2007—2011历年湖南数学理工类高考试题 66页

‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数　学（理工农医类）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．复数等于（ ）‎ A．　　‎ B．　　‎ C．　　‎ D．‎ ‎2．不等式的解集是（ ）‎ A． ‎ B．‎ C． ‎ D．‎ ‎3．设是两个集合，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 C．充分必要条件 ‎ D．既不充分又不必要条件 ‎4．设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有 A．　　　‎ B．‎ C．　　‎ D．‎ ‎5．设随机变量服从标准正态分布，已知，则=‎ A．0.025 ‎ B．0.050 ‎ C．0.950 ‎ D．0.975‎ ‎6．函数的图象和函数的图象的交点个数是 A．4　　‎ B．3　　‎ C．2　　‎ D．1‎ ‎7．下列四个命题中，不正确的是（ ）‎ A．若函数在处连续，则 B．函数的不连续点是和 C．若函数，满足，则 D．‎ ‎8．棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（ ）‎ A． 　　　‎ B．　　　‎ C．　　　‎ D．‎ ‎9．设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A．　　　　　‎ B．　　　　　‎ C．　　　　‎ D．‎ ‎10．设集合， 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的，（，），都有（表示两个数中的较小者），则的最大值是（ ）‎ A．10　　　‎ B．‎11　‎　　‎ C．12　　　‎ D．13‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上。‎ ‎11．圆心为且与直线相切的圆的方程是 。‎ ‎12．在中，角所对的边分别为，若，b=，，则 。‎ ‎13．函数在区间上的最小值是 。‎ ‎14．设集合，，，‎ ‎（1）的取值范围是 ；‎ ‎（2）若，且的最大值为9，则的值是 。‎ ‎15．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知函数，。‎ ‎（I）设是函数图象的一条对称轴，求的值；‎ ‎（II）求函数的单调递增区间。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响。‎ ‎（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；‎ ‎（II）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望。‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图2，分别是矩形的边的中点，是上的一点，将，分别沿翻折成，，并连结，使得平面平面，，且。连结，如图3。‎ ‎（I）证明：平面平面；‎ ‎（II）当，，时，求直线和平面所成的角。‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图4，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点和居民区的公路，点所在的山坡面与山脚所在水平面所成的二面角为（），且，点到平面的距离（km）沿山脚原有一段笔直的公路可供利用。从点到山脚修路的造价为万元/km，原有公路改建费用为万元/km．当山坡上公路长度为km（）时，其造价为万元。已知，，，。‎ ‎（I）在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；‎ ‎（II） 对于（I）中得到的点，在上求一点，使沿折线修建公路的总造价最小；‎ ‎（III）在上是否存在两个不同的点，，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价，证明你的结论。‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点。‎ ‎（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；‎ ‎（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎21．（本小题满分13分）‎ 已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…。‎ ‎（I）证明：数列（）是常数数列；‎ ‎（II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列；‎ ‎（III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增。‎ 绝密★启用前 ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数 学(理工农医类)‎ 一、 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．复数等于 A.8 B.－‎8 ‎ C.8i D.－8i ‎ ‎2．“|x－1|＜2成立”是“x（x－3）＜0成立”的 A．充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎3.已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是 A.2 B‎.5 ‎ C.6 D.8 ‎ ‎4.设随机变量服从正态分布N(2,9) ,若P (＞c+1)=P(＜c－,则c=‎ A.1 B‎.2 ‎ C.3 D.4 ‎ ‎5.设有直线m、n和平面、。下列四个命题中，正确的是 A.若m∥,n∥,则m∥n B.若m,n,m∥,n∥,则∥‎ C.若，m,则m D.若，m，m,则m∥ ‎ ‎6.函数f(x)=sin2x+在区间上的最大值是 A.1 B. C. D.1+ ‎ ‎7.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且 ‎ ‎ 则与 A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 ‎ ‎8.若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+) ‎ ‎9.