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  • 2021-05-13 发布

高考全国卷理科数学试题含解析

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绝密★启用前 2014 年高考全国 2 卷理科数学试题(含解析) 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷(选择题) 请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释) 1.设复数 , 在复平面内的对应点关于虚轴对称, ,则 ( ) A.- 5 B.5 C.- 4+ i D.- 4 - i 2.设向量 a,b 满足|a+b|= ,|a-b|= ,则 a b = ( ) A.1 B.2 C.3 D.5 3.钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= ,则 AC=( ) A.5 B. C.2 D.1 4.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 5.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件 由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比 值为( ) A. B. C. D. 6.执行右图程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 7.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.设 F 为抛物线 C: 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点, 则 △OAB 的面积为( ) A. B. C. D. 9.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( ) A. B. C. D. 10.设函数 .若存在 的极值点 满足 ,则 m 的取值范围 是( ) A. B. C. D. 1z 2z 1 2z i= + 1 2z z = 10 6 ⋅ 1 2 2 5 17 27 5 9 10 27 1 3 2 3y x= 3 3 4 9 3 8 63 32 9 4 1 10 2 5 30 10 2 2 ( ) 3sin xf x m π= ( )f x 0x ( ) 22 2 0 0x f x m+ <   ( ) ( ), 6 6,−∞ − ∪ ∞ ( ) ( ), 4 4,−∞ − ∪ ∞ ( ) ( ), 2 2,−∞ − ∪ ∞ ( ) ( ), 1 1,−∞ − ∪ ∞ 第 II 卷(非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释) 11. 的展开式中, 的系数为 15,则 a=________.(用数字填写答案) 12. 函数 的最大值为_________. 13 . 已 知 偶 函 数 在 单 调 递 减 , . 若 , 则 的 取 值 范 围 是 __________. 14.设点 M( ,1),若在圆 O: 上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 的取值范围是 ________. 评卷人 得分 三、解答题(题型注释) 15.已知数列 满足 =1, . (1)证明 是等比数列,并求 的通项公式; (2)证明: . 16.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 AEC; (2)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= ,求三棱锥 E-ACD 的体积. 17.某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)求 y 关于 t 的线性回归方程; (2)利用(1)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况, 并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为: , 18.设 , 分别是椭圆 的左右焦点,M 是 C 上一点且 与 x 轴垂直,直 线 与 C 的另一个交点为 N. (1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率; (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 ,求 a,b. 19.