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- 2021-05-13 发布
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第二部分——函数
知识点总结精华
考试内容：
映射、函数、函数的单调性、奇偶性．
反函数．互为反函数的函数图像间的关系．
指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．
对数．对数的运算性质．对数函数．
函数的应用．
考试要求：
（1）了解映射的概念，理解函数的概念．
（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方
法．
（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函
数．
（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像
和性质．
（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．
（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．
知识要点知识要点
一、本章知识网络结构：
二、知识回顾：
（一） 映射与函数
1. 映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因
为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数
才是同一函数.
3.反函数
反函数的定义
设函数 的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表
示出，得到 x= (y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值，通过 x= (y)，x 在 A 中都有唯一
的值和它对应，那么，x= (y)就表示 y 是自变量，x 是自变量 y 的函数，这样的函数 x=
(y) (y C)叫做函数 的反函数，记作 ,习惯上改写成
（二）函数的性质
⒈函数的单调性
定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2,
⑴若当 x1f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数.
若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严
格的）单调性，这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函
数.
2.函数的奇偶性
))(( Axxfy ∈=
ϕ ϕ
ϕ ϕ
∈ ))(( Axxfy ∈= )(1 yfx −=
)(1 xfy −=
奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
偶函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题：
（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数 )(xf 为奇
函数或偶函数的必要不充分条件；（2） )()( xfxf =− 或
)()( xfxf −=− 是定义域上的恒等式。
2．奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数
的图象关于 y 轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也
可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。
3.奇函数在对称区间同增同减；偶函数在对称区间增
减性相反.
4．如果 )(xf 是偶函数，则 |)(|)( xfxf = ，反之亦成立。
若奇函数在 0=x 时有意义，则 0)0( =f 。
7. 奇函数，偶函数：
⑴偶函数：
设（ ）为偶函数上一点，则（ ）也是图象上一点.
偶函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于 轴对称，例如： 在 上不是偶函数.
②满足 ，或 ，若 时， .
⑵奇函数：
设（ ）为奇函数上一点，则（ ）也是图象上一点.
奇函数的判定：两个条件同时满足
①定义域一定要关于原点对称，例如： 在 上不是奇函数.
②满足 ，或 ，若 时， .
8. 对称变换：①y = f（x）
②y =f（x）
③y =f（x）
9. 判断函数单调性（定义）作差法：对带根号的一定要分子有理化，例如：
在进行讨论.
10. 外层函数的定义域是内层函数的值域.
例如：已知函数 f（x）= 1+ 的定义域为 A，函数 f[f（x）]的定义域是 B，则集合 A
与集合 B 之间的关系是 .
解： 的值域是 的定义域 ， 的值域 ，故 ，而 A ，故
.
11. 常用变换：
① .
证：
②
证：
12. ⑴熟悉常用函数图象：
)()( xfxf =−
ba, ba,−
y 12 += xy )1,1[ −
)()( xfxf =− 0)()( =−− xfxf 0)( ≠xf 1)(
)( =−xf
xf
)()( xfxf −=−
ba, ba −− ,
3xy = )1,1[ −
)()( xfxf −=− 0)()( =+− xfxf 0)( ≠xf 1)(
)( −=−xf
xf
）（轴对称 xfyy −= →
）（轴对称 xfyx −= →
）（原点对称 xfy −−= →
x
x
−1
)(xf ))(( xff B )(xf R∈ RB ∈ { }1| ≠= xx
AB ⊃
)(
)()()()()( yf
xfyxfyfxfyxf =−⇔=+
)()(])[()()(
)()( yfyxfyyxfxfxf
yfyxf −=+−=⇔=−
)()()()()()( yfxfyxfyfxfy
xf +=⋅⇔−=
)()()()( yfy
xfyy
xfxf +=⋅=
22
1
22
212122
2
22
121
)()()(
bxbx
xxxxbxbxxfxf
x +++
+−=+−+=− ）（
AB ⊃
▲
x
y
例： → 关于 轴对称. → →
→ 关于 轴对称.
⑵熟悉分式图象：
例： 定义域 ，
值域 →值域 前的系数之比.
（三）指数函数与对数函数
指数函数 的图象和性质
a>1 00 时，y>1;x<0 时，00 时，01.
性
质
（5）在 R 上是增函数 （5）在 R 上是减函数
a>1 0= aaay x 且
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-0.5
-1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
y=1
4.5
4
3.5
3
2.5
2
1.5
1
0.5
-0.5
-1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
y=1
▲
x
y
2
3
对数运算：
（以上 ）
注⑴：当 时， .
⑵：当 时，取“+”，当 是偶数时且 时， ，而 ，故取“—”.
例如： 中 x＞0 而 中 x∈R）.
⑵ （ ）与 互为反函数.
当 时， 的 值越大，越靠近 轴；当 时，则相反.
（四）方法总结
⑴.相同函数的判定方法：定义域相同且对应法则相同.
⑴对数运算：
( )
nanaaa
cba
b
b
a
N
a
n
a
a
n
a
aaa
aaa
aaaa
acb
a
NN
Na
M
n
M
MnM
NM
N
M
NMNM
n
a
1121
loglog...loglog
1logloglog
log
loglog
log1log
loglog
logloglog
loglog)(log
32
log
)12
)1(
=⋅⋅⋅⇒
=⋅⋅
=
=
=
±=
−=
+=⋅
−
推论：
换底公式：
10且...aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,M n21 ≠≠≠≠
0, ba )log()log()log( baba −+−=⋅
0M n 0M 0
nM 0M
xxx aaa log2(log2log 2
≠ 2log xa
xay = 1,0 ≠aa xy alog=
1a xy alog= a x 10 a
（以上 ）
注⑴：当 时， .
⑵：当 时，取“+”，当 是偶数时且 时， ，而 ，故取“—”.
例如： 中 x＞0 而 中 x∈R）.
⑵ （ ）与 互为反函数.
当 时， 的 值越大，越靠近 轴；当 时，则相反.
⑵.函数表达式的求法：①定义法；②换元法；③待定系数法.
⑶.反函数的求法：先解 x,互换 x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域).
⑷.函数的定义域的求法：布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数
的定义域.常涉及到的依据为①分母不为 0；②偶次根式中被开方数不小于 0；③对数的真数
大于 0，底数大于零且不等于 1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义
等.
⑸.函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；
⑤不等式法；⑥函数的单调性法.
⑹.单调性的判定法：①设 x ,x 是所研究区间内任两个自变量，且 x ＜x ；②判定 f(x
)与 f(x )的大小；③作差比较或作商比较.
⑺.奇偶性的判定法：首先考察定义域是否关于原点对称，再计算 f(-x)与 f(x)之间的关
系：①f(-x)=f(x)为偶函数；f(-x)=-f(x)为奇函数；②f(-x)-f(x)=0 为偶；f(x)+f(-x)=0
为奇；③f(-x)/f(x)=1 是偶；f(x)÷f(-x)=-1 为奇函数.
⑻.图象的作法与平移：①据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利用熟知函数的
图象的平移、翻转、伸缩变换；③利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
补充：函数图象的几种常见变换
⑴平移变换：左右平移----“左加右减”（注意是针对 而言）；上下平移----“上
( )
nanaaa
cba
b
b
a
N
a
n
a
a
n
a
aaa
aaa
aaaa
acb
a
NN
Na
M
n
M
MnM
NMN
M
NMNM
n
a
1121
loglog...loglog
1logloglog
log
loglog
log1log
loglog
logloglog
loglog)(log
32
log
)12
)1(
=⋅⋅⋅⇒
=⋅⋅
=
=
=
±=
−=
+=⋅
−
推论：
换底公式：
10且...aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,M n21 ≠≠≠≠
0, ba )log()log()log( baba −+−=⋅
0M n 0M 0
nM 0M
xxx aaa log2(log2log 2
≠ 2log xa
xay = 1,0 ≠aa xy alog=
1a xy alog= a x 10 a
1 2 1 2
1 2
x
加下减”(注意是针对 而言).
⑵翻折变换： ； .
⑶对称变换：①证明函数图像的对称性,即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称
点仍在图像上.
②函数 与 的图像关于原点成中心对称
③函数 与 的图像关于直线 ( 轴)对称；函数 与函数
的图像关于直线 ( 轴)对称；
④函数 对 时， 或 恒成立,则 图
像关于直线 对称；
⑤ 若 对 时 , 恒 成 立 , 则 图 像 关 于 直 线
对称；
⑥函数 , 的图像关于直线 对称(由
确定)；
9.函数的周期性：⑴若 对 时 恒成立,则 的周
期为 ；
⑵若 是偶函数,其图像又关于直线 对称,则 的周期为 ；
⑶若 奇函数,其图像又关于直线 对称,则 的周期为 ；
⑷若 关于点 , 对称,则 的周期为 ；
⑸ 对 时, 或 ,则 的周期为 ；
试题精粹
江苏省 2011 年高考数学联考试题
5．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学 2011 届高三调研考试）观察 ，
， ， 由 归 纳 推 理 可 得 ： 若 定 义 在 上 的 函 数 满 足
，记 为 的导函数，则 与 的关系是 ．（ +
=0）
14．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学 2011 届高三调研考试）设函数
，区间 ，集合 ，则使 成立的实数对
( )f x
( ) | ( ) |f x f x→ ( ) (| |)f x f x→
( )y f x= ( )y f x= − −
( )y f x= ( )y f x= − 0x = y ( )y f x=
( )y f x= − 0y = x
( )y f x= x R∈ ( ) ( )f a x f a x+ = − ( ) (2 )f x f a x= − ( )y f x=
x a=
( )y f x= x R∈ ( ) ( )f a x f b x+ = − ( )y f x=
2
a bx +=
( )y f a x= + ( )y f b x= −
2
b ax −= a x b x+ = −
( )y f x= x R∈ ( ) ( )f x a f x a+ = − ( )f x
2| |a
( )y f x= x a= ( )f x 2| |a
( )y f x= x a= ( )f x 4| |a
( )y f x= ( ,0)a ( ,0)b ( )f x 2| |a b−
( )y f x= x R∈ ( ) ( )f x a f x+ = − 1
( )
( )
f x
f x a+ = − ( )y f x= 2| |a
xx 2)( 2 =′
34 4)( xx =′ xx sin)(cos −=′ R )(xf
)()( xfxf =− ( )g x )(xf )( xg − ( )g x )( xg − ( )g x
||1)( x
xxf +−=
)( Rx∈ [ ] )(, babaM <= { }MxxfyyN ∈== ),(| NM =
有 ▲ 对．（0）
4、（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学 2011 届第一次联考）已知函数
是 上的偶函数，则常数 = .（0）
9．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学 2011 届第一次联考）设曲线 在点
处 的 切 线 方 程 为 ， 则 曲 线 在 点 处 的 切 线 方 程 为
.（ ）
11．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学 2011 届第一次联考）已知函数
的图像是一个中心对称图形，则 图像的对称中心坐标为 .
12．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学 2011 届第一次联考）已知函数 在
上 是 增 函 数 ， 则 实 数 的 取 值 范 围 为 .
14．（淮阴中学、姜堰中学、前黄中学 2011 届第一次联考）如图放置的等腰直角三角形
薄片（ ， ）沿 轴滚动，设顶点 的轨迹方程是 ，
则 在其相邻两个零点间的图像与 轴所围区域的面积为 .
( ) x xf x e e ax−= + +
R a
( )y f x= ( )( )1, 1f
2 1y x= + ( ) ( ) 2g x f x x= + ( )( )1, 1g
4 0x y− =
( ) 2
2 1log 4 3
xf x x
+= −
( )f x
1 , 18
−
( ) 3xf x
x a
+=
−
( )1,+∞ a
( ], 1−∞ −
ABC
90ACB∠ = ° 2AC = x ( ),A x y ( )y f x=
( )f x x
2 4π+
),( ba
3．（江苏省 2010 届苏北四市第一次联考）
设 是奇函数，则 的
取值范围是 ▲ .
11．（江苏省 2010 届苏北四市第一次联考）已知 是定义在 上的函数，且对任
意 实 数 ， 恒 有 ， 且 的 最 大 值 为 1 ， 则 满 足
的解集为 ▲ ．
13．（江苏省 2010 届苏北四市第一次联考）已知函数 ，给出
下列命题：
（1）当 时， 的图像关于点 成中心对称；
（2）当 时， 是递增函数；
（3）当 时， 的最大值为 .
其中正确的序号是 ▲ ．（1）（3）
1． （无锡市 1 月期末调研）已知函数 ，若存在实数 ，当 时，
恒成立，则实数 的最大值为 ▲ ．8
2． （无锡市 1 月期末调研）已知函数 f（x）=|x2－2|，若 f（a）≥f（b），且 0≤a≤b，
则满足条件的点（a，b）所围成区域的面积为 ▲ ．
14．（姜堰二中学情调查（三））已知函数 ,
若 对 任 意 ， 存 在 ， 使 ， 则 实 数 取 值 范 围 是
( )xf [ ]2,2−
)(, 2121 xxxx ≠ ( ) ( )
0
21
21 >−
−
xx
xfxf ( )xf
( ) 1log2 ( )xf
ax ≤≤0 ( )xf ba +
4
2
1, , 2, ( , ) ( ) lg1 2
axa b R a b b f x x
+∈ ≠ − = +且 若定义在区间 内的函数 a b+
]2
3,2( −−
2( ) 2f x x x= + t [1, ]x m∈
( ) 3f x t x+ ≤ m
2
π
xxxxf 4
3
4
1ln)( +−= 2( ) 2 4.g x x bx= − +
1 (0,2)x ∈ [ ]2 1,2x ∈ 1 2( ) ( )f x g x≥ b
x
y
O (2,0)P
( )y f x=
( )y f x′=
1
（第 10 题图）
7. （泰州市 2011 届高三第一次模拟考试）设函数 ，若曲线 在点
处的切线方程为 ，则 。1
13. （泰州市 2011 届高三第一次模拟考试）已知函数 ，若 ，
且 ，则 的取值范围为 。
12 ． （ 江 苏 省 南 通 市 2011 届 高 三 第 一 次 调 研 测 试 ） 已 知 函 数
，若 在（1，3]上有解，则实数 的取值
范围为 ▲ ．
13．（江苏省南通市 2011 届高三第一次调研测试）已知 ，若对
， ， ，则实数 的取值范围是 ▲ ．
6、（南通市六所省重点高中联考试卷）已知函数 ，其图象在
点(1, )处的切线方程为 ,
则它在点 处的切线方程为 ▲
10. （苏北四市 2011 届高三第一次调研考试）已知函数 及其导函数 的图
象如图所示，
则曲线 在点 P 处的切线方程是 ▲ ．
讲评建议：此题也体现着解决问题的本质思想，求一个函数在某点处
的切线方程的关键是什么，当然是某点的坐标及此点的导数值，有了
这样的分析此题就太简单了，也许这就是高考想要的思相方法。此题
可能出现的问题是由于导函数是一次函数，原函数是二次函数，学生
会求两个函数，再求切线方程，既走了回路。放在第 10 题也正是这种用意。
9、（宿迁市高三 12 月联考）已知点 在曲线 上， 为曲线在点 处的切线的
倾斜角，则 的取值范围是 ；
2
14≥
( ) xxxf ln2 += ( )xfy =
( )( )1,1 f baxy += =+ ba
( ) 32 −= xxf 120 +<< ba
( ) ( )32 += bfaf baT += 23 5 ,016
−
3 2 21( ) (2 1) 13f x x x a x a a= + + − + − + ( ) 0f x′ = a
7 1a− <≤
2 1( ) , ( ) ( )2
xf x x g x m= = −
[ ]1 1,3x∀ ∈ − [ ]2 0,2x∃ ∈ 1 2( ) ( )f x g x≥ m 1
4m≥
2 1( )
( 2) 1
ax bx c xf x
f x x
+ + ≥ −= − − < −
(1)f 2 1y x= +
( 3, ( 3))f− −
( )y f x= ( )y f x′=
( )y f x= 2 0x y− − =
p 4
1xy e
= +
α p
α 3[ , )4
π π
13、（宿迁市高三 12 月联考）如图放置的边长为 的正三角形 沿 轴滚动，设顶点
的纵坐标与横坐标的函数关系式是 ，则 在区间 上的解析式
是 ；
14、（宿迁市高三 12 月联考）关于函数 ，有下列命题：
①若 ，则函数 的定域为 R；
② 若 ， 则 的 单 调 增 区 间 为
③ 函 数 f(x) = log (x + f(a,x) - 4) (a > 0且a ≠ 1)的
值域为 R，则实数 a 的取值范围是 且
④定义在 R 的函数 ，且对任意的 都有：
则 4 是 的一个周期。
其中真命题的序号是 ；①③④
14．（徐州市 12 月高三调研）设 ，函数 ，若对任意的
，都有 成立，则实数 的取值范围为 ▲ .
