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- 2021-05-13 发布
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绝密★启用前
2014 年高考全国 2 卷理科数学试题(含解析)
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明
评卷人 得分
一、选择题(题型注释)
1.设复数 , 在复平面内的对应点关于虚轴对称, ,则 ( )
A.- 5 B.5 C.- 4+ i D.- 4 - i
2.设向量 a,b 满足|a+b|= ,|a-b|= ,则 a b = ( )
A.1 B.2 C.3 D.5
3.钝角三角形 ABC 的面积是 ,AB=1,BC= ,则 AC=( )
A.5 B. C.2 D.1
4.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良的概率是
0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45
5.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件
由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比
值为( )
A. B. C. D.
6.执行右图程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= ( )
A.4 B.5 C.6 D.7
7.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
8.设 F 为抛物线 C: 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,
则
△OAB 的面积为( )
A. B. C. D.
9.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1,
则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
10.设函数 .若存在 的极值点 满足 ,则 m 的取值范围
是( )
A. B.
C. D.
1z 2z 1 2z i= + 1 2z z =
10 6 ⋅
1
2 2
5
17
27
5
9
10
27
1
3
2 3y x=
3 3
4
9 3
8
63
32
9
4
1
10
2
5
30
10
2
2
( ) 3sin xf x m
π= ( )f x 0x ( ) 22 2
0 0x f x m+ <
( ) ( ), 6 6,−∞ − ∪ ∞ ( ) ( ), 4 4,−∞ − ∪ ∞
( ) ( ), 2 2,−∞ − ∪ ∞ ( ) ( ), 1 1,−∞ − ∪ ∞
第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明
评卷人 得分
二、填空题(题型注释)
11. 的展开式中, 的系数为 15,则 a=________.(用数字填写答案)
12. 函数 的最大值为_________.
13 . 已 知 偶 函 数 在 单 调 递 减 , . 若 , 则 的 取 值 范 围 是
__________.
14.设点 M( ,1),若在圆 O: 上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 的取值范围是
________.
评卷人 得分
三、解答题(题型注释)
15.已知数列 满足 =1, .
(1)证明 是等比数列,并求 的通项公式;
(2)证明: .
16.如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点.
(1)证明:PB∥平面 AEC;
(2)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= ,求三棱锥 E-ACD 的体积.
17.某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表:
年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
(1)求 y 关于 t 的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,
并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
,
18.设 , 分别是椭圆 的左右焦点,M 是 C 上一点且 与 x 轴垂直,直
线 与 C 的另一个交点为 N.
(1)若直线 MN 的斜率为 ,求 C 的离心率;
(2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 ,求 a,b.
19.已知函数 = .
(1)讨论 的单调性;
(2)设 ,当 时, ,求 的最大值;
(3)已知 ,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)
20.如图,P 是 O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与 O 相交于点 B,C,PC=2PA,D 为 PC
的中点,AD 的延长线交 O 于点 E。
证明:(1)BE=EC;
(2)AD DE=2
21.在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为
( )10x a+ 7x
( ) ( ) ( )sin 2 2sin cosf x x xϕ ϕ ϕ= + − +
( )f x [ )0,+∞ ( )2 0f = ( )1 0f x − > x
0x 2 2 1x y+ = 0x
{ }na 1a 1 3 1n na a+ = +
{ }1
2na + { }na
1 2
31 1 1
2na a a
+ + <… +
3
( )( )
( )
1
2
1
n
i i
i
n
i
i
t t y y
b
t t
∧
=
=
− −
=
−
∑
∑
ˆˆa y bt= −
1F 2F ( )22
2 2 1 0yx a ba b
+ = > > 2MF
1MF
3
4
15MN F N=
( )f x 2x xe e x−− −
( )f x
( ) ( ) ( )2 4g x f x bf x= − 0x > ( ) 0g x > b
1.4142 2 1.4143< <
⋅ 2PB
,
.
(1)求 C 的参数方程;
(2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,
确定 D 的坐标.
22.设函数 =
(1)证明: 2;
(2)若 ,求 的取值范围.