长方体ABCD－A1B‎1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2, AD=, AA1=1, 则顶点A、B间的球面距离是 A. 2 B. C. D. ‎ ‎10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［］=1），对于给定的nN*,定义，x,则当x时，函数的值域是 A. B.‎ C. D. ‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。‎ ‎11._____‎ ‎12.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F，右准线为l，离心率e=过顶点A(0,b)作AMl,垂足为M，则直线FM的斜率等于____‎ ‎13.设函数y=f (x)存在反函数y= f－1（x），且函数y = x－f (x)的图象过点（1，2），则函数 y=f－1(x)－x的图象一定过点 . ‎ ‎14.已知函数f(x)＝‎ ‎（1）若a＞0,则f(x)的定义域是____‎ ‎(2)若f(x)在区间上是减函数，则实数a的取值范围是________‎ ‎15. 对有n (n≥4)个元素的总体｛1，2，3，…，n｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1，2，…，m｝和｛m+1，m+2，…，n｝(m是给定的正整数，且2≤m≤n－2)，再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P1n=________；所有Pif(1≤i＜j≤的和等于 ______.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约。乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响。求：‎ ‎（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;‎ ‎（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望.‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ ‎ 如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.‎ ‎ （Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;‎ ‎（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎ 数列 ‎ (Ⅰ)求并求数列的通项公式；‎ ‎ (Ⅱ)设证明：当 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.（本小题满分13分）‎ 在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.‎ ‎。点E正北55海里处有一个雷达观测站A。.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C. ‎ ‎（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;‎ ‎（II）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.‎ 解 （I）如图，AB=40，AC=10，‎ 由于<<，所以cos=‎ 由余弦定理得BC=‎ 所以船的行驶速度为（海里/小时）.‎ ‎（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是 B（x1，y1）, C（x2，y2），BC与x轴的交点为D.‎ 由题设有，x1=y1=AB=40，‎ ‎,‎ 所以过点B、C的直线l的斜率k=,‎ 直线l的方程为y=2x－40.‎ 又点E（0，－55）到直线l的距离d=‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.‎ ‎（Ⅰ）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；‎ ‎（Ⅱ）试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.‎ ‎21.（本小题满分13分）‎ 已知函数f(x)=ln2(1+x)－.‎ ‎（Ⅰ）求函数f(x) 的单调区间;‎ ‎（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.‎ 求的最大值.‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)‎ 理科数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．若，，则【 】‎ A．, B．,‎ C. , D. , ‎ ‎2．对于非零向量“”是“”的【 】‎ A．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3．将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则等于【 】‎ A． B． C. D.‎ ‎4．如图1，当参数时，连续函数 的图像分别对应曲线和 , 则【 】‎ A ． B ．‎ C ． D ．‎ ‎5．从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为【 】‎ A． 85 B． ‎56 ‎‎ C ．49 D ．28‎ ‎6．已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆在区域D内的弧长为【 】‎ A． B． C． D．‎ ‎7．正方体的棱上到异面直线AB，C的距离相等的点的个数为【 】‎ A．2 B．‎3 ‎‎ C． 4 D．5‎ ‎8．设函数在内有定义.对于给定的正数K，定义函数取函数。若对任意的，恒有，则【 】‎ A．K的最大值为2 B．K的最小值为2‎ C．K的最大值为1 D．K的最小值为1‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上 ‎9．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_ _ _.‎ ‎10．在的展开式中，的系数为___(用数字作答).