14．（盐城市第一次调研）已知函数
, ,
设 ,且函数 的零点均在区间 内,
则 的最小值为 ▲ .9
12. （苏北四市 2011 届高三第二次调研）已知函数 的图象在点 处的
切线恰好与直线 平行，若 在区间 上单调递减，则实数 的取值范
围是 ▲ ．
14. （苏北四市 2011 届高三第二次调研）
已知函数 ，
且 ，则满足条件的所有整数 的和是 ▲ ．6
20．（江苏天一中学、海门中学、盐城中学 2011 届高三调研考试）（本小题满分 16 分）
已知函数 ，a 为正常数．
)(xfy =
]2,2[−∈a 1)( 2 ++= axxxf
)23(log)( 2
2
1 +−= xxxf )(xf
)2
3,(−∞
)(xf Rx ∈
),1()1(),()( xfxfxfxf −=+−=− )(xfy =
1 PAB x
( , )A x y ( )y f x= ( )f x [ ]2,1−
2
2
11 ( 1) , 2, 2
11 , ,12
x x
y
x x
− + ∈ − − = − ∈ −
0 4a< ≤ 1a ≠
0a >
2
( ) , ( ) lnaf x x g x x xx
= + = −
1 2, [1, ]x x e∈ 1 2( ) ( )f x g x≥ a 2a e≥ −
2 3 4 2011
( ) 1 2 3 4 2011
= + − + − +⋅⋅⋅+x x x xf x x
2 3 4 2011
( ) 1 2 3 4 2011
= − + − + −⋅⋅⋅−x x x xg x x
( ) ( 3) ( 3)= + ⋅ −F x f x g x ( )F x [ , ]( , , )< ∈a b a b a b Z
−b a
3 2( )f x mx nx= + ( 1,2)−
3 0x y+ = ( )f x [ ], 1t t + t
[ 2, 1]− −
( ) 1 2 2011 1 2 2011f x x x x x x x= + + + + + + + − + − + + − ( )x∈R
2( 3 2) ( 1)f a a f a− + = − a
1)( +=
x
axϕ
⑴若 ，且 a ，求函数 的单调增区间；
⑵在⑴中当 时，函数 的图象上任意不同的两点 ， ，线段
的中点为 ，记直线 的斜率为 ，试证明： ．
⑶若 ，且对任意的 ， ，都有 ，求
a 的取值范围．
解：⑴
∵a ，令 得 或
∴函数 的单调增区间为 ……………………………4
⑵证明：当 时
∴ ∴
又
不妨设 ， 要比较 与 的大小，
即比较 与 的大小，又∵ ，
∴ 即比较 与 的大小．
令 ………………………………………8
则
∴ 在 上位增函数．
又 ，∴ ， ∴ ，
)(ln)( xxxf ϕ+=
2
9= )(xf
0=a )(xfy = ( )11, yxA ( )22 , yxB AB
),( 00 yxC AB k )( 0xfk ′>
)(ln)( xxxg ϕ+= ( ]2,0, 21 ∈xx 21 xx ≠ 1)()(
12
12 −<−
−
xx
xgxg
2
2
2 )1(
1)2(
)1(
1)( +
+−+=+−=′
xx
xax
x
a
xxf
2
9= 0)( >′ xf 2>x 2
10 << x
)(xf ),2(),2
1,0( +∞
0=a xxf ln)( =
xxf 1)( =′
210
0
21)( xxxxf +==′
12
1
2
12
12
12
12
lnlnln)()(
xx
x
x
xx
xx
xx
xfxfk −=−
−=−
−=
12 xx > k )( 0xf ′
12
1
2ln
xx
x
x
− 21
2
xx + 12 xx >
1
2ln x
x
1
)1(2)(2
1
2
1
2
21
12
+
−
=+
−
x
x
x
x
xx
xx
)1(1
)1(2ln)( ≥+
−−= xx
xxxh
0)1(
)1(
)1(
41)( 2
2
2
≥+
−=+−=′
xx
x
xxxh
)(xh [ )+∞,1
1
1
2 >
x
x 0)1()(
1
2 => hx
xh
1
)1(2
ln
1
2
1
2
1
2
+
−
>
x
x
x
x
x
x
即 ……………………………………………10
⑶∵ ， ∴
由题意得 在区间 上是减函数．………………………………………12
当 ， ∴
由 在 恒成立．
设 ， ，则
∴ 在 上为增函数，∴ ………………………………………14
当 ，∴
由 在 恒成立
设 ， 为增函数∴
综上：a 的取值范围为 ………………………………………16
19 ． （ 淮 阴 中 学 、 姜 堰 中 学 、 前 黄 中 学 2011 届 第 一 次 联 考 ） （ 16 分 ） 设 函 数
的最小值为 ， 两个实根为 ． .
（1）求 的值；（2）若关于 的不等式 解集为 ，函数 在 上
不存在最小值，求 的取值范围；（3）若 ，求 的取值范围。
19．解：（1）∵
∴ ∴ . （4 分）
( ) 2 1f x ax bx= + + ( )0,a b R> ∈ a− ( ) 0f x =
1x 2x
1 2x x− x ( ) 0f x < A ( ) 2f x x+ A
a 12 0x− < < b
( ) ( )( ) 2 2
1 2 1 2
1 2 2 2
x x x xf x a x x x x a x a
+ − = − − = − −
2
1 2
2
x xa a
− − = − 1 2 2x x− = ±
)( 0xfk ′>
1)()(
12
12 −<−
−
xx
xgxg [ ]
0)()(
12
1122 <−
+−+
xx
xxgxxg
xxgxF += )()( ( ]2,0
°1 xx
axxFx +++=≤≤
1ln)(,21 1)1(
1)( 2
++−=′
x
a
xxF
313)1()1(0)( 22
2
+++=+++≥⇒≤′
xxxxx
xaxF [ ]2,1∈x
=)(xm 3132 +++
xxx [ ]2,1∈x 0312)( 2
>+−=′
xxxm
)(xm [ ]2,1 2
27)2( =≥ ma
°2 xx
axxFx +++−=<<
1ln)(,10 1
)1(
1)( 2
+
+
−−=′
x
a
xxF
11)1()1(0)( 22
2
−−+=+++−≥⇒≤′
xxxxx
xaxF )1,0(∈x
=)(xt 112 −−+
xxx )1,0(∈x 0)1( =≥ ta
2
27≥a
（2）不妨设 ； ，在 不存在最小
值，∴ 或 （8 分）
又 ， ∴ （10 分）
（3）∵ ， ∴ （12 分）
又 ∴ ∴ 在 上为增函数.
∴ （16 分）
20 ． （ 淮 阴 中 学 、 姜 堰 中 学 、 前 黄 中 学 2011 届 第 一 次 联 考 ） （ 16 分 ） 函 数
， ， .
（1）①试用含有 的式子表示 ；②求 的单调区间；
（2）对于函数图像上的不同两点 ， ，如果在函数图像上存在点
（其中 在 与 之间），使得点 处的切线 ∥ ，则称 存在“伴随切
线”，当 时，又称 存在“中值伴随切线”。试问：在函数 的图像上
是否存在两点 ． ，使得 存在“中值伴随切线”？若存在，求出 ． 的坐标；若
不存在，说明理由。
20．解：（1）① ∵ ∴ . （2 分）
1 2x x< ( ) ( )( )2
1 2 1 22 2f x x ax a x x x ax x+ = − + − + ( )1 2,x x
( )1 2
2
2
2
a x x xa
+ − ≥ ( )1 2
1
2
2
a x x xa
+ − ≤
2 1 2x x− = 0a > 0 1a< ≤
1 2
bx x a
+ = − 1 2
1 0x x a
= > 1 2
1 2
x xb x x
+= −
12 0x− < < 2 1 2x x= − 1 1
1 1
2b x x
= − −− ( )1 2,0x ∈ −
3
4b >
( ) 21 ln2f x ax bx x= − −
0a > ( )1 0f ′ =
a b ( )f x
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
( )0 0,P x y 0x 1x 2x P l AB AB
1 2
0 2
x xx
+=
AB ( )f x
A B AB A B
( ) 1f x ax b x
′ = − − ( )1 0f ′ = 1b a= −
② ∵ ， ∴当 时 ，
当 时，
∴ 增区间为 ，减区间为 （6 分）
（2）不存在 （7 分） （反证法）
若存在两点 ， ，不妨设 ，则
曲线 在 的切线斜率
又
∴由 得 ① （11 分）
法一：令
∴ 在 上为增函数 （15 分）
又 ∴ 与①矛盾
∴不存在 （16 分）
法二：令 ，则①化为 ②
( ) ( )( )1 1ax xf x x
+ −′ =
0x > 0a > 1x > ( ) 0f x′ >
0 1x< < ( ) 0f x′ <
( )f x ( )1,+∞ ( )0,1
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 20 x x< <
( )y f x= 1 2
0 2
x xx
+= ( ) 1 2
0
1 2
2
2
x xk f x a b x x
+′= = − − +
2 1 1 2 2 1
2 1 2 1
ln ln
2AB
y y x x x xk a bx x x x
− + −= = − −− −
ABk k=
( )2 1
2 1
2 1
2ln ln 0x xx x x x
−− − =+
( ) ( )1
1
1
2ln ln x xg x x x x x
−= − − + ( )1 0x x> >
2
1 1
2 2
1 1
4 ( )1( ) 0( ) ( )
x x xg x x x x x x x
−′ = − = >+ +
( )g x ( )1,x +∞
2 1x x> ( ) ( )2 1 0g x g x> =
2
1
1xt x
= > 4ln 21t t
+ =+
令 ∵
∴ 在 为增函数 （15 分）
又 ∴ 此与②矛盾，∴不存在 （16 分）
19、（江苏省 2010 届苏北四市第一次联考）(本小题满分 16 分)
已知二次函数 ，若不等式 的解集为 C。
（1）求集合 C；
（2）若方程 在 C 上有解，求实数 a 的取值范围；
（3）已知 ，记 在 C 上的值域为 A， 若 ， 的值域为
B，且 ，求实数 t 的取值范围.
19 、 解 ： （ 1 ） 原 不 等 式 可 转 换 为 , 当
……2 分
当 ，所以 ……4 分
（2）由 得
令 ，因为 ，所以
则问题转化为求 内有解。 ……6 分
……7 分
( ) 4ln 1g t t t
= + + ( )1t >
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
11 4 0
1 1
tg t t t t t
−′ = − = >
+ +
( )g t ( )1,+∞
1t > ( ) ( )1 2g t g> =
xxxf += 2)( ||2)()( xxfxf ≤+−
)1(5)( 1 >=− + aaaf xx
0≤t )(xf 23)( 3 ttxxxg +−= ]1,0[∈x
BA ⊆
||22 2 xx ≤
10220 2 ≤≤≤≥ xxxx ，解得时，
01220 2 <≤−−≤< xxxx ，解得时， ]1,1[−=C
05)( 1 =−− +xx aaf 05)1()( 2 =−−− xx aaa
ua x = ]1,1[−∈x ],1[ aau ∈
],1[05)1(2 aauau 在=−−−
x
u
O
2
1−= au
a
1
5− a
由图象及根的存在性定理得 ……9 分
解得 。 ……10 分
（3） （因为 ）
所以 在 上单调递增。所以函数 的值域 …
13 分
因为 ，所以 解得 ……………16 分
19. （常州市 2011 届高三数学调研）（16） 已知 .
（1）若 ,求 的单调区间；
（2）若当 时,恒有 ,求实数 的取值范围.
19、解：（1）
当 时, 的单调递增区间为 和 ,单调递减区间为
（2）(i)当 时,显然 成立;
(ii)当 时,由 ,可得 ,
令 ,则有 .
由 单调递增,可知 .
又 是单调减函数,
故 ,故所求 的取值范围是 .
20. （泰州市 2011 届高三第一次模拟考试）(本小题满分 16 分)
≥−−−=
≤−+−=
05)1()(
05111)1(
2
2
aaaah
aaah
5≥a
]2,4
1[−=A 033)(' 2 ≥−= txxg 0≤t
,23)( 3 ttxxxg +−= ]1,0[∈x )(xg ]2
51,2[ ttB −=
BA ⊆
−≤
−≤
t
t
2
512
4
1
2
2
1−≤t
2||)( −−= axxxf
0>a )(xf
]1,0[∈x 0)( −−−=−−
=−−=
.,42)2(2
,42)2(2
2||)( 2
22
2
22
axaaxaxx
axaaxaxx
axxxf
0>a )(xf )2,( a−∞ ),( +∞a ],2[ aa
0=x 0)( a ( )
<
≥+
=
,2,4
49
,2,3
2
4
3
axxa
axx
ax
xf
( )xf
20 ≤< a ( )xf [ ]2,1 ( )ag
t
>
−∈
222,2
atatax
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )tfxtfxftfxtfxf −+≥+− 22 2 t
2
ax < 249( ) 4f x a x=
2
ax ≥ ( )f x′ 23x
4
2
3a
x
− ( )f x′ 0> x a x a> < −或
( )f x ( , )a−∞ − ( , )2 2
a a− ( , )a +∞
1 2a< < 12
a a< < ( )f x [ ]1,a
[ ],2a 3( ) 4f a a=
0 1a< ≤ ( )f x [ ]1,2
4(1) 1 3f a= +
2a = ( )f x [ ]1,2
3( ) 4f a a=
( )f x
4
3
1 3 0 1( )
4 1 2
a ag a
a a
+ < ≤= < ≤
[ ][ ]( ) ( ) ( ) (2 ) 0f t f x f t f t x− − − ≥
( ) ( )
( ) (2 )
f t f x
f t f t x
≤
≤ −
( ) ( )
( ) (2 )
f t f x
f t f t x
≥
≥ − t t
,22 2
a ax t ∈ − ( )f x t t a=
t a=
设 是定义在 上的奇函数，函数 与 的图象关于 轴对称，且当
时， ．
（1）求函数 的解析式；
（2）若对于区间 上任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围．
解：（1） ∵ 的图象与 的图象关于 y 轴对称，
∴ 的图象上任意一点 关于 轴对称的对称点 在 的
图象上．
当 时 ， ， 则
．………………………2 分
∵ 为 上 的 奇 函 数 ， 则
．…………………………………………4 分
当 时 ， ，
．…………………………6 分
∴
…………………………………………………7 分
（1）由已知， ．
①若 在 恒成立，则 ．
此时， ， 在 上单调递减， ，
∴ 的 值 域 为 与 矛
盾．……………………………………11 分
②当 时，令 ，
∴ 当 时， ， 单调递减，
( )f x [ 1,1]− ( )g x ( )f x y
(0,1]x∈ 2( ) lng x x ax= −
( )f x
( ]0,1 x | ( ) | 1f x ≥ a
( )g x ( )f x
( )f x ( , )P x y y ( , )Q x y− ( )g x
[ 1,0)x∈ − (0,1]x− ∈
2( ) ( ) ln( )f x g x x ax= − = − −
( )f x [ 1,1]−
(0) 0f =
(0,1]x∈ [ 1,0)x− ∈ −
2( ) ( ) lnf x f x x ax= − − = − +
2
2
ln( ) ( 1 0),
( ) 0( 0),
ln (0 1).
x ax x
f x x
x ax x
− − − <
= =
− + <
≤
≤
1( ) 2f x axx
′ = − +
( ) 0f x′ ≤ ( ]0,1 2
1 12 0 2ax ax x
− + ⇒≤ ≤
1
2a ≤ ( )f x (0,1] min( ) (1)f x f a= =
( )f x [ , )a +∞ | ( ) | 1f x ≥
1
2a > 1 1( ) 2 0 (0,1]2f x ax xx a
= − + = ⇒ = ∈
1(0, )2x a
∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
当 时， ， 单调递增，
∴ ．
由 ，得 ．……………………………………
15 分
综 上 所 述 ， 实 数 的 取 值 范 围 为
． ……………………………………………16 分
20 、 （ 南 通 市 六 所 省 重 点 高 中 联 考 试 卷 ） （ 本 题 满 分 16 分 ） 设 ， 函 数
.