2cosρ θ=
0, 2
πθ ∈
: 3 2l y x= +
( )f x 1 ( 0)x x a aa
+ + − >
( )f x ≥
( )3 5f < a
参考答案
1.A
【解析】由题意知: ,所以 -5,故选 A。
考点:本小题主要考查复数的乘法,复数的几何意义,复数是高考的重点,年年必考,常常
以选择或填空题的形式出现,难度不大,熟练基础知识是关键。
2.A
【 解 析 】 因 为 =10 ,
,两式相加得: ,所以 ,故选 A.
考点:本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识,熟练基础知识与
基本题型是解答好本类题目的关键。
3.B
【解析】由面积公式得: ,解得 ,所以 或 ,
当 时,
由余弦定理得: =1,所以 ,又因为 AB=1,BC= ,所以
此时 为等腰直角三角形,不合题意,舍去;所以 ,由余弦定理得:
=5,所以 ,故选 B.
考点:本小题主要考查余弦定理及三角形的面积公式,考查解三角形的基础知识.
4.A
【解析】设 A=“某一天的空气质量为优良”,B=“随后一天的空气质量为优良”,则
,故选 A.
考点:本小题主要考查条件概率的求法,熟练概率的基础知识是解答好本类题目的关键.
5.C
【解析】因为加工前的零件半径为 3,高为 6,所以体积 ,又因为加工后的零件,
左半部为小圆柱,半径为 2,高 4,右半部为大圆柱,半径为 3,高为 2,所以体积
,所以削掉部分的体积与原体积之比为 ,故选 C.
考点:本小题主要考查立体几何中的三视图,考查同学们的空间想象能力.
6.D
【解析】由题意知:当 时, , ;当 时, , ;当
时,输出 S=7,故选 D。
考点:本小题主要考查程序框图的基础知识,程序框图是新课标新增内容,是高考的重点,
年年必考,主要以客观题的形式出现,经常也数列、不等式、函数等知识相结合,在知识的
2 2z i= − + 1 2z z =
2 2| | ( )a b a b+ = + = 2 2
2a b a b+ + ⋅ 2 2| | ( )a b a b− = − =
2 2
2 6a b a b+ − ⋅ = 2 2
8a b+ = 1a b⋅ =
1 12 sin2 2B× = 2sin 2B = 45B = 135B =
45B =
2 1 2 2 2 cos45AC = + − 1AC = 2
ABC∆ 135B =
2 1 2 2 2 cos135AC = + − 5AC =
( ) 0.6( | ) 0.8( ) 0.75
P A BP B A P A
∩= = =
1 54V π=
2 16 18 34V π π π= + = 54 34 10
54 27
π π
π
− =
1k = 2M = 5S = 2k = 2M = 7S = 3k =
交汇处出题,应熟练这部分的基础知识.
7.B
【解析】画出不等式组表示的平面区域,可知区域为三角形,平移直线 ,可知当
经过两条直线
与 的交点 A(5,2)时,取得最大值 8,故选 B.
考点:本小题主要考查在约束条件下的简单的目标函数的最值问题,正确画图与平移直线是
解答这类问题的关键.
8.D
【解析】由题意可知:直线 AB 的方程为 ,代入抛物线的方程可得:
, 设 A 、 B , 则 所 求 三 角 形 的 面 积 为
= ,故选 D.
考点:本小题主要考查直线与抛物线的位置关系,考查两点间距离公式等基础知识,考查同
学们分析问题与解决问题的能力.
9.C
【解析】以 C 为原点,直线 CA 为 x 轴,直线 CB 为 y 轴,直线 为 轴,则设 CA=CB=1,
则
, , A ( 1 , 0 , 0 ), , 故 ,
,所以 ,故选 C.
考点:本小题主要考查利用空间向量求线线角,考查空间向量的基本运算,考查空间想象能
力等数学基本能力,考查分析问题与解决问题的能力.
10.C
【 解 析 】 由 题 意 知 : 的 极 值 为 , 所 以 , 因 为
,
所以 ,所以 即 ,所以 ,
即
3,而已知 ,所以 3,故 ,
解得 或 ,故选 C.