‎ ‎11．若，则的最小值为 .‎ ‎12．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为，则双曲线C的离心率为 ‎ ‎13．一个总体分为A，B两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为，则总体中的个体数为 。‎ ‎14．在半径为13的球面上有A , B, C 三点，AB=6，BC=8，CA=10，则 ‎（1）球心到平面ABC的距离为 ；‎ ‎（2）过Ａ，B两点的大圆面与平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为 .‎ ‎15．将正分割成个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列.若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为，则有，‎ ‎ ，… ， .‎ 三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 在中，已知，求角A，B，C的大小 ‎17．（本小题满分12分）‎ 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。‎ ‎（I）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；‎ ‎（II）记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及数学期望。‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图4，在正三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，且 ‎（I）证明：平面平面；‎ ‎（II）求直线和平面所成角的正弦值。‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素.记余下工程的费用为万元。‎ ‎（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）当=‎640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，点P到点F（3，0）的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d. 当点P运动时，d恒等于点P的横坐标与18之和 ‎ （Ⅰ）求点P的轨迹C；‎ ‎ （Ⅱ）设过点F的直线与轨迹C相交于M，N两点，求线段MN长度的最大值。‎ ‎21．（本小题满分13分）‎ 对于数列,若存在常数M＞0,对任意的，恒有 ‎ ‎,‎ 则称数列为数列.‎ ‎（Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由;‎ 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题 判断所给命题的真假，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅱ）设是数列的前项和，给出下列两组论断；‎ A组：①数列是B-数列, ②数列不是B-数列;‎ B组：③数列是B-数列, ④数列不是B-数列.‎ 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论 组成一个命题。判断所给命题的真假，并证明你的结论；‎ ‎(Ⅲ)若数列都是数列，证明：数列也是数列。‎ ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数学（理工农医类）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．[来源:Z#xx#k.Com]‎ ‎1．已知集合，，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．下列命题中的假命题是 A．， B．，[来源:Z&xx&k.Com]‎ C．， D．，‎ ‎3．极坐标方程和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是 A．圆、直线 B．直线、圆[来源:学+科+网]‎ C．圆、圆 D．直线、直线 ‎4．在中，，，则等于 A． B． C．8 D．16‎ ‎5．等于 A． B． C． D．‎ ‎6．在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若，，则[来源:学_‎ A．a＞b B．a＜b C．a=b D．a与b的大小关系不能确定 ‎7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A.10 B‎.11 ‎‎ C.12 D.15‎ ‎8．用表示两数中的最小值.若函数的图像关于直线对称，则的值为 A． B．‎2 ‎‎ C． D．1‎ 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．‎ ‎9．已知一种材料的最佳加入量在‎110g到‎210g之间．若用0.618法安排实验，则第一次试点的加入量可以是 g．‎ ‎10．如图1所示，过外一点P作一条直线与交于A,B两点．已知PA=2，点P到的切线长PT=4，则弦AB的长为 ．‎ ‎11．在区间上随机取一个数，则的概率为 ．‎ ‎12．图2是求的值的程序框图，则正整数 ．‎ ‎13．图3中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则 ．‎ 开始 否 输出 结束 是 图2‎ ‎14．过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则 ．‎ ‎15．若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则 ，‎ ‎ ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的最大值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的零点的集合.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图.[来源:学.科.网]‎ ‎（Ⅰ）求直方图中的值.‎ ‎（Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数的分布列和数学期望.