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- 2021-05-13 发布
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第八章 椭圆、双曲线与抛物线
考点综述
椭圆、双曲线与抛物线是高中数学的一个重要内容，它的基本特点是数形
兼备，可与代数、三角、几何知识相沟通，历来是高考的重点内容．纵观近几
年高考试题中对圆锥曲线的考查，主要体现出以下几个特点：1．基本问题，主
要考查以下内容：①椭圆、双曲线与抛物线的两种定义、标准方程及 a、b、c、
e、p 五个参数的求解，②几何性质的应用；2、求动点轨迹方程或轨迹图形（高
频），此类问题的解决需掌握四种基本方法：直译法、定义法、相关点法、参数
法．3．有关直线与它们的位置关系问题（高频），这类问题常涉及圆锥曲线的
性质和直线的基本知识以及线段中点、弦长等，分析这类问题时，往往要利用
数形结合思想和“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理，多以解答题的
形式出现．4．求与椭圆、双曲线及抛物线有关的参数或参数范围问题（高频），
这类问题综合性较大，运算技巧要求较高；尤其是与平面向量、平面几何、函
数、不等式的综合，特别值得注意的是近年出现的解析几何与平面向量结合的
问题（高频）．
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考点 1 椭 圆
典型考法 1 椭圆的最值问题
典型例题
已知椭圆 1
22
n
y
m
x ，常数 m 、 Rn ，且 nm ．
(1)当 25 21m n ， 时，过椭圆左焦点 F 的直线交椭圆于点 P ，与 y 轴交于点Q ，
若 2QF FP ，求直线 PQ 的斜率；
(2)过原点且斜率分别为 k 和 k （ 1k ）的两条直线与椭圆
2 2
1x y
m n+ = 的交点为
A B C D、 、 、 （按逆时针顺序排列，且点 A 位于第一象限内），试用 k 表示四边形 ABCD
的面积 S ，并求 S 的最大值．
解析(1) 21,25 nm 12125
22
yx 的左焦点为 )0,2(F ，设满足题意的点为
0 0( , ) (0 )P x y Q t、 ， ．又 FPQF 2 ，∴ 0 0( 2 ) 2( 2 )t x y- - = +， ， ，即
o
o
yt
x
2
3 由点
在椭圆上，得 12125
9 2
oy ，得
5
214oy ，
5
214
2
oQFPQ ytKK ．
(2)Q 过原点且斜率分别为 k 和 k k- ( 1)³ 的直线 1l y = kx: ， 2l y kx: =- 关于 x 轴和 y
轴 对 称 ， 四 边 形 ABCD 是 矩 形 ． 设 点 A 0 0( )x y， ． 联 立 方 程 组
2 2
1x y
m n
y kx
ìïï + =ïïíïï =ïïî
得
2
2
mnx n mk= +
，于是 0x 是此方程的解，故 )1(444 2
2
k
mkn
mnkkxyxS ooo ，即
2
4 4mnk mnS nn mk mkk
= =+ +
．设 )1()( kk
nmkkg ，则 ( )g k 在[1 ) ， 上是单调函数．
理由：对任意两个实数 ),1[, 21 kk ，且 21 kk ，
1 2 1 2
1 2
( ) ( ) ( )n ng k g k mk mkk k- = + - + ＝ 1 2
1 2
1 1( ) ( )m k k n k k- + -
1 2
1 2
1 2
( ) mk k nk k k k
-= - ． 1 2
1 2
1 2
( ) 0mk k nk k k k
- - < ，即 1 2( ) ( ) 0g k g k- < ．
∴ ( )g k 在 [1 ) ， 上 是 单 调 函 数 ， 于 是 min( ) (1)g k g m n= = + ，
4 4mn mnS n m nmkk
，当且仅当 1k 等号成立．
nm
mnS 4
max ．
注：也可利用求导法证明 ( )g k 在[1 ) ， 上是单调函数．
必杀技： 利用求函数最值的方法+椭圆性质
解决与椭圆有关的最值问题须注意：
1．最值问题的题型大致有：求距离的最值、角度的最值、面积的最值．
2．最值问题的求解策略：
(1)总方针：建立目标函数（或目标不等式）
(2)具体方法：
①转化为二次函数（或双钩函数、三次函数等常用函数）的最值问题
②利用三角换元，转化为三角函数的最值问题
③结合椭圆的定义，利用图形的几何特征求最值
④利用基本不等式求最值
还须值得注意的是，有些求最值的问题可能要先求目标函数的局部最值，而复杂的
求最值问题甚至需要多种方法的综合运用．
以下给出椭圆最值问题的几个性质，便于快速地求解决相关问题．
读者自行完成上述性质的证明．这些性质均与椭圆的焦点位置无关，对任意位置的椭
圆都成立，可用于求解一些选择题和填空题．
实战演练
1． F 是椭圆
2 2
14 3
x y 的右焦点， (1 1)A ， 为椭圆内一定点， P 为椭圆上一动点，
则| | | |PA PF 的最小值为 ．
2．设椭圆中心在坐标原点， ( 0) (0 )A a B b，， ， 是它的两个顶点，直线 y kx ( 0)k 与
AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E 、 F 两点，若 2a ， 1b ．
（1）已知 6ED DF ，求 k 的值；
（2）求四边形 AEBF 面积的最大值；
3．若椭圆 1E : 12
1
2
2
1
2
b
y
a
x 和椭圆 2E : 12
2
2
2
2
2
b
y
a
x 满足 2 2
1 1
( 0)a b m ma b
，
则称这两个椭圆相似， m 称为其相似比．
(1)求经过点 )6,2( ，且与椭圆 124
22
yx 相似的椭圆方程;
(2)设过原点的一条射线 l 分别与（1）中的两个椭圆交于 A、B 两点（其中点 A 在线段
OB 上），求
OBOA 1 的最大值和最小值;
(3)对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为 2 的两个椭圆 1C ： 1
22 2
2
2
2
yx
和 2C ： 1
)22(4 2
2
2
2
yx 交于 A、B 两点，P 为线段 AB 上的一点，若 OA 、 OP 、 OB
成等差数列，则点 P 的轨迹方程为 1
)2
23(3 2
2
2
2
yx ”．请用推广或类比的方法提出类似
的一个真命题，并给予证明．
参考答案：
1． 4 5 .
2．（1） 2
3k 或 3
8k .
