高考理科导数大题 18页

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  • 2021-05-13 发布

高考理科导数大题

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1. ‎(2016年新课标Ⅰ理数)已知函数有两个零点.‎ ‎(I)求的取值范围;‎ ‎(II)设是的两个零点,证明:‎ 2. ‎ (2016年新课标Ⅱ理数)(I)讨论函数的单调性,并证明当时, ‎ ‎(II)证明:当 时,函数 有最小值.设的最小值为,求函数的值域.‎ 1. ‎(2016年新课标Ⅲ理数)设设函数,其中,记的最大值为.‎ ‎(Ⅰ)求;‎ ‎(Ⅱ)求;‎ ‎(Ⅲ)证明.‎ 2. ‎(2016年北京理数)设函数,曲线在点处的切线方程为,‎ ‎(I)求的值;‎ ‎(I I) 求的单调区间。‎ 1. ‎(2016年江苏理数)已知函数.‎ (1) 设.‎ ① 求方程的根;‎ ‎②若对任意,不等式恒成立,求实数的最大值;‎ ‎(2)若,函数有且只有1个零点,求的值.‎ 2. ‎(2016年山东理数)已知.‎ ‎(I)讨论的单调性;‎ ‎(II)当时,证明对于任意的成立 1. ‎(2016年上海理数)已知,函数.‎ ‎(1)当时,解不等式;‎ ‎(2)若关于的方程的解集中恰好有一个元素,求的取值范围;‎ ‎(3)设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围.‎ 2. ‎(2016年四川理数)设函数,其中.‎ ‎(I)讨论的单调性;‎ ‎(II)确定的所有可能取值,使得在区间内恒成立(为自然对数的底数)。‎ 1. ‎(2016年天津理数)设函数,R,其中,R.‎ ‎(Ⅰ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若存在极值点,且,其中,求证:;‎ ‎(Ⅲ)设,函数,求证:在区间上的最大值不小于 2. ‎ (2016年浙江理数)设,函数,‎ 其中 ‎(Ⅰ)求使得等式成立的x的取值范围 ‎(Ⅱ)(i)求的最小值 ‎(ii)求在上的最大值 ‎ 答案 1. ‎(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ).‎ ‎(i)设,则,只有一个零点.‎ ‎(ii)设,则当时,;当时,.所以在上单调递减,在上单调递增.‎ 又,,取满足且,则 ‎,‎ 故存在两个零点.‎ ‎(iii)设,由得或.‎ 若,则,故当时,,因此在上单调递增.又当时,,所以不存在两个零点.‎ 若,则,故当时,;当时,.因此在单调递减,在单调递增.又当时,,所以不存在两个零点.‎ 综上,的取值范围为.‎ ‎(Ⅱ)不妨设,由(Ⅰ)知,,在上单调递减,所以等价于,即.‎ 由于,而,所以 ‎.‎ 设,则.‎ 所以当时,,而,故当时,.‎ 从而,故.‎ 1. ‎【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)先求定义域,用导数法求函数的单调性,当时,证明结论;(Ⅱ)用导数法求函数的最值,在构造新函数,又用导数法求解.‎ 试题解析:(Ⅰ)的定义域为.‎ 且仅当时,,所以在单调递增,‎ 因此当时,‎ 所以 ‎(II)‎ 由(I)知,单调递增,对任意 因此,存在唯一使得即,‎ 当时,单调递减;‎ 当时,单调递增.‎ 因此在处取得最小值,最小值为 于是,由单调递增 所以,由得 因为单调递增,对任意存在唯一的 使得所以的值域是 综上,当时,有最小值,的值域是 考点: 函数的单调性、极值与最值.‎ 1. ‎(本小题满分12分)‎ 解:(Ⅰ).‎ ‎(Ⅱ)当时,学科&网 因此,. ………4分 当时,将变形为.‎ 令,则是在上的最大值,,,且当时,取得极小值,极小值为.‎ 令,解得(舍去),.‎ ‎(ⅰ)当时,在内无极值点,,,,所以.‎ ‎(ⅱ)当时,由,知.‎ 又,所以.‎ 综上,.   ………9分 ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)得.‎ 当时,.‎ 当时,,所以.‎ 当时,,所以.‎ 1. ‎(共13分)‎ 解:(Ⅰ)因为,所以.‎ 依题设,即 解得.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知.‎ 由即知,与同号.‎ 令,则.‎ 所以,当时,,在区间上单调递减;‎ 当时,,在区间上单调递增.‎ 故是在区间上的最小值,‎ 从而.‎ 综上可知,,,故的单调递增区间为.‎ 1. 解:(1)因为,所以.‎ ‎①方程,即,亦即,‎ 所以,于是,解得.