已知函数 = . (1)讨论 的单调性; (2)设 ,当 时, ,求 的最大值; (3)已知 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001) 20.如图,P 是 O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与 O 相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC 的中点,AD 的延长线交 O 于点 E。 证明:(1)BE=EC; (2)AD DE=2 21.在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ( )10x a+ 7x ( ) ( ) ( )sin 2 2sin cosf x x xϕ ϕ ϕ= + − + ( )f x [ )0,+∞ ( )2 0f = ( )1 0f x − > x 0x 2 2 1x y+ = 0x { }na 1a 1 3 1n na a+ = + { }1 2na + { }na 1 2 31 1 1 2na a a + + <… + 3 ( )( ) ( ) 1 2 1 n i i i n i i t t y y b t t ∧ = = − − = − ∑ ∑ ˆˆa y bt= − 1F 2F ( )22 2 2 1 0yx a ba b + = > > 2MF 1MF 3 4 15MN F N= ( )f x 2x xe e x−− − ( )f x ( ) ( ) ( )2 4g x f x bf x= − 0x > ( ) 0g x > b 1.4142 2 1.4143< <    ⋅ 2PB , . (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 垂直,根据(1)中你得到的参数方程, 确定 D 的坐标. 22.设函数 = (1)证明: 2; (2)若 ,求 的取值范围. 2cosρ θ= 0, 2 πθ  ∈   : 3 2l y x= + ( )f x 1 ( 0)x x a aa + + − > ( )f x ≥ ( )3 5f < a 参考答案 1.A 【解析】由题意知: ,所以 -5,故选 A。 考点:本小题主要考查复数的乘法,复数的几何意义,复数是高考的重点,年年必考,常常 以选择或填空题的形式出现,难度不大,熟练基础知识是关键。 2.A 【 解 析 】 因 为 =10 , ,两式相加得: ,所以 ,故选 A. 考点:本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识,熟练基础知识与 基本题型是解答好本类题目的关键。 3.B 【解析】由面积公式得: ,解得 ,所以 或 , 当 时, 由余弦定理得: =1,所以 ,又因为 AB=1,BC= ,所以 此时 为等腰直角三角形,不合题意,舍去;所以 ,由余弦定理得: =5,所以 ,故选 B. 考点:本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式,考查解三角形的基础知识. 4.A 【解析】设 A=“某一天的空气质量为优良”,B=“随后一天的空气质量为优良”,则 ,故选 A. 考点:本小题主要考查条件概率的求法,熟练概率的基础知识是解答好本类题目的关键. 5.C 【解析】因为加工前的零件半径为 3,高为 6,所以体积 ,又因为加工后的零件, 左半部为小圆柱,半径为 2,高 4,右半部为大圆柱,半径为 3,高为 2,所以体积 ,所以削掉部分的体积与原体积之比为 ,故选 C. 考点:本小题主要考查立体几何中的三视图,考查同学们的空间想象能力. 6.D 【解析】由题意知:当 时, , ;当 时, , ;当 时,输出 S=7,故选 D。 考点:本小题主要考查程序框图的基础知识,程序框图是新课标新增内容,是高考的重点, 年年必考,主要以客观题的形式出现,经常也数列、不等式、函数等知识相结合,在知识的 2 2z i= − + 1 2z z = 2 2| | ( )a b a b+ = + =    2 2 2a b a b+ + ⋅    2 2| | ( )a b a b− = − =    2 2 2 6a b a b+ − ⋅ =    2 2 8a b+ =  1a b⋅ =  1 12 sin2 2B× = 2sin 2B = 45B =  135B =  45B =  2 1 2 2 2 cos45AC = + −  1AC = 2 ABC∆ 135B =  2 1 2 2 2 cos135AC = + −  5AC = ( ) 0.6( | ) 0.8( ) 0.75 P A BP B A P A ∩= = = 1 54V π= 2 16 18 34V π π π= + = 54 34 10 54 27 π π π − = 1k = 2M = 5S = 2k = 2M = 7S = 3k = 交汇处出题,应熟练这部分的基础知识. 