（2） 2 2 . 提示：设点 E F， 到 AB 的距离分别为 1h ， 2h ，故 AEBF 的面积为
1 2
1 ( )2S AB h h
2
2
1 4 42 1 4
k k
k
2 2≤ ，易得当 1
2k 时， S 取最大值 2 2 ．
注：通过对（2）的求解，我们进一步探究还可以得到关于椭圆所对应的四边形 AEBF
面积的若干结论．
结论一：已知 ( 0) (0 )A a B b，， ， 是椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
( 0)a b 的两个顶点，直线
y kx ( 0)k 与 AB 相交于点 D，与椭圆相交于 E 、F 两点，则四边形 AEBF 面积的最
大值为 2ab ．
结论二：以椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
( 0)a b 的一条定弦 AB 为对角线的椭圆内接四边形
AEBF 面积取最大值时，另一条对角线 EF 必过原点与 AB 的中点 D ．
推论 1：若以 ( 0)k k 为斜率的直线与椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
( 0)a b 相切，则两切点的
连线必过原点，且其斜率 0k 满足：
2
0 2
bk k a
．
推 论 2 ： 以 ( 0)k k 为 斜 率 的 椭 圆
2 2
2 2 1x y
a b
( 0)a b 两 切 线 间 的 距 离 为
2 2 2
2
2 | |
1
a k b
k
（如图 8-1-8）．
推论 3：若 D 是椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
( 0)a b 不过原点 O 且不垂直于对称轴的弦 AB 上
一点，则点 D 是弦 AB 中点的充要条件是
2
2OD AB
bk k a
．
结论三：椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
( 0)a b 内接四边形 AEBF 面积的最大值为 2ab ．
结论四：EF 是椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
( 0)a b 的过原点的一条定弦，AB 是椭圆的过弦
EF 上定点 0 0( )D x y， 的动弦，则当弦 AB 被点 D 平分时，椭圆内接四边形 AEBF 面积取
最大值的充要条件是：
2 2
0 0
2 2
1[0 ]2
x y
a b
， ．
3．(1) 1816
22
yx
(2)①当射线与 y 轴重合时，
OBOA 1 =
4
25
22
12 ．
②当射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察 A、B 在第一象限的情形．
设其方程为 kxy （ 0,0 xk ），设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB ，由
124
22 yx
kxy
解
得
2
2
21
12
k
kOA
，同理可得
2
2
21
14
k
kOB
，令
2
2
21
12
k
kt
则由 2
22 1 2t k
知 22 t ， 于 是
OBOA 1
tt 2
1 在 ]2,2( 上 是 增 函 数 ， ∴
4
9124
5
OBOA ，由①②知，
OBOA 1 的最大值为
4
9 ，
OBOA 1 的最小值为
4
25 ．
(3)该题的答案不唯一，现给出其中的两个．
命题：过原点的一条射线分别与双曲线 1C ： 12
2
2
2
b
y
a
x 和 2C ： 1
)( 2
2
2
2
mb
y
ma
x
)0( m 交于 A、B 两点，P 为线段 AB 上的一点，若 OA 、 OP 、 OB 成等差数列，则
点 P 的轨迹方程为 1
)2
1()2
1( 2
2
2
2
bm
y
am
x ．
证明：∵射线l 与双曲线有交点，不妨设其斜率为 k ，显然
a
bk ．设射线l 的方程为
kxy ，设点 ),( 11 yxA 、 ),( 22 yxB 、 ),( yxp 由
12
2
2
2
b
y
a
x
kxy
得
2221
kab
abx
，
由
1
)()( 2
2
2
2
mb
y
ma
x
kxy
得
2222
kab
mabx
， 由 P 点 在 射 线 l 上 ， 且
OP2 OA OB 得
kxy
xxx 2
21
即
x
yk
kab
mabx 2222
)1(
得
1
)2
1()2
1( 2
2
2
2
bm
y
am
x ．
命题：过原点的一条射线分别与两条抛物线 1C ： pxy 22 )0( p 和 2C ： mpxy 22
)0( m 相交于异于原点的 A、B 两点，P 为线段 AB 上的一点，若 OA 、 OP 、 OB 成
等差数列，则点 P 的轨迹方程为 pxmy )1(2 ．
（证略）．
典型考法 2 与椭圆有关的定点与定值问题
典型例题
已知椭圆 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 的左右焦点分别为 21, FF ，短轴两个端点为 BA, ，
且四边形 BAFF 21 是边长为 2 的正方形．
（1）求椭圆方程；
（2）若 DC, 分别是椭圆长轴的左右端点，动点 M 满足 CDMD ，连接 CM ，交
椭圆于点 P ．证明：OM OP 为定值；
（3）在（2）的条件下，试问 x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以 MP 为直径
的圆恒过直线 MQDP, 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
解析（1） 222,,2 cbacba ， 22 b ，椭圆方程为 124
22
yx ．
（2） )0,2(),0,2( DC ，设 ),(),,2( 110 yxPyM ，则 ),2(),,( 011 yOMyxOP
．直
线 CM ：
0
0
4
2
y
yyx ， 即 0
0
2
1
4 yxyy ， 代 入 椭 圆 42 22 yx 得
042
1
2
1)81( 2
0
2
0
2
2
0 yxyxy ．
8
)8(2,
8
)8(4)2( 2
0
2
0
12
0
2
0
1
y
yx
y
yx ，
8
8
2
0
0
1
y
yy ． )
8
8,
8
)8(2( 2
0
0
2
0
2
0
y
y
y
yOP ，
2 2 2
0 0 0
2 2 2
0 0 0
4( 8) 8 4 32 48 8 8
y y yOM OP y y y
（定值）．
（ 3 ） 设 存 在 )0,(mQ 满 足 条 件 ， 则 DPMQ ． ),2( 0ymMQ
，
)
8
8,
8
4( 2
0
0
2
0
2
0
y
y
y
yDP ， 则由 0
DPMQ 得 0
8
8)2(
8
4
2
0
2
0
2
0
2
0
y
ym
y
y ，从而
得 0m ．存在 )0,0(Q 满足条件．
必杀技： 遵循“一选、二求、三定点”的原则
一般地，解决动曲线（包括动直线）过定点的问题，其解题步骤可归纳为：一选、二
求、三定点．具体操作程序为：
“一选”：选择参变量．需要证明过定点的动曲线往往随某一个量的变化而变化，可选
择这个量为参变量（当动直线涉及的量较多时，也可选取多个参变量）．
“二求”：求出动曲线的方程．求出只含上述参变量的动曲线方程，并由其它辅助条件
减少参变量的个数，最终使动曲线方程的系数中只含有一个参变量．
“三定点”：求出定点的坐标．不妨设动曲线方程中所含的参变量为 ，把曲线方程
写成形如 ( ) ( ) 0f x y g x y ， ， 的形式，然后解关于 x ， y 的方程组 ( ) 0
( ) 0
f x y
g x y
，
， 得到
定点的坐标．
实战演练
1．已知椭圆 C 经过点 3(1 )2A ， ，两个焦点为 ( 1 0) ， ， (1 0)， ．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)E，F 是椭圆 C 上的两个动点，如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数，证明
直线 EF 的斜率为定值，并求出这个定值．
2．设椭圆C ：
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a b ）过点 ( 2 1)M ， ，且左焦点为 1( 2 0)F ，
(1)求椭圆C 的方程；
(2)当过点 (4 1)P ， 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点 A ， B 时，在线段 AB 上取点
Q ，满足 AP QB AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上．
3．若椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆C上的点（2，0）到左焦点距
离为3 ．
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)若直线l ： y kx m 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点（ A B， 不是左、右顶点），且
以 AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
(3)将(2)推广到一般情形，使得(2)为其特例，并给出解答过程．
参考答案：
1．(1)
2 2
14 3
x y .
(2) 设 直 线 AE ： 3( 1) 2y k x ， 代 入
2 2
14 3
x y 得
2 2 23(3 4 ) 4 (3 2 ) 4( ) 12 02k x k k x k ， 设 ( )E EE x y， ， ( )F FF x y， ， 易 得
1
2
F E
EF
F E
y yk x x
(定值)．
注：本题可推广为（证明略）：
2．(1)
2 2
14 2
x y .
(2)提示：利用线段的定比分点，关注 ．
注：（一）本题的证明还有其它方法，这里从略．
（二）对于本题，我们还可将第(2)题的结论推广到一般椭圆，具体为：
命题一：设椭圆
2 2
2 2 1( 0)x yC a ba b
： ，过椭圆外一点 ( )P m n， 的动直线l 与椭圆
C 相交于两不同点 ,A B ，在线段 AB 上取点Q ，满足 AP QB AQ PB
，则点Q 在定
直线 2 2 2 2 0mb x na y a b 上．
我们可将命题一推广到其它的圆锥曲线，具体为：
命题二：设圆 2 2 2 ( 0)C x y r r ： ，过圆外一点 ( )P m n， 的动直线 l 与圆 C 相交
于两不同点 ,A B ，在线段 AB 上取点 Q ，满足 AP QB AQ PB
，则点 Q 在定直线
2 0mx ny r 上．
命题三：设双曲线
2 2
2 2: 1( 0 0)x yC a ba b
， ，过双曲线外一点 ( )P m n， 的动直
线l 与双曲线 C 相交于两不同点 ,A B ，在线段 AB 上取点Q ，满足 AP QB AQ PB
，
则点Q 在定直线 2 2 2 2 0mb x na y a b 上．
命题四：设抛物线 2: 2 ( 0)C y px p ，过抛物线外一点 ( )P m n， 的动直线l 与抛物
线C 相交于两不同点 ,A B ，在线段 AB 上取点 Q ，满足 AP QB AQ PB
，则点Q 在
定直线 0px ny pm 上．
以上命题的证明从略．
3．（1）
2 2
14 3
x y .（2）直线l 过定点，定点坐标为 2 07
， .