考点:本小题主要考查利用导数研究的极值,考查三角函数,考查一元二次不等式的解法,
2z x y= −
3 1 0x y− + = 7 0x y+ − =
3 3( )3 4y x= −
24 12 3 9 0y y− − = 1 1( , )x y 2 2( , )x y
1 2 1 2
1 3 ( ) 42 4 y y y y× × + − 9
4
1CC z
(0,1,0)B 1 1( , ,1)2 2M 1( ,0,1)2N 1 1( , ,1)2 2BM = −
1( ,0,1)2AN = − cos ,
| | | |
BM ANBM AN
BM AN
⋅= =
⋅
3
4
6 5
2 2
=
⋅
30
10
( )f x 3± ( ) 2
0 3f x =
' 0
0( ) 3 cos 0xf x m m
ππ= ⋅ =
0 ,2
x k k zm
π ππ= + ∈ 0 1 ,2
x k k zm
= + ∈ 0 1 1| | | |2 2
x km
= + ≥ 0| | | |2
mx ≥
2 2
0 0[ ( )]x f x+ ≥
2
4
m + ( ) 22 2
0 0x f x m+ <
2
2
4
mm > +
23 34
m >
2m > 2m < −
考查分析问题与解决问题的能力.
11.
【解析】因为 ,所以令 ,解得 ,所以 =15 ,
解得 .
考点:本小题主要考查二项式定理的通项公式,求特定项的系数,题目难度不大,属于中低
档.
12.1
【 解 析 】 由 题 意 知 : =
= =
= = ,即 ,因为 ,所以 的最大值为 1.
考点:本小题主要考查两角和与差的三角函数、三角函数的最值的求解,熟练公式是解答好
本类题目的关键.
13.
【解析】因为 是偶函数,所以不等式 ,又因为
在 上单调递减,所以 ,解得 .
考点:本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性,考查绝对值不等式的解法,熟练基础知
识是关键.
14.
【解析】由题意知:直线 MN 与圆 O 有公共点即可,即圆心 O 到直线 MN 的距离小于等于 1 即
可,如图,
过 OA ⊥ MN , 垂 足 为 A , 在 中 , 因 为 ∠ OMN=45 , 所 以 =
1
2
10
1 10
r r r
rT C x a−
+ = 10 7r− = 3r = 3 7 3
4 10T C x a= 7x
1
2a =
( ) ( ) ( )sin 2 2sin cosf x x xϕ ϕ ϕ= + − +
( ) ( )sin[ ] 2sin cosx xϕ ϕ ϕ ϕ+ + − +
( )sin cos xϕ ϕ+ + ( )cos sin xϕ ϕ+ − ( )2sin cos xϕ ϕ+ ( )cos sin xϕ ϕ+ −
( )sin cos xϕ ϕ+
( )sin[ ]x ϕ ϕ+ − sin x ( ) sinf x x= x R∈ ( )f x
( 1,3)−
( )f x ( 1) 0 (| 1|) (2)f x f x f− > ⇔ − > ( )f x
[0, )+∞ | 1| 2x − < 1 3x− < <
[ 1,1]−
Rt OMA∆ | | | | sin 45OA OM=
,
解得 ,因为点 M( ,1),所以 ,解得 ,故
的取值范围是
.
考点:本小题主要考查考查直线与圆的位置关系,考查数形结合能力和逻辑思维能力,考查
同学们分析问题和解决问题的能力,有一定的区分度.
15.
【解析】试题分析:本题第(1)问,证明等比数列,可利用等比数列的定义来证明,之后
利用等比数列,求出其通项公式;对第(2)问,可先由第(1)问求出 ,然后转化为等
比数列求和,放缩法证明不等式.
试题解析:(1)证明:由 得 ,所以 ,所以
是等比数列,首项为 ,公比为 3,所以 ,解得 .
(2)由(1)知: ,所以 ,
因 为 当 时 , , 所 以 , 于 是
= ,
所以 .
【易错点】对第(1)问,构造数列证明等比数列不熟练;对第(2)问,想不到当 时,
,而找不到思路,容易想到用数学归纳法证明而走弯路.
考点:本小题考查等比数列的定义、数列通项公式的求解、数列中不等式的证明等基础知识,
考查同学们的逻辑推理能力,考查分析问题与解决问题的能力.数列是高考的热点问题之一,
熟练数列的基础知识是解决好该类问题的关键.
16.
