如骗人的摸彩,桌上放有10张外表相同的扑克牌,其中5张“梅花”,5张“方块”,一次让你翻5张牌,如果5张牌同花色(全是“梅花”,或全是“方块”)就算中彩.你很想碰运气,中彩的概率有多大呢?根据组合数公式可知,从10张牌中一次翻5张有种不同的等可能取法,而翻到5张牌同花色只有两种可能.因此,你中彩的概率为即你如果翻126次,通常才可能中彩一次(还不能保证一定会有一次).这个概率很小,按小概率原理,要想翻一次就中彩几乎是不可能的.‎ 概率小到怎样才算很小呢?这可没有绝对的标准.只有相对于具体要讨论的事情而定,这正像人们说“这老鼠真大”和“这牛太小”一样,我们是让老鼠与老鼠比,牛与牛比.在生产中,比如一批铅笔的废品率为1%,可以认为1%很小而准许出售;但是,若一批注射用的针药有1%不合要求,使用后会危害人的健康,就不能认为1%小了.如果是发射宇宙飞船,100次有一两次失败,则“发射失败”就不是小概率事件了,尽管其概率也不超过0.02.又如,根据某地近数十年来的气象资料,查知发生极大的风暴仅一两次,因而在建造普通平房时,此小概率事件就可以认为是实际上的不可能事件而不予考虑.但在建造高楼大厦时,同一事件就必须加以重视,不能看成小概率事件,因而就不是实际上的不可能事件,不加以重视就会犯错误!‎ 在一般的问题中,一个事件发生的概率低于2%都可以看做是很小的.需要注意,一个小概率事件虽然在一次试验中几乎不会发生,但在多次试验中,常常也会发生.比如在开号码锁的问题中,虽然试开一次几乎不可能把锁打开,但试开很多次时,也有可能把锁打开.‎ 相反地,如果一个事件发生的概率很大(比如在99%以上),那在一次试验中此事几乎一定会发生.‎ 一个小概率事件,不管其概率多么小,其值总是—个确定的正数.设某试验中出现事件A的概率为ε,不管ε>0如何小,如果把此试验不断独立地重复下去,那么A必然会出现1次,从而也必然会出现任意多次.这是因为,第1次试验中A不出现的概率为1-ε,前n次A都不出现的概率为,因此,前n次试验中A至少出现1次的概率为,当n→∞时此概率趋于1.这表示A迟早出现1次的概率为1.出现A以后,把下次试验当作第1次,重复上述推理,可见A必然再次出现.如此继续,可知A必然出现任意多次,例如,在城市闹区乱放爆竹,就一次而论,引起火灾的可能性并不大,但如果很多人都这样乱放爆竹,则“迟早会引起火灾”这事件发生的可能性就很大.这正是人人皆知的常识在理论上的依据.‎ 庞加莱说:“最大的机遇莫过于一个伟人的诞生.”之所以如此,一是由于某人的诞生是一系列随机事件的复合:父母、祖父母、外祖父母…的结合,异性的2‎ 个生殖细胞的相遇,而这2个细胞又必须含有某些产生天才的因素;二是婴儿出生以后,各种偶然遭遇在整体上必须有利于他的成功,他所处的时代,他所接受的教育,他的各项活动,他所接触的人、事与物,都需为他提供好的机会.所以,某个特定的人要成为伟人,可能性是极小的.不过,尽管如此,各个时代仍然伟人辈出.一个人成功的概率虽极小,但几十亿人中总有佼佼者,这就是所谓“必然寓于偶然之中”的一种含义.应用小概率原理于伟人问题,一个人成为伟人的概率固然非常小,但千百万人中至少有一个伟人就几乎是必然的了.‎ ‎“必然寓于偶然之中”的另一含义是大数定律,它的特殊情形是频率的稳定性,即频率趋于概率.设某试验中事件A出现的概率为p>0,将此试验独立地重复n次,其中A出现了m次,于是频率为.根据大数定律,当n→∞时,必然有.因此,当n充分大时,得m≈np.‎ 我们不能确切预知一个婴儿的性别,只知他是男性的概率为.但由于上述定律,我们可以断言,100万婴儿中,约有即50万个男婴,这几乎是必然的.‎ ‎5.抓阄的方法是公正的吗?‎ 概率应用大则可指导生产、科研,小则在日常生活中也大有用处.比如,人们常乐于在分配短缺的情况下用抓阄的办法来解决问题,其合理性保证当然得归功于“概率”.事实上,抓阄的结果是一随机现象,而所谓合理性,无非是说明每个人“中阄”的可能性相等而已!果真如此吗?我们看看下面的问题.‎ 某校校庆,给每个班级5张电影票,初三(2)班是一个团结的集体,共有50个同学,都不愿把电影票占为已有,王老师只好用抽签(抓阄)来决定.他制作了50张小卡片,在其中5张上写上电影票字样,让50个人轮流抽签,抽到的则当仁不让去看电影.但问题是同学们都犹豫了!小华提出了一个问题:“抽签也有先后,第一个人抽到的概率是,如果第一个人抽到,第二个人抽到的概率只有;如果第一人没有抽到,第二人抽到的概率就是,抽签未必机会相等!”小陈听到这些话,愣住了,心想:“抽签明明是公平合理的方法,为什么还会有这个奇怪的分析结果呢?”此刻,两人不约而同地把目光转向了王老师,请他解答.‎ 王老师指出,小华的分析虽然有道理,但是,他计算出来的两个数与不是第二人抽到的概率,而是在第一人抽到或抽不到的条件下第二人抽到的条件概率.实际上,在抽签时不必争先恐后,先抽与后抽的概率是相等的.这可以用全概率公式计算得知.我们也可以用适当的数学语言来描述这个抓阄试验:“5张电影票,50人抓阄”,其相应的样本空间的样本点可认定是50个阄按抓阄顺序在直线上的一次排列(5个代表有票的阄在这50个位置的某5个位置上).由于事先阄混合得充分均匀,50个阄在直线上的每种排列的可能性是相等的,因而属于古典概型.我们所关心的第k个人抓中有票的阄这一事件可如下构造之:‎ 设想从5个代表有票的阄中任取一个放在第k个位置上,然后再把剩下的阄安排在剩下的位置上作全排列,如图1-15.‎ ‎(在第k个位置先安排“有票的阄△”,再安排余下的阄.)从而由乘法原理知,有票的基本事件数为,以表示第k个人抓中阄的概率,即知此值不依赖于k,即说明每个人抓中阄的概率都等于,而与抓阄顺序无关.从而“试验”结束后的“倒霉”者也就不会怨天尤人了!可见,抽签的方法是公平合理的.‎ 这个例子可以推广到n个人抓阄分物的情况.n个阄,其中1个“有”,(n-1)个“无”,n个人排队抓阄,每个人抓到“有”的概率都是.‎ 若n个阄中,有m(m