（3） （2）的推广（一）：
过椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
( 0)a b 上的右顶点 ( 0)M a ， 作两直线 AM 与 BM 交椭圆于
A 、 B 两点，当 AM BM 时，直线 AB 恒过定点
2 2
2 2( 0)a b aa b
， ．
提示：可设直线 AB ： x ty p 且 1 1( )A x y， 、 2 2( )B x y， ，由 2 2
2 2 1
x ty p
x y
a b
得
2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 0a b t y pta y b p a ，则
2
1 2 2 2 2
2 2 2
1 2 2 2 2
2
( )
ptby y a b t
b p ay y a b t
，由已知得
0AM BM ，即 1 2 1 2( )( ) 0x a x a y y
2 2
1 2 1 2(1 ) ( )( ) ( ) 0t y y t p a y y p a
2 2
2 2
a bp aa b
直线 AB ：
2 2
2 2
a bx ty aa b
恒过定点
2 2
2 2( 0)a b aa b
， ．
（2）的推广（二）：
过椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
( 0)a b 上的任意定点 0 0( )M x y， 作两直线 AM 与 BM 交椭
圆于 A 、 B 两点，当 AM BM 时，直线 AB 恒过定点
2 2 2 2
0 02 2 2 2( )a b a bx ya b a b
， ．
典型考法 3 椭圆与直线
典型例题
已知椭圆 E 经过点 2 3A ， ，对称轴为坐标轴，焦点 1F ， 2F 在
x 轴上，长轴的长与焦距之比为 2：1．(如图 8-1-1)
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)求 1 2F AF 的角平分线所在直线l 的方程；
(3)在椭圆 E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，
请找出；若不存在，说明理由．
解 析 (1) 设 椭 圆 E 的 方 程 为
2 2
2 2 1x y
a b
， 由 已 知 得 2a
c
， 2a c ， 故
图 8-1-1
2 2 2 23b a c c ，从而椭圆方程为
2 2
2 2 14 3
x y
c c
，将 A（2，3）代入上式，得 2 2
1 3 1c c
，
解得 2c ，∴椭圆 E 的方程为
2 2
116 12
x y ．
(2)方法一：
方法二：
方法三：
方法四：
方法五：
方法六：
方法七：
方法八：
(3)方法一：
方法二：
方法三： 同上，一方面，因为 BC 的中点坐标为 3( )2 4
m m， ，且该中点在椭圆的内
部，所以，有
2 23( ) ( )2 4 116 12
m m
，解得 2 16m （※） ．另一方面，BC 的中点在直线
2 1y x 上，所以 3 2 14 2
m m ，解得 4m ，这与（※）矛盾．所以不存在满足题设
条件的相异两点．
注：存在性问题的一般经解决思路是先假设满足条件的数学对象存在，然后通过数学
“操作”肯定或否定假设．
必杀技： 综合运用基础知识与基本方法
本题主要考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的方程以及点关于
直线的对称等基础知识；并以对这些基础知识的考查为依托，考查了考生对解析几何的基
本思想的理解与掌握情况及综合运算能力、探究意识与创新意识．本题的探索思路宽，且
解法多种多样，
本题可推广为：
对于本题的(3)还可推广为：
注：以上的证明均可仿照本题的求解方法，读者可自行完成，这里不再赘述．
实战演练
1．已知椭圆 11624
22
yx ，直线l ： 112 8
x y ．P 是 l 上点，射线 OP 交椭圆于点 R，
又点 Q 在 OP 上且满足 2·OQ OP OR ，当点 P 在 l 上移动时，求点 Q 的轨迹方程，并
说明轨迹是什么曲线．
2．已知 (1,0), (0, 2),i c 若过定点 (0, 2)A 、以 i c
( R )为法向量的直线 1l
与过点 0, 2B 以 c i 为法向量的直线 2l 相交于动点 P ．
(1)求直线 1l 和 2l 的方程；
(2)求直线 1l 和 2l 的斜率之积 1 2k k 的值，并证明必存在两个定点 , ,E F 使得 PE PF
恒为定值；
(3)在（2）的条件下，若 ,M N 是 : 2 2l x 上的两个动点，且 0EM FN ，试问当
MN 取最小值时，向量 EM FN 与 EF
是否平行，并说明理由．
3．已知椭圆 C：
2 2
2 2 1x y
a b
( 0a b )的一个焦点到长轴的两个端点的距离分别为
2 3 2 3 和 ．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过定点 M（0，2）的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 A、B，且∠AOB
为锐角（其中 O 为坐标原点），求直线 l 的斜率 k 的取值范围．
(3)如图 8-1-2，过原点 O 任意作两条互相垂直的直线与椭圆
2 2
2 2 1x y
a b
( 0a b )相交于 P，S，R，Q 四点，设原点 O 到四边形 PQSR 一边的距离为 d，
试求 d=1 时 a，b 满足的条件．
参考答案：
1． 1
3
5
1
2
5
1 22
yx （ 2 2 0x y ），其轨迹是以(1，1)为中心，
长、短半轴分别为
2
10 和
3
15 且长轴与 x 轴平行的椭圆，且去掉坐标原
点．
提示： （如图 8-1-3）由已知得
2 2
24 16 12 8
R R P Px y x y （※） 设
图 8-1-2
图 8-1-3
( )Q x y， ， | | | | | |
OP OR OQ
OP OR OQ
，利用已知条件可得
2
2
| |
| |
OROP OQ
OQ
，便有
2
2
| |
| |P
ORx x
OQ
，
2
2
| |
| |P
ORy y
OQ
，同理， | |
| |R
ORx x
OQ
， | |
| |R
ORy y
OQ
，将它们代入
（※），得
2 2
24 16 12 8
x y x y ，显然 x 与 y 均不为零．
2．(1) 1l ： 0)2(2 yx ； 2l ： 0)2(2 yx ．
(2) 1 2
1
2k k ；| | | | 4PE PF ．提示：设 P ),( yx ，由
2
122
21
x
y
x
ykk ，
得 124
22
yx ，定点 FE 、 为该椭圆的两个焦点．
(3) FNEM 与 EF 平行.
3．(1)
2
2 14
x y . (2) 3 3( 2, ) ( ,2)2 2
.
(3) 2 2
1 1 1a b
. 提示：由椭圆的对称性可知 PQSR 是菱形，原点 O 到各边的距离
相等． 当 P 在 y 轴上时，显然；当 P 不在 y 轴上时，设直线 PS 的斜率为 k， 1 1( , )P x kx ，
则 直 线 RQ 的 斜 率 为 1
k
， 2 2
1( , )Q x xk
由 2 2
2 2 1
y kx
x y
a b
得
2
2 2 2
1
1 1 k
x a b
， 同 理
2 2 2 2
2
1 1 1
x a k b
， 在 Rt△OPQ 中 ， 有 2 2 2| | | | | |PQ OP OQ ， 所 以 ，
2 2 2 2 2 22 2
1 2 1 1 1 2( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ]x xx x kx x kx xk k
，化简可得 2 2
1 1 1a b
．综上，当 d=1
时 a，b 满足条件 2 2
1 1 1a b
．
典型考法 4 椭圆与圆
典型例题
以 1(0 1)F ， ， 2 (0 1)F ， 为焦点的椭圆 C 过点 2( 1)2P ， ．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点 1( 0)3S ， 的动直线l 交椭圆C 于 A 、 B 两点，试问：在坐标平面上是否存在
一个定点T ，使得无论l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出点T 的
坐标；若不存在，，请说明理由．
解析 (1)方法一：
方法二：
(2)方法一：
方法二：
方法三：
方法四：
注：以上方法很好地体现定点问题的基本思维．方法一先通过特殊情形确定定点，然
后证明其它情形也过这一定点，是比较可取的方法；方法二假设定点 ( )T u v， ，通过条件
确定定点，是通性通法，但需要较高的运算能力；方法三利用几何特征发现定点的纵坐标
为 ( 0)T t ， ，能有效地减少运算量．同时，三种解法充分利用转化思想，合理使用韦达定
理，避免求圆的方程带来繁琐的计算．方法四利用消元技巧以及圆的方程的特征，直接求
出以 AB 为直径的圆的方程，不必利用韦达定理，计算过程简单，思路清晰、明了，从而
使问题顺利解决．
必杀技： 平面几何知识与所给图形特征相结合
以“直线、圆及圆锥曲线”为主体的平面解析几何作为中学数学中几何代数化的典型
代表，历来是高考的重头戏，是体现能力立意，强调思维空间，用“活题”考“死知识”
的典范．由于其综合性强，算功要求高，常令众多考生望而生畏．尤其近年悄然兴起的圆
锥曲线与圆的交汇性问题更让考生们感到恐慌！其实这类问题只要善于抓住问题主干，理
清解题思路，及时灵活转化问题和条件，巧妙把向量方法和平面几何知识与图形特征结合
起来，就会柳暗花明，轻松应对．
进一步探究，可以得到以圆锥曲线的弦 AB 为直径的圆的方程的统一解法，具体为：
下面利用这一结论解决下面的试题
已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点的距离的最大值
为 3，最小值为 1．
(I)求椭圆 C 的标准方程;
(II)若直线 :l y kx m 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(A，B 不是左右顶点)，且以 AB
为直径的圆过椭圆 C 的右顶点．求证:直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
解：(I)由题意设椭圆的标准方程为
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
， 3a c ， 1a c ，
2a ， 1c ， 2 3b ，
2 2
14 3
x y ．
(II) 方法一：
方法二：设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，由 2 2
14 3
y kx m
x y
得
2 2 2(3 4 ) 8 4( 3) 0k x mkx m ， 2 2 2 264 16(3 4 )( 3) 0m k k m ，
2 23 4 0k m ．
2
1 2 1 22 2
8 4( 3), .3 4 3 4
mk mx x x xk k
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2
3( 4 )( ) ( ) ( ) .3 4
m ky y kx m kx m k x x mk x x m k
以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 (2,0),D 1AD BDk k ， 1 2
1 2
12 2
y y
x x
，
1 2 1 2 1 22( ) 4 0y y x x x x ，
2 2 2
2 2 2
3( 4 ) 4( 3) 16 4 03 4 3 4 3 4
m k m mk
k k k
，
2 27 16 4 0m mk k ，解得 1 2
22 , 7
km k m ，且满足 2 23 4 0k m ．
当 2m k 时， : ( 2)l y k x ，直线过定点 (2,0), 与已知矛盾；
当 2
7
km 时， 2: ( )7l y k x ，直线过定点 2( ,0).7
综上可知，直线l 过定点，定点坐标为 2( ,0).7
实战演练
1．已知 A，B 分别为曲线 C ：
2
2
x
a
+ 2y =1（ 0 0y a ， ）与 x 轴的
左、右两个交点，直线l 过点 B，且与 x 轴垂直，S 为l 上异于点 B 的一点，
连结 AS 交曲线 C 于点 T．
(Ⅰ)若曲线 C 为半圆，点 T 为圆弧 AB 的三等分点，试求出点 S 的坐标；
(Ⅱ)如图 8-1-4，点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点，试问：是否存在 a ，使
得 O，M，S 三点共线？若存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由．
2．设椭圆 E：
2 2
2 2 1x y
a b
（ 0a b ， ），O 为坐标原点，过 M（2， 2 ），N( 6 ，
图 8-1-4
1)两点．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A，
B，且OA OB ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由．
参考答案：
1． (Ⅰ) 2 3(1 )3S ， 或 (1 2 3)S ， . 提示： 1a ，如图 8-1-5，由点 T 为
圆弧 AB 的三等分点得∠BOT=60°或 120°．
(1)当∠BOT=60°时，∠SAB=30°．又 AB=2， (1 )s
， ．
(2)当∠BOT=120°时，同理可求得点 S 的坐标为 (1,2 3) ．
(Ⅱ)提示：切入点 1 -------------------------从点T 入手
切入点 2 -------------------------从点 S 入手
注：本题的求解还可从直线 AS 的斜率入手，这里不再赘述．
2．(1)
2 2
18 4
x y .
