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- 2021-05-13 发布
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1. (2016年新课标Ⅰ理数)已知函数有两个零点.
(I)求的取值范围;
(II)设是的两个零点,证明:
2. (2016年新课标Ⅱ理数)(I)讨论函数的单调性,并证明当时,
(II)证明:当 时,函数 有最小值.设的最小值为,求函数的值域.
1. (2016年新课标Ⅲ理数)设设函数,其中,记的最大值为.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求;
(Ⅲ)证明.
2. (2016年北京理数)设函数,曲线在点处的切线方程为,
(I)求的值;
(I I) 求的单调区间。
1. (2016年江苏理数)已知函数.
(1) 设.
① 求方程的根;
②若对任意,不等式恒成立,求实数的最大值;
(2)若,函数有且只有1个零点,求的值.
2. (2016年山东理数)已知.
(I)讨论的单调性;
(II)当时,证明对于任意的成立
1. (2016年上海理数)已知,函数.
(1)当时,解不等式;
(2)若关于的方程的解集中恰好有一个元素,求的取值范围;
(3)设,若对任意,函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1,求的取值范围.
2. (2016年四川理数)设函数,其中.
(I)讨论的单调性;
(II)确定的所有可能取值,使得在区间内恒成立(为自然对数的底数)。
1. (2016年天津理数)设函数,R,其中,R.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)若存在极值点,且,其中,求证:;
(Ⅲ)设,函数,求证:在区间上的最大值不小于
2. (2016年浙江理数)设,函数,
其中
(Ⅰ)求使得等式成立的x的取值范围
(Ⅱ)(i)求的最小值
(ii)求在上的最大值
答案
1. (本小题满分12分)
解:(Ⅰ).
(i)设,则,只有一个零点.
(ii)设,则当时,;当时,.所以在上单调递减,在上单调递增.
又,,取满足且,则
,
故存在两个零点.
(iii)设,由得或.
若,则,故当时,,因此在上单调递增.又当时,,所以不存在两个零点.
若,则,故当时,;当时,.因此在单调递减,在单调递增.又当时,,所以不存在两个零点.
综上,的取值范围为.
(Ⅱ)不妨设,由(Ⅰ)知,,在上单调递减,所以等价于,即.
由于,而,所以
.
设,则.
所以当时,,而,故当时,.
从而,故.
1. 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先求定义域,用导数法求函数的单调性,当时,证明结论;(Ⅱ)用导数法求函数的最值,在构造新函数,又用导数法求解.
试题解析:(Ⅰ)的定义域为.
且仅当时,,所以在单调递增,
因此当时,
所以
(II)
由(I)知,单调递增,对任意
因此,存在唯一使得即,
当时,单调递减;
当时,单调递增.
因此在处取得最小值,最小值为
于是,由单调递增
所以,由得
因为单调递增,对任意存在唯一的
使得所以的值域是
综上,当时,有最小值,的值域是
考点: 函数的单调性、极值与最值.
1. (本小题满分12分)
解:(Ⅰ).
(Ⅱ)当时,学科&网
因此,. ………4分
当时,将变形为.
令,则是在上的最大值,,,且当时,取得极小值,极小值为.
令,解得(舍去),.
(ⅰ)当时,在内无极值点,,,,所以.
(ⅱ)当时,由,知.
又,所以.
综上,. ………9分
(Ⅲ)由(Ⅰ)得.
当时,.
当时,,所以.
当时,,所以.
1. (共13分)
解:(Ⅰ)因为,所以.
依题设,即
解得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.
由即知,与同号.
令,则.
所以,当时,,在区间上单调递减;
当时,,在区间上单调递增.
故是在区间上的最小值,
从而.
综上可知,,,故的单调递增区间为.
1. 解:(1)因为,所以.
①方程,即,亦即,
所以,于是,解得.
②由条件知.
因为对于恒成立,且,
所以对于恒成立.
而,且,
所以,故实数的最大值为4.