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图5所示，在正方体中，E是棱的中点.‎ ‎（Ⅰ）求直线BE的平面所成的角的正弦值；‎ ‎（Ⅱ）在棱上是否存在一点F，使平面？证明你的结论. ‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距‎8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域．‎ ‎（Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图6所示，设线段，是冰川的部分 边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动‎0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 已知函数对任意的，恒有.‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，；‎ ‎（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求M的最小值.‎ ‎21．（本小题满分13分）‎ 数列中，是函数的极小值点.‎ ‎（Ⅰ）当时，求通项； ‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使数列是等比数列？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由.‎ ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数学（理工农医类）‎ 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。‎ 参考公式：（1），其中为两个事件，且，‎ ‎ （2）柱体体积公式，其中为底面面积，为高。‎ ‎ （3）球的体积公式，其中为求的半径。‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．若，为虚数单位，且则 A．， B. C. D. ‎ ‎2.设集合则 “”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎3.设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：‎ 由算得，.‎ 参照附表，得到的正确结论是 A． 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”‎ B． 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”‎ C. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”‎ D. 有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”‎ ‎5.设双曲线的渐近线方程为，则的值为 A.4 B‎.3 ‎‎ C.2 D.1‎ ‎6.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为 A. B‎.1 C. D. ‎ ‎7.设m＞1，在约束条件下，目标函数Z=x+my的最大值小于2，则m 的取值范围为 A.（1，） B.（，） C.（1,3 ） D.（3，）‎ ‎8.设直线x=t 与函数， 的图像分别交于点M,N,则当达到最小时t的值为 A.1 B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应号后的横线上。‎ ‎（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选一题作答，如果全做，则按前两题记分）‎ ‎9.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为，则C1与C2的交点个数为 ‎ ‎10.设,则的最小值为 。‎ ‎11.如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，‎ AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交与点F，则AF的长为 。‎ ‎（二）必做题（12～16题）‎ ‎12.设是等差数列，的前项和，且，则= .‎ ‎13.若执行如图3所示的框图，输入，,则输出的数等于 。‎ ‎14.在边长为1的正三角形ABC中, 设则 =__________________.‎ ‎15.如图4，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”， B表示事件“豆子落在扇形OHE（阴C影部分）内”，则 ‎（1）P(A)= _____________； (2)P(B|A)= . ‎ ‎16.对于 ,将n 表示 ,当时，,当时, 为0或1.记为上述表示中为0的个数（例如：）,故, ),则 ‎（1）________________;(2) ________________;‎ 三、解答题：本大题共6小题，东75分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为,b,c，且满足csinA=cosC.‎ ‎(Ⅰ）求角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）求sinA-cos (B+)的最大值，并求取得最大值时角A、B的大小。‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：‎ 日销售量（件）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 频数 ‎1‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎5‎ 试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。‎ ‎(Ⅰ）求当天商品不进货的概率；‎ ‎（Ⅱ）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望。‎ ‎ ‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图5，在圆锥中，已知=，⊙的直径,是的中点，为的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明：平面 平面;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值。‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 如图6，长方形物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0），雨速沿E移动方向的分速度为。E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与×S成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为，记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d=100，面积S=时。‎ ‎（Ⅰ）写出y的表达式 ‎（Ⅱ）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少。‎ 21. ‎(本小题满分13分）‎ ‎ 如图7，椭圆的离心率为，x轴被曲线 截得的线段长等于的长半轴长。‎ ‎（Ⅰ）求，的方程；‎ ‎（Ⅱ）设与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.‎ ‎(i)证明：MD⊥ME;‎ ‎(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是,.问：是否存在直线l,使得?‎ 请说明理由。‎ ‎22.（本小题满分13分）‎ ‎ 已知函数() =，g ()=+。‎ ‎ （Ⅰ）求函数h ()=()g ()的零点个数。并说明理由；‎ ‎ （Ⅱ）设数列{ }（）满足，，证明：存在常数M，使得对于任意的，都有≤ .‎ ‎2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数　学（理工农医类）‎ 参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．C　　2．D　　3．B　　4．A　　5．C　　6．B　　7．C　　8．D　　9．D　　10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上。‎ ‎11．‎ ‎12．‎ ‎13．‎ ‎14．（1）（2）‎ ‎15．，32‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 解：（I）由题设知 因为是函数图象的一条对称轴，所以，‎ 即（）。‎ 所以 当为偶数时，，‎ 当为奇数时，‎ ‎（II）‎ 当，即（）时，‎ 函数是增函数，‎ 故函数的单调递增区间是（）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．‎ ‎（I）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 所以该人参加过培训的概率是 解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 该人参加过两项培训的概率是 所以该人参加过培训的概率是 ‎（II）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布，，，即的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.001‎ ‎0.027‎ ‎0. 243‎ ‎0.729‎ 的期望是 ‎（或的期望是）‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：解法一：（Ｉ）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面 ‎（II）过点作于点，连结 由（I）的结论可知，平面，‎ 所以是和平面所成的角 因为平面平面，平面平面，，‎ 平面，所以平面，故 因为，，所以可在上取一点，使，又因为，所以四边形是矩形 由题设，，，则所以，，‎ ‎，‎ 因为平面，，所以平面，从而 故，‎ 又，由得 故 即直线与平面所成的角是 解法二：‎ ‎（I）因为平面平面，平面平面，，‎ 平面，所以平面，从而．又，所以平面．因为平面，所以平面平面．‎ ‎（II）由（I）可知，平面．故可以为原点，分别以直线　为轴、轴、轴建立空间直角坐标系（如图），‎ 由题设，，，则，‎ ‎，，相关各点的坐标分别是，‎ ‎，，‎ 所以，‎ 设是平面的一个法向量，‎ 由得故可取 过点作平面于点，因为，所以，于是点在轴上 因为，所以，‎ 设（），由，解得，‎ 所以 设和平面所成的角是，则 故直线与平面所成的角是 ‎19．（本小题满分12分）‎ 解：（I）如图，‎ ‎，，，‎ 由三垂线定理逆定理知，，所以是 山坡与所成二面角的平面角，则，‎ 设，．则 记总造价为万元，‎ 据题设有 当，即时，总造价最小 ‎（II）设，，总造价为万元，根据题设有 则，由，得 当时，，在内是减函数；‎ 当时，，在内是增函数 故当，即（km）时总造价最小，且最小总造价为万元 ‎（III）解法一：不存在这样的点，‎ 事实上，在上任取不同的两点，为使总造价最小，显然不能位于 与 之间，故可设位于与之间，且=，，　‎ ‎，总造价为万元，则．类似于（I）、　　　　‎ ‎（II）讨论知，，，当且仅当，同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时，，取得最小值，点分别与点重合，所以不存在这样的点 ，使沿折线修建公路的总造价小于（II）中得到的最小总造价．‎ 解法二：同解法一得 当且仅当且，即同时成立时，取得最小值，以上同解法一。‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 解：由条件知，，设，．‎ 解法一：‎ ‎（I）设，则则，，‎ ‎，由得 即 于是的中点坐标为 当不与轴垂直时，，即 又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得 ‎，即 将代入上式，化简得 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程 所以点的轨迹方程是 ‎（II）假设在轴上存在定点，使为常数 当不与轴垂直时，设直线的方程是 代入有 则是上述方程的两个实根，所以，，‎ 于是 因为是与无关的常数，所以，即，此时=‎ 当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，‎ 此时 故在轴上存在定点，使为常数 解法二：‎ ‎（I）同解法一的（I）有 当不与轴垂直时，设直线的方程是 代入有 则是上述方程的两个实根，所以 由①②③得…………………………………………………④‎ ‎……………………………………………………………………⑤‎ 当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有 ‎．