图 8-1-5
(2)存在，此圆为 2 2 8
3x y ，| |AB 的取值范围是 4[ 6 2 3]3
， ．
提示：假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A，
B ， 且 OA OB ． 设 该 圆 的 切 线 方 程 为 y kx m ， 由 2 2
18 4
x y
y kx m
得
2 2 2(1 2 ) 4 2 8 0k x kmx m ， 则
1 2 2
2
1 2 2
4
1 2
2 8
1 2
kmx x k
mx x k
，
2 2
1 2 2
8
1 2
m ky y k
， 要 使
OA OB ，必须 1 2 1 2 0x x y y ，即
2 2 2
2 2
2 8 8 01 2 1 2
m m k
k k
，所以
2
2 3 8 08
mk ，
又 2 28 4 0k m ，所以 2 8
3m ，即 2 6
3m 或 2 6
3m ，由假设，知圆的半
径为
21
mr
k
，
2 2
2
22
8
3 81 31 8
m mr mk
， 2 6
3r ，所求的圆为 2 2 8
3x y ，
此时圆的切线 y kx m 都满足 2 6
3m 或 2 6
3m ，而当切线的斜率不存在时切线
为 2 6
3x 与椭圆
2 2
18 4
x y 的两个交点为 2 6 2 6( , )3 3
或 2 6 2 6( , )3 3
满足
OA OB ，因此， 存在圆心在原点的圆 2 2 8
3x y ，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E
恒有两个交点 A，B，且 OA OB ．进一步地，可得 | |AB
2
4 2
32 13 4 4 1
k
k k
，
分 0k 及 0k 讨论便易知， 4 6 | | 2 33 AB ．
注：我们可把这个椭圆推广到任意椭圆，即得到如下性质：
考点 2 双曲线
典型考法 1 双曲线的最值问题
典型例题
已知点 ，，，， )02()02( NM 动点 P 满足条件 ，22|||| PNPM 记动点 P 的轨迹
为W ．
(1)求W 的方程；
(2)若 BA、 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求 OBOA 的最小值．
解析 (1)由 2 2PM PN － 知动点 P 的轨迹是以 M ， N 为焦点的双曲线的右
支，实半轴长 2a ，半焦距 c=2，故虚半轴长 2 2 2b c a ，从而 W 的方程为
2 2
12 2
x y ( 2x )．
(2)方法一：分两种情况进行讨论，设 BA， 的坐标分别为 )( 11 yx ， 和 )( 22 yx ， ．当
xAB 轴时， 2121 yyxx ， ，从而 22
1
2
12121 yxyyxxOBOA ；当 AB 不
与 x 垂 直 时 ， 设 直 线 AB 的 方 程 为 mkxy ， 与 W 的 方 程 联 立 ， 消 去 y 得
022)1( 222 mkmxxk ， 故 2
2
21221 1
2
1
2
k
mxxk
kmxx
， ， 所 以
2
42 1OA OB k
，又 2010 2
21 OBOAkxx ，， ，综上所述， OBOA
取得最小值 2．
方 法 二 ： 设 BA、 的 坐 标 分 别 为 )()( 2211 yxyx ，、， ， 则
2 2 ( )( ) 2i i i i i ix y x y x y ( 1 2)i ， ．令 iiiiii yxtyxs ， ( 1 2)i ， ，于是
2iits ， 且 0 0i is t ， ( 1 2)i ， ， 所 以 ， 1 2 1 2OA OB x x y y 1 2 1 2
2
s s t t
1 2 1 2 2s s t t ，当且仅当 2121 ttss ，即
21
21
yy
xx 时不等式取等号，所以 OBOA 的最小
值是 2．
方 法 三 ： 设 BA、 的 坐 标 分 别 为 )()( 2211 yxyx ，、， ， 则
1 2 1 2OA OB x x y y ，因为 1 2 0x x ，要求 OBOA 的最小值，必须 1 2 0y y ，
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2
1 2 1 2 1 2
2 2 ( ) 2( ) 4
( ) 4 4
OA OB x x x x x x x x x x
x x x x x x
1 2 1 2( 2) 2x x x x ，
当且仅当 1 2x x 时， OBOA 取得最小值 2．
方法四：注意到 1 2 0y y ，
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1[ ( ) ] [( ) ]2 2OA OB x x y y x x x x y y y y
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1 1( ) ( ) [( ) ( ) ] 2 [( 2 2) ( ) ]2 2 2 2x y x y y y x x x x x x
2
2 1 2
1 2 2 2 2
1 2
( )2 ( ) [ 1] 2
( 2 2)
x xx x
x x
，当且仅当 1 2x x 时， OBOA 取最小值 2．
必杀技： 利用求函数最值的方法+双曲线性质
解决与双曲线有关的最值问题须注意：
1．最值问题的题型大致有：求距离的最值、角度的最值、面积的最值．
2．最值问题的求解策略：
(1)总方针：建立目标函数（或目标不等式）
(2)具体方法：
①转化为二次函数（或双钩函数、三次函数等常用函数）的最值问题
②利用三角换元，转化为三角函数的最值问题
③结合双曲线的定义，利用图形的几何特征求最值
④利用基本不等式求最值
还须值得注意的是，有些求最值的问题可能要先求目标函数的局部最值，而复杂的求
最值问题甚至需要多种方法的综合运用．
结合本例的求解，试问对于一般的等轴双曲线 2 2 2x y a ，是否有类似的结论，回
答是肯定的，即
结论一：若 A ， B 是等轴双曲线 2 2 2x y a 的右支上的不同两点， O 是坐标原点，
则OA OB 的最小值为 2a ．
对于上述结论，我们可作进一步地推广，得到更一般的结论：
结论二：
实战演练
1． P 是双曲线
2 2
19 16
x y ＝ 的右支上一点， M N、 分别是圆 2 2( 5) 4x y 和
2 2( 5) 1x y 上的点，则 PM PN 的最大值为 ．
2．已知双曲线 C 的方程为
2 2
2 2 1( 0 0)y x a ba b
， ，离心率 5
2e ，顶点到渐近
线的距离为 2 5
5
．
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)如图 8-2-1，P 是双曲线 C 上一点，A，B 两点在双曲线 C
的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若 AP PB ，
1[ 2]3
， ，求 AOB 面积的取值范围．.w.k.s.5.