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调增区间；
（Ⅱ）若 时，不等式 恒成立，实数 的取值范围.
解：（1）当 时，
…………（2 分）
当 时， ， 在 内单调递增；
当 时， 恒成立，故 在 内单调递增；
的单调增区间为 。 …………（6 分）
（2）①当 时， ，
， 恒成立， 在 上增函数。
故当 时， 。 …………（8 分）
②当 时， ，
（Ⅰ）当 ，即 时， 在 时为正数，所以 在区间 上
为增函数。故当 时， ，且此时 …………（10 分）
1( ,1]2x a
∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
2
min
1 1 1 1 1( ) ( ) ln( ) ( ) ln(2 )2 2 2 2 2f x f a aa a a
= = − + = +
| ( ) | 1f x ≥ 1 1 eln(2 ) 12 2 2a a+ ⇒≥ ≥
a
e
2a≥
0a >
2( ) | ln 1|f x x a x= + −
2a = ( )f x
[1, )x∈ +∞ axf ≥)( a
2a =
2( ) 2 ln 1f x x x= + −
2
2
2ln 2 (0 )
2ln 2 ( )
x x x e
x x x e
− + < ≤= + − >
0 x e< ≤
22 2 2( ) 2 xf x x x x
−′ = − = ( )f x (1, ]e
x e≥ 2( ) 2 0f x x x
′ = + > ( )f x [ , )e +∞
( )f x∴ (1, )+∞
x e≥ 2( ) lnf x x a x a= + − ( ) 2 af x x x
′ = + ( )x e≥
0a > ( ) 0f x′∴ > ( )f x∴ [ ),e +∞
x e= 2
min ( )y f e e= =
1 x e≤ < 2( ) lnf x x a x a= − +
2( ) 2 ( )( )2 2
a a af x x x xx x
′ = − = + − (1 )x e≤ <
12
a ≤ 0 2a< ≤ ( )f x′ (1, )x e∈ ( )f x [1, )e
1x = min 1y a= + (1) ( )f f e<
（Ⅱ）当 ，即 时， 在 时为负数，在 时
为正数，所以 在区间 上为减函数，在 上为增函数。故当 时，
，且此时 。 …………（12
分）
（Ⅲ）当 ，即 时， 在 进为负数，所以 在区间 上为
减函数，故当 时， 。 …………（14 分）
所以函数 的最小值为 。
由条件得 此时 ；或 ，此时 ；或 ，
此时无解。
综上， 。 …………（16 分）
20. （苏北四市 2011 届高三第一次调研考试）（本小题满分 16 分）
已知函数 ( ，且 a 为常数)．
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，若方程 只有一解，求 a 的值；
（3）若对所有 都有 ，求 a 的取值范围．
20．（1） ，………………………………………………………………1 分
当 时， ， 在 上是单调增函数．…………………3 分
当 时，
由 ，得 ， 在 上是单调增函数；
由 ，得 ， 在 上是单调减函数．
综上， 时， 的单调增区间是 ．
时， 的单调增区间是 ，单调减区间是 ．…6 分
1 2
a e< < 22 2a e< < ( )f x′ (1, )2
ax∈ ( , )2
ax e∈
( )f x [1, )2
a ( , )2
a e 2
ax =
min
3 ln2 2 2
a a ay = − ( ) ( )2
af f e<
2
a e≥ 22a e≥ ( )f x′ (1, )x e∈ ( )f x [1, ]e
x e= 2
min ( )y f e e= =
( )y f x= 2
min
2 2
1 ,0 2
3 ln ,2 22 2 2
, 2
a a
a a ay a e
e a e
+ < ≤
= − < <
≥
1
0 2
a a
a
+ ≥
< ≤ 0 2a< ≤
2
3 ln2 2 2
2 2
a a a a
a e
− ≥
< <
2 2a e< ≤
2
22
e a
a e
≥ ≥
0 2a e< ≤
( ) e 1xf x ax= + − a∈R
( )f x
0a < ( ) 0f x =
0x≥ ( ) ( )f x f x−≥
( ) xf x e a′ = +
0a≥ ( ) 0f x′ > ( )f x ( , )−∞ +∞
0a <
( ) 0f x′ > ln( )x a> − ( )f x (ln( ), )a− +∞
( ) 0f x′ < ln( )x a< − ( )f x ( ,ln( ))a−∞ −
0a≥ ( )f x ( , )−∞ +∞
0a < ( )f x (ln( ), )a− +∞ ( ,ln( ))a−∞ −
（2）由（1）知，当 ， 时， 最小，即 ，
由方程 只有一解，得 ，又考虑到 ，
所以 ，解得 ．…………………………………………………10 分
（3）当 时， 恒成立，
即得 恒成立，即得 恒成立，
令 （ ），即当 时， 恒成立．
又 ，且 ，当 时等号成立．
………………………………………………………………………………………12 分
①当 时， ，
所以 在 上是增函数，故 恒成立．
②当 时，若 ， ，
若 ， ，
所以 在 上是增函数，故 恒成立．…………………14 分
③当 时，方程 的正根为 ，
此时，若 ，则 ，故 在该区间为减函数．
所以， 时， ，与 时， 恒成立矛盾．
综上，满足条件的 的取值范围是 ．……………………………………16 分
讲评建议：此题当初是（1） 只有一解，求 a 的范围，大家感觉，作为（1）起
点太高，学生不易得分，且上来讨论，又两问题都求范围可以，但还是单调形式单调，后改
为现在形式。对于（3）主要是想改变教学中老师不研究情况，分参法是解决参数的一种好
方法，但不唯一，且有时其方法不好图象快，如 在区间 是恒小于，
用图象法就很快，同时也要注意到解决参数问题还有很多求不出最值问题。如本题，分参后
求不出函数的最值，而且很多参数的范围是求不出来的，是对关键点进行分类讨论求得的。
19 、 （ 宿 迁 市 高 三 12 月 联 考 ） （ 本 题 满 分 16 分 ） 已 知
。
（1）求函数 的最小值；
（2）若存在 ，使 成立，求实数 的取值范围；
（3）证明对一切 ，都有 成立。
0a < ln( )x a= − ( )f x min( ) (ln( ))f x f a= −
( ) 0f x = (ln( )) 0f a− = (0) 0f =
ln( ) 0a− = 1a = −
0x≥ ( ) ( )f x f x−≥
x xe ax e ax−+ −≥ 2 0x xe e ax−− + ≥
( ) 2x xh x e e ax−= − + 0x≥ 0x≥ ( ) 0h x ≥
( ) 2x xh x e e a−′ = + + ( ) 2 2 2 2x xh x e e a a−′ ⋅ + = +≥ 0x =
1a > − ( ) 0h x′ >
( )h x [0, )+∞ ( ) (0) 0h x h =≥
1a = − 0x = ( ) 0h x′ =
0x > ( ) 0h x′ >
( )h x [0, )+∞ ( ) (0) 0h x h =≥
1a < − ( ) 0h x′ = 2
1 ln( 1)x a a= − + −
1(0 )x x∈ ， ( ) 0h x′ < ( )h x
1(0 )x x∈ ， ( ) (0) 0h x h< = 0x≥ ( ) 0h x ≥
a [ 1, )− +∞
( ) 0f x =
1)( 2 ++= mxxxf )2.1(
2( ) 2 ln , ( ) 3f x x x g x x ax= = − + −
( )f x
(0, )x∈ +∞ ( ) ( )f x g x≤ a
(0, )x∈ +∞ 2( ) 2( )x
xf x e e
> −
19、解：（1） 的定义域为 ， ， ……………1 分
令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ， ……………3 分
所以 在 上单调递减；在 上单调递增，
故当 时 取最小值为 。 ……………5 分
（2）存在 ，使 成立，即 在 能成
立，等价于 在 能成立；
等价于 ……………8 分
记 ，
则
当 时， ；当 时， ，
所以当 时 取最小值为 4，故 。 ……………11 分
（3）记 ，则
当 时， ；当 时， ，
所以当 时 取最大值为 。 ……………14 分
又由（1）知当 时 取最小值为 ，
故对一切 ，都有 成立。 ……………16 分
20．（无锡市 1 月期末调研）(本小题满分 16 分)
对于定义在区间 D 上的函数 和 ，如果对于任意 ，都有
成立，那么称函数 在区间 D 上可被函数 替代．
(1) 若 ，试判断在区间[ ]上 能否被 替代？
(2) 记 ，证明 在 上不能被 替代；
( )f x (0, )+∞ ( ) 2(ln 1)f x x′ = +
( ) 0f x′ = 1x e
=
1(0, )x e
∈ ( ) 0f x′ < 1( , )x e
∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x 1(0, )x e
∈ 1( , )x e
∈ +∞
1x e
= ( )f x 2
e
−
(0, )x∈ +∞ ( ) ( )f x g x≤ 22 ln 3x x x ax≤ − + − (0, )x∈ +∞
32lna x x x
≥ + + (0, )x∈ +∞
min
3(2ln )a x x x
≥ + +
3( ) 2lnh x x x x
= + + (0, )x∈ +∞
2
2 2 2
2 3 2 3 ( 3)( 1)( ) 1 x x x xh x x x x x
+ − + −′ = + − = =
(0,1)x∈ ( ) 0h x′ < (1, )x∈ +∞ ( ) 0h x′ >
1x = ( )h x 4a ≥
2( ) 2( )x
xj x e e
= − (0, )x∈ +∞ 1( ) 2( )x
xj x e
−′ =
(0,1)x∈ ( ) 0j x′ > (1, )x∈ +∞ ( ) 0j x′ <
1x = ( )j x 2
e
−
1x e
= ( )f x 2
e
−
(0, )x∈ +∞ 2( ) 2( )x
xf x e e
> −
( )xf ( )xg Dx∈ ( ) ( ) 1|| ≤− xgxf
( )xf ( )xg
( ) ( ) xxgx
xxf ln,1
2
=−= ],1[ e ( )xf ( )xg
( ) ( ), lnf x x g x x= = ( )xf 1( , )( 1)m mm
> ( )xg
(3) 设 ，若 在区间 上能被 替代，
求实数 的范围．
20．∵ ，
令 ， ∵
，……………………………2 分
∴ 在 上 单 调 增 ， ∴
．……………………………………………3 分
∴ ， 即 在 区 间 [ ] 上 能 被 替
代．…………………………………4 分
（2）令 ．
，………………………………………………………………………
………5 分
且 当 时 ， ； 当 时 ，
，…………………………………………………6 分
， 即
，…………………………………………………7 分
∴ 在 上 不 能 被 替
代． ……………………………………………………8 分
（3）∵ 在区间 上能被 替代，即 对于 恒成立．
∴
． ， ………………………………
9 分
由（2）的知，当 时， 恒成立，
∴ 有 ①
xxxgaxxaxf +−=−= 2
2
1)(,ln)( ( )xf ],1[ e ( )xg
a
( ) xx
xxgxf ln1
2)( −−=−
xx
xxh ln1
2)( −−=
02
2211
2
1)( 2
2
2
>−+=−+=′
x
xx
xxxh
)(xh ],1[ e
]11
2,2
1[)( −−−∈
e
exh
1)()( ≤− xgxf ],1[ e ( )xf ( )xg
( ) ( ) ( ) lnt x f x g x x x= − = −
1 1( ) 1 xt x x x
−′ = − =
1x < ( ) 0t x′ < 1x >
( ) 0t x′ >
( ) (1) 1t x t∴ ≥ =
( ) ( ) ln 1f x g x x x− = − ≥
( )xf 1( , )( 1)m mm
> ( )xg
( )xf ],1[ e ( )xg 1)()( ≤− xgxf ],1[ ex ∈
12
1ln 2 ≤−+− xxaxxa 12
1ln1 2 ≤−+−≤− xxaxxa
],1[ ex ∈ 0ln >− xx
，…………………………………………………………………………10 分
令 ，
∵ ，
由 （ 1 ） 的 结 果 可 知
，……………………………………………………………11 分
∴ 恒 大 于 零 ， ∴
．…………………………………………………………………………12 分
②
，…………………………………………………………………………………
13 分
令 ，
∵ ，
∵
，………………………………………………………
…14 分
∴ 恒大于零，
∴ ， …………………………………………………………15 分
即实数 的范围为
． …………………………………………………………16 分
20．（徐州市 12 月高三调研）(本小题满分 16 分)
已知函数 ．
xx
xx
a ln
12
1 2
−
+−
≤
xx
xx
xF ln
12
1
)(
2
−
+−
=
2
2
)ln(
)12
1)(11()ln)(1(
)( xx
xxxxxx
xF −
+−−−−−
=′
2)ln(
)1ln12
1)(1(
xx
xxxx
−
−−+−
=
1 11 ln 02 x x x
+ − − >
)(xF′
2
1≤a
xx
xx
a ln
12
1 2
−
−−
≥
xx
xx
xG ln
12
1
)(
2
−
−−
=
2
2
)ln(
)12
1)(11()ln)(1(
)( xx
xxxxxx
xG −
−−−−−−
=′
2)ln(
)1ln12
1)(1(
xx
xxxx
−
+−+−
=
1 1 1 11 ln 1 ln 02 2x x x xx x
+ − + > + − − >
)(xG′
)1(2
222
−
−−≥
e
eea
a
)1(2
22
2
1 2
−
−−≥≥
e
eea
2( ) 1, ( ) | 1|f x x g x a x= − = −
（Ⅰ）若 有两个不同的解，求 的值；
（Ⅱ）若当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围；
（Ⅲ）求 在 上的最大值.
20．解：（Ⅰ）方程 ，即 ，变形得 ，
显然，x=1 已是该方程的根，从而欲原方程有两个不同的解，即要求方程
“有且仅有一个不等于 1 的解”或“有两解，一解为 1，另一解不等于 1” ……3 分
结合图形，得 或 ……………………………………………………5 分
（Ⅱ）不等式 对 恒成立，即 （*）对 恒成立，
①当 x=1 时，（*）显然成立，此时 ……………………………………6 分
②当 x≠1 时，（*）可变形为 ，令 ，
因为当 x>1 时， ；而当 x<1 时， .
所以 ，故此时 ……………………………………………9 分
综合①②，得所求 的取值范围是 ……………………………10 分
（Ⅲ）因为 = ,
① 当 时，结合图形可知 h(x)在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
且 h(-2)=3a+3, h(2)=a+3，经比较，此时 h(x)在[-2，2]上的最大值为 …11
分
② 当 时，结合图形可知 h(x)在[-2，-1]， 上递减，
在 ，[1，2]上递增，且 h(-2)=3a+3, h(2)=a+3， ，
经比较，知此时 h(x) 在[-2，2]上的最大值为 ……………………12 分
③ 当 时，结合图形可知 h(x)在[-2，-1]， 上递减，
在 ，[1，2]上递增，且 h(-2)=3a+3, h(2)=a+3， ，
经比较，知此时 h(x) 在[-2，2]上的最大值为 ………………………13 分
④ 当 时，结合图形可知 h(x)在 ， 上递减，
在 ， 上递增，且 h(-2)=3a+3 , h(2)=a+3 ，
经比较，知此时 h(x) 在[-2，2]上的最大值为 ………………………14 分
⑤ 当 时，结合图形可知 h(x)在[-2，1]上递减，在[1，2]上递增，
故此时 h(x) 在[-2，2]上的最大值为 h(1)=0………………………………15 分
综上所述，当 时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为 ；
当 时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为 ；
当 时，h(x) 在[-2，2]上的最大值为 0…………………………………16 分
20．（盐城市第一次调研）(本小题满分 16 分)
| ( ) | ( )f x g x= a
x R∈ ( ) ( )f x g x≥ a
( ) | ( ) | ( )h x f x g x= + [ 2,2]−
| ( ) | ( )f x g x= 2| 1| | 1|x a x− = − | 1| (| 1| ) 0x x a− + − =
| 1|x a+ =
0a = 2a =
( ) ( )f x g x≥ x R∈ 2( 1) | 1|x a x− ≥ − x R∈
a R∈
2 1
| 1|
xa x
−≤ −
2 1 ( 1)1( ) ( 1) ( 1)| 1|
x xxx x xx
ϕ + >−= = − + <−
( ) 2xϕ > ( ) 2xϕ > −
( ) 2g x > − 2a ≤ −
a 2a ≤ −
2( ) | ( ) | ( ) | 1| | 1|h x f x g x x a x= + = − + −
2
2
2
1 ( 1)
1 ( 1 1)
1 ( 1)
x ax a x
x ax a x
x ax a x
+ − − ≥
− − + + − ≤ <
− + − < −
1, 22
a a> >即
3 3a +
0 1, 22
a a≤ ≤ ≤ ≤即0 [ ,1]2
a−
[ 1, ]2
a− −
2
( ) 12 4
a ah a− = + +
3 3a +
1 0, 02
a a− ≤ < ≤ <即- 2 [ ,1]2
a−
[ 1, ]2
a− −
2
( ) 12 4
a ah a− = + +
3a +
3 1, 22 2
a a− ≤ < − ≤ < −即- 3 [ 2, ]2
a− [1, ]2
a−
[ ,1]2
a [ ,2]2
a− 0< 0≥
3a +
3 , 32 2
a a< − < −即
0a ≥ 3 3a +
3 0a− ≤ < 3a +
3a < −
已知函数 , .