7.B 【解析】画出不等式组表示的平面区域,可知区域为三角形,平移直线 ,可知当 经过两条直线 与 的交点 A(5,2)时,取得最大值 8,故选 B. 考点:本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题,正确画图与平移直线是 解答这类问题的关键. 8.D 【解析】由题意可知:直线 AB 的方程为 ,代入抛物线的方程可得: , 设 A 、 B , 则 所 求 三 角 形 的 面 积 为 = ,故选 D. 考点:本小题主要考查直线与抛物线的位置关系,考查两点间距离公式等基础知识,考查同 学们分析问题与解决问题的能力. 9.C 【解析】以 C 为原点,直线 CA 为 x 轴,直线 CB 为 y 轴,直线 为 轴,则设 CA=CB=1, 则 , , A ( 1 , 0 , 0 ), , 故 , ,所以 ,故选 C. 考点:本小题主要考查利用空间向量求线线角,考查空间向量的基本运算,考查空间想象能 力等数学基本能力,考查分析问题与解决问题的能力. 10.C 【 解 析 】 由 题 意 知 : 的 极 值 为 , 所 以 , 因 为 , 所以 ,所以 即 ,所以 , 即 3,而已知 ,所以 3,故 , 解得 或 ,故选 C. 考点:本小题主要考查利用导数研究的极值,考查三角函数,考查一元二次不等式的解法, 2z x y= − 3 1 0x y− + = 7 0x y+ − = 3 3( )3 4y x= − 24 12 3 9 0y y− − = 1 1( , )x y 2 2( , )x y 1 2 1 2 1 3 ( ) 42 4 y y y y× × + − 9 4 1CC z (0,1,0)B 1 1( , ,1)2 2M 1( ,0,1)2N 1 1( , ,1)2 2BM = − 1( ,0,1)2AN = − cos , | | | | BM ANBM AN BM AN ⋅= = ⋅      3 4 6 5 2 2 = ⋅ 30 10 ( )f x 3± ( ) 2 0 3f x =   ' 0 0( ) 3 cos 0xf x m m ππ= ⋅ = 0 ,2 x k k zm π ππ= + ∈ 0 1 ,2 x k k zm = + ∈ 0 1 1| | | |2 2 x km = + ≥ 0| | | |2 mx ≥ 2 2 0 0[ ( )]x f x+ ≥ 2 4 m + ( ) 22 2 0 0x f x m+ <   2 2 4 mm > + 23 34 m > 2m > 2m < − 考查分析问题与解决问题的能力. 11. 【解析】因为 ,所以令 ,解得 ,所以 =15 , 解得 . 考点:本小题主要考查二项式定理的通项公式,求特定项的系数,题目难度不大,属于中低 档. 12.1 【 解 析 】 由 题 意 知 : = = = = = ,即 ,因为 ,所以 的最大值为 1. 考点:本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解,熟练公式是解答好 本类题目的关键. 13. 【解析】因为 是偶函数,所以不等式 ,又因为 在 上单调递减,所以 ,解得 . 考点:本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性,考查绝对值不等式的解法,熟练基础知 识是关键. 14. 【解析】由题意知:直线 MN 与圆 O 有公共点即可,即圆心 O 到直线 MN 的距离小于等于 1 即 可,如图, 过 OA ⊥ MN , 垂 足 为 A , 在 中 , 因 为 ∠ OMN=45 , 所 以 = 1 2 10 1 10 r r r rT C x a− + = 10 7r− = 3r = 3 7 3 4 10T C x a= 7x 1 2a = ( ) ( ) ( )sin 2 2sin cosf x x xϕ ϕ ϕ= + − + ( ) ( )sin[ ] 2sin cosx xϕ ϕ ϕ ϕ+ + − + ( )sin cos xϕ ϕ+ + ( )cos sin xϕ ϕ+ − ( )2sin cos xϕ ϕ+ ( )cos sin xϕ ϕ+ − ( )sin cos xϕ ϕ+ ( )sin[ ]x ϕ ϕ+ − sin x ( ) sinf x x= x R∈ ( )f x ( 1,3)− ( )f x ( 1) 0 (| 1|) (2)f x f x f− > ⇔ − > ( )f x [0, )+∞ | 1| 2x − < 1 3x− < < [ 1,1]− Rt OMA∆ | | | | sin 45OA OM=  , 解得 ,因为点 M( ,1),所以 ,解得 ,故 的取值范围是 . 考点:本小题主要考查考查直线与圆的位置关系,考查数形结合能力和逻辑思维能力,考查 同学们分析问题和解决问题的能力,有一定的区分度. 15. 