整理得。‎ 当时，点的坐标为，满足上述方程 当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程。‎ 故点的轨迹方程是。‎ ‎（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，‎ 当不与轴垂直时，由（I）有，。‎ 以上同解法一的（II）。‎ ‎21．（本小题满分13分）‎ 解：（I）当时，由已知得 因为，所以 ……①‎ 于是 ……②‎ 由②－①得 ……③‎ 于是 ……④‎ 由④－③得， …… ⑤‎ 所以，即数列是常数数列 ‎（II）由①有，所以．由③有，，所以，‎ 而 ⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列，‎ 所以，，，‎ 数列是单调递增数列且对任意的成立。‎ 且 即所求的取值集合是 ‎（III）解法一：弦的斜率为 任取，设函数，则 记，则，‎ 当时，，在上为增函数，‎ 当时，，在上为减函数，‎ 所以时，，从而，所以在和上都是增函数 由（II）知，时，数列单调递增，‎ 取，因为，所以 取，因为，所以 所以，即弦的斜率随单调递增 解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数，所以：‎ ‎，‎ 故，即弦的斜率随单调递增。‎ 绝密★启用前 ‎2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数 学(理工农医类)‎ 参考答案 一、 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．(D)‎ ‎2．（B）‎ ‎3． (C) ‎ ‎4. (B)‎ ‎5.（D）‎ ‎6. (C)‎ ‎7. (A)‎ ‎8. (B)‎ ‎9. (C)‎ ‎10. (D)‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。‎ ‎11.. ‎ ‎12. .‎ ‎13.‎ ‎ (－1,2) . ‎ ‎14.已知函数f(x)＝‎ ‎（1）;‎ ‎(2) .‎ ‎15. ； 6 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.（本小题满分12分）‎ 解 用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格。由题意知A，B，C相互独立，且 P（A）＝P（B）＝P（C）＝.‎ ‎（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率是 ‎（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.‎ ‎ ‎ ‎ ＝‎ ‎ ＝‎ ‎ ‎ ‎ =‎ ‎ =‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以， 的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 的期望 ‎17.（本小题满分12分）‎ 解 解法一（Ⅰ）如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形。因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB。又因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥BE。而AB=A，因此BE⊥平面PAB.‎ 又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.‎ ‎（Ⅱ）‎ 解法二 如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系。则相关各点的坐标分别是 A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2），E(1,,0)‎ ‎（Ⅰ）因为，平面PAB的一个法向量是，所以共线.从而BE⊥平面PAB.‎ 又因为平面PBE，故平面PBE⊥平面PAB.‎ ‎(Ⅱ)易知 ‎ ‎ 设是平面PBE的一个法向量，则由得 所以 ‎ 设是平面PAD的一个法向量，则由得 所以故可取 ‎ 于是，‎ ‎ 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是 ‎18.（本小题满分12分）‎ ‎ 解 (Ⅰ)因为 一般地，当时，‎ ‎＝，即 所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此 当时，‎ 所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此 故数列的通项公式为 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，‎ ‎ ①‎ ‎ ②‎ ‎ ①－②得，‎ ‎ ‎ ‎ 所以 ‎ 要证明当时，成立，只需证明当时，成立.‎ ‎ 证法一 ‎ (1)当n = 6时，成立.‎ ‎ (2)假设当时不等式成立，即 ‎ 则当n = k+1时，‎ ‎ 由(1)、(2)所述，当n≥6时，，即当n≥6时，‎ ‎ 证法二 ‎ 令，则 ‎ 所以当时，.因此当时，‎ 于是当时，‎ 综上所述，当时，‎ ‎ ‎ ‎19.（本小题满分13分 解 （I）如图，AB=40，AC=10，‎ 由于<<，所以cos=‎ 由余弦定理得BC=‎ 所以船的行驶速度为（海里/小时）.‎ ‎（II）解法一 如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，设点B、C的坐标分别是 B（x1，y1）, C（x2，y2），BC与x轴的交点为D.‎ 由题设有，x1=y1=AB=40，‎ ‎,‎ 所以过点B、C的直线l的斜率k=,‎ 直线l的方程为y=2x－40.‎ 又点E（0，－55）到直线l的距离d=‎ 所以船会进入警戒水域.‎ 解法二 如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.在△ABC中，由余弦定理得，‎ ‎===.‎ 从而 在△ABQ中，由正弦定理得，‎ AQ=‎ 由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE－AQ=15.