（Ⅰ）当 时,求函数 在区间 上的最大值；
（Ⅱ）若 恒成立,求 的取值范围；
（Ⅲ）对任意 ,总存在惟一的 ,使得 成立, 求 的取
值范围.
20．解：（Ⅰ）当 , 时 , ,
所以 在 递增,所以 ………………………4 分
（Ⅱ）①当 时， ， ， ，
恒成立,
在 上增函数,故当 时， ………………………5 分
②当 时， ， ，
（i）当 即 时， 在 时为正数，所以 在区间 上
为增函数,故当 时， ，且此时 …………………………7
分
(ii)当 ,即 时， 在 时为负数，在间
时为正数,所以 在区间 上为减函数，在 上为增函数,故当 时，
，
且此时 ……………………………………………………8 分
(iii)当 ,即 时， 在 时为负数，所以 在区间[1,e]上
为减函数，
故当 时， …………………………………………………9 分
ex ≥ axaxxf −+= ln)( 2
x
axxf +=′ 2)( 0>a 0)( >∴ xf
)(xf∴ ),[ +∞e ex = 2
min )( eefy ==
ex <≤1 )2)(2(22)( axaxxx
axxf −+=−=′
,12
≤a 20 ≤< a )(xf ′ ),1( ex ∈ )(xf ),1[ e
1=x ay += 1min )()1( eff <
ea <<
21 222 ea << )(xf ′ )2,1( ax ∈ ),2( eax ∈
)(xf )2,1[ a ],2( ea
2
ax =
2ln22
3
min
aaay −=
)()2( efaf <
ea ≥
2
22ea ≥ )(xf ′ ),1( ex ∈ )(xf
ex = 2
min )( eefy ==
2( ) | ln 1|f x x a x= + − ( ) | | 2 2ln 2, 0g x x x a a= − + − >
1a = ( )f x [1, ]e
3( ) , [1, )2f x a x≥ ∈ +∞ a
1 [1, )x ∈ +∞ 2 [2, )x ∈ +∞ 1 2( ) ( )f x g x= a
1a = [1, ]x e∈ 2( ) ln 1f x x x= − + 1( ) 2 (1) 1f x x fx
′ ′= − ≥ =
( )f x [1, ]e 2
max( ) ( )f x f e e= =
2( ) ln= − +f x x a x a
2= e
2= e
y
a
2
a x
综上所述，函数 的最小值为 …………………
10 分
所以当 时,得 ；当 ( )时,无解；
当 （ ）时,得 不成立.
综上,所求 的取值范围是 …………………………………………11 分
（Ⅲ）①当 时, 在 单调递增,由 ,
得 ………………………………………………………………………12 分
②当 时， 在 先减后增,由 ,
得 ,
设 , ,
所以 单调递增且 ，所以 恒成立得 …………………………
14 分
③当 时, 在 递增，在 递减，
在 递增,所以由 ,
得 ,设 ,
则 ,所以 递增，且 ,
所以 恒成立，无解.
④当 时， 在 递增，在 递减，在 递增,
所以由 得 无解.
综上,所求 的取值范围是 ………………………16 分
20. （苏北四市 2011 届高三第二次调研）(本小题满分 16 分)
已知函数 ．
)(xfy =
>
≤<−
≤<+
=
22
2
min
2,
22,2ln22
3
20,1
eae
eaaaa
aa
y
31 2a a+ ≥ 0 2a< ≤ 3 3ln2 2 2 2
a aa a− ≥ 22 2a e< <
2 3
2e a≥ 22a e≥ 2
3a e≤
a 0 2a< ≤
0 2a< ≤ ( )g x [2, )+∞ (2 6 2 2ln 2 1g a a= − − ≤ +）
5 2 ln 2 23 3 a− ≤ ≤
1 22
a< ≤ ( )g x [2, )+∞ 3(2 2 2 2ln 2 ln2 2 2
= − − < −） a a ag a
ln 2 2ln 2 02 2 2
a a a+ − − <
( ) ln 2 2ln 2( )2
ah t t t t t= + − − = ( ) 2 ln 0(1 2)h t t t′ = + > < <
( )h t (2) 0h = ( ) 0h t < 2 4a< <
22 2
a e< < ( )f x [2, ]2
a [ , ]2
a a
[ , )a +∞ ( )2
ag 3 ln2 2 2
a a a< −
2 3 ln 2 2ln 2 04 2 2 2
a a a a− + + − < 2( ) 3 ln 2 2ln 2m t t t t t= − + + −
2( ) 2 2 ln 0( (2, )m t t t t e′ = − + > ∈ ( )m t (2) 0m =
( ) 0m t >
22a e> ( )f x [2, ]2
a [ , ]2
a a [ , )a +∞
( )2
ag e<
2
2 2 2ln 2 04
a e− + − <
a 5 2[ ln 2,4)3 3a∈ −
2( ) 1, ( ) | 1|f x x g x a x= − = −
（1）若关于 的方程 只有一个实数解，求实数 的取值范围；
（2）若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）求函数 在区间 上的最大值（直接写出结果，不需给出演
算步骤）．
20．（1）方程 ，即 ，变形得 ，
显然， 已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程 ，
有且仅有一个等于 1 的解或无解 ，
结合图形得 . ……………………4 分
（2）不等式 对 恒成立，即 （*）对 恒成立，
①当 时，（*）显然成立，此时 ；
②当 时，（*）可变形为 ，令
因为当 时， ，当 时， ，
所以 ，故此时 .
综合①②，得所求实数 的取值范围是 . …………………………………8 分
（3）因为 = …10 分
⑥ 当 时，结合图形可知 在 上递减，在 上递增，
且 ，经比较，此时 在 上的最大值为 .
⑦ 当 时，结合图形可知 在 ， 上递减，
在 ， 上递增，且 ， ，
经比较，知此时 在 上的最大值为 .
⑧ 当 时，结合图形可知 在 ， 上递减，
在 ， 上递增，且 ， ，
经比较，知此时 在 上的最大值为 .
⑨ 当 时，结合图形可知 在 ， 上递减，
在 ， 上递增，且 , ，
经比较，知此时 在 上的最大值为 .
当 时，结合图形可知 在 上递减，在 上递增，
故此时 在 上的最大值为 .
综上所述，当 时， 在 上的最大值为 ；
当 时， 在 上的最大值为 ；
当 时， 在 上的最大值为 0.…………………………………………16
x | ( ) | ( )f x g x= a
x∈R ( ) ( )f x g x≥ a
( ) | ( ) | ( )h x f x g x= + [ 2,2]−
| ( ) | ( )f x g x= 2| 1| | 1|x a x− = − | 1| (| 1| ) 0x x a− + − =
1x = | 1|x a+ =
0a <
( ) ( )f x g x≥ x∈R 2( 1) | 1|x a x− −≥ x∈R
1x = a∈R
1x ≠
2 1
| 1|
xa x
−≤ −
2 1, ( 1),1( ) ( 1), ( 1).| 1|
x xxx x xx
ϕ + >−= = − + <−
1x > ( ) 2xϕ > 1x < ( ) 2xϕ > −
( ) 2xϕ > − 2a −≤
a 2a −≤
2( ) | ( ) | ( ) | 1| | 1|h x f x g x x a x= + = − + −
2
2
2
1, ( 1),
1, ( 1 1),
1, ( 1).
x ax a x
x ax a x
x ax a x
+ − −
− − + + − <
− + − < −
≤
≥
1, 22
a a> >即 ( )h x [ 2,1]− [1,2]
( 2) 3 3, (2) 3h a h a− = + = + ( )h x [ 2,2]− 3 3a +
0 1, 22
a a即0≤ ≤ ≤ ≤ ( )h x [ 2, 1]− − [ ,1]2
a−
[ 1, ]2
a− − [1,2] ( 2) 3 3, (2) 3h a h a− = + = +
2
( ) 12 4
a ah a− = + +
( )h x [ 2,2]− 3 3a +
1 0, 02
a a− < <即- 2≤ ≤ ( )h x [ 2, 1]− − [ ,1]2
a−
[ 1, ]2
a− − [1,2] ( 2) 3 3, (2) 3h a h a− = + = +
2
( ) 12 4
a ah a− = + +
( )h x [ 2,2]− 3a +
3 1, 22 2
a a− < − < −即- 3≤ ≤ ( )h x [ 2, ]2
a− [1, ]2
a−
[ ,1]2
a [ ,2]2
a− ( 2) 3 3 0h a− = + < (2) 3 0h a= + ≥
( )h x [ 2,2]− 3a +
3 , 32 2
a a< − < −即 ( )h x [ 2,1]− [1,2]
( )h x [ 2,2]− (1) 0h =
0a≥ ( )h x [ 2,2]− 3 3a +
3 0a− <≤ ( )h x [ 2,2]− 3a +
3a < − ( )h x [ 2,2]−
20. （苏州市 2011 届高三调研测试）（本小题满分 16 分）
设函数 .
⑴当 时，判断函数 的单调性，并加以证明；
⑵当 时，求证： 对一切 恒成立；
⑶若 ，且 为常数，求证： 的极小值是一个与 无关的常数.
20.【解析】(1)当 时， ，
，
所以函数 在 上是单调减函数.
(2) 当 时, , .
令 得
当 时， ， 是单调减函数；
当 时， ， 是单调增函数；
所以当 时， 有最小值 ，
即 对一切 恒成立.
(3) ,所以 。
令 ，得 ，
（舍）或 ，所以 .
当 时， ， 是单调减函数；
当 时， ， 是单调增函数。
( ) ( )ln ln 0, 0kx af x x a x a a
ax
−= − − > > 且 为常数
1k = ( )f x
0k = ( ) 0f x > 0x >
0k < k ( )f x a
1k = ( ) 1 1
2 21ln ln ln lnx af x x a x x a x a
ax a
−−= − − = − ⋅ + ⋅ −
( ) ( )2
1 3
' 2 21 1 022 2
x aaf x x xx a ax x
− − −
= − ⋅ − ⋅ = − ≤
⋅
( )f x ( )0,+∞
0k = ( ) 1
2ln lnf x x a x a
−= + ⋅ − ( )' 1 2
2 2
a x af x x x x x x
−= − =
( )' 0f x = .4
ax =
0 4
ax< < ( )' 0f x < ( )f x
4
ax > ( )' 0f x > ( )f x
4
ax = ( )f x 2 ln 2 2 ln 1 04
af e = − > − = >
( ) 0f x > 0x >
( ) 1 1
2 2ln lnkf x x x a x a
a
−= − ⋅ + ⋅ − ( )' 2
2
kx ax af x
ax x
− + −= −
⋅
( )'
0 0f x = 0 02 0kx ax a− + =
( )0 1 1ax kk
= + − ( )0 1 1ax kk
= − − ( )0 2
1 1
ax
k
=
+ −
00 x x< < ( )' 0f x < ( )f x
0x x> ( )' 0f x > ( )f x
当 时， 有极小值 ，
而 是与 无关的常数，
所以 是与 无关的常数，
即 的极小值是一个与 无关的常数.
试题精粹
江苏省 2010 年高考数学联考试题
一、填空题:
3．（江苏省南通市 2 010 年高三二模）曲线 在点（1，2）处的切线方程是
▲ ．
解 析 ： 由 函 数 知 , 切 线 方 程 是 : , 即
.
8 ． （ 江 苏 省 南 通 市 2010 年 高 三 二 模 ） 已 知 函 数 若 函 数
有 3 个零点，则实数 m 的取值范围是 ▲ ．§科§
网 Z§X§X§K]
解析：函数 得到图象为:
又函数 有 3 个零点知 有三个零点,
则实数 m 的取值范围是 .
14．（江苏省南通市 20 10 年高三二模）设函数 ， ．若存
在 ，使得 与 同时成立，则实数 a 的取值范围是 ▲ ．
2 lny x x= −
2 lny x x= − / 12y x
= − ( )12 2 11y x − = − −
1 0x y− + =
2
2 1, 0,( )
2 ,
x xf x
x x x
− >= − − ≤0.
( ) ( )g x f x m= −
2
2 1, 0( )
2 ,
x xf x
x x x
− >= − − ≤0 ( )2
2 1, 0,
1 1,
x x
x x
− >= − + + ≤0.
( ) ( )g x f x m= − ( )f x m=
( )0,1
2( ) 3f x x ax a= − + + ( ) 2g x ax a= −
0 Rx ∈ 0( ) 0f x < 0( ) 0g x <
0x x= ( )f x ( ) 0 0
0
0
ln x x af x ka a x
= − +
( )0
2
1
1 1
x
a k
=
+ −
a
( ) 0 0
0
0
ln x x af x ka a x
= − + a
( )f x a
6．（江苏省无锡市 2010 年普通高中高三质量调研）直线 是曲线 的一
条切线，则实数 的值为 。
解析：设切点为 ,而 的导数为 ,在切点处的切线斜率为
,得切点为 ,所以实数 的值为 .
14 ． （ 江 苏 省 无 锡 市 2010 年 普 通 高 中 高 三 质 量 调 研 ） 已 知 函 数
， ，若存在 ，
使 为 的最小值， 为 的最大值，则此时数对 为
。
解析：由 知 ，又 得[m]
；而 的最小值时 = ，又 为 的最大值即
所以 得 得 0 或 1，则此时数对 为（1，2）。
3 ． （ 江 苏 省 泰 州 市 2010 届 高 三 联 考 试 题 ） 设 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 且
，则 ______▲_______．[来源:学&科&网]
解析：由 是定义在 上的奇函数，且 ,知 ,
则 .[来源:学科网]
7．（江苏省泰州市 2010 届高三联考试题）已知函数 ，若
4y x b= + 4 1y x= −
b
( )0 0,x y 4 1y x= − / 34y x=
3
0 04 4 1k x x= = ⇒ = ( )1,0 b 4−
2 2( ) 2 4 3f x ax b b x= − − + − ⋅ 2 2 2 *( ) (2 )( , )g x x a x a Z b Z= − ∈ ∈ 0x
0( )f x ( )f x 0( )g x ( )g x ( , )a b
2 2( ) 2 4 3f x ax b b x= − − + − ⋅ 2 4 3 0 1 3b b b− + − ≥ ⇒ ≤ ≤ b Z∈
1,2,3b = ( )f x 0x
2 4 3b b
a
− + −
0( )g x ( )g x 2
0x a=
2 4 3b b
a
− + − 2a= 6a = 2 4 3b b− + − a = ( , )a b
( )f x R
(3) ( 2) 2f f+ − = (2) (3)f f− =
( )f x R (3) ( 2) 2f f+ − = (3) (2) 2f f− =
(2) (3)f f− = 2−
)1,0(log)( ≠>= aaxxf a
，则实数 的取值范围是__▲___．
14．(江苏通州市 2010 年 3 月高三素质检测)若函数 有三个不同的零点，
则实数 k 的取值范围为 ▲ ．[来源:学。科。网]{k| 或 k>0}
11．（2010 年 3 月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）已知函数 ，正
实数 m，n 满足 ，且 ，若 在区间 上的最大值为 2，则
▲ ．
13． （ 2010 年 3 月 苏 、 锡 、 常 、 镇 四 市 高 三 教 学 情 况 调 查 一 ） 若 函 数
（ ）的最大值是正整数 ，则 = ▲ ．7[来源:学科
网 ZXXK]
7．（江苏省无锡市部分学校 2010 年 4 月联考试卷）设 是给定的常数，
是 上的奇函数，且在 上是增函数，若 ，则 的取值 范
围是 。
10．（江苏省无锡市部分学校 2010 年 4 月联考试卷）已知四次多项式 的四个实根构
成公差为 2 的等差数列，则 的所有根中最大根与最小根之差是
解析：不妨设 ，
则 ，所以，最大根与最小根之差为 。
1 3．（江苏省盐城市 2010 年高三第二次调研考试）若二次函数 的值域
为 ，则 的最小值为 ▲ .