【解析】试题分析:本题第(1)问,证明等比数列,可利用等比数列的定义来证明,之后 利用等比数列,求出其通项公式;对第(2)问,可先由第(1)问求出 ,然后转化为等 比数列求和,放缩法证明不等式. 试题解析:(1)证明:由 得 ,所以 ,所以 是等比数列,首项为 ,公比为 3,所以 ,解得 . (2)由(1)知: ,所以 , 因 为 当 时 , , 所 以 , 于 是 = , 所以 . 【易错点】对第(1)问,构造数列证明等比数列不熟练;对第(2)问,想不到当 时, ,而找不到思路,容易想到用数学归纳法证明而走弯路. 考点:本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识, 考查同学们的逻辑推理能力,考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一, 熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键. 16. 2 | | 12 OM ≤ | | 2OM ≤ 0x 2 0| | 1 2OM x= + ≤ 01 1x− ≤ ≤ 0x [ 1,1]− na = 3 1 2 n − 1 na 1 3 1n na a+ = + 1 1 13( )2 2n na a+ + = + 1 1 2 31 2 n n a a + + = + 1 2na +   1 1 3 2 2a + = 1 2na + = 13 32 n−⋅ na = 3 1 2 n − na = 3 1 2 n − 1 2 3 1n na = − 1n ≥ 13 1 2 3n n−− ≥ ⋅ 1 1 1 3 1 2 3n n−≤− ⋅ 1 1 a + 2 1 a + 1 na 1 1 11 3 3n−≤ + + + 3 1(1 )2 3n − 3 2 < 1 1 a + 2 1 a + 1 na 3 2 < 1n ≥ 13 1 2 3n n−− ≥ ⋅ 3 8 【解析】试题分析:本题第(1)问,证明直线与平面平行,可利用线面平行的判定定理来 证明;对第(2)问,可先建立空间直角坐标系,由空间向量的坐标运算计算二面角,从而 计算出 AB,然后由棱锥的体积公式求出三棱锥的体积. 试题解析:(1)证明:设 O 为 AC 与 BD 交点,连结 OE,则由矩形 ABCD 知:O 为 BD 的中点, 因为 E 是 BD 的中点,所以 OE∥PB,因为 OE 面 AEC,PB 面 AEC,所以 PB∥平面 AEC。 (2)以 A 为原点,直线 AB、AD、AP 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,设 AB=m,则 是平面 AED 的一个法向量,设 是平面 AEC 的法向量,则 , 解 得 , , 所 以 令 , 得 ,所以 = ,因为二面角的大小与其两个半平面的两个法向量 的夹角相等哉互补,所以 = ,解得 ,因为 E 是 PD 的 中 点 , 所 以 三 棱 锥 E-ACD 的 高 为 , 所 以 三 棱 锥 E-ACD 的 体 积 为 = = . 【易错点】对第(1)问,证明线面平行时,容易漏掉条件;对第(2)问,二面角的大小与 两个法向量夹角相等或互补的关系,一部分同学容易得出它们相等;并且计算法向量可能出 现错误. 考点:本小题考查空间中直线与平面平行等位置关系的证明、二面角的求解,空间几何体的 体积的求法,考查利用空间向量知识解决立体几何的能力,考查同学们的逻辑推理能力、空 间想象能力,考查分析问题以及解决问题的能力. 17.(1) ;(2)在 2007 至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增 加,平均每年增加 千元; 元. 【解析】试题分析:本题第(1)问,由给出的 与 公式求出 与 ,从而求出回归直线 方程;对第(2)问,由第(1)问求出的回归直线方程进行预测,令 ,可得 的近似 值. 试 题 解 析 : ( 1 ) 由 题 意 知 , , , 所 以 ⊂ ⊄ ( ,0,0)AB m= ( , , )n x y z= 3 1 02 2 3 0 n AE y z n AC mx y  ⋅ = + =  ⋅ = + =     3z y= − 3y mx= − 1y = − 3( , 1, 3)n m = − cos ,n AB =  2 3 3 4m m ⋅ + 2 3 3 4m+ cos ,n AB =  2 3 3 4m+ cos60 3 2m = 1 2 1 1 3 2ACDS∆× × 1 1 36 2 m× × × 1 1 336 2 2 × × × = 3 8 0.5 2.3y t= + 0.5 6.8千 b a b a 9t = y 4t = 4.3y = b = = , 所以 = = ,所以线性回归方程为 。 (2)由(1)中的线性回归方程可知, ,所以在 2007 至 2013 年该地区农村居民家庭 人均纯收入在逐年增加,平均每年增加 千元. 