- 172.50 KB
- 2021-05-13 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示
基础巩固题组
(建议用时:40分钟)
一、填空题
1.在▱ABCD中,若=(1,3),=(2,5),则=________,=________.
解析 ==-=(1,2),=-=(0,-1).
答案 (1,2) (0,-1)
2.(2014·揭阳二模)已知点A(-1,5)和向量a=(2,3),若=3a,则点B的坐标为________.
解析 设点B的坐标为(x,y),则=(x+1,y-5).
由=3a,得解得
答案 (5,14)
3.如图,在△OAB中,P为线段AB上的一点,=x +y ,且=2 ,则x=________,y=________.
解析 由题意知=+,又=2 ,所以=+=+(-)=+,所以x=,y=.
答案
4.(2013·镇江模拟)已知向量a=(-1,1),b=(3,m),a∥(a+b),则m
=________.
解析 a+b=(2,m+1),由a∥(a+b),得(-1)×(m+1)-2×1=0,解得m=-3.
答案 -3
5.(2014·南京模拟)在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则=________.
解析 =3 =3(2 -)=6 -3 =(6,30)-(12,9)=(-6,21).
答案 (-6,21)
6.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则+的值为________.
解析 =(a-2,-2),=(-2,b-2),
依题意,有(a-2)(b-2)-4=0,
即ab-2a-2b=0,所以+=.
答案
7.已知向量=(3,-4),=(0,-3),=(5-m,-3-m),若点A,B,C能构成三角形,则实数m满足的条件是________.
解析 由题意得=(-3,1),=(2-m,1-m),若A,B,C能构成三角形,则,不共线,则-3×(1-m)≠1×(2-m),解得m≠.
答案 m≠
8.(2013·江苏卷)设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1 +λ2 (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.
解析 =+=+=+(+)=-+,所以λ1=-,λ2=,
即λ1+λ2=.
答案
二、解答题
9.已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?
解 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),
法一 当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数λ使ka+b=λ(a-3b),由(k-3,2k+2)=λ(10,-4)得,
解得k=λ=-,
∴当k=-时,ka+b与a-3b平行,
这时ka+b=-a+b=-(a-3b).
∵λ=-<0,∴ka+b与a-3b反向.
法二 ∵ka+b与a-3b平行,
∴(k-3)×(-4)-10×(2k+2)=0,解得k=-,
此时ka+b==-(a-3b).
∴当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且反向.
10.已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),=t1 +t2 .
(1)求点M在第二或第三象限的充要条件;
(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A,B,M三点都共线.
(1)解 =t1+t2=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).当点M
在第二或第三象限时,有
故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0,
(2)证明 当t1=1时,由(1)知=(4t2,4t2+2).
∵=-=(4,4),
=-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2 ,
∴A,B,M三点共线.
能力提升题组
(建议用时:25分钟)
一、填空题
1.(2013·保定模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为________.
解析 由p∥q,得(a+c)(c-a)=b(b-a),
整理得b2+a2-c2=ab,
由余弦定理得cos C==,
又0°0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则+的最小值为________.
解析 =-=(a-1,1),=-=(-b-1,2).∵A,B,C三点共线,∴∥.
∴2(a-1)-(-b-1)=0,∴2a+b=1.
∴+=(2a+b)
=4++≥4+2 =8.
当且仅当=时取等号.∴+的最小值是8.
答案 8
二、解答题
4.如图,已知点A(1,0),B(0,2),C(-1,-2),求以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.
解 以A,B,C为顶点的平行四边形可以有三种情况:
①▱ABCD;②▱ADBC;③▱ABDC.设D的坐标为(x,y),
①若是▱ABCD,则由=,得
(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),
即(-1,2)=(-1-x,-2-y),
∴∴x=0,y=-4.
∴D点的坐标为(0,-4)(如题图中所示的D1).
②若是▱ADBC,由=,得
(0,2)-(-1,-2)=(x,y)-(1,0),
即(1,4)=(x-1,y),解得x=2,y=4.
∴D点的坐标为(2,4)(如题图中所示的D2).
③若是▱ABDC,则由=,得
(0,2)-(1,0)=(x,y)-(-1,-2),
即(-1,2)=(x+1,y+2).解得x=-2,y=0.
∴D点的坐标为(-2,0)(如题图中所示的D3),
∴以A,B,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0,-4)或(2,4)或(-2,0).