‎ 过点E作EP BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.‎ 在Rt△中，‎ PE=QE·sin ‎=‎ 所以船会进入警戒水域.‎ ‎20.（本小题满分13分）‎ 解（Ⅰ）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是 ‎（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1, y22=4x2,‎ 两式相减得（y1+y2）（y1－y2）=4（x1－x2）.因为x1x2,所以y1+y20.‎ 设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm, ym）,则 k=.‎ 从而AB的垂直平分线l的方程为 ‎ 又点P（x0,0）在直线l上，所以－ym=‎ 而于是 故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0－2.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，弦AB所在直线的方程是，代入中，‎ 整理得 （·）‎ 则是方程（·）的两个实根，且 设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则 ‎ ‎ 因为0<<4xm=4(x0－2) =4x0－8,于是设t=,则t(0,4x0－8).‎ 记l2=g(t)=－[t－2(x0－3)]2+4(x0－1)2.‎ 若x0>3,则2(x0－3) (0, 4x0－8),所以当t=2(x0－3),即=2(x0－3)时,‎ l有最大值2(x0－1).‎ 若23时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x0－1）；当2< x03时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.‎ ‎21.（本小题满分13分）‎ 解 （Ⅰ）函数f(x)的定义域是，‎ 设则 令则 当时， 在（－1，0）上为增函数，‎ 当x＞0时，在上为减函数.‎ 所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以，函数g(x)在上为减函数.‎ 于是当时，‎ 当x＞0时，‎ 所以，当时，在（－1，0）上为增函数.‎ 当x＞0时，在上为减函数.‎ 故函数f(x)的单调递增区间为（－1，0），单调递减区间为.‎ ‎（Ⅱ）不等式等价于不等式由知，‎ 设则 由（Ⅰ）知，即 所以于是G(x)在上为减函数.‎ 故函数G（x）在上的最小值为 所以a的最大值为 ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数 学(理工农医类)‎ 参考答案 一．选择题 ‎1—5 D A D B C 6—8 B C D 二．填空题 ‎9. 12 10. 7 11. 12. 13. 40‎ ‎14. (1) 12 (2) 3 15.（1）（2）‎ 三.解答题 ‎16. 解： 设 由得，所以.‎ 又因此 ‎ 由得，于是.‎ 所以，，‎ 因此，既.‎ 由知，所以，‎ 从而或，既或 故或。‎ ‎17. 解: 记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 i=1，2，3.由题意知相互独立，相互独立，相互独立，（i，j，k=1，2，3，且i，j，k互不相同）相互独立，且 ‎（Ⅰ）他们选择的项目所属类别互不相同的概率 ‎ P=‎ ‎ （Ⅱ）解法1：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，‎ 由已知， B（3，），且=3-。‎ 所以P（=0）=P（=3）==，‎ ‎ P（=1）=P（=2）= =，‎ P（=2）=P（=1）==，‎ P（=3）=P（=0）= = .‎ 故的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 的数学期望E=+++=2.‎ 解法2: 记第名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件，i=1,2,3 . 由已知，相互独立，且P（）=（）= P（）+P（）=+=，‎ 所以,即，‎ 故的分布列是 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎18. 解：（I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面.‎ 又DE平面，所以DE.而DEAE，AE=A，‎ 所以DE平面.又DE平面ADE，故平面平面 ‎（2）解法1： 如图所示，设F是AB的中点，连接DF，DC，CF，‎ 由正三棱柱的性质及D是的中点知，‎ CD，DF 又CDDF=D，所以平面CDF.而AB∥，‎ 所以AB平面CDF.又AB平面ABC，‎ 故平面AB C平面CDF。过点D做DH垂直CF于点H，则DH平面AB C。‎ 连接AH，则HAD是AD和平面ABC所成的角。‎ 由已知AB=A A，不妨设A A=，则AB=2，DF=，D C=，CF=，AD==，DH===.‎ 所以 sinHAD==。即直线AD和平面AB C所成角的正弦值为.‎ 解法2： 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设A A=，则AB=2，相关各点的坐标分别是A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，，）。‎ 易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，，）.‎ 设平面ABC的法向量为,则有 解得 故可取.‎ 所以，==。‎ 由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。‎ ‎19. 解：（Ⅰ）设需新建个桥墩，则，‎ 所以 ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ ‎ 令，得，所以=64.‎ ‎ 当0<<64时，<0，在区间（0，64）内为减函数；‎ 当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数.‎ 所以在=64处取得最小值，此时 故需新建9个桥墩才能使最小。‎ ‎20. 解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），则 由题设，，即. ……①‎ 当x>2时，由①得 ……②‎ 化简得 当时，由①得……③‎ 化简得.