2 | | 12 OM ≤
| | 2OM ≤ 0x 2
0| | 1 2OM x= + ≤ 01 1x− ≤ ≤ 0x
[ 1,1]−
na = 3 1
2
n −
1
na
1 3 1n na a+ = + 1
1 13( )2 2n na a+ + = + 1
1
2 31
2
n
n
a
a
+ +
=
+
1
2na + 1
1 3
2 2a + = 1
2na + = 13 32
n−⋅ na = 3 1
2
n −
na = 3 1
2
n − 1 2
3 1n
na
= −
1n ≥ 13 1 2 3n n−− ≥ ⋅
1
1 1
3 1 2 3n n−≤− ⋅ 1
1
a
+
2
1
a
+
1
na
1
1 11 3 3n−≤ + + +
3 1(1 )2 3n
− 3
2
<
1
1
a
+
2
1
a
+
1
na
3
2
<
1n ≥
13 1 2 3n n−− ≥ ⋅
3
8
【解析】试题分析:本题第(1)问,证明直线与平面平行,可利用线面平行的判定定理来
证明;对第(2)问,可先建立空间直角坐标系,由空间向量的坐标运算计算二面角,从而
计算出 AB,然后由棱锥的体积公式求出三棱锥的体积.
试题解析:(1)证明:设 O 为 AC 与 BD 交点,连结 OE,则由矩形 ABCD 知:O 为 BD 的中点,
因为 E 是 BD 的中点,所以 OE∥PB,因为 OE 面 AEC,PB 面 AEC,所以 PB∥平面 AEC。
(2)以 A 为原点,直线 AB、AD、AP 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系,设 AB=m,则
是平面 AED 的一个法向量,设 是平面 AEC 的法向量,则
, 解 得 , , 所 以 令 , 得
,所以
= ,因为二面角的大小与其两个半平面的两个法向量
的夹角相等哉互补,所以 = ,解得 ,因为 E 是 PD 的
中 点 , 所 以 三 棱 锥 E-ACD 的 高 为 , 所 以 三 棱 锥 E-ACD 的 体 积 为 =
= .
【易错点】对第(1)问,证明线面平行时,容易漏掉条件;对第(2)问,二面角的大小与
两个法向量夹角相等或互补的关系,一部分同学容易得出它们相等;并且计算法向量可能出
现错误.
考点:本小题考查空间中直线与平面平行等位置关系的证明、二面角的求解,空间几何体的
体积的求法,考查利用空间向量知识解决立体几何的能力,考查同学们的逻辑推理能力、空
间想象能力,考查分析问题以及解决问题的能力.
17.(1) ;(2)在 2007 至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增
加,平均每年增加 千元; 元.
【解析】试题分析:本题第(1)问,由给出的 与 公式求出 与 ,从而求出回归直线
方程;对第(2)问,由第(1)问求出的回归直线方程进行预测,令 ,可得 的近似
值.
试 题 解 析 : ( 1 ) 由 题 意 知 , , , 所 以
⊂ ⊄
( ,0,0)AB m= ( , , )n x y z=
3 1 02 2
3 0
n AE y z
n AC mx y
⋅ = + =
⋅ = + =
3z y= − 3y mx= − 1y = −
3( , 1, 3)n m
= −
cos ,n AB =
2
3
3 4m m
⋅ + 2
3
3 4m+
cos ,n AB =
2
3
3 4m+ cos60 3
2m =
1
2
1 1
3 2ACDS∆× ×
1 1 36 2 m× × × 1 1 336 2 2
× × × = 3
8
0.5 2.3y t= +
0.5 6.8千
b a b a
9t = y
4t = 4.3y = b =
= ,
所以 = = ,所以线性回归方程为 。
(2)由(1)中的线性回归方程可知, ,所以在 2007 至 2013 年该地区农村居民家庭
人均纯收入在逐年增加,平均每年增加 千元.
令 得: ,故预测该地区在 2015 年农村居民家庭人均纯收入为
元。
【易错点】本题的易错点是第(1)问计算错误,第(2)问在 2007 至 2013 年该地区农村居
民家庭人均纯收入的变化情况,不知道如何回答.
考点:本小题主要考查线性回归方程的解法等基础知识,属中档题目,考查同学们分析问题
与解决问题的能力.
18.(1) ;(2) , .
【解析】试题分析:本题第(1)问,可结合 与 x 轴垂直,由勾股定理及椭圆定义求出
椭圆的离心率;对第(2)问,观察到 是三角形的中位线,然后结合向量的坐标运算及
椭圆方程,可求出 a,b.
