上海高考数学理科答案 6页

‎2009年全国普通高等学校招生统一考试 上海数学试卷（理科）答案 说明 1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。‎ 2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。‎ 解答 一、（第一题至第14题）‎ ‎1. i 2. 3. 4. ‎ ‎5 6. 1- 7. 8. ‎ ‎9. 3 10. 11. 12. 14‎ ‎13. 14. ‎ 二．（第15题至第18题）‎ 题号 ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 代号 A B D B 三. （第19题至第23题）‎ ‎19.解：‎ 如图，建立空间直角坐标系。‎ 则 A，C，A1，‎ B1，C1， …… 2分 设AC的中点为M，BMAC，BMCC1，‎ ‎ BM平面，即=（1，1，0）是平面的一个法向量。……5分 设平面A1B‎1C的一个法向量是=，‎ ‎=，=， …… 7分 ‎==0，=，令，解得。‎ ‎=， …… 10分 设法向量与的夹角为，二面角。‎ ‎，解得 ‎∴二面角的大小为 …… 14分 ‎20. 证明：‎ ‎（1）当时，‎ 而当时，函数单调递增，且 ……3分 故单调递减。‎ 所以，当，掌握程度的增长量总是下降 ……6分 解：‎ ‎（2）由题意可知 ……9分 整理得 ……13分 解得 ……14分 由此可知，该学科是乙学科 ‎21.解：‎ ‎（1）双曲线C的渐近线，即 …… 2分 直线的方程 …… 6分 直线与m的距离 …… 8分 ‎（2）证法一：‎ 设过原点且平行于的直线 则直线与的距离，‎ 当时，。 …… 12分 又双曲线C的渐近线为，‎ 双曲线C的右支在直线的右下方，‎ 双曲线C右支上的任意点到直线的距离大于。‎ 故在双曲线C的右支上不存在点Q到到直线的距离为 …… 16分 证法二：假设双曲线C右支上存在点Q到直线的距离为，‎ 则 ‎ 由（1）得， …… 11分 设 当时，：‎ ‎ …… 13分 将代入（2）得， （*）‎ ‎，‎ ‎∴方程（*）不存在正根，即假设不成立，‎ 故在双曲线C的右支上不存在点Q到直线的距离为 …… 16分 ‎22.解：（1）函数的反函数是，‎ ‎，‎ 而 ，其反函数为 ‎ 故函数不满足“1和性质” …… 4分 ‎（2）设函数满足“2和性质”，。‎ ‎, …… 6分 而，得反函数， …… 8分 由“2和性质”定义可知对恒成立。‎ 即所求一次函数. ……10分 ‎（3）设且点图像上，‎ 则在函数图像上，‎ 故 可得， ……12分 令，. ……14分 综上所述，此时其反函数是，‎ 而故互为反函数。 ……16分 ‎23． 解：‎ ‎（1）由， ……2分 整理后，可得，，为整数，‎ 不存在，使等式成立。 ……5分 ‎（2）解法一：若即， （*）‎ ‎（ⅰ）若，‎ 当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。 ……7分 ‎（ⅱ）若，（*）式等号左边取极限得（*）式等号右边的极限只有当时，才可能等于1，此时等号左边是常数，∴，矛盾。‎ 综上所述，只有当为非零常数列，为恒等于1的常数列，满足要求。‎ ‎……10分 解法二：设，若，对都成立，且为等比数列，‎ 则，对都成立，即，‎ ‎，对都成立，‎ ‎ ……7分 ‎（ⅰ）若，。‎ ‎（ⅱ）若，则（常数），即，则，矛盾 综上所述，，使对一切， ……10分 ‎（3），‎ 设 ‎，‎ ‎，， ……13分 取，……15分 由二项展开式可得正整数，使得，‎ 存在整数满足要求。‎ 故当且仅当，命题成立。 ……18分 说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分）‎ 若为偶数，则为偶数，但为奇数。‎ 故此等式不成立，一定为奇数。 ……1分 当时，则，‎ 而 当为偶数时，存在，使成立， ……1分 当时，则，‎ 也即，，‎ 由已证可知，当为偶数即为奇数时，存在，成立，……2分 当时，则，‎ 也即，而不是5的倍数，当所要求的不存在，‎ 故不是所有奇数都成立。 ……2分