14．（江苏省盐城市 2010 年高三第二次调研考试）设函数 ，则下列命
题中正确命题的序号有 ▲ . （请将你认为正确命题的序号都填上）①③④
①当 时，函数 在 R 上是单调增函数； ②当 时，函数 在 R 上有
最小值；
)3()2( ff < a
3| |( ) 2
xf x kxx
= −+
27
32k < −
2( ) logf x x=
m n< ( ) ( )f m f n= ( )f x 2[ , ]m n n m+ =
5
2
( ) 13 2= + −f x x tx t ∗∈ Ν M M
)10( << aa )(xf
R ( )+∞,0 0)(log,0)2
1( >= tff a t
( )a
a
,01,1
)(xf
0)(' =xf
)910()3)(1)(1)(3()( 24 +−=++−−= xxaxxxxaxf
)5)(5(4)(' +−= xxaxxf 52
2( ) 4f x ax x c= − +
[0, )+∞ 2 24 4
a c
c a
++ +
1
2
( ) | |f x x x bx c= + +
0b > ( )f x 0b < ( )f x
③函数 的图象关于点 对称； ④方程 可能有三个实数根]
11、（江苏省连云港市 2010 届高三二模试题）已知函数 ．
（Ⅰ）方程 在区间 上实数解的个数是_____▲_____；
（Ⅱ）对于下列命题：① 函数 是周期函数； [来源:Z#xx#k.Com]
② 函数 既有最大值又有最小值；
③ 函数 的定义域是 R，且其图象有对称轴；
④对于任意 （ 是函数 的导函数）．
其中真命题的序号是 ▲ ．（填写出所有真命题的序号） ；②③
13、（江苏省连云港市 2010 届高三二模试题）函数f(x)是定义在[－4，4]上的偶函数，其
在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式
f(x)
cosx ＜0 的解集为 ▲ ．（－
π
2 ，－1）∪
（1，
π
2 ）
2．（江苏省苏南六校 2010 年高三年级联合调研考试） 是偶函数，且
在 上是减函数， 则 _____________．1 或 2
12 ． （ 江 苏 省 苏 南 六 校 2010 年 高 三 年 级 联 合 调 研 考 试 ）
（其中 ），则 _____________． [+网]
7. （2010 年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）已知函数 （ 为
常数且 ），若 在区间 的最小值为 ，则实数 的值为 ▲ .
14. （2010 年江苏省苏北四市高三年级第二次模拟考试）若函数 的定义
域和值域均为 ，则 的取值范围是 ▲ ___.
12、（江苏省南京市 2010 年 3 月高三第二次模拟）定义在 R 上的 满足 =
则 。
14、（江苏省南京市 2010 年 3 月高三第二次模拟）已知定义域为 D 的函数 f(x),如果对任
( )f x (0, )c ( ) 0f x =
( ) ( )( )2 2
sin
1 2 2
xf x
x x x
π=
+ − +
( ) 0f x = [ 100,100]−
( )f x
( )f x
( )f x
( 1,0) , ( ) 0x f x′∈ − < ( )f x′ ( )f x
201
)()( 32
Znxxf nn ∈= −
)(xfy = (0, )+∞ =n
1 2 1( ) sin cos , ( ) ( ), ( ) ( ), ,f x x x f x f x f x f x′ ′= + = = )()( 1 xfxf nn −′=
2, ≥∈ ∗ nNn
=+++ )4()4()4( 201021
πππ
fff 2−
( ) 1
pf x x x
= + − p
0p > ( )f x (1, )+ ∞ 4 p 9
4
( ) ( 1)xf x a a= >
],[ nm a
1
(1, )ee
( )f x ( )f x
13 , 0,
( 1) ( 2), 0,
x x
f x f x x
− ≤
− − − >
(2010)f = 1
3
意 x∈D,存在正数 K, 都有∣f(x)∣≤K∣x∣成立，那么称函数 f(x)是 D 上的“倍约束函
数”，已知下列函数：①f(x)=2x ② = ；③ = ；④ =
，其中是“倍约束函数的是 。①③④
10、（江苏省南京市 2010 年 3 月高三第二次模拟）定义在 R 上的奇函数 ,当 x∈（0，
+∞）时，f(x)= ,则不等式 f(x)<-1 的解集是 。
13 ． （ 江 苏 省 洪 泽 中 学 2010 年 4 月 高 三 年 级 第 三 次 月 考 试 卷 已 知 映 射
.设点 ， ，点 M 是线段 AB 上一
动点， .当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时，点 M 的对应点
所经过的路线长度为
二、解答题
20．（江苏省南通市 2010 年高三二模）（本小题满分 16 分）
设函数 f（x）＝ x4＋bx2＋cx＋d，当 x＝t1 时，f（x）有极小值．
（1）若 b＝－6 时，函数 f（x）有极大值，求实数 c 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，若存在实数 c， 使函数 f（x）在闭区间［m－2，m＋2］上单
调递增，求实数 m 的取值范围；
（3）若函数 f（x）只有一个极值点，且 存在 t2∈（t1，t1＋1），使 f ′（t2）＝0，
证明：函数 g（x）＝f（x）－ x2＋t1x 在区间（t1，t2）内最多有一个零点．
( )f x 2sin( )4x
π+ ( )f x 1x − ( )f x
2 1
x
x x− +
( )f x
2log x 1( , 2) (0, )2
−∞ − ∪
( )/: ( , ) ( , ) 0, 0f P m n P m n m n→ ≥ ≥ ( )3,1A ( )2,2B
/:f M M→
/M 6
π
1
4
1
2
19．（江苏省南通市 2010 年高三二模）（本小题满分 16 分）
如图所示的自动通风设施．该设施的下部 ABCD 是等腰梯形，其中 AB=1 米，高 0.5 米，
CD=2a（a＞ ）米．上部 CmD 是个半圆，固定点 E 为 CD 的中点．△EMN 是由电脑控制
其形状变化 的三角通风窗（ 阴影
部分均不通风），MN 是可以沿设
施边框上下滑动且始终保持和 CD
平行的伸缩横杆．
（1）设 MN 与 AB 之间的距离为 x
米，试将三角通风窗 EMN 的
通风面积 S（平方米）表示
成关于 x 的函数；
（2）当 MN 与 AB 之间的距离为多
少米时，三角通风窗 EMN 的通风面积最大？并求出这个最大面积．
1
2
C
A B
M N
D E
m m
A B
CD E
M N
（第 19 题）
[来源:学+科+网]
当 时， ．……………………………………………14 分[来源:1 ( 2 1)2x a= +
2)]([
2
max
axf =
综上， 时，当 时， ，即 MN 与 AB 之间的距
离为 0 米时，三角通风窗 EMN 的通风面积最大，最大面积为 平方米． 时，
当 时， ， 即 与 之间的距离为 米
时，三角通风窗 EMN 的通风面积最大，最大面积为 平方米．………………………
16 分
20．（2010 年 3 月苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查一）(本小题满分 16 分)
已知函数 （ ，实数 ， 为常数）．[来源:Z.xx.k.Com]
（1）若 （ ），且函数 在 上的最小值为 0，求 的值；
（2）若对于任意的实数 ， ，函数 在区间 上总是减函数，对每
个 给 定 的 n ， 求 的 最 大 值
h(n) ．
1 2
2 2a< ≤ 0=x 4
1)0()]([ max == fxf
4
1
2
2>a
1 ( 2 1)2x a= +
2)]([
2
max
axf = MN AB 1 ( 2 1)2x a= +
2
2
1 a
2( ) lnf x x mx n x= + + 0x > m n
23 0n m+ = 0m > ( )f x [1, )x∈ +∞ m
[1,2]a∈ 1b a− = ( )f x ( , )a b
m
设 g(x)= ，22x mx n+ +
19 ．（江苏省无锡市 2010 年普通高中高三质量调研）（本题满分 16 分 ）
已知函数 为奇函数，
且 在 处取得极大值 2.[来源:学科网 ZXXK]
（1）求函数 的解析式；
（2）记 ，求函数 的单调区间；
（3）在（2）的条件下，当 时， 若函数 的图像的直线 的下方，
求 的取值范围。[来源:Zxxk.Com]
解析：（1）由 （ ≠0）为奇函数，
∴ ，代入得， 1 分
∴ ，且 在 取得极大值 2.[来源:Zxxk.Com]
∴ 3 分[来
源:Zxxk.Com][来源:Zxxk.Com]
解得 ， ，∴ 4 分
（2）∵ ，
3 2( ) ( 0, )f x ax bx cx a x R= + + ≠ ∈
( )f x 1x =
( )y f x=
( )( ) ( 1)lnf xg x k xx
= + + ( )y g x=
2k = ( )y g x= y x m= +
m
3 2( )f x ax bx cx= + + a
( ) ( )f x f x− = − 0b =
2'( ) 3f x ax c= + ( )f x 1x =
'(1) 0, 3 0,
(1) 2, 2.
f a c
f a c
= + = ⇒ = + =
1a = − 3c = 3( ) 3f x x x= − +
2( ) 3 ( 1)lng x x k x= − + + +
∴ 5 分
因为函数定义域为（0，+∞），所以
21 2 ( 1)'( ) 2 ( 1) x kg x x k x x
− + += − + + =
得 ， （舍去）.
由函数 定义域为（0，+∞）， 13 分
则当 时， ，当 时 ，
∴当 时，函数 取得最小值 1- 。 15 分
故 的取值范围是（1，+∞）。答 也正确16 分
20．（江苏省无锡市部分学校 2010 年 4 月联考试卷）（16 分）已知函数 。
（1）若 证明：对于任意的两个正数 ，总有 成立；
（2）若对任意的 ，不等式： 恒成立，求 的取值范围。
1x = 3
2x = −
( )y h x=
0 1x< < '( ) 0h x > 1x > '( ) 0h x <
1x = ( )h x m
m [1,+∞ )
xaxxf ln2)( +=
,0
2
2( ) 2mh x x mx
= − +
2m ≤
sin( ) 2 cos
a xf x bxx
+= −+ ( )a b R∈、
( )f x R 2680 a b
( )f x
b ( )f x
2(0, )3
π 2( , )3
π π
b
0x ≥ ( ) 0f x ≤ b
)(xf Rx ∈
0=b )(xf
sin( ) 2 cos
a xy f x x
+= = ⇒+ 2
2sin cos 2 sin( ) 1
1
y ax y x y a x
y
φ −− = − ⇒ − = ≤
+
2 23 4 1 0y ay a⇒ − + − ≤
24 12 0a∆ = + > min max
4 26803y y a+ = =
2010=a
（Ⅱ）若 为奇函数，∵ ，∴ ，
[来源:学科网]
)(xf Rx ∈ 00)0( =⇒= af
20. （ 2010 年 江 苏 省 苏 北 四 市 高 三 年 级 第 二 次 模 拟 考 试 ） 已 知 函 数
（ 不同时为零的常数），导函数为 .
（1）当 时，若存在 使得 成立，求 的取值范围；
（2）求证：函数 在 内至少有一个零点；
（3）若函数 为奇函数，且在 处的切线垂直于直线 ，关于 的方程
在 上有且只有一个实数根，求实数 的取值范围.[来
源:Zxxk.Com]
3 2( ) ( )f x ax bx b a x= + + − ,a b ( )f x′
1
3
=a [ 3 , 1]∈ − −x ( ) 0f x′ > ｂ
( )y f x′= ( 1, 0)−
( )f x 1=x 2 3 0+ − =x y x
1( ) 4f x t= − [ 1, ] ( 1)− > −t t t
当 时， ，故 ．
所以所求 的取值范围是 或 ．
[来源:学科网 ZXXK]
3
3>t 1( ) 04f t t< − < 3 3
3 2t< <
t 02
3 <≤− t 30 2t< <
20．（江苏省泰州市 2010 届高三联考试题）（本小 题满分 16 分）
已知函数 ， （其中 为常数）；
（1）如果函数 和 有相同的 极值点，求 的值；
（2）设 ，问是否存在 ，使得 ，若存在，请求出实数 的
取值范围；若不存在，请说明理由．[来源:学.科.网]
（3）记函数 ，若函数 有 5 个不同的零点，求实数
的取值范围．
2( ) ( )f x x x a= − 2( ) ( 1)g x x a x a= − + − + a
( )y f x= ( )y g x= a
0a > 0 ( 1, )3
ax ∈ − 0 0( ) ( )f x g x> a
( ) [ ( ) 1] [ ( ) 1]H x f x g x= − ⋅ − ( )y H x= a
20．（江苏省洪泽中学 2010 年 4 月高三年级第三次月考试卷对于定义在区间 D 上的函数
，若存在闭区间 和常数 ，使得对任意 ，都有 ，且对
任意 ∈D，当 时， 恒成立，则称函数 为区间 D 上的“平底型”
函数.
（1）判断函数 和 是否为 R 上的“平底型”函数？
并说明理由；
（ 2 ） 设 是 （ 1 ） 中 的 “ 平 底 型 ” 函 数 ， 为 非 零 常 数 ， 若 不 等 式
( )f x [ , ]a b D⊆ c 1 [ , ]x a b∈ 1( )f x c=
2x 2 [ , ]x a b∉ 2( )f x c> ( )f x
1( ) | 1| | 2 |f x x x= − + − 2 ( ) | 2 |f x x x= + −
( )f x k
对一切 R 恒成立，求实数 的取值范围；[来源:学_科_
网 Z_X_X_K]
（3）若函数 是区间 上的“平底型”函数，求 和 的
值 .