试 题 解 析 : ( 1 ) 由 题 意 知 , , 所 以 , 由 勾 股 定 理 可 得 :
,由椭圆定义可得: = ,解得 C 的离心率为 。
(2)由题意,原点 O 为 的中点, ∥y 轴,所以直线 与 y 轴的交点 D(0,2)
是线段 的中点,故 ,即 ,由 得 ,设
,由题意知 ,则
,即 ,代入 C 的方程得 ,将 及
代入 得: ,解得 , .
【易错点】对第(1)问,较容易,大部分同学都能计算出;对第(2)问,一部分同学考虑
不到中位线,
容易联立方程组求解而走弯路,并且容易出现计算失误.
考点:本小题考查椭圆的几何意义(离心率的求解)、椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系,
考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ,考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问
3 1.4 2 0.7 0 0.5 1.8 3 1.6
9 4 1 0 1 4 9
× + + + + + + ×
+ + + + + + 0.5
a y bt− 4.3 0.5 4− × = 2.3 0.5 2.3y t= +
0b >
0.5
9t = 0.5 9 2.3 6.8y = × + =
6.8千
1
2 7a = 2 7b =
2MF
2MF
2| | 3
2 4
MF
c
= 2
3| | 2MF c=
1
5| | 2MF c= 3
2 c + 5
2 c 2a 1
2
1 2F F 2MF 1MF
1MF
2
4b
a
= 2 4b a= 15MN F N= 1 1| | 2 | |DF F N=
1 1( , )N x y 1 0y <
1
1
2( )
2 2
c x c
y
− − =
− =
1
1
3
2
1
x c
y
= −
= −
2
2 2
9 1 14
c
a b
+ = 2 4b a= 2 2c a b= −
2
2 2
9 1 14
c
a b
+ =
2
2
9( 4 ) 1 14 4
a a
a a
− + = 7a = 2 7b =
题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题
的关键.
19.(1)函数 在 R 上是增函数;(2)2;(3)
【解析】试题分析:本题第(1)问,判断函数的单调,关键是判断导数的正数;对第(2)
问,可构造函数 ,对(3)问,可根据 的取值讨论.
试题解析:(1)因为 ,当且仅当 时等号成立,所以函数
在 R 上是增函数;
(2)因为 = ,
所以 = .
(1) 当 时 , , 等 号 仅 当 时 成 立 , 所 以 在 R 上 单 调 递 增 , 而
,所以对任意 , ;
( 2 ) 当 时 , 若 满 足 , 即 时 ,
,而 ,
因此当 时, ,
综上, 的最大值为 2.
(3)由(2)知, ,
当 时, , ;
当 时, ,
,
,所以 的近似值为 .
【易错点】对第(Ι)问,函数单调性的判断,容易;对第(2)问,考虑不到针对 去讨论;对
第(3)问,
找不到思路.
考点:本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值等知识,综合性较强,考查
函数与方程、分类讨论等数学思想方法,考查同学们分析问题、解决问题的能力,熟练函数
与导数的基础知识以及基本题型是解答好本类题目的关键.
20.(1)见解析 (2)见解析
( )f x 0.693
( )g x = (2 ) 4 ( )f x bf x− b
' 1( ) 2 0x
xf x e e
= + − ≥ 0x = ( )f x
( )g x = (2 ) 4 ( )f x bf x− 2 2 4 ( ) (8 4)x x x xe e b e e b x− −− − − + −
' ( )g x = 2 22[ 2 ( ) (4 2)]x x x xe e b e e b− −+ − + + − 2( 2)( 2 2)x x x xe e e e b− −+ − + − +
2b ≤ ' ( ) 0g x ≥ 0x = ( )g x
(0) 0g = 0x > ( ) 0g x >
2b > x 2 2 2x xe e b−< + < − 20 ln( 1 2 )x b b b< < − + −
' ( ) 0g x < (0) 0g =
20 ln( 1 2 )x b b b< ≤ − + − ( ) 0g x <
b
3(ln 2) 2 2 2(2 1)ln 22g b b= − + −
2b = 3(ln 2) 4 2 6ln 2 02g = − + > 8 2 3ln 2 0.692812
−> >
3 2 14b = + 2ln( 1 2 ) ln 2b b b− + − = 3(ln 2) 2 2 (3 2 2)ln 22g = − − + +
0<
18 2ln 2 0.693428
+< < ln 2 0.693
b
【解析】试题分析:本题第(1)问,先由已知得出 PA=PD,然后由对应角相等,拆分角得
出结论;对第(2)问,可由切割线定理得出 , ,
然后由相交弦定理,得出结论.