3．已知双曲线 1C ：
2 2
2 2 1( 0)2
x y aa a
，抛物线 2C 的顶点
在原点O ，又 2C 的焦点是 1C 的左焦点 1F ．
(1)求证： 1C 与 2C 总有两个不同的交点；
(2)是否存在过 1C 的焦点 1F 的 2C 的弦 AB ，使 AOB 的面积有最大值或最小值？若
有，求出 AB 所在直线方程与最值；若没有，请说明理由．
参考答案：
1．9 . 提示：方法一： P 是双曲线
2 2
19 16
x y ＝ 的右支上一点， 1F (－5，0)、 2F (5，0)
是两个焦点，则 1 2| | | |PF PF =6，又 M N、 分别是圆 2 2( 5) 4x y 和 2 2( 5) 1x y
上的点，∴ PM PN ≥ 1 2| | 2 (| | 1)PF PF =9．
方法二：设双曲线的两个焦点分别是 F1（－5，0）与 F2（5，0），则这两点正好是两
圆的圆心，当且仅当点 P 与 M、F1 三点共线以及 P 与 N、F2 三点共线时所求的值最大，此
时|PM|－|PN|＝（|PF1|－2）－（|PF2|－1）＝10－1＝9．
2．(1)
2
2 14
y x . (2) 8[2 ]3
， . 提示：方法一：
图 8-2-1
方法二：
3．(1)证略．
(2) AOB 的面积有最小值 26a ， AB 所在直线的方程为 3x a ；最大值不存在．
提示：
典型考法 2 与双曲线有关的定点与定值问题
典型例题
已知双曲线 2 2 2x y 的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，过点 2F 的动直线与双曲线相交
于 A B， 两点．
(1)若动点 M 满足 1 1 1 1F M F A F B FO （其中 O 为坐标原点），求点 M 的轨迹方
程；
(2)在 x 轴上是否存在定点C ，使CA
·CB
为常数？若存在，求出点C 的坐标；若不
存在，请说明理由．
解析 (1)方法一：由条件知 1( 2 0)F ， ， 2 (2 0)F ， ，设 1 1( )A x y， ， 2 2( )B x y， ．设
( )M x y， ，则 1 ( 2 )F M x y ， ， 1 1 1( 2 )F A x y ， ， 1 2 2( 2 )F B x y ， ， 1 (2 0)FO ， ，
由 1 1 1 1F M F A F B FO 得 1 2
1 2
2 6x x x
y y y
，即 1 2
1 2
4x x x
y y y
，
，于是 AB 的中点
坐 标 为 4
2 2
x y
， ． 当 AB 不 与 x 轴 垂 直 时 ， 1 2
1 2
2
4 822
y
y y y
xx x x
， 即
1 2 1 2( )8
yy y x xx
．又因为 A B， 两点在双曲线上，所以 2 2
1 1 2x y ， 2 2
2 2 2x y ，
两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( )x x x x y y y y ，即 1 2 1 2( )( 4) ( )x x x y y y ．
将 1 2 1 2( )8
yy y x xx
代入上式，化简得 2 2( 6) 4x y ．当 AB 与 x 轴垂直时，
1 2 2x x ，求得 (8 0)M ， ，也满足上述方程．所以点 M 的轨迹方程是 2 2( 6) 4x y ．
方法二：同方法一得 1 2
1 2
4x x x
y y y
，
．当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是
( 2)( 1)y k x k ．代入 2 2 2x y 有 2 2 2 2(1 ) 4 (4 2) 0k x k x k ．则 1 2x x， 是
上述方程的两个实根，所以
2
1 2 2
4
1
kx x k
．
2
1 2 1 2 2
4 4( 4) 41 1
k ky y k x x k k k
．
由①②③得
2
2
44 1
kx k
………④ ， 2
4
1
ky k
………⑤
当 0k 时 ， 0y ， 由 ④ ⑤ 得 ， 4x ky
， 将 其 代 入 ⑤ 有
2 2 2
2
44 4 ( 4)
( 4) ( 4)1
x
y xyy x x y
y
．整理得 2 2( 6) 4x y ．
当 0k 时，点 M 的坐标为 (4 0)， ，满足上述方程．
当 AB 与 x 轴垂直时， 1 2 2x x ，求得 (8 0)M ， ，也满足上述方程．
故点 M 的轨迹方程是 2 2( 6) 4x y ．
(2)方法一：假设在 x 轴上存在定点 ( 0)C m， ，使CA CB
为常数．
当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是 ( 2)( 1)y k x k ．代入 2 2 2x y
有 2 2 2 2(1 ) 4 (4 2) 0k x k x k ． 则 1 2x x， 是 上 述 方 程 的 两 个 实 根 ， 所 以
2
1 2 2
4
1
kx x k
，
2
1 2 2
4 2
1
kx x k
，于是
2
1 2 1 2( )( ) ( 2)( 2)CA CB x m x m k x x
2 2 2 2
1 2 1 2( 1) (2 )( ) 4k x x k m x x k m
2 2 2 2
2 2
2 2
( 1)(4 2) 4 (2 ) 41 1
k k k k m k mk k
2
2 2
2 2
2(1 2 ) 2 4 42(1 2 )1 1
m k mm m mk k
．
因为CA CB
是与 k 无关的常数，所以 4 4 0m ，即 1m ，此时CA CB
= 1 ．当 AB
与 x 轴 垂 直 时 ， 点 A B， 的 坐 标 可 分 别 设 为 (2 2)， ， (2 2)， ， 此 时
(1 2) (1 2) 1CA CB
， ， ．故在 x 轴上存在定点 (1 0)C ， ，使CA CB
为常数．
方法二：假设在 x 轴上存在定点点 ( 0)C m， ，使CA CB
为常数，当 AB 不与 x 轴垂直
时，由(1)的方法二知
2
1 2 2
4 1kx x k
，
2
1 2 2
4 2
1
kx x k
．以下同方法一．
必杀技： 遵循“一选、二求、三定点”的原则
本节的注意事项参见典型考法 2，这里不再赘述．本例实质上反映了圆锥曲线焦点弦
的一个性质，将双曲线 2 2 2x y 推广到一般双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
，便有下面的结论：
结论 1：
若将双曲线换为椭圆或抛物线，则有类似结论：
结论 2：
结论 3：
读者自行完成可以上结论，在此不再赘述．在平时的解题中，我们在掌握问题的基本
求解方法后，还有必要对问题进行联想、类比和推广，搞清问题的内涵和外延，挖掘出问
题的本质特征，触类旁通，这样才能充分发挥问题的知识功能，不断提高自己分析问题和
解答问题的能力．
实战演练
1．已知 1 22,0 , 2 0F F ， ，点 1 2 2,P PF PF P E 满足 记点 的轨迹为 ，．
(1)求轨迹 E 的方程；
(2)若直线l 过点 2F 且法向量为 ( 1)n a
， ，直线与轨迹 E 交于 P Q、 两点．
①过 P Q、 作 y 轴的垂线 ,, BAQBPA 、垂足分别为、 记 |||| ABPQ ，试确定
的取值范围；
②在 x 轴上是否存在定点 M，无论直线l 绕点 2F 怎样转动，使 0MP MQ 恒成立？
如果存在，求出定点 M；如果不存在，请说明理由．
2．已知点 1 0 0( , )P x y 为双曲线
2 2
2 2 18
x y
b b
（b 为正常数）上任一点， 2F 为双曲线的
右焦点，过 1P 作右准线的垂线，垂足为 A ，连接 2F A 并延长交 y 轴于 2P ． w．w．w．k．s
(1)求线段 1P 2P 的中点 P 的轨迹 E 的方程；
(2)设轨迹 E 与 x 轴交于 B D、 两点，在 E 上任取一点 1 1 1, ( 0)Q x y y （ ） ，直线
QB QD， 分别交 y 轴于 M N， 两点．求证：以 MN 为直径的圆过两定点．
3．A、B 为双曲线 194
22
yx 上的两个动点，满足 0OBOA ．
(1)求 22
11
OBOA
的值；
(2)动点 P 在线段 AB 上，满足 0OP AB ，试问点 P 能否在定圆上．
参考答案：
1．(1) )1(13
2
2 xyx .
(2) ① 2(1 3)3
， . 提示：由直线 l 的方程与双曲线方程联立并利用韦达定理可得
2
| | 11| |
PQ
AB a
（ 32 a ），故 )33
2,1( ．
②存在定点 ( 1 0)M ， 满足条件． 提示：设存在点 )0,(mM 满足条件，同①可得
MP MQ
0
3
)54(3 2
2
2
m
a
am ， 得 0)54()1(3 222 mmam 对 任 意
32 a 恒成立，所以
054
01
2
2
mm
m ，解得 1m ．
2．(1)
2 2
2 2 12 25
x y
b b
.