令 得: ,故预测该地区在 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 元。 【易错点】本题的易错点是第(1)问计算错误,第(2)问在 2007 至 2013 年该地区农村居 民家庭人均纯收入的变化情况,不知道如何回答. 考点:本小题主要考查线性回归方程的解法等基础知识,属中档题目,考查同学们分析问题 与解决问题的能力. 18.(1) ;(2) , . 【解析】试题分析:本题第(1)问,可结合 与 x 轴垂直,由勾股定理及椭圆定义求出 椭圆的离心率;对第(2)问,观察到 是三角形的中位线,然后结合向量的坐标运算及 椭圆方程,可求出 a,b. 试 题 解 析 : ( 1 ) 由 题 意 知 , , 所 以 , 由 勾 股 定 理 可 得 : ,由椭圆定义可得: = ,解得 C 的离心率为 。 (2)由题意,原点 O 为 的中点, ∥y 轴,所以直线 与 y 轴的交点 D(0,2) 是线段 的中点,故 ,即 ,由 得 ,设 ,由题意知 ,则 ,即 ,代入 C 的方程得 ,将 及 代入 得: ,解得 , . 【易错点】对第(1)问,较容易,大部分同学都能计算出;对第(2)问,一部分同学考虑 不到中位线, 容易联立方程组求解而走弯路,并且容易出现计算失误. 考点:本小题考查椭圆的几何意义(离心率的求解)、椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系, 考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ,考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问 3 1.4 2 0.7 0 0.5 1.8 3 1.6 9 4 1 0 1 4 9 × + + + + + + × + + + + + + 0.5 a y bt− 4.3 0.5 4− × = 2.3 0.5 2.3y t= + 0b > 0.5 9t = 0.5 9 2.3 6.8y = × + = 6.8千 1 2 7a = 2 7b = 2MF 2MF 2| | 3 2 4 MF c = 2 3| | 2MF c= 1 5| | 2MF c= 3 2 c + 5 2 c 2a 1 2 1 2F F 2MF 1MF 1MF 2 4b a = 2 4b a= 15MN F N= 1 1| | 2 | |DF F N= 1 1( , )N x y 1 0y < 1 1 2( ) 2 2 c x c y − − = − = 1 1 3 2 1 x c y  = −  = − 2 2 2 9 1 14 c a b + = 2 4b a= 2 2c a b= − 2 2 2 9 1 14 c a b + = 2 2 9( 4 ) 1 14 4 a a a a − + = 7a = 2 7b = 题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题 的关键. 19.(1)函数 在 R 上是增函数;(2)2;(3) 【解析】试题分析:本题第(1)问,判断函数的单调,关键是判断导数的正数;对第(2) 问,可构造函数 ,对(3)问,可根据 的取值讨论. 试题解析:(1)因为 ,当且仅当 时等号成立,所以函数 在 R 上是增函数; (2)因为 = , 所以 = . (1) 当 时 , , 等 号 仅 当 时 成 立 , 所 以 在 R 上 单 调 递 增 , 而 ,所以对任意 , ; ( 2 ) 当 时 , 若 满 足 , 即 时 , ,而 , 因此当 时, , 综上, 的最大值为 2. (3)由(2)知, , 当 时, , ; 当 时, , , ,所以 的近似值为 . 【易错点】对第(Ι)问,函数单调性的判断,容易;对第(2)问,考虑不到针对 去讨论;对 第(3)问, 找不到思路. 考点:本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识,综合性较强,考查 函数与方程、分类讨论等数学思想方法,考查同学们分析问题、解决问题的能力,熟练函数 与导数的基础知识以及基本题型是解答好本类题目的关键. 20.(1)见解析 (2)见解析 ( )f x 0.693 ( )g x = (2 ) 4 ( )f x bf x− b ' 1( ) 2 0x xf x e e = + − ≥ 0x = ( )f x ( )g x = (2 ) 4 ( )f x bf x− 2 2 4 ( ) (8 4)x x x xe e b e e b x− −− − − + − ' ( )g x = 2 22[ 2 ( ) (4 2)]x x x xe e b e e b− −+ − + + − 2( 2)( 2 2)x x x xe e e e b− −+ − + − + 2b ≤ ' ( ) 0g x ≥ 0x = ( )g x (0) 0g = 0x > ( ) 0g x > 