| | | | | | ( )t k t k k f x− + + ≥ ⋅ t ∈ x
2( ) 2g x mx x x n= + + + [ 2, )− +∞ m n
[来源:学科网 ZXXK]
函数问题的题型与方法
三、函数的概念
函数有二种定义，一是变量观点下的定义，一是映射观点下的定义．复习中不能仅满
足对这两种定义的背诵，而应在判断是否构成函数关系，两个函数关系是否相同等问题中得
到深化，更应在有关反函数问题中正确运用．具体要求是：
1．深化对函数概念的理解，明确函数三要素的作用，并能以此为指导正确理解函数与
其反函数的关系．
2．系统归纳求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法．在熟练有关技能的同
时，注意对换元、待定系数法等数学思想方法的运用．
3．通过对分段定义函数，复合函数，抽象函数等的认识，进一步体会函数关系的本质，
进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想，为函数思想的广泛运用打好基础．
本部分的难点首先在于克服“函数就是解析式”的片面认识，真正明确不仅函数的对
应法则，而且其定义域都包含着对函数关系的制约作用，并真正以此作为处理问题的指
导．其次在于确定函数三要素、求反函数等课题的综合性，不仅要用到解方程，解不等式等
知识，还要用到换元思想、方程思想等与函数有关概念的结合．
Ⅰ 深化对函数概念的认识
例 1．下列函数中，不存在反函数的是 （ ）
分析：处理本题有多种思路．分别求所给各函数的反函数，看是否存在是不好的，因
为过程太繁琐．
从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在
其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判
断，这是常用方法。
此题作为选择题还可采用估算的方法．对于 D，y=3 是其值域内一个值，但若 y=3，则
可能 x=2(2＞1)，也可能 x=-1(-1≤-1)．依据概念，则易得出 D 中函数不存在反函数．于是
决定本题选 D．
说明：不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是这里解决问题的关
键．
由于函数三要素在函数概念中的重要地位，那么掌握确定函数三要素的基本方法当然
成了函数概念复习中的重要课题．
例 1．（重庆市）函数 的定义域是（ D ）
A、 B、 C、 D、
例 2．（天津市）函数 （ ）的反函数是（ D ）
A、 B、
C、 D、
也有个别小题的难度较大，如
例 3．（北京市）函数 其中 P、M 为实数集 R 的两个非空子集，又规定
， ，给出下列四个判断：
①若 ，则 ②若 ，则
)23(log
2
1 −= xy
[1, )+∞ 2
3( , )+∞ 2
3[ ,1] 2
3( ,1]
12
3 −= xy 01 <≤− x
)3
1(log1 3 ≥+= xxy )3
1(log1 3 ≥+−= xxy
)13
1(log1 3 ≤<+= xxy )13
1(log1 3 ≤<+−= xxy
, ,( ) , ,
x x Pf x x x M
∈= − ∈
f P y y f x x P( ) { | ( ), }= = ∈ f M y y f x x M( ) { | ( ), }= = ∈
P M∩ = ∅ f P f M( ) ( )∩ = ∅ P M∩ ≠ ∅ f P f M( ) ( )∩ ≠ ∅
③若 ，则 ④若 ，则
其中正确判断有（ B ）
A、 1 个 B、 2 个 C、 3 个 D、 4 个
分析：若 ，则只有 这一种可能．②和④是正确的．
Ⅱ 系统小结确定函数三要素的基本类型与常用方法
1．求函数定义域的基本类型和常用方法
由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表，实际上是求使给定式有意义的 x 的取
值范围．它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练．这里的最高层次要求是给出的解
析式还含有其他字
例 2．已知函数 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
分析：x 的函数 f(x )是由 u=x 与 f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中 x 是自
变量，u 是中间变量．由于 f(x)，f(u)是同一个函数，故(1)为已知 0＜u＜2，即 0＜x ＜
2．求 x 的取值范围．
解：(1)由 0＜x ＜2， 得
说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出 f(x)的解析式，由 f(x)的定
义域求函数 f[g(x)]的定义域．关键在于理解复合函数的意义，用好换元法．(2)是二种类
型的综合．
求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义
域。
2．求函数值域的基本类型和常用方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的．其类型依解析式的特点分可分三类：
(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运
算”而得函数的值域．
3．求函数解析式举例
例 3．已知 xy＜0，并且 4x -9y =36．由此能否确定一个函数关系 y=f(x)？如果能，
求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．
分析： 4x -9y =36 在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关
系 y=f(x)，但加上条件 xy＜0 呢？
P M∪ = R ( ) ( )f P f M∪ = R P M R∪ ≠ ( ) ( )f P f M∪ ≠ R
P M∩ ≠ ∅ }0{=∩ MP
( )f x
2 2
2
2
2 2
2 2
所以
因此能确定一个函数关系 y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪(3，+∞)．且不难得到其值
域为(-∞，0)∪(0，＋∞)．
说明：本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系．任何一个函数的
解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式．求函数解析
式还有两类问题：
(1)求常见函数的解析式．由于常见函数(一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，
对数函数，三角函数及反三角函数)的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定
其解析式．这里不再举例．
(2)从生产、生活中产生的函数关系的确定．这要把有关学科知识，生活经验与函数概
念结合起来，举例也宜放在函数复习的以后部分．
四、函数的性质、图象
(一)函数的性质
函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对
定义的深入理解上下功夫．
复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的
定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的
最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是：
1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一
区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性．
2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和
运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法．
3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思
想方法解决问题的能力．
这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解．
函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数 y=f(x)在给定区间上的单调性，反
映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义
域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．
对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)这两个等式上，
要明确对定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关
于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数 f(x)的图象关于直线 x=a
对称的充要条件是对定义域内的任意 x，都有 f(x+a)=f(a-x)成立．函数的奇偶性是其相应
图象的特殊的对称性的反映．
这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，
选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求．
1．对函数单调性和奇偶性定义的理解
例 4．下面四个结论：①偶函数的图象一定与 y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；
③偶函数的图象关于 y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R)，其
中正确命题的个数是 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
分析：偶函数的图象关于 y 轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误．
奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确．
若 y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得 f(x)=0，但不一定 x∈R，如例 1 中的
(3)，故④错误，选 A．
说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零．
2．复合函数的性质
复合函数 y=f[g(x)]是由函数 u=g(x)和 y=f(u)构成的，因变量 y 通过中间变量 u 与自
变量 x 建立起函数关系，函数 u=g(x)的值域是 y=f(u)定义域的子集．
复合函数的性质由构成它的函数性质所决定，具备如下规律：
(1)单调性规律
如果函数 u=g(x)在区间［m，n］上是单调函数，且函数 y=f(u)在区间[g(m)，g(n)] (或
[g(n)，g(m)])上也是单调函数，那么
若 u=g(x)，y=f(u)增减性相同，则复合函数 y=f[g(x)]为增函数；若 u=g(x)，y= f(u)
增减性不同，则 y=f[g(x)]为减函数．
(2)奇偶性规律
若函数 g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则 u=g(x)，y=f(u)都是
奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]
是偶函数．
例 5．若 y=log (2-ax)在［0，1］上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．[2，+∞)
分析：本题存在多种解法，但不管哪种方法，都必须保证：①使 log (2-ax)有意义，
即 a＞0 且 a≠1，2-ax＞0．②使 log (2-ax)在[0，1]上是 x 的减函数．由于所给函数可分
解为 y=log u，u=2-ax，其中 u=2-ax 在 a＞0 时为减函数，所以必须 a＞1；③[0，1]必须
是 y=log (2-ax)定义域的子集．
解法一：因为 f(x)在［0，1］上是 x 的减函数，所以 f(0)＞f(1)，
即 log 2＞log (2-a)．
解法二：由对数概念显然有 a＞0 且 a≠1，因此 u=2-ax 在［0，1］上是减函数，y= log
u 应为增函数，得 a＞1，排除 A，C，再令
故排除 D，选 B．
说明：本题为 1995 年全国高考试题，综合了多个知识点，无论是用直接法，还是用排
除法都需要概念清楚，推理正确．
3．函数单调性与奇偶性的综合运用
例 6．甲、乙两地相距 Skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过 c km／h，已
知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v(km
／h)的平方成正比，比例系数为 b；固定部分为 a 元．
(1)把全程运输成本 y(元)表示为速度 v(km／h)的函数，并指出这个函数的定义域；
(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶．
分析：(1)难度不大，抓住关系式：全程运输成本=单位时间运输成本×全程运输时间，
而全程运输时间=(全程距离)÷(平均速度)就可以解决．
故所求函数及其定义域为
a
a
a
a
a
a a
a
但由于题设条件限制汽车行驶速度不超过 ckm／h，所以(2)的解决需要
论函数的增减性来解决．
由于 v v ＞0，v -v ＞0，并且
又 S＞0，所以 即
则当 v=c 时，y 取最小值．
说明：此题是 1997 年全国高考试题．由于限制汽车行驶速度不得超过 c，因而求最值
的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使难度有所增大．
（二）函数的图象
1．掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法．
2．会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题．
3．用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题．
4．掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力．
以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种
1 2 2 1
方法是本节的重点．
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关
键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一
个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难
点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的
变换．这也是个难点．
1．作函数图象的一个基本方法
例 7．作出下列函数的图象(1)y=|x-2|(x＋1)；(2)y=10|lgx|．
分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，
我们还应想到对已知解析式进行等价变形．
解：(1)当 x≥2 时，即 x-2≥0 时，
当 x＜2 时，即 x-2＜0 时，
这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(见图 6)
(2)当 x≥1 时，lgx≥0，y=10|lgx|=10lgx=x；
当 0＜x＜1 时，lgx＜0，
所以
这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出．(见图 7)
说明：作不熟悉的函数图象，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等
价，要特别注意 x，y 的变化范围．因此必须熟记基本函数的图象．例如：一次函数、反比
例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图象．
在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想．
2．作函数图象的另一个基本方法——图象变换法．
一个函数图象经过适当的变换(如平移、伸缩、对称、旋转等)，得到另一个与之相关
的图象，这就是函数的图象变换．
在高中，主要学习了三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．
(1)平移变换
函数 y=f(x+a)(a≠0)的图象可以通过把函数 y=f(x)的图象向左(a＞0)或向右(a＜0)
平移|a|个单位而得到；
函数 y=f(x)+b(b≠0)的图象可以通过把函数 y=f(x)的图象向上(b＞0)或向下(b＜0)
平移|b|个单位而得到．
(2)伸缩变换
函数 y=Af(x)(A＞0，A≠1)的图象可以通过把函数 y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长
(A＞1)或缩短(0＜A＜1)成原来的 A 倍，横坐标不变而得到．
函数 y=f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的图象可以通过把函数 y=f(x)的图象上
而得到．
(3)对称变换
函数 y=-f(x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于 x 轴对称的图形而得到．
函数 y=f(-x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于 y 轴对称的图形而得到．
函数 y=-f(-x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于原点对称的图形而得到．
函数 y=f-1(x)的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称的图形而得到。
函数 y=f(|x|)的图象可以通过作函数 y=f(x)在 y 轴右方的图象及其与 y 轴对称的图
形而得到．
函数 y=|f(x)|的图象可以通过作函数 y=f(x)的图象，然后把在 x 轴下方的图象以 x 轴
为对称轴翻折到 x 轴上方，其余部分保持不变而得到．
例 8．已知 f(x+199)=4x ＋4x+3(x∈R)，那么函数 f(x)的最小值为____．
分析：由 f(x＋199)的解析式求 f(x)的解析式运算量较大，但这里我们注意到，y=f(x
＋100)与 y=f(x)，其图象仅是左右平移关系，它们取得
求得 f(x)的最小值即 f(x＋199)的最小值是 2．
说明：函数图象与函数性质本身在学习中也是密切联系的，是“互相利用”关系，函
数图象在判断函数奇偶性、单调性、周期性及求最值等方面都有重要用途．
五、函数综合应用
函数的综合复习是在系统复习函数有关知识的基础上进行函数的综合应用:
1．在应用中深化基础知识．在复习中基础知识经历一个由分散到系统，由单一到综合
的发展过程．这个过程不是一次完成的，而是螺旋式上升的．因此要在应用深化基础知识的
同时，使基础知识向深度和广度发展．
2．以数学知识为载体突出数学思想方法．数学思想方法是观念性的东西，是解决数学
问题的灵魂，同时它又离不开具体的数学知识．函数内容最重要的数学思想是函数思想和数
形结合的思想．此外还应注意在解题中运用的分类讨论、换元等思想方法．解较综合的数学
问题要进行一系列等价转化或非等价转化．因此本课题也十分重视转化的数学思想．
3．重视综合运用知识分析问题解决问题的能力和推理论证能力的培养．函数是数学复
习的开始，还不可能在大范围内综合运用知识．但从复习开始就让学生树立综合运用知识解
决问题的意识是十分重要的．推理论证能力是学生的薄弱环节，近几年高考命题中加强对这
方面的考查，尤其是对代数推理论证能力的考查是十分必要的．本课题在例题安排上作了这
方面的考虑．
具体要求是：
1．在全面复习函数有关知识的基础上，进一步深刻理解函数的有关概念，全面把握各
类函数的特征，提高运用基础知识解决问题的能力．
2．掌握初等数学研究函数的方法，提高研究函数的能力，重视数形结合数学思想方法
的运用和推理论证能力的培养．
2
3．初步沟通函数与方程、不等式及解析几何有关知识的横向联系，提高综合运用知识
解决问题的能力．
4．树立函数思想，使学生善于用运动变化的观点分析问题．
本部分内容的重点是：通过对问题的讲解与分析，使学生能较好的调动函数的基础知
识解决问题，并在解决问题中深化对基础知识的理解，深化对函数思想、数形结合思想的理
解与运用．
难点是：函数思想的理解与运用，推理论证能力、综合运用知识解决问题能力的培养
与提高．
函数的综合运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自
然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化
的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．因此，运动变化、相互联系、相互
制约是函数思想的精髓，掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，提高用初等数学思想方
法研究函数的能力，树立运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．
1．准确理解、熟练运用，不断深化有关函数的基础知识
在中学阶段函数只限于定义在实数集合上的一元单值函数，其内容可分为两部分．第
一部分是函数的概念和性质，这部分的重点是能从变量的观点和集合映射的观点理解函数及
其有关概念，掌握描述函数性质的单调性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七类常见函
数(一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数)的图象和性质．第
一部分是理论基础，第二部分是第一部分的运用与发展．
例 9．已知函数 f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1｝中所
含元素的个数是．（ ）
A．0 B．1 C．0 或 1 D．1 或 2
分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言．从函数观
点看，问题是求函数 y=f(x)，x∈F 的图象与直线 x=1 的交点个数(这是一次数到形的转化)，
不少学生常误认为交点是 1 个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是
不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的．这里给出了函数 y=f(x)
的定义域是 F，但未明确给出 1 与 F 的关系，当 1∈F 时有 1 个交点，当 1 F 时没有交点，
所以选 C．
2．掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的能力
高中数学对函数的研究理论性加强了，对一些典型问题
的研究十分重视，如求函数的定义域，确定函数的解析式，判
断函数的奇偶性，判断或证明函数在指定区间的单调性等，并形
成了研究这些问题的初等方法，这些方法对分析问题能力，推理
论证能力和综合运用数学知识能力的培养和发展是十分重要
的．
函数、方程、不等式是相互联系的．对于函数 f(x)与 g(x)，
令 f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或 f(x)＜g(x)则分别构成方程和不
等式，因此对于某些方程、不等式的问题用函数观点认识是十
分有益的；方程、不等式从另一个侧面为研究函数提供了工具．
例 10．方程 lgx+x=3 的解所在区间为（ ）
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，+∞)
分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数 y=lgx 与 y=-x+3 的图象(如图 2)．它们的