试 题 解 析 : ( 1 ) 连 结 AB , AC , 由 题 意 知 PA=PD , 故 , 因 为
,
, ,所以 ,从而 ,
因此 BE=EC.
(2)由切割线定理得: ,因为 ,所以 , ,
由相交弦定理得: = =
= ,所以等式成立.
【易错点】对第(1)问,不容易找到思路;第(2)问中不会灵活应用已知条件而出错.
考点:本小题主要考查圆的切线、割线、相交弦定理、圆内接四边形等平面几何知识,考查
数形结合思想,考查分析问题、解决问题的能力.
21.(1) 是参数, ;(2)
【解析】试题分析:本题第(1)问,由极坐标与普通方程的互化关系可得出 C 的普通方程
为: ,从而写出 C 的参数方程为 是参数, .;对
第(2)问,可先设 D 点坐标为 ,然后由 C 在点 D 处的切线与 垂直,得出
,从而得出 ,写出 D 点坐标.
试题解析:(1)设点 M 是 C 上任意一点,则由 可得 C 的普通方程为:
,
即 ,
所以 C 的参数方程为 是参数, .
(2)设 D 点坐标为 ,由(1)知 C 是以 G(1,0)为圆心,1 为半径的上
半圆,
因为 C 在点 D 处的切线与 垂直,所以直线 GD 与 的斜率相同, , ,
故 D 点的直角坐标为 ,即 .
2PA PB= 4PC PB=
PAD PDA∠ = ∠
PDA DAC DCA∠ = ∠ + ∠
PAD BAD PAB∠ = ∠ + ∠ DCA PAB∠ = ∠ DAC BAD∠ = ∠ BE EC=
2PA PB PC= ⋅ 2PC PA= 2PA PB= 4PC PB=
AD DE BD DC⋅ = ⋅ ( )PD PB PD− ⋅ 1 1( )2 2PC PB PC− ⋅
2(2 ) 2 2PB PB PB PB− ⋅ =
1 cos ,(sin
x
y
β ββ
= +
= 0 )β π≤ ≤ 3 3( , )2 2
2 2 2x y x+ = 1 cos ,(sin
x
y
β ββ
= +
= 0 )β π≤ ≤
(1 cos ,sin )β β+ l
tan 3β =
3
πβ =
( , )x y 2cosρ θ=
2 2 2x y x+ =
2 2( 1) 1(0 1)x y y− + = ≤ ≤
1 cos ,(sin
x
y
β ββ
= +
= 0 )β π≤ ≤
(1 cos ,sin )β β+
l l tan 3β =
3
πβ =
(1 cos ,sin )3 3
π π+ 3 3( , )2 2
【易错点】对第(1)问,极坐标与普通方程、参数方程之间的互化,有一部分学生不熟练而
出错;对第(2)问,不理解题意而出错.
考点:本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类
题目的关键.
22.(2)
【解析】试题分析:本题第(1)问,可由绝对值不等式的几何意义得出 ,从而
得出结论;对第(2)问,由 去掉一个绝对值号,然后去掉另一个绝对值号,解出 的
取值范围.
试题解析:(1)证明:由绝对值不等式的几何意义可知: ,当且仅当
时,取等号,所以 .
(2)因为 ,所以
,解得: .
【易错点】在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.
考点:本小题主要考查不等式的证明、绝对值不等式的几何意义、绝对值不等式的解法、求
参数范围等不等式知识,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
1 5 5 21
2 2a
+ +< <
min( ) 2f x =
0a > a
min( )f x = 1 2a a
+ ≥
1a = ( ) 2f x ≥
(3) 5f < 1| 3| | 3| 5aa
+ + − < ⇔ 1 3 | 3| 5aa
+ + − < ⇔ 1| 3| 2a a
− < − ⇔
1 12 3 2aa a
− < − < − 1 5 5 21
2 2a
+ +< <