‎ ‎②由条件知.‎ 因为对于恒成立,且,‎ 所以对于恒成立.‎ 而,且,‎ 所以,故实数的最大值为4.‎ ‎(2)因为函数只有1个零点,而,‎ 所以0是函数的唯一零点.‎ 因为,又由知,‎ 所以有唯一解.‎ 令,则,‎ 从而对任意,,所以是上的单调增函数,‎ 于是当,;当时,.‎ 因而函数在上是单调减函数,在上是单调增函数.‎ 下证.‎ 若,则,于是,‎ 又,且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和之间存在的零点,记为. 因为,所以,又,所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.‎ 若,同理可得,在和之间存在的非0的零点,矛盾.‎ 因此,.‎ 于是,故,所以.‎ 1. ‎(Ⅰ)的定义域为;‎ ‎.‎ 当, 时,,单调递增;‎ ‎,单调递减.‎ 当时,.‎ ‎(1),,‎ 当或时,,单调递增;‎ 当时,,单调递减;‎ ‎(2)时,,在内,,单调递增;‎ ‎(3)时,,‎ 当或时,,单调递增;‎ 当时,,单调递减.‎ 综上所述,‎ 当时,函数在内单调递增,在内单调递减;‎ 当时,在内单调递增,在内单调递减,在 内单调递增;‎ 当时,在内单调递增;‎ 当,在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,时,‎ ‎,,‎ 令,.‎ 则,‎ 由可得,当且仅当时取得等号.‎ 又,‎ 设,则在单调递减,‎ 因为,‎ 所以在上使得 时,时,,‎ 所以函数在上单调递增;在上单调递减,‎ 由于,因此,当且仅当取得等号,‎ 所以,‎ 即对于任意的成立。‎ 考点:利用导函数判断函数的单调性;分类讨论思想.‎ 1. 解:(1)由,得,‎ 解得.‎ ‎(2),,‎ 当时,,经检验,满足题意.‎ 当时,,经检验,满足题意.‎ 当且时,,,.‎ 是原方程的解当且仅当,即;‎ 是原方程的解当且仅当,即.‎ 于是满足题意的.‎ 综上,的取值范围为.‎ ‎(3)当时,,,‎ 所以在上单调递减.‎ 函数在区间上的最大值与最小值分别为,.‎ 即,对任意 成立.‎ 因为,所以函数在区间上单调递增,时,‎ 有最小值,由,得.‎ 故的取值范围为.‎ 1. ‎(I) ‎ ‎ <0,在内单调递减.‎ 由=0,有.‎ 此时,当时,<0,单调递减;‎ 当时,>0,单调递增.‎ ‎(II)令=,=.‎ 则=.‎ 而当时,>0,‎ 所以在区间内单调递增.‎ 又由=0,有>0,‎ 从而当时,>0.‎ 当,时,=.‎ 故当>在区间内恒成立时,必有.‎ 当时,>1.‎ 由(I)有,从而,‎ 所以此时>在区间内不恒成立.‎ 当时,令,‎ 当时,,‎ 因此,在区间单调递增.‎ 又因为,所以当时, ,即 恒成立.‎ 综上,‎ 1. 试题分析:(Ⅰ)先求函数的导数:,再根据导函数零点是否存在情况,分类讨论:①当时,有恒成立,所以的单调增区间为.②当时,存在三个单调区间(Ⅱ)由题意得,计算可得再由及单调性可得结论(Ⅲ)实质研究函数最大值:主要比较,的大小即可,分三种情况研究①当时,,②当时,,③当时,.‎ 试题解析:(Ⅰ)解:由,可得.‎ 下面分两种情况讨论:‎ ‎(1)当时,有恒成立,所以的单调递增区间为 ‎.‎ ‎(2)当时,令,解得,或.‎ 当变化时,,的变化情况如下表:‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为,单调递增区间为,.‎ ‎(Ⅱ)证明:因为存在极值点,所以由(Ⅰ)知,且,由题意,得,即,‎ 进而.‎ 又 ‎,且,由题意及(Ⅰ)知,存在唯一实数满足 ,且,因此,所以;‎ ‎(Ⅲ)证明:设在区间上的最大值为,表示两数的最大值.下面分三种情况同理:‎ ‎(1)当时,,由(Ⅰ)知,在区间上单调递减,所以在区间上的取值范围为,因此 ‎,所以.‎ ‎(2)当时,,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,,,‎ 所以在区间上的取值范围为,因此 ‎.‎ ‎(3)当时,,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,‎ ‎,,‎ 学.科网所以在区间上的取值范围为,因此 ‎.‎ 综上所述,当时,在区间上的最大值不小于.‎ 考点:导数的运算,利用导数研究函数的性质、证明不等式 1. ‎(I)由于,故 当时,,‎ 当时,.‎ 所以,使得等式成立的的取值范围为 ‎.‎ ‎(II)(i)设函数,,则 ‎,,‎ 所以,由的定义知,即 ‎.‎ ‎(ii)当时,‎ ‎,‎ 当时,‎ ‎.‎ 所以,‎ ‎.‎