(2) 提 示 ： 不 妨 设 ( 2 0)B b ， ， ( 2 0)D b， ， 则 易 得 1
1
2(0 )
2
byM
x b
， ，
1
1
2(0 )
2
byN
x b
， ， 于 是 ， 以 MN 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 ：
2 1 1
1 1
2 2( )( ) 0
2 2
by byx y y
x b x b
，令 0y 得：
2 2
2 1
2 2
1
2
2
b yx x b
，而 1 1,Q x y（ ）在
2 2
2 2 12 25
x y
b b
上，则 2 2 2
1 1
22 25x b y ，所以 5x b ，即以 MN 为直径的圆过两定点
( 5 ,0),(5 ,0)b b ．
3．(1) 5
36 . (2) P 在以 O 为圆心、
5
56 为半径的定圆上．提示：由三角形面积公
式 ， 得 2 2 2 2
OP AB OA OB ， 即 2 2 2 2 2
OP OA OB OA OB ． 即
2
2 2
1 1 1OP
OA OB
，利用(1)即得
5
362 OP ．
典型考法 3 双曲线与直线
典型例题
已知以原点O 为中心， )0,5(F 为右焦点的双曲线 C 的实轴与焦
距之比为 2 5： ．
(1)求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；
(2)如图 8-2-2，已知过点 1 1( , )M x y 的直线 1l ： 1 14 4x x y y 与过
点 2 2( , )N x y （其中 2 1x x ）的直线 2l ： 2 24 4x x y y 的交点 E 在双
曲线C 上，直线 MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、 H 两点，求
OG OH
的值．
解析 (1)设 C 的标准方程是
2 2
2 2 1( 0 0)x y a ba b
， ，则由题意得 5c ， 2
5
a
c
，
因此 2a ， 2 2 1b c a ，所以 C 的标准方程为
2
2 14
x y ，C 的渐近线方程为
.0202,2
1 yxyxxy 和即
(2)方法一：如图 8-2-5，由题意，点 ),( EE yxE 在直线 1l ： 1 14 4x x y y 和 2l ：
图 8-2-2
2 24 4x x y y 上，因此有 EEE xxyyxx 211 ,44 44 2 Eyy ，故点 M、N 均在直线
44 yyxx EE 上，因此直线 MN 的方程为 4 4E Ex x y y ，设 G、H 分别是直线 MN
与 渐 近 线 02 yx 及 02 yx 的 交 点 ， 由 方 程 组 4 4
2 0
E Ex x y y
x y
及
4 4
2 0
E Ex x y y
x y
，解得
4
2
2
2
G
E E
G
E E
x x y
y x y
，
4
2
2
2
H
E E
H
E E
x x y
y x y
，故
4 4 2 2
2 2 2 2E E E E E E E E
OG OH x y x y x y x y
2 2
12
4E Ex y
，
因 为 点 E 在 双 曲 线
2
2 14
x y 上 ， 所 以 ， 有 2 24 4E Ex y ， 从 而
2 2
12 34E E
OG OH x y
．
方法二：设 ),( EE yxE ，由方程组得 1 1
2 2
4 4
4 4
x x y y
x x y y
，解得 2 1
1 2 2 1
4( )
E
y yx x y x y
，
1 2
1 2 2 1
E
x xy x y x y
， 故 直 线 MN 的 方 程 为 1 1( )4
E
E
xy y x xy
， 注 意 到
1 14 4E Ex x y y ，因此，直线 MN 的方程为 44 yyxx EE ．下同方法一．
必杀技： 综合运用基础知识与基本方法
本题主要考查双曲线的标准方程、渐近线方程等基础知识；并以对这些基础知识的考
查为依托，考查了对解析几何的基本思想的理解与掌握情况及综合运算能力、探究意识与
创新意识． 如果进一步探究，易得，本题中的直线 1l 、 2l 与椭圆
2
2 14
x y 相切，而直
线 MN 是双曲线 14
2
2
yx 的切线，于是，我们提出如下问题：
答案： 2 2OG OH a b ，直线 MN 是双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
的切线，且还可求得
GOH 的面积为 ab ．证明过程留给读者自行完成，这里不再赘述．
实战演练
1．设直线l ： y kx m （其中 ,k m 为整数）与椭圆
2 2
116 12
x y 交于不同的两点 A 、
B ，与双曲线
2 2
14 12
x y 交于不同的两点C 、D ，问是否存在直线l ，使得 0AC BD
成立，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
2．已知双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
右支上任意一点 E 作抛物线 2 2 ( 0)y px p 的两切线，
两切点 M ， N 所在直线分别与双曲线的两条渐近线交于G ， H 两点，试问：
(1)是否存在正实数 p ，使得OG OH 为定值？
(2)是否存在正实数 p ，使得 2 2
1 1
| | | |OG OH
为定值？
3．已知双曲线C ：
2
2 12
x y ．
(1)已知点 M 的坐标为 (01)， ．设 P 是双曲线C 上的点，Q 是点 P 关于原点的对称点，
记 MP MQ ．求 的取值范围；
(2)已知点 D 、 E 、 M 的坐标分别为 ( 2 1) ， 、 (2 1)， 、 (0 1)， ， P 为双曲线C 上
在第一象限内的点．记l 为经过原点与点 P 的直线，s 为 DEM△ 截直线l 所得线段的长．试
将 s 表示为直线l 的斜率 k 的函数．
参考答案：
1 ． 存 在 直 线 y kx m ， 其 中 1 0 1
0 0 0
k k k
m m m
， ， ，
0 0 0
3 2 1
k k k
m m m
， ， ， 0 0 0 0
0 1 2 3
k k k k
m m m m
， ， ， 共 9 条．
提示：方法一：将直线 l 的方程分别与椭圆、双曲线的方程联立方程组，并利用韦达
定理及 0AC BD 可得
分别讨论 0k 及 0m 的对应情形，即可得所求结果．
方法二：设 1 1( )A x y， ， 2 2( )B x y， ， 3 3( )C x y， ， 4 4( )D x y， ，利用点差法可得
1 2 1 2
4 ( )3x x k y y ， 3 4 3 4( )x x k y y ，再由 0AC BD 可得 1 2 3 4x x x x ，
1 2 3 4y y y y ， 因 此 ， 便 有 1 2 1 2
4 ( )3 k y y y y ， 所 以 0k 或
1 2 1 2 0x x y y ．若 1 2 0x x ，则点 A 与 B 关于原点对称，此时直线 AB 过原点，
有 0m ．因此，有 0k 及 0m ．以下同方法一．
注：我们可将本题推广为：
结论 1：
结论 2：
以上结论的证明，读者可自行完成．
2．(1)不存在。提示：
(2)不存在，同(1)的方法．
3．(1) ( 1] ， 。
(2)
2
2
2
2
2 11 (0 ]1 2
2 1 1 21 ( )2 2
k kks k
k k kk k
，
，
提示：若 P 为双曲线 C 上第一象限内的
点，则直线 l 的斜率 2(0 )2k ， ，由计算可得，当 1(0, ]2k 时， 2
2
2 11s k kk
；当
1 2( )2 2k ， 时 ， 2
2
2 1 1ks k kk k
， ∴ s 表 示 为 直 线 l 的 斜 率 k 的 函 数 是
2
2
2
2
2 11 (0 ]1 2
2 1 1 21 ( )2 2
k kks k
k k kk k
，
，
．
典型考法 4 双曲线与圆
典型例题
已知双曲线C ：
2 2
2 1( 0 )2
x y aa
的实轴长与焦距的比为1 3： ．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)设直线l 是圆O ： 2 2 2x y 上动点 0 0 0 0( )( 0)P x y x y ， 处的切线，l 与双曲线C
交于不同的两点 A ， B ，证明 AOB 的大小为定值．
解析 (1)由题意，得
2 2 2
3
c a
c
a
，解得 1a ， 3c ，∴所求双曲线 C 的方程为
2
2 12
yx ．
(2)方法一：点 0 0 0 0, 0P x y x y 在圆 2 2 2x y 上，则圆在点 0 0,P x y 处的切线
方 程 为 0 0 2x x y y ， 由
2
2
0 0
12
2
yx
x x y y
及 2 2
0 0 2x y 得
2 2 2
0 0 03 4 4 8 2 0x x x x x ，∵切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，且
2
00 2x ，∴ 2
03 4 0x ，且 2 2 2
0 0 016 4 3 4 8 2 0x x x ，设 A、B 两点的坐
标 分 别 为 1 1,x y ， 2 2,x y ， 则 0
1 2 2
0
4
3 4
xx x x
，
2
0
1 2 2
0
8 2
3 4
xx x x
， ∵
cos OA OBAOB
OA OB
，且 1 2 1 2OA OB x x y y 1 2 0 1 0 22
0
1 2 2x x x x x xy
2
1 2 0 1 2 0 1 22
0
1 4 22x x x x x x x xx
2 2
0 0
2 2
0 0
8 2 2 8 03 4 3 4
x x
x x
．∴ AOB 的
大小为90 ．．w．k．s．5．u．c．o．m
方法二：点 0 0 0 0, 0P x y x y 在圆 2 2 2x y 上，圆在点 0 0,P x y 处的切线方程
为 0 0 2x x y y ．由
2
2
0 0
12
2
yx
x x y y
及 2 2
0 0 2x y 得
2 2 2
0 0 03 4 4 8 2 0x x x x x ①
2 2 2
0 0 03 4 8 8 2 0x y y x x ②
∵切线l 与双曲线 C 交于不同的两点 A、B，∴ 2
03 4 0x ，设 A、B 两点的坐标分别
为 1 1 2 2, , ,x y x y ，则
2 2
0 0
1 2 1 22 2
0 0
8 2 2 8,3 4 3 4
x xx x y yx x
，∴ 1 2 1 2 0OA OB x x y y ，
∴ AOB 的大小为90 ．（∵ 2 2
0 0 2x y 且 0 0 0x y ，∴ 2 2
0 00 2,0 2x y ，从而当
2
03 4 0x 时，方程①和方程②的判别式均大于零）．
必杀技： 综合运用基础知识与基本方法
本例主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程、向量等基础知识，考查曲线和方程
的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．将本题作进一步的探究，
可得如下结论：
实战演练
1．从双曲线
2 2
19 16
x y 的左焦点 F 引圆 2 2 9x y 的切线，切点为T ，延长 FT
交双曲线右支于点 P ．若 M 为线段 FP 的中点．O 为坐标原点，则| | | |MO MT ．
2．已知双曲线 12
2
2
2
b
y
a
x 的渐近线方程为 3
3
y x ，左焦点为 F，过 ( 0)A a， ，
(0 )B b， 的直线为l ，原点到直线l 的距离是 3
2
．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线 y x m 交双曲线于不同的两点 C，D，问是否存在实数 m ，使得以 CD
为直径的圆经过双曲线的左焦点 F．若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由．
3．若动圆 P 恒过定点 (2 0)B ， ，且和定圆C ： 2 2( 2) 4x y 外切．
(1)求动圆圆心 P 的轨迹 E 的方程；
(2)若过点 B 的直线l 与曲线 E 交于 M 、N 两点，试判断以 MN 为直径的圆与直线 m ：
1
2x 是否相交，若相交，求出截得劣弧所对圆心角的弧度数，若不相交，请说明理由．
参考答案：
1． 1. 提示：如图 8-2-3，
注：本题可进一步推广，具体为：
结论一：
结论二：
2．(1)
2
2 13
x y .