交点横坐标 ，显然在区间(1，3)内，由此可排除 A，D．至于选 B 还是选 C，由于画图精
确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较 与 2 的大小．当 x=2 时，
lgx=lg2，3-x=1．由于 lg2＜1，因此 ＞2，从而判定 ∈(2，3)，故本题应选 C．
∉
0x
0x
0x 0x
说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程 lgx+x=3 解所在的区间．数形结合，
要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算 的邻近两个函数值，通
过比较其大小进行判断．
例 11．(1)一次函数 f(x)=kx+h(k≠0)，若 m＜n 有 f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意 x∈
(m，n)都有 f(x)＞0，试证明之；
(2)试用上面结论证明下面的命题：
若 a，b，c∈R 且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则 ab+bc+ca＞-1．
分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数 f(x)=kx+h(k≠0)， x∈(m， n)．若区间两
个端点的函数值均为正，则对于任意 x∈(m，n)都有 f(x)＞0．之所以具有上述性质是由于
一次函数是单调的．因此本问题的证明要从函数单调性入手．
(1)证明：
当 k＞0 时，函数 f(x)=kx+h 在 x∈R 上是增函数，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0；
当 k＜0 时，函数 f(x)=kx+h 在 x∈R 上是减函数，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0．
所以对于任意 x∈(m，n)都有 f(x)＞0 成立．
(2)将 ab+bc+ca+1 写成(b+c)a+bc+1，构造函数 f(x)=(b+c)x+bc+1．则
f(a)=(b+c)a+bc+1．
当 b+c=0 时，即 b=-c， f(a)=bc+1=-c2+1．
因为|c|＜1，所以 f(a)=-c2+1＞0．
当 b+c≠0 时，f(x)=(b+c)x+bc+1 为 x 的一次函数．
因为|b|＜1，|c|＜1，
f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0．
由问题(1)对于|a|＜1 的一切值 f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．
说明：问题(2)的关键在于“转化”“构造”．把证明 ab+bc+ca＞-1 转化为证明
ab+bc+ca+1 ＞ 0 ， 由 于 式 子 ab+bc+ca+1 中 ， a ， b ， c 是 对 称 的 ， 构 造 函 数
f(x)=(b+c)x+bc+1，则 f(a)=(b+c)a+bc+1，问题转化为在|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1 的条件
下证明 f(a)＞0．(也可构造 f(x)=(a+c)x+ac+1，证明 f(b)＞0)。
例 12 ． 定 义 在 R 上 的 单 调 函 数 f(x) 满 足 f(3)=log 3 且 对 任 意 x ， y ∈ R 都 有
f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证 f(x)为奇函数；
(2)若 f(k·3 )+f(3 -9 -2)＜0 对任意 x∈R 恒成立，求实数 k 的取值范围．
分 析 ： 欲 证 f(x) 为 奇 函 数 即 要 证 对 任 意 x 都 有 f(-x)=-f(x) 成 立 ． 在 式 子
f(x+y)=f(x)+f(y)中，令 y=-x 可得 f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求 f(0)的值．令
x=y=0 可得 f(0)=f(0)+f(0)即 f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．
(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)， ①
令 x=y=0，代入①式，得 f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令 y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又 f(0)=0，则有
0=f(x)+f(-x)．即 f(-x)=-f(x)对任意 x∈R 成立，所以 f(x)是奇函数．
(2)解：f(3)=log 3＞0，即 f(3)＞f(0)，又 f(x)在 R 上是单调函数，所以 f(x)在 R
上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．
f(k·3 )＜-f(3 -9 -2)=f(-3 +9 +2)， k·3 ＜-3 +9 +2，
3 -(1+k)·3 +2＞0 对任意 x∈R 成立．
令 t=3 ＞0，问题等价于 t -(1+k)t+2＞0 对任意 t＞0 恒成立．
0x
2
x x x
2
x x x x x x x x
2x x
x 2
R 恒成立．
说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在 x∈R 上是增函数，
把问题转化成二次函数 f(t)=t -(1+k)t+2 对于任意 t＞0 恒成立．对二次函数 f(t)进行研
究求解．本题还有更简捷的解法：
分离系数由 k·3 ＜-3 +9 +2 得
上述解法是将 k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．
六、强化训练
1．对函数 作代换 x=g(t)，则总不改变 f(x)值域的代换是 ( )
A． B．
C．g(t)=(t－1)2 D．g(t)=cost
2．方程 f(x,y)=0 的曲线如图所示，那么方程 f(2－x,y)=0 的曲线是 ( )
3．已知命题 p：函数 的值域为 R，命题 q：函数
是减函数。若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，则实数 a 的取值范围是
A．a≤1 B．a<2 C．1m(x －1)对满足|m|≤2 的一切实数 m 的取值都成立。求 x 的取值范围。
16. 设等差数列{a }的前 n 项的和为 S ，已知 a ＝12，S >0，S <0 。
①.求公差 d 的取值范围；
②.指出 S 、S 、…、S 中哪一个值最大，并说明理由。(1992 年全国高考)
17. 如图，AB 是圆 O 的直径，PA 垂直于圆 O 所在平面，C 是圆
周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB=2r，求异面直线 PB 和
AC 的距离。
18. 已 知 △ ABC 三 内 角 A 、 B 、 C 的 大 小 成 等 差 数 列 ， 且
tanA·tanC＝2＋ ，又知顶点 C 的对边 c 上的高等于 4
,求△ABC 的三边 a、b、c 及三内角。
19. 设 f(x)＝lg ，如果当 x∈(-∞,1]时 f(x)有意
义，求 实数 a 的取值范围。
20．已知偶函数 f(x)=cossinx－sin(x－)+(tan－2)sinx－sin的最小值是 0，求
f(x)的最大值 及此时 x 的集合．
21．已知 ，奇函数 在 上单调．
（Ⅰ）求字母 应满足的条件；
（Ⅱ）设 ，且满足 ，求证： ．
七、参考答案
1．不改变 f(x)值域，即不能缩小原函数定义域。选项 B，C，D 均缩小了 的定义域，
故选 A。
2．先作出 f(x,y)=0 关于 轴对称的函数的图象，即为函数 f(-x,y)=0 的图象，又
f(2－x,y)=0 即为 ，即由 f(-x,y)=0 向右平移 2 个单位。故选 C。
3．命题 p 为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数 的判别
式 ，从而 ；命题 q 为真时， 。
若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，故 p 和 q 中只有一个是真命题，一个是假命题。
P
M
A H B
D C
1
5
π
2
4
3
3
4
4
3
3
4
n
p
q p q+
2
3
( )f x ( ) ( ) ( )f a b f a f b+ = ⋅ (1) 2f =
2 2 2 2(1) (2) (2) (4) (3) (6) (4) (8)
(1) (3) (5) (7)
f f f f f f f f
f f f f
+ + + ++ + + =
, ,a b c 2 0ax bx c+ + = 1 2 1 2, ( )x x x x≠
1 2| | 1,| | 1x x< < a b c+ +
2
2
n n 3 12 13
1 2 12
3
3
1 2 4
3
+ +x x a
x R∈ 3 2( )f x x ax bx c= − − + [1, )+∞
, ,a b c
0 01, ( ) 1x f x≥ ≥ 0 0[ ( )]f f x x= 0 0( )f x x=
( )f x
y
( ( 2), ) 0f x y− − =
2 2x x a+ +
4 4 0a∆ = − ≥ 1a ≤ 5 2 1 2a a− > ⇒ <
若 p 为真，q 为假时，无解；若 p 为假，q 为真时，结果为 10），则 ＋ ＝ ，解出 x＝2，再用万能公式，选 A；
8．利用 是关于 n 的一次函数，设 S ＝S ＝m， ＝x，则（ ,p）、( ,q)、
(x，p+q)在同一直线上，由两点斜率相等解得 x＝0，则答案：0；
9．设 cosx＝t，t∈[-1,1]，则 a＝t －t－1∈[－ ,1]，所以答案：[－ ,1]；
10．设高 h，由体积解出 h＝2 ，答案：24 ；
11．设长 x，则宽 ，造价 y＝4×120＋4x×80＋ ×80≥1760，答案：1760。
12．运用条件知： =2，且
= =16
13．依题意可知 ，从而可知 ，所以有
，又 为正整数，取 ，则
，所以 ，从而 ，所以 ，
又 ，所以 ，因此 有最小值为 。
下面可证 时， ，从而 ，所以 , 又 ,所以
,所以 ,综上可得: 的最小值为 11。
14．分析:这是有关函数定义域、值域的问题，题目是逆向给出的，解好本题要运用复合函
数，把 f(x)分解为 u=ax +2x+1 和 y=lgu 并结合其图象性质求解．
切实数 x 恒成
立． a=0 或 a＜0 不合题意，
解得 a＞1．
当 a＜0 时不合题意； a=0 时，u=2x+1，u 能取遍一切正实数；
a＞0 时，其判别式Δ=22-4×a×1≥0，解得 0＜a≤1．
θ
2
2
1 2
x
x+
1
1
2
2
−
+
x
x
1
5
S
n
n
p q
S
p q
p q+
+
m
p
m
q
2 5
4
5
4
3 6
4
x
16
x
( 1) (1)( )
f n ff n
+ =
2 2 2 2(1) (2) (2) (4) (3) (6) (4) (8)
(1) (3) (5) (7)
f f f f f f f f
f f f f
+ + + ++ + +
2 (2) 2 (4) 2 (6) 2 (8)
(1) (3) (5) (7)
f f f f
f f f f
+ + +
2
1 2
1 2
4 0
0
0
b ac
bx x a
cx x a
∆ = − >
+ = − <
= >
1 2, ( 1,0)x x ∈ −
2
1 2
4 0
( 1) 0
1
b ac
f a b c
cx x a
− >
− = − + >
= <
2 4b ac
b a c
c a
>
⇒ < +
<
, ,a b c 1c =
1a b a b+ > ⇒ ≥ 2 2 4 4 4a b ac a a≥ > = ⇒ > 5a ≥ 2 4 20b ac> ≥
5 1 6b < + = 5b = a b c+ + 11
2c ≥ 3a ≥ 2 4 24b ac> ≥ 5b ≥ 5a c b+ > ≥
6a c+ ≥ 11a b c+ + ≥ a b c+ +
2
所以当 0≤a≤1 时 f(x)的值域是 R．
15．分析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于 x 的不等式讨论。然而，若变换一
个角度以 m 为变量，即关于 m 的一次不等式(x －1)m－(2x－1)<0 在[-2,2]上恒成立的问题。
对此的研究，设 f(m)＝(x －1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)
的值在[-2,2]内恒为负值时参数 x 应该满足的条件 。
解：问题可变成关于 m 的一次不等式：(x －1)m－(2x－1)<0 在[-2,2] 恒成立，设 f(m)
＝(x －1)m－(2x－1), 则
解得 x∈（ , ）
说明 本题的关键是变换角度，以参数 m 作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函
数在闭区间上的值域问题。本题有别于关于 x 的不等式 2x－1>m(x －1)的解集是[-2,2]时
求 m 的值、关于 x 的不等式 2x－1>m(x －1)在[-2,2]上恒成立时求 m 的范围。
一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关
系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，
更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题。
16．分析： ①问利用公式 a 与 S 建立不等式，容易求解 d 的范围；②问利用 S 是 n 的二
次函数，将 S 中哪一个值最大，变成求二次函数中 n 为何值时 S 取最大值的函数最值问题。
解：① 由 a ＝a ＋2d＝12,得到 a ＝12－2d，所以
S ＝12a ＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0，
S ＝13a ＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0。
解得：－ 0、a <0 ，即：由 d<0 知道 a >a >…>a ，由 S ＝13a
<0 得 a <0，由 S ＝6(a ＋a )>0 得 a >0。所以，在 S 、S 、…、S 中，S 的值最大。
17．分析：异面直线 PB 和 AC 的距离可看成求直线 PB 上任意一点到 AC 的距离的最小值，从
而设定变量，建立目标函数而求函数最小值。
2
2
f
f
( )
( )
2 0
2 0
<
− <
2
2 f x x
f x x
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 1 2 1 0
2 2 1 2 1 0
2
2
= − − − <
− = − − − − <
7 1
2
− 3 1
2
+
2
2
n n n
n n
3 1 1
12 1
13 1
24
7
n 1
1
2
1
2
d
2
1
2
24
d
2 d
2
1
2
24
d
2
1
2
24
d
2
n
24
7
1
2
24
d
1
2
24
d
2
6
n n+1 1 2 13 13
7 7 12 6 7 6 1 2 12 6
解：在 PB 上任取一点 M，作 MD⊥AC 于 D，MH⊥AB 于 H，
设 MH＝x，则 MH⊥平面 ABC，AC⊥HD 。
∴MD ＝x ＋[(2r－x)sinθ] ＝(sin ＋1)x －4rsin θ
x ＋ 4r sin θ ＝ (sin θ ＋ 1)[x － ] ＋
即当 x＝ 时，MD 取最小值 为两异面直线的距离。
说明：本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的
最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”。一般地，对于求最大值、
最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后
利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第 8 题就是典型的例子。
18．分析：已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解。
解： 由 A、B、C 成等差数列，可得 B＝60°；
由△ABC 中 tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC，得
tanA＋tanC＝tanB(tanA·tanC－1)＝ (1＋ )
设 tanA、tanC 是方程 x －( ＋3)x＋2＋ ＝0 的两根，解得 x ＝1，x ＝2＋
设 A0 在 x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。
解：由题设可知，不等式 1＋2 ＋4 a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立，
即：( ) ＋( ) ＋a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立。
设 t＝( ) , 则 t≥ ， 又设 g(t)＝t ＋t＋a，其对称轴为 t＝－
∴ t ＋t＋a＝0 在[ ,+∞)上无实根， 即 g( )＝( ) ＋ ＋a>0，得 a>－
所以 a 的取值范围是 a>－ 。
说明：对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图
像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，
我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题
进行相互转化。
在解决不等式( ) ＋( ) ＋a>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立的问题时，也可使用“分离
参数法”： 设 t＝( ) , t≥ ，则有 a＝－t －t∈(－∞,－ ]，所以 a 的取值范围
P
M
A H B
D C
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1
2
2
rsin
sin
θ
θ+
2
4
1
2 2
2
r sin
sin
θ
θ+
2
1
2
2
rsin
sin
θ
θ+
2
1 2
r sin
sin
θ
θ+
3 3
2 3 3 1 2 3
3 π
4
5
12
π
6 3
1 2 4
3
+ +x x a x x
x x
1
2
2x 1
2
x
1
2
x 1
2
2 1
2
2 1
2
1
2
1
2
2 1
2
3
4
3
4
1
2
2x 1
2
x
1
2
x 1
2
2 3
4
是 a>－ 。其中最后得到 a 的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应
用“函数思想”。
20．解：f(x)=cossinx－(sinxcos－cosxsin)+(tan－2)sinx－sin
=sincosx+(tan－2)sinx－sin
因为 f(x)是偶函数，
所以对任意 xR，都有 f(－x)=f(x)，
即 sincos(－x)+(tan－2)sin(－x)－sin=sincosx+(tan－2)sinx－sin,
即(tan－2)sinx=0，
所以 tan=2
由
解得 或
此时，f(x)=sin(cosx－1).
当 sin= 时，f(x)= (cosx－1)最大值为 0，不合题意最小值为 0，舍去；
当 sin= 时，f(x)= (cosx－1)最小值为 0，
当 cosx=－1 时，f(x)有最大值为 ,
自变量 x 的集合为{x|x=2k+,kZ}．
21．解：（1） ； ． ，
若 上是增函数，则 恒成立，即
若 上是减函数，则 恒成立，这样的 不存在．
综上可得： ．
（ 2 ） （ 证 法 一 ） 设 ， 由 得 ， 于 是 有
，（1）－（2）得： ，
化简可得
， ，
， 故 ， 即 有
．
（证法二）假设 ，不妨设 ，由（1）可知 在
上单调递增，故 ，
这与已知 矛盾，故原假设不成立，即有 ．
3
4
2 2sin cos 1,
sin 2,cos
θ θ
θ
θ
+ = =
=
=
；
，
5
5cos
5
52sin
θ
θ
−=
−=
.5
5cos
5
52sin
θ
θ ，
5
52
5
52
5
52−
5
52−
5
54
(0) 0 0f c= ⇒ = ( ) ( ) 0 0f x f x a+ − = ⇒ = 2'( ) 3f x x b= −
( )f x [1, )x ∈ +∞ '( ) 0f x ≥ 2
min(3 ) 3b x≤ =
( )f x [1, )x ∈ +∞ '( ) 0f x ≤ b
0, 3a c b= = ≤
0( )f x m= 0 0[ ( )]f f x x= 0( )f m x=
3
0 0
3
0
(1)
(2)
x bx m
m bm x
− = − =
3 3
0 0 0( ) ( )x m b x m m x− − − = −
2 2
0 0 0( )( 1 ) 0x m x mx m b− + + + − = 0 01, ( ) 1x f x m≥ = ≥
2 2
0 0 1 4 1 0x mx m b b∴ + + + − ≥ − ≥ > 0 0x m− =
0 0( )f x x=
0 0( )f x x≠ 0 0( ) 1f x a x= > ≥ ( )f x [1, )+∞
0 0 0[ ( )] ( ) ( )f f x f a f x x= > >
0 0[ ( )]f f x x= 0 0( )f x x=
过关测试
一、填空题: 本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．．
1．(06 广东 B1)函数 的定义域是_____
2.定义在 R 上的函数 的值域为［a,b］,则 的值域为____
3．若函数 的定义域为 R，则 的值为____
4. 函数 f(x)= 若 f(f(x))=1，则 x 的取值范围是_____
5. 规定记号“ ”表示一种运算，即 ，若 ，
则函数 的值域为
6. （08 江苏）A= ，则 A Z 的元素的个数．
7．函数 ，若 则 的所有可能值为
8. 已知 f（x）的定义域为［0，1］，则函数 y=f（3－x）的定义域是
9. 函数 的单调递增区间是.
10. 设函数 满足 ，则 ．
11. 设 ，则使函数 的定义域为 R 且为奇函数的所有 的值为
12. 若直线 y=2a 与函数 y=|ax－1|（a＞0 且 a≠1）的图象有两个公共点，则 a 的取值范围
是___________________.
13. （10 天津）设函数 f(x)=x- ,对任意 x 恒成立，则实数
m 的取值范围是________
14．已知函数 f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R).给出下列命题：
1
x [1,∈ +∞），f ( mx) +mf ( x) <0
)13lg(
1
3)(
2
++
−
= x
x
xxf
( )y f x= ( 1)y f x= −
)2()2()( 2 +−++= abxxaxf ba +3
1 , [0,1] ,
3 , ( ,0) (1, ).
x
x x
∈
− ∈ −∞ +∞
⊗ ),( 为正实数babaabba ++=⊗ 31 =⊗ k
xkxf ⊗=)(
{ ( ) }21 3 7x x x− < −
2
1
sin( ), 1 0( )
, 0x
x xf x
e x
π
−
− < <= ≥
2)()1( =+ aff a
1 2
2
1log 1y x
= −
( )f x 2
1( ) 1 ( ) log2f x f x= + ⋅ (2)f =
−∈ 3,2
1,1,1α αxy = α
①f(x)必是偶函数； ②当 f(0)=f(2)时，f(x)的图象必关于直线 x=1 对称；
③f(x)有最大值|a2-b|; ④若 a2-b≤0，则 f(x)在区间[a，+∞ 上是增函数.
其中正确命题的序号是_________.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 90 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步
骤．
15．（本小题满分 14 分）
已知函数 f(x)= 是定义在 R 上的奇函数，a 为常数.