‎ 故点P的轨迹C是椭圆在直线x=2的右侧部分与抛物线在直线x=2的左侧部分（包括它与直线x=2的交点）所组成的曲线，参见图1.‎ ‎（Ⅱ）如图2所示，易知直线x=2‎ 与，的交点都是A（2，），B（2，），‎ 直线AF，BF的斜率分别为=，=.‎ 当点P在上时，由②知. …… ④‎ 当点P在上时，由③知. …… ⑤‎ 若直线的斜率k存在，则直线的方程为.‎ ‎（ⅰ）当k≤，或k≥，即k≤或k≥时，直线与轨迹C的两个交点都在上，此时由④知 ‎，‎ 从而∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 -）+（6 - ）=12 - ( +).‎ 由 得.‎ 则，是这个方程的两根，所以+=，∣MN∣=12 -（+）=12 -.‎ 因为当所以 当且仅当时，等号成立。‎ ‎（ⅱ）当时，直线与轨迹C的两个交点 分别在上，不妨设点在上，点在上，‎ 则由④⑤知，.‎ 设直线AF与椭圆的另一交点为E ‎，‎ 所以。而点A，E都在上，‎ 且由（ⅰ）知 若直线的斜率不存在，则==3，此时 ‎.‎ 综上所述，线段MN长度的最大值为.‎ ‎21. 解:（Ⅰ）设满足题设的等比数列为,则，于是 ‎ .‎ 因此=‎ 因为所以即 ‎ .‎ ‎ 故首项为1，公比为的等比数列是B-数列。‎ ‎（Ⅱ）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列.‎ ‎ 此命题为假命题。‎ ‎ 事实上，设，易知数列是B-数列，但,‎ ‎ .‎ 由的任意性知，数列不是B-数列。‎ 命题2：若数列是B-数列，则数列是B-数列.‎ 此命题为真命题.‎ 事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的有 ‎ ，‎ 即。于是 ‎ ‎ ‎，‎ 所以数列是B-数列。‎ ‎（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法）‎ ‎（III）若数列是数列，则存在正数，对任意的有 ‎ ；‎ ‎，‎ 注意到 ‎ .‎ 同理， . 记，，‎ 则有 ‎.‎ 因此 ‎ .‎ 故数列是数列. ‎ ‎2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数 学(理工农医类)‎ 参考答案 一、选择题 ‎1.C 2.B 3.A 4.D 5.D 6.A 7.B 8.D 二、填空题 ‎9.171.8或148.2 10.6 11. 12.100 13.4 14.2 15.2 ‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ 解法2：由得，于是，或 即.‎ 由可知；由可知.‎ 故函数的零点的集合为.[来源:学,科,网]‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，，解得.‎ ‎（Ⅱ）由题意知，.‎ 因此，‎ ‎.‎ 故随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.729‎ ‎0.243‎ ‎0.027‎ ‎0.001‎ 的数学期望为.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 解法1：设正方体的棱长为1.如图所示，以为单位正交基底建立空间直角坐标系.‎ ‎（Ⅰ）依题意，得，‎ 所以.‎ 在正方体中，因为,所以是平面的一个法向量，设直线BE和平面所成的角为，则 ‎.‎ 即直线BE和平面所成的角的正弦值为.‎ 设F是棱上的点，则.又，所以 ‎.而，于是 为的中点，这说明在棱上存在点F(的中点)，使.[来源:学科网ZXXK]‎ 解法2：（Ⅰ）如图（a）所示，取的中点M，连结EM,BM.因为E是的中点，四边形为正方形，所以EM∥AD.‎ 即直线BE和平面所成的角的正弦值为.‎ ‎（Ⅱ）在棱上存在点F，使.‎ 事实上，如图（b）所示，分别取和CD的中点F，G，连结.因 ‎,且,所以四边形是平行四边形，因此.又E,G分别为，CD的中点，所以，从而.这说明，B，G，E共面，所以.‎ 因四边形与皆为正方形，F，G分别为和CD的中点，所以 ‎，且，因此四边形是平行四边形，所以.而，，故.‎ ‎19．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）设边界曲线上点P的坐标为，‎ 当时，由题意知.‎ 当时，由知，点P在以A，B为焦点，长轴长为的椭圆上.此时短半轴长.因而其方程为.‎ 故考察区域边界曲线（如图）的方程为 ‎.‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线为，过点的直线为，则直线，的方程分别为 ‎.‎ 程为，与之间的距离为.‎ 又直线到和的最短距离，而，所以考察区域边界到冰川边界线的最短距离为3.‎ 设冰川边界线移动到考察区域所需的时间为年，则由题设及等比数列求和公式，‎ 得，所以.‎ 故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为4年.‎ ‎20．（本小题满分13分）‎ 解：（Ⅰ）易知.由题设，对任意的，即 恒成立，所以，从而.‎ 于是，且，因此.‎ 故当时，有.‎ 即当时，.‎ 当时，由（Ⅰ）知，.此时或0，，‎ 从而恒成立.‎ 综上所述，M的最小值为.[来源:学科网]‎ ‎21．（本小题满分13分）‎ 解：易知.‎ 令.‎ ‎（1）若，则 当时，单调递增；‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增.‎ 故在取得极小值.‎ 由此猜测：当时，.‎ 下面先用数学归纳法证明：当时，.‎ 事实上，当时，由前面的讨论知结论成立.‎ 假设当时，成立，则由（2）知，，从而 ‎，‎ 所以.‎ 故当时，成立.‎ 于是由（2）知，当时，，而，因此.‎ 综上所述，当时，，，.‎ ‎（Ⅱ）存在，使数列是等比数列.‎ 事实上，由（2）知，若对任意的，都有，则.即数列是首项为，公比为3的等比数列，且.‎ 而要使，即对一切都成立，只需对一切都成立.‎ 记，则 令，则.因此，当时，，从而函数 当时，可得数列不是等比数列.‎ 综上所述，存在，使数列是等比数列，且的取值范围为.‎ ‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）‎ 数 学(理工农医类)‎ 参考答案 ‎1、D 2、A 3、B 4、C 5、C 6、Ｄ　　７、A 8、D ‎ ‎9、2 10、9 11、‎ ‎12、25 13、 14、 15、（1）；（2） 16、（1）2 ；（2）1093‎ ‎17、‎ ‎18、‎ ‎19、‎ ‎20、‎ ‎21、‎ ‎22、‎