2b > x 2 2 2x xe e b−< + < − 20 ln( 1 2 )x b b b< < − + − ' ( ) 0g x < (0) 0g = 20 ln( 1 2 )x b b b< ≤ − + − ( ) 0g x < b 3(ln 2) 2 2 2(2 1)ln 22g b b= − + − 2b = 3(ln 2) 4 2 6ln 2 02g = − + > 8 2 3ln 2 0.692812 −> > 3 2 14b = + 2ln( 1 2 ) ln 2b b b− + − = 3(ln 2) 2 2 (3 2 2)ln 22g = − − + + 0< 18 2ln 2 0.693428 +< < ln 2 0.693 b 【解析】试题分析:本题第(1)问,先由已知得出 PA=PD,然后由对应角相等,拆分角得 出结论;对第(2)问,可由切割线定理得出 , , 然后由相交弦定理,得出结论. 试 题 解 析 : ( 1 ) 连 结 AB , AC , 由 题 意 知 PA=PD , 故 , 因 为 , , ,所以 ,从而 , 因此 BE=EC. (2)由切割线定理得: ,因为 ,所以 , , 由相交弦定理得: = = = ,所以等式成立. 【易错点】对第(1)问,不容易找到思路;第(2)问中不会灵活应用已知条件而出错. 考点:本小题主要考查圆的切线、割线、相交弦定理、圆内接四边形等平面几何知识,考查 数形结合思想,考查分析问题、解决问题的能力. 21.(1) 是参数, ;(2) 【解析】试题分析:本题第(1)问,由极坐标与普通方程的互化关系可得出 C 的普通方程 为: ,从而写出 C 的参数方程为 是参数, .;对 第(2)问,可先设 D 点坐标为 ,然后由 C 在点 D 处的切线与 垂直,得出 ,从而得出 ,写出 D 点坐标. 试题解析:(1)设点 M 是 C 上任意一点,则由 可得 C 的普通方程为: , 即 , 所以 C 的参数方程为 是参数, . (2)设 D 点坐标为 ,由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上 半圆, 因为 C 在点 D 处的切线与 垂直,所以直线 GD 与 的斜率相同, , , 故 D 点的直角坐标为 ,即 . 2PA PB= 4PC PB= PAD PDA∠ = ∠ PDA DAC DCA∠ = ∠ + ∠ PAD BAD PAB∠ = ∠ + ∠ DCA PAB∠ = ∠ DAC BAD∠ = ∠  BE EC= 2PA PB PC= ⋅ 2PC PA= 2PA PB= 4PC PB= AD DE BD DC⋅ = ⋅ ( )PD PB PD− ⋅ 1 1( )2 2PC PB PC− ⋅ 2(2 ) 2 2PB PB PB PB− ⋅ = 1 cos ,(sin x y β ββ = +  = 0 )β π≤ ≤ 3 3( , )2 2 2 2 2x y x+ = 1 cos ,(sin x y β ββ = +  = 0 )β π≤ ≤ (1 cos ,sin )β β+ l tan 3β = 3 πβ = ( , )x y 2cosρ θ= 2 2 2x y x+ = 2 2( 1) 1(0 1)x y y− + = ≤ ≤ 1 cos ,(sin x y β ββ = +  = 0 )β π≤ ≤ (1 cos ,sin )β β+ l l tan 3β = 3 πβ = (1 cos ,sin )3 3 π π+ 3 3( , )2 2 【易错点】对第(1)问,极坐标与普通方程、参数方程之间的互化,有一部分学生不熟练而 出错;对第(2)问,不理解题意而出错. 考点:本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类 题目的关键. 22.(2) 【解析】试题分析:本题第(1)问,可由绝对值不等式的几何意义得出 ,从而 得出结论;对第(2)问,由 去掉一个绝对值号,然后去掉另一个绝对值号,解出 的 取值范围. 试题解析:(1)证明:由绝对值不等式的几何意义可知: ,当且仅当 时,取等号,所以 . (2)因为 ,所以 ,解得: . 【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等. 考点:本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求 参数范围等不等式知识,熟练基础知识是解答好本类题目的关键. 1 5 5 21 2 2a + +< < min( ) 2f x = 0a > a min( )f x = 1 2a a + ≥ 1a = ( ) 2f x ≥ (3) 5f < 1| 3| | 3| 5aa + + − < ⇔ 1 3 | 3| 5aa + + − < ⇔ 1| 3| 2a a − < − ⇔ 1 12 3 2aa a − < − < − 1 5 5 21 2 2a + +< <