(2) 3 2m . 提示：把 y x m 代入 2 23 3x y 中消去 y，整理得
2 22x 6mx 3m 3 0 ． 设 1 1C x y( , ) ， 2 2D x y( , ) 则 1 2 3x x m ，
2
1 2
3 3
2
mx x ， ( 2 0)F ， ，因为以 CD 为直径的圆经过双曲线的左焦点 F，所以
0FC FD ，可得 1 2 1 2x 2 x 2 y y 0( )( ) ，把 1 1y x m ， 2 2y x m 代入，解
得： m 3 2 ，由 0 ，得 2m 2 ， m 3 2 满足 0 ．
3． (1)
2
2 1( 0)3
yx x .
(2) 相交，且截得劣弧所对圆心角的弧度数为 2
3
． 提示：
注：本题也可利用方程从代数角度换算来判断，即设 l 的方程，利用弦长公式和点到直线
距离公式得圆心距和半径，直接比较可得，读者可自行完成，不再赘述．
考点 3 抛物线
典型考法 1 抛物线的最值问题
典型例题
在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到点 (3 0)F ， 的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距离的
3 倍之和记为 d，当 P 点运动时，d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(1)求点 P 的轨迹 C；
(2)设过点 F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M，N 两点，求线段 MN 长度的最大值.
解析(1)设点 P 的坐标为（x，y），则 2 24 ( 3)d x y 3| 2 |x . 由题设 当 x>2
时，由①得 2 2 1( 3) 6 2x y x ，化简得
2 2
136 27
x y ；
当 2x 时，由①得 2 2(3 ) 3x y x ，化简得 2 12y x ，
故点 P 的轨迹 C 是椭圆 1C ：
2 2
136 27
x y 在直线 x=2 的右侧部分与
图 8-3-1
抛物线 2C ： 2 12y x 在直线 x=2 的左侧部分（包括它与直线 x=2 的交点）所组成的曲线．
（Ⅱ）如图 8-3-1 所示，易知直线 x=2 与 1C ， 2C 的交点都是 A（2，2 6 ），B（2， 2 6 ），
直线 AF，BF 的斜率分别为 AFk = 2 6 ， BFk = 2 6 ．
当点 P 在 1C 上时，由②知 16 2PF x ④
当点 P 在 2C 上时，由③知 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3PF x ⑤
若直线 l 的斜率 k 存在，则直线 l 的方程为 ( 3)y k x
（i）当 k≤ AFk ，或 k≥ BFk ，即 k≤-2 6 时，直线 I 与轨迹 C 的两个交点 M（ 1x ，
1y ），N（
2
x ，
2
y ）都在 C 1 上，此时由④知∣MF∣=6 - 1
2 1x ，∣NF∣=6 - 1
2 2
x ，
从而
∣MN∣= ∣MF∣+ ∣NF∣= （6 - 1
2 1x ）+ （6 - 1
2 2
x ）=12 - 1
2 ( 1x + 2
x )，
由 2 2
( 3)
136 27
y k x
x y
得 2 2 2 2(3 4 ) 24 36 108 0k x k x k 则 1x ， 1y 是这个方程的两
根，所以 1x + 2
x =
2
2
24
3 4
k
k
×∣MN∣=12 - 1
2
（ 1x + 2
x ）=12 -
2
2
12
3 4
k
k
，因为当 2 6k
或 2 6k 时， 2 24k ，
2
2
2
12 12 10012 12 13 4 114
kMN k
k
，当且仅当 2 6k
时，等号成立．
(ii)当 AE ANk k k ， 2 6 2 6k 时，直线 L 与轨迹 C 的两个交点 1 1( , )M x y ，
2 2( , )N x y 分 别 在 1C ， 2C 上 ， 不 妨 设 点 M 在 1C 上 ， 点 2C 上 ， 则 ④ ⑤ 知 ，
1 2
16 , 32MF x NF x ，设直线 AF 与椭圆 1C 的另一交点为 E 0 0( )x y， ，则 0 1x x ，
2 2x ， 1 0 2
1 16 6 , 3 3 22 2MF x x EF NF x AF ，所以
MN MF NF EF AF AE ．
而点 A，E 都在 1C 上，且 2 6AEk ，有（1）知 100
11AE ，所以 100
11MN ，
若直线 的斜率不存在，则 1x = 2x =3，此时， 1 2
1 10012 ( ) 92 11MN x x ，综上所
述，线段 MN 长度的最大值为100
11
．
必杀技： 利用求函数最值的方法+抛物线的性质
本节可参看第八章考点 1 的相关内容，不再赘述．值得注意的是本例中的点 (3 0)F ， 是
题中的椭圆与抛物线的公共焦点，可将本例推广：
实战演练
1．已知圆C 的圆心在抛物线 2 2x py （ 0p ）上运动，且圆C 过点 (0 )A p， ，若
MN 为圆C 在 x 轴上截得的弦，设 1| |AM l ， 2| |AN l ，则 1 2
2 1
l l
l l
的取值范
围是 ．
2．如图 8-3-2， P 是抛物线 2 2y x 上的动点，点 B C, 在 y 轴上，圆
2 2( 1) 1x y 内切于 PBC ，则 PBC 面积的最小值为 ．
3．如图 8-3-3，已知点 ( 3, 0)H ，动点 P 在 y 轴上，点 Q 在 x 轴上，
图 8-3-3
图 8-3-2
其横坐标不小于零，点 M 在直线 PQ 上，且满足 0HP PM ， 3
2PM MQ
.