(2)因为函数只有1个零点,而,
所以0是函数的唯一零点.
因为,又由知,
所以有唯一解.
令,则,
从而对任意,,所以是上的单调增函数,
于是当,;当时,.
因而函数在上是单调减函数,在上是单调增函数.
下证.
若,则,于是,
又,且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和之间存在的零点,记为. 因为,所以,又,所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.
若,同理可得,在和之间存在的非0的零点,矛盾.
因此,.
于是,故,所以.
1. (Ⅰ)的定义域为;
.
当, 时,,单调递增;
,单调递减.
当时,.
(1),,
当或时,,单调递增;
当时,,单调递减;
(2)时,,在内,,单调递增;
(3)时,,
当或时,,单调递增;
当时,,单调递减.
综上所述,
当时,函数在内单调递增,在内单调递减;
当时,在内单调递增,在内单调递减,在 内单调递增;
当时,在内单调递增;
当,在内单调递增,在内单调递减,在内单调递增.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,时,
,,
令,.
则,
由可得,当且仅当时取得等号.
又,
设,则在单调递减,
因为,
所以在上使得 时,时,,
所以函数在上单调递增;在上单调递减,
由于,因此,当且仅当取得等号,
所以,
即对于任意的成立。
考点:利用导函数判断函数的单调性;分类讨论思想.
1. 解:(1)由,得,
解得.
(2),,
当时,,经检验,满足题意.
当时,,经检验,满足题意.
当且时,,,.
是原方程的解当且仅当,即;
是原方程的解当且仅当,即.
于是满足题意的.
综上,的取值范围为.
(3)当时,,,
所以在上单调递减.
函数在区间上的最大值与最小值分别为,.
即,对任意
成立.
因为,所以函数在区间上单调递增,时,
有最小值,由,得.
故的取值范围为.
1. (I)
<0,在内单调递减.
由=0,有.
此时,当时,<0,单调递减;
当时,>0,单调递增.
(II)令=,=.
则=.
而当时,>0,
所以在区间内单调递增.
又由=0,有>0,
从而当时,>0.
当,时,=.
故当>在区间内恒成立时,必有.
当时,>1.
由(I)有,从而,
所以此时>在区间内不恒成立.
当时,令,
当时,,
因此,在区间单调递增.
又因为,所以当时, ,即 恒成立.
综上,
1. 试题分析:(Ⅰ)先求函数的导数:,再根据导函数零点是否存在情况,分类讨论:①当时,有恒成立,所以的单调增区间为.②当时,存在三个单调区间(Ⅱ)由题意得,计算可得再由及单调性可得结论(Ⅲ)实质研究函数最大值:主要比较,的大小即可,分三种情况研究①当时,,②当时,,③当时,.
试题解析:(Ⅰ)解:由,可得.
下面分两种情况讨论:
(1)当时,有恒成立,所以的单调递增区间为
.
(2)当时,令,解得,或.
当变化时,,的变化情况如下表:
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
所以的单调递减区间为,单调递增区间为,.
(Ⅱ)证明:因为存在极值点,所以由(Ⅰ)知,且,由题意,得,即,
进而.
又
,且,由题意及(Ⅰ)知,存在唯一实数满足 ,且,因此,所以;
(Ⅲ)证明:设在区间上的最大值为,表示两数的最大值.下面分三种情况同理:
(1)当时,,由(Ⅰ)知,在区间上单调递减,所以在区间上的取值范围为,因此
,所以.
(2)当时,,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,,,
所以在区间上的取值范围为,因此
.
(3)当时,,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,
,,
学.科网所以在区间上的取值范围为,因此
.
综上所述,当时,在区间上的最大值不小于.
考点:导数的运算,利用导数研究函数的性质、证明不等式
1. (I)由于,故
当时,,
当时,.
所以,使得等式成立的的取值范围为
.
(II)(i)设函数,,则
,,
所以,由的定义知,即
.
(ii)当时,
,
当时,
.
所以,
.