16. (本题 14 分)已知函数 ， ， ．
⑴讨论 在定义域上的单调性，并给予证明；
⑵若 在 上的值域是 , ，求 的取值范围和相应的 ， 的
值．
17. (本题 14 分)已知 ， 是二次函数， 是奇函数，且当
时， 的最小值为 1，求 的表达式．
)
2
2
1
a x
x
−
+
1 1( )f x a x
= − 0x > 0a >
( )f x
( )f x [ , ]m n [ , ]m n (0 )m n< < a m n
2( ) 3g x x= − − ( )f x ( ) ( )f x g x+
[ 1,2]x∈ − ( )f x ( )f x
18．（ 09 广 东 ）已知二次函数 的导函数的图像与直线 平行，且
在 处取得极小值 ．设 ．
（1）若曲线 上的点 到点 的距离的最小值为 ，求 的值；
（2） 如何取值时，函数 存在零点，并求出零点．
19．（本小题满分 14 分，第一小问满分 4 分，第二小问满分 7 分，第三小问满分 3 分）
设 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数，且 f(x)＝ ，
(1) 求证：直线 x＝1 是函数 y＝ f(x)的对称轴;
(2) 当 时，求 的解析式；
(3) 若 A＝ ，求 a 的取值范围.
20．（本小题满分 16 分，第一小问满分 4 分，第二小问满分 5 分，第三小问满分 7 分）
定 义 ： 若 存 在 常 数 ， 使 得 对 定 义 域 D 内 的 任 意 两 个 不 同 的 实 数 ， 均 有 ：
成立，则称 在 D 上满足利普希茨(Lipschitz)条件．
（1）试举出一个满足利普希茨(Lipschitz)条件的函数及常数 的值，并加以验证；
（2）若函数 在 上满足利普希茨(Lipschitz)条件，求常数 的最小
值；
（3) 现有函数 ，请找出所有的一次函数 ，使得下列条件同时成立：
①函数 满足利普希茨(Lipschitz)条件；
( )y g x= 2y x= ( )y g x=
1x = − 1( 0)m m− ≠ ( )( ) g xf x x
=
( )y f x= P (0,2)Q 2 m
( )k k R∈ ( )y f x kx= −
( ) ( )2 , 1 0 ,f x f x x+ = − − ≤ <当 时 3x
[ ]1,5x∈ ( )f x
( ){ },x f x a x R A> ∈ ≠ ∅且
k 1 2,x x
1 2 1 2( ) ( )f x f x k x x− ≤ − ( )f x
k
( ) 1f x x= + [0, )+∞ k
( ) sinf x x= ( )g x
( )g x
②方程 的根 也是方程 的根，且 ；
③方程 在区间 上有且仅有一解．
答案
一、填空题: 本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．．
1．(06 广东 B1)函数 的定义域是
2.定义在 R 上的函数 的值域为［a,b］,则 的值域为［a,b］
3．若函数 的定义域为 R，则 的值为－6.
若 a+2=0,则 b=0
若 a+2≠0 由题意知 ,不合，所以 a=－2,b=0.所以 3a+b=－6.
4. 函数 f(x)= 若 f(f(x))=1，则 x 的取值范围是{ 或
}. 当 时 ， 当 时 ，
又 解 得 。 故 { 或
}。．
5. 规定记号“ ”表示一种运算，即 ，若 ，
则函数 的值域为
由条件 = 解得 。 1 =
6. （08 江苏）A= ，则 A Z 的元素的个数 0 ．
7．函数 ，若 则 的所有可能值为_- 2 _1__
8. 已知 f（x）的定义域为［0，1］，则函数 y=f（3－x）的定义域是[2,3].
9. 函数 的单调递增区间是（－1，0 .
10. 设函数 满足 ，则 ．
11. 设 ，则使函数 的定义域为 R 且为奇函数的所有 的值为＿1＿
( ) 0g x = t ( ) 0f x = ))(())(( tgftfg =
( ( )) ( ( ))f g x g f x= [0,2 )π
)13lg(
1
3)(
2
++
−
= x
x
xxf )1,3
1(−
( )y f x= ( 1)y f x= −
)2()2()( 2 +−++= abxxaxf ba +3
2 24( 2) 0b a+ + ≤
1 , [0,1] ,
3 , ( ,0) (1, ).
x
x x
∈
− ∈ −∞ +∞
x 1x =
2 3x≤ ≤ [ ]0,1x∈ (1) 1, 1.f x= ∴ = ( ) ( ),0 1,x∈ −∞ ∪ +∞
( ) 3 ,f x x= − [ ]( ) 1, 0 3 1,f f x x= ∴ ≤ − ≤ 2 3x≤ ≤ x 1x =
2 3x≤ ≤
⊗ ),( 为正实数babaabba ++=⊗ 31 =⊗ k
xkxf ⊗=)(
k 2 ( 2),k k− ≤ 1k = ( )f x = ⊗ x 1 1. ( ) 1.x x f x+ + ≥ ∴ ≥
{ ( ) }21 3 7x x x− < −
2
1
sin( ), 1 0( )
, 0x
x xf x
e x
π
−
− < <= ≥
2)()1( =+ aff a
1 2
2
1log 1y x
= − ]
( )f x 2
1( ) 1 ( ) log2f x f x= + ⋅ (2)f = 3
2
−∈ 3,2
1,1,1α αxy = α
＿3＿＿
12. 若直线 y=2a 与函数 y=|ax－1|（a＞0 且 a≠1）的图象有两个公共点，则 a 的取值范围
是___________________.0＜a＜
13. （10 天津）设函数 f(x)=x- ,对任意 x 恒成立，则实数
m 的取值范围是________
若 m>0，由复合函数的单调性可知 f（mx）和 mf（x）均为增函数，此时不符合题意。
M<0，时有 因为
在 上的最小值为 2，所以 1+ 即 >1,解得 m<-1.
14．已知函数 f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R).给出下列命题：
①f(x)必是偶函数； ②当 f(0)=f(2)时，f(x)的图象必关于直线 x=1 对称；
③f(x)有最大值|a2-b|; ④若 a2-b≤0，则 f(x)在区间[a，+∞ 上是增函数.
其中正确命题的序号是___④______.
三、解答题：本大题共 5 小题，共 90 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步
骤．
15．（本小题满分 14 分）
已知函数 f(x)= 是定义在 R 上的奇函数，a 为常数.
(1)求 a 的值； (2)判断 f(x)在区间(－1、1)上的增减性.
(1) ∵ f(x)在 R 上是奇函数，∴ f(0)=0 ∴a=0 ………………… 6 分
(2) 由上可知 f(x)=－ .设 x 1、x2∈(－1，1)且 x 1＜x2，则 f(x2)－f(x1)=－
= . …………………………………………………………（9 分）
∵ －1＜x1＜x2＜1, ∴x2－x1＞0,x1·x2－1＜0, 1+ ＞0, 1+ ＞0,
∴ f(x2) － f(x1) ＜ 0, 即 f(x2) ＜
f(x1)， ……………… 12 分
∴ f(x) 在 ( － 1 ， 1) 上 为 减 函
数. ……………… 14 分
16. (本题 14 分)已知函数 ， ， ．
⑴讨论 在定义域上的单调性，并给予证明；
1
x [1,∈ +∞），f ( mx) +mf ( x) <0
2
1
2
2
1 1 1 10 2 ( ) 0 1 2mmx mx mx m xmx x m x m
− + − < ⇒ − − • < ⇒ + < 22y x=
[1, )x∈ +∞ 2
1 2m
< 2m
)
2
2
1
a x
x
−
+
2
2
1
x
x+
2
1
1
2
2
2
1
2
1
2
x
x
x
x
+++
)1)(1(
)1)((2
2
2
2
1
2112
++
−−
xx
xxxx
2
1x 2
2x
1 1( )f x a x
= − 0x > 0a >
( )f x
⑵若 在 上的值域是 , ，求 的取值范围和相应的 ， 的
值．
解：（1） 在定义域上单调递增．
任取 , =
∵ ,∴ ， ,∴ ,
∴ 在定义域上单调递增． ……………………………………6 分
（2）由（1）知 在[m，n]上单调递增， ∴ 在[m，n]上的值域是
即 ， ………………………10 分
∴ ， 为方程 的两个正相异实根，
∴△=1 ＞0，且 可得 ………………………12 分
， ……………………14 分
17. (本题 14 分)已知 ， 是二次函数， 是奇函数，且当
时， 的最小值为 1，求 的表达式．
解：设 ，则 为奇函数，
∴ ， , ……………………………………4 分
∴
∵当 时， 的最小值为 1
∴ 或 或 …………10 分
解得 或 ， ……………………………………13 分
∴ 或 ………………………………14 分
( )f x [ , ]m n [ , ]m n (0 )m n< < a m n
( )f x
1 2 0x x> > 1 2( ) ( )f x f x− 1 2
2 1 1 2
1 1 x x
x x x x
−− =
1 2 0x x> > 1 2 0x x− > 1 2 0x x > 1 2
1 2
0x x
x x
− > 1 2( ) ( )f x f x>
( )f x
( )f x ( )f x [ ( ), ( )]f m f n
1 1( )f m ma m
= − = 1 1( )f n na n
= − =
m n 2 0ax x a− + =
24a− 0a > 1(0, )2a∈
21 1 4
2
am a
− −=
21 1 4
2
an a
+ −=
2( ) 3g x x= − − ( )f x ( ) ( )f x g x+
[ 1,2]x∈ − ( )f x ( )f x
2( ) ( 0)f x ax bx c a= + + ≠ 2( ) ( ) ( 1) 3g x f x a x bx c+ = − + + −
1a = 3c =
2
2 2( ) 3 ( ) 32 4
b bf x x bx x= + + = + + −
[ 1,2]x∈ − ( )f x
12
( 1) 1 3 1
b
f b
− < −
− = − + =
2
1 22
3 14
b
b
− ≤ − ≤
− =
22
(2) 4 2 3 1
b
f b
− >
= + + =
3b = 2 2b = −
2( ) 3 3f x x x= + + 2( ) 2 2 3f x x x= − +
18．（ 09 广 东 ）已知二次函数 的导函数的图像与直线 平行，且
在 处取得极小值 ．设 ．
（1）若曲线 上的点 到点 的距离的最小值为 ，求 的值；
（2） 如何取值时，函数 存在零点，并求出零点．
【解析】（1）设 ，则 ；
又 的图像与直线 平行
又 在 取极小值， ，
， ；
， 设
则
（2）由 ，
得
当 时，方程 有一解 ，函数 有一零点 ；
当 时，方程 有二解 ，若 ， ，
函数 有两个零点 ；若 ，
，函数 有两个零点 ；
当 时 ， 方 程 有 一 解 , , 函 数
( )y g x= 2y x= ( )y g x=
1x = − 1( 0)m m− ≠ ( )( ) g xf x x
=
( )y f x= P (0,2)Q 2 m
( )k k R∈ ( )y f x kx= −
( ) 2g x ax bx c= + + ( ) 2g x ax b′ = +
( )g x′ 2y x= 2 2a∴ = 1a =
( )g x 1x = − 12
b− = − 2b =
( )1 1 2 1g a b c c m∴ − = − + = − + = − c m=
( ) ( )
2g x mf x xx x
= = + + ( ),o oP x y
( )
2
2 22 2
0 0 0 0
0
2 mPQ x y x x x
= + − = + +
( ) ( )1 2 0my f x kx k x x
= − = − + + =
( ) 21 2 0k x x m− + + = ( )*
1k = ( )* 2
mx = − ( )y f x kx= −
2
mx = −
1k ≠ ( )* ( )4 4 1 0m k⇔ ∆ = − − > 0m > 11k m
> −
( )y f x kx= − ( )
( )
( )2 4 4 1 1 1 1
2 1 1
m k m kx k k
− ± − − ± − −= =− − 0m <
11k m
< − ( )y f x kx= − ( )
( )
( )2 4 4 1 1 1 1
2 1 1
m k m kx k k
− ± − − ± − −= =− −
1k ≠ ( )* ( )4 4 1 0m k⇔ ∆ = − − = 11k m
= −
22
2
0
2
2
0 )2(22222 =+≥++= mmmx
mx
21±−=m
有一零点
19．（本小题满分 14 分，第一小问满分 4 分，第二小问满分 7 分，第三小问满分 3 分）
设 f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数，且 f(x)＝ ，
(1) 求证：直线 x＝1 是函数 y＝ f(x)的对称轴;
(2) 当 时，求 的解析式；
(3) 若 A＝ ，求 a 的取值范围.
略
20．（本小题满分 16 分，第一小问满分 4 分，第二小问满分 5 分，第三小问满分 7 分）
定 义 ： 若 存 在 常 数 ， 使 得 对 定 义 域 D 内 的 任 意 两 个 不 同 的 实 数 ， 均 有 ：
成立，则称 在 D 上满足利普希茨(Lipschitz)条件．
（1）试举出一个满足利普希茨(Lipschitz)条件的函数及常数 的值，并加以验证；
（2）若函数 在 上满足利普希茨(Lipschitz)条件，求常数 的最小
值；
（3) 现有函数 ，请找出所有的一次函数 ，使得下列条件同时成立：
①函数 满足利普希茨(Lipschitz)条件；
②方程 的根 也是方程 的根，且 ；
③方程 在区间 上有且仅有一解．
（1）例如令 由
知 可 取 满 足 题 意 （ 任 何 一 次 函 数 或 常 值 函 数 等 均
可）.…………………………………… 4 分
（2） 在 为增函数 对任意 有
，………………………
7 分
所 以
. ………………………………… 9 分
（3）由于所有一次函数均满足（1）故设 是 的根，
( )y f x kx= − 1
1x k
= −
( ) ( )2 , 1 0 ,f x f x x+ = − − ≤ <当 时 3x
[ ]1,5x∈ ( )f x
( ){ },x f x a x R A> ∈ ≠ ∅且
k 1 2,x x
1 2 1 2( ) ( )f x f x k x x− ≤ − ( )f x
k
( ) 1f x x= + [0, )+∞ k
( ) sinf x x= ( )g x
( )g x
( ) 0g x = t ( ) 0f x = ))(())(( tgftfg =
( ( )) ( ( ))f g x g f x= [0,2 )π
( ) ,f x x= 1 2 1 22x x x x− ≤ −
2k =
( ) 1f x x= + [0, )+∞ ∴ 1 2,x x R∈
1 2
1 2
( ) ( )f x f x
x x
−
− ( ) ( )1 2
1 2 1 2
1 1 1 1
1 1 21 1
x x
x x x x
+ − += = <+ − + + + +
min
1
2k =
( )( ) 0g x kx b k t= + ≠ ( ) 0g x =
，又
若 符合题意，则 也符合题意，故以下仅考虑 的情形。
设
①若 ，则由 ，且
所 以 ， 在 中 另 有 一 根 ， 矛
盾。 ………………………………………………… 12 分
② 若 ， 则 由
所 以 ， 在 中 另 有 一 根 ， 矛
盾。 ……………………………………………… 14 分
以下证明，对任意 符合题意。
当 时，由 图象在连接两点 的线段的上
方知
当 时，
当 时，
综上： 有且仅有一个解 ， 在 满足题意。
综上所述： ………… 16 分
( ) 0 bg t t k
∴ = ⇒ = − ( ( )) ( ( )) (0) (0) 0 ( )f g t g f t f g b g x kx= ∴ = ∴ = ∴ =
k k− 0k >
( ) ( ( )) ( ( )) sin sinh x f g x g f x kx k x== − = −
1k ≥ 0sinsin)( <−=
kkkh
πππ
02
3sin2
3sin2
3sin)2
3( ≥+=−= kkkkh
ππππ
]2
3,[
ππ
k
1 12 k< < [ ]sin sin 0, 2h k hk k
π ππ π = − ≥
sin 2 sin 2 0k kπ π= − <
,2k
π π
10 2k∴ < ≤
1(0, ], ( )2k g x kx∈ =
(0, ]2x
π∈ siny x= ( )(0,0), ,sinx x
sin sinkx k x> ( ) 0h x∴ >
( , ]2 2x k
π π∈ sin sin sin sin ( ) 02 2
kkx k k x h x
π π> ≥ ≥ ∴ >
,22x k
π π ∈ sin 0,sin 0, ( ) 0kx x h x> < ∴ >
( ) 0h x = 0x = ( )g x kx∴ = 1(0, ]2k ∈
1 1( ) , [ ,0) (0, ]2 2g x kx k= ∈ −
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