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- 2021-05-13 发布
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第四讲:2013高考导数与积分命题热点研讨(1)
第一部分:命题热点
函数在高中数学中占有重要的地位.在以前大纲版数学中,函数在高考中占有百分之四十甚至五十的分量.在如今的高考中,函数也能占到至少三分之一的分量.函数的命题是十分灵活的,可以是应用题,可以使纯粹的数学计算.函数与方程的思想一直是数学的主题.我们高中阶段需要掌握的函数有:一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、正切函数、对勾函数、反比例函数等等.其中对勾函数是补充函数,这个对勾函数是理科班学生必须掌握的.它的一些性质老师也是需要补充的.说到函数,我们还要需要注意一个函数,就是正态分布密度函数.这个函数也是需要同学们了解和掌握的,近两年高考提得特别多.近两年我们国家提素质教育比较多,那么函数是何实际生活联系比较紧密的,所以我们要对函数格外的重视,这是我们大家都需要注意的,一方面是学生要注意,另一方面是老师要注意.函数的应用这一块老师要花费一些力气和学生们探讨讲解.当然和函数联系最紧密的是导数.导数在高考中的命题是一个大题和一个小题.小题的难度是中等偏下,大题的难度是高.一般来说导数在高考中是压轴题.这个压轴题是综合性比较强、考察点比较多.导数可以和数列、三角函数、向量、空间几何、不等式联系起来,希望老师们在知识网络交汇处注意命题动向.
1函数与导数的命题点分布
定义域、值域、对称性、周期性、奇偶性、单调性、函数与导数的综合、影射、函数与导数积分的综合、函数的图像、函数的平移、最值、特殊点、指对幂函数中的一些特殊的性质、三角函数的求解方法、导数法求切线、积分法求面积等等.
2函数与导数的题型分布
题型1:选择题.选择题主要是考察中等难度的题目,函数的图像,函数的增减性,函数与简易逻辑的综合,函数的单调性等等.题型2:填空题.填空题主要考察函数的一些特殊性质,定义域、值域、分段函数等是考察的比较多的.当然还有一些创新题型.题型3:大题.
大题的难度是高.主要是考查综合内容.函数与不等式结合等等.另一方面,二次函数是高考的一个重点,几乎每年高考都要考察.
3一些具体的函数模型
我们要注意函数模型的考察.函数模型我们要注意增函数模型和减函数模型.增函数模型有对数模型、一次函数模型、二次函数模型、幂函数模型、指数函数模型.其中对数函数模型增长的最慢,二次函数模型比较适中,指数函数模型增长的比较快,被称为指数爆炸.这些函数模型容易出为应用题,和导数结合起来进行考察
第二部分:命题热点
孟老师预测热点1注重双基方面的命题
我们要注意最新高考的命题动向,近两年高考有很多题目都是从教材中延伸的.譬如说四川、陕西等省份在三角函数部分都出过教材的课后习题,这是需要我们大家密切关注的.对于教材的关注,我们必须在第一轮复习的时候加紧关注.这也体现了考纲中所说的:源于教材.
1求函数的定义域和函数的值域
掌握求函数值域的基本方法(直接法、换元法、判别式法);掌握二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法.求函数最大、最小值问题历来是高考热点,这类问题的出现率很高,应用很广因此我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧,以提高高考应变能力因函数的最大、最小值求出来了,值域也就知道了反之,若求出的函数的值域为非开区间,函数的最大或最小值也等于求出来了
孟老师举例1
函数y=的定义域是
A.{x|x<0}B.{x|x>0}C.{x|x<0且x≠-1}D.{x|x≠0且x≠-1,x∈R}
解析:依题意有,解得x<0且x≠-1,故定义域是{x|x<0且x≠-1}.
答案:C
孟老师举例2
求下列函数的值域
①y=3x+2(-1x1) ②③④
解:①∵-1x1,∴-33x3,∴-13x+25,即-1y5,∴值域是[-1,5]
②∵∴即函数的值域是 { y| y2}
③∵∴
即函数的值域是{ y| yÎR且y¹1}(此法亦称分离常数法)
④当x>0,∴=,
当x<0时,=-
∴值域是[2,+)(此法也称为配方法)
函数的图像为:∴值域是[2,+)
2指数函数与对数函数幂函数等热点函数的考察
指对幂函数是高考考察的重点也是热点.我们要注意这一类函数的图像、性质、平移等能力.特别是对数函数,对数函数的运算性质等.还要注意分类讨论的思想、转化与化归的思想的运用.我们要把这类函数专门的复习,在复习基本知识的同时,加大对学生能力的提高.
典例3(2009年北京卷)
为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点
A.向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
B.向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度
C.向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
D.向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度
【答案】C
3三个二次的关系
二次函数是高考的重点,二次函数是高考的必考内容.我们要注意三个二次的关系.三个二次主要是指:二次函数、二次方程、二次不等式.
典例4(2012·珠海质检)
若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是
A.(-1,0) B.(-1,0)∪(0,1]C.(0,1) D.(0,1]
解析:∵f(x)=-x2+2ax=-(x-a)2+a2在[1,2]上是减函数,
∴a≤1①又g(x)=(a+1)1-x在[1,2]上是减函数.∴a+1>1,∴a>0②
由①、②知,00,知
在R上恒成立,因此,由此并结合a>0,知.
2对应用题的考察
在高考的某些省份,是要出应用题的.应用题和我们实际生活联系非常紧密的,是学以致用的内容.预计高考的命题趋势是会向这个方向发展的.
典例10(2011年湖南高考)
长方形物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动,速度为,雨速沿E移动方向的分速度为.E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:(1)P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与×S成正比,比例系数为;(2)其它面的淋雨量之和,其值为
,记为E移动过程中的总淋雨量,当移动距离d=100,面积S=时.
解析:(I)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为,
故.
(II)由(I)知,当时,
当时,
故.
(1)当时,是关于的减函数.故当时,.
(2) 当时,在上,是关于的减函数;在上,是关于的增函数;故当时,.
典例11(2011年陕西高考)(本小题满分12分)
如图,从点P1(0,0)作x轴的垂线交于曲线y=ex于点Q1(0,1),曲线在Q1点处的切线与x轴交与点P2.再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2,依次重复上述过程得到一系列点:P1,QI;P2,Q2…Pn,Qn,记点的坐标为(,0)(k=1,2,…,n).
(Ⅰ)试求与的关系(2≤k≤n);
(Ⅱ)求
解(Ⅰ)设,由得点处切线方程为
由得.
( Ⅱ),得,
所以于是,
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