(1)当点 P 在 y 轴上移动时，求点 M 的轨迹C ；
(2)过定点 (1, 0)F 作互相垂直的直线l 与l ，l 与(1)中的轨迹C 交于 A 、B 两点，l 与
（1）中的轨迹C 交于 D 、 E 两点，求四边形 ADBE 面积 S 的最小值；
(3)将(1)中的曲线 C 推广为椭圆：
2 2
2 2 1x y
a b
，并将(2)中的定点取为原点，求与(2)
相类似的问题的解．
参考答案：
1． (1)[2 2 2]， . 提示：如图 8-3-4，
在 AMN 中利用面积公式及余弦定理可得
2．8 . 提示： 方法一： 如图 8-3-5，
方法二：同方法一，
图 8-3-5
图 8-3-4
注：利用本例的方法一，可得出一个一般性的结论：
3．(1) 点 M 的轨迹C 的方程为 2 4y x ，它表示以原点为顶点，以 1,0 为焦点的抛
物线；
(2)32 . 提示：将直线l 的方程与C 的方程联立并利用韦达定理可得 2
2
4 1 k
AB k
，
同理 24 1DE k ，则 2
2
1 18 2 322S AB DE k k
≥ ，当且仅当 1k 时
等号成立，因此四边形 ADBE 面积 S 的最小值为32 ．
(3)
2 2
2 2
4a b
a b . 提 示 ： 同 (2) 可 得
2
2 2 2
2 1ab kAB
b a k
，
2
2 2 2
2 1ab kDE
b k a
， 则
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 11
2
a b k
S AB DE
b a k b k a
，其中 2 0k ，若令 21u k ，则由
2 2 2 2 2 2 4 4
2 2
2 221
b a k b k a c cv a b u uk
22 22
4 1 1
2 4
a b
c u
，
其中 1u ，即 10 1u
，故当且仅当 2u ，即 2 1k 时， v 有最大值 22 2
4
a b
，
由
2 22a bS
v
，得 S 有最小值
2 2
2 2
4a b
a b
；又当 0k 时，
2 2
2 2
42 a bS ab a b
，故当且仅当
1k 时，四边形 ADBE 面积 S 有最小值为
2 2
2 2
4a b
a b
．
考点 3 抛物线
典型考法 2 与抛物线有关的定点、定值问题
典型例题
已知动圆过定点 ( 0)2
p ， ，且与直线
2
px 相切，其中 0p .
(1)求动圆圆心C 的轨迹的方程；
(2)设 A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为
和 ，当 、 变化且 为定值 (0 ) 时，证明直线 AB 恒过定点，并求出该
定点的坐标.
解析(1)如图 8-3-6，设 M 为动圆圆心，记 ,02
p
为 F ，过点 M 作
直线
2
px 的垂线，垂足为 N ，由题意知： MF MN 即动点 M 到
定点 F 与定直线
2
px 的距离相等，由抛物线的定义知，点 M 的轨迹
为抛物线，其中 ,02
pF
为焦点，
2
px 为准线，∴轨迹方程为
2 2 ( 0)y px p ．
(2)设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，由题意得 1 2x x （否则 ）且 1 2, 0x x ，∴直
线 AB 的斜率存在，设其方程为 y kx b ，显然
2 2
1 2
1 2,2 2
y yx xp p
，将 y kx b 与
2 2 ( 0)y px P 联立消去 x ，得 2 2 2 0ky py pb ，由韦达定理知
1 2
2py y k
， 1 2
2pby y k
①
(ⅰ)当
2
时，即
2
时， tan tan 1 ，∴ 1 2
1 2 1 2
1 2
1, 0y y x x y yx x
，
图 8-3-6
2 2
1 2
1 22 04
y y y yp
，∴ 2
1 2 4y y p ，由①知： 22 4pb pk
，∴ 2b pk ，因此直线 AB 的
方程可表示为 2y kx pk ，即 ( 2 ) 0k x p y ，∴直线 AB 恒过定点 2 ,0p ．
(ⅱ)当
2
时，由 ，得
tan tan( ) = tan tan
1 tan tan
= 1 2
2
1 2
2 ( )
4
p y y
y y p
，
将①式代入上式整理化简可得： 2tan 2
p
b pk
，则 2 2tan
pb pk ，此时，直线 AB
的方程可表示为 y kx 2 2tan
p pk 即 2( 2 ) 0tan
pk x p y
，∴直线 AB 恒过定
点 22 , tan
pp
.
综上，由(ⅰ) 、(ⅱ)知，当
2
时，直线 AB 恒过定点 2 ,0p ，当
2
时直线 AB
恒过定点 22 , tan
pp
.
必杀技： 遵循“一选、二求、三定点”的原则
具体可参见本章考点 1 的典型考法 2．本例的(2)可推广为：
结论一：
结论二：
由此，可得下面的推论：
实战演练
1．过抛物线 022 ppxy 的焦点 F 作一条倾斜角为
4
的直线与抛物线相交于 A ，
B 两点．
(1)用 p 表示 A ， B 之间的距离；
(2)证明： AOB 的大小是与 p 无关的定值，并求出这个值．
2．如图 8-3-7，倾斜角为 a 的直线经过抛物线 2 8y x 的焦点 F，
且与抛物线交于 A、B 两点．
(1)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
(2)若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，证明：
|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值．
3．已知曲线 C 是到点 1 3
2 8P
， 和到直线 5
8y 距离相等的点
的轨迹．l 是过点 ( 1 0)Q ， 的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点； A ， B 在l 上，
MA l ， MB x 轴（如图 8-3-8）．
(1)求曲线C 的方程；
(2)求出直线l 的方程，使得
2QB
QA
为常数．
参考答案：
1．(1) 4AB p .
(2) 3 41arccos 41
. 提示：
2 2 2
cos 2
AO BO ABAOB AO BO
图 8-3-8
图8-3-7
=
2 22 2 2 2
2 2 2 22
A A B B A B A B
A A B B
x y x y x x y y
x y x y
41
413
42
422
2
2
2222
pxxpxxxx
pxxpxx
yxyx
yyxx
BABABA
BABA
BBAA
BABA ．
注：过抛物线 022 ppxy 的焦点 F 作一条倾斜角为 的直线与抛物线相交于
A，B 两点，则 2
2
sin
pAB ．
2．(1) （2，0）， 2x .
(2) | | | | cos2 8FP FP a （定值）. 提示：方法一：如图 8-3-9，
作 AC⊥l，BD⊥l，垂足为 C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|FC|，|FB|=|BD|，
记 A、B 的横坐标分别为 xA 、xB，则
2A
pFA AC x ＝ ＝ | | cos 4FA a ，解得 4| | 1 cosFA a
，类似
地有| | 4 | | cosFB FB a ，解得 4| | 1 cosFB a
．记直线 m 与 AB 的交点
为 E ， 则 | | | | | |FE FA AE | | | || | 2
FA FBFA 2
4cos
sin
a
a
， 所 以
2
| | 4| | cos sin
FEFP a a
．故 2
4| | | | cos2 (1 cos2 ) 8sinFP FP a aa
．
方法二：设 ( , )A AA x y ， ( , )B BB x y ，直线 AB 的斜率为 tank a ，则直线方程为
( 2)y k x ． 将 此 式 代 入 2 8y x ， 得 2 2 2 24( 2) 4 0k x k x k ， 故
2
2
( 2)
A B
k kx x k
．记直线 m 与 AB 的交点为 ( , )E EE x y ，则
2
2
2( 2)
2
A B
E
x x kx k
，
4( 2)E Ey k x k
，故直线 m 的方程为
2
2
4 1 2 4ky xk k k
，令 y=0，得 P 的横
坐 标
2
2
2 4 4P
kx k
， 故 | |FP
2
2 2
4( 1) 42 sinP
kx k a
， 从 而
2
4| | | | cos2 (1 cos2 ) 8sinFP FP a aa
为定值．
图 8-3-9
3．(1) 21 ( )2y x x .
(2) 直线l ： 2 2 0x y ，
2| | 5 5| |
QB
QA
． 提示：
方 法 一 ： 设
2
2
x xM x
， ， 直 线 :l y kx k ， 则 ( )B x kx k， ， 从 而
2| | 1 | 1|QB k x ． 在 Rt QMA△ 中 ， 因 为
2
2 2| | ( 1) 1 4
xQM x
，
2
2
2
2
( 1) 2| | 1
xx k
MA k
． 所 以
2
2 2 2 2
2
( 1)| | | | | | ( 2)4(1 )
xQA QM MA kxk
，
2
| 1| | 2 || |
2 1
x kxQA
k
，
2 2 2| | 2(1 ) 1 1
2| | | |
QB k k x
QA k x k
．当 2k 时，
2| | 5 5| |
QB
QA
，
从而所求直线l 方程为 2 2 0x y ．
方 法 二 ： 设
2
2
x xM x
， ， 直 线 :l y kx k ， 则 ( )B x kx k， ， 从 而
2| | 1 | 1|QB k x ．过Q ( 1 0) ， 垂直于l 的直线 1
1: ( 1)l y xk
．因为| | | |QA MH ，
所以
2
| 1| | 2 || |
2 1
x kxQA
k
，
2 2 2| | 2(1 ) 1 1
2| | | |
QB k k x
QA k x k
．
典型考法 3 抛物线与直线
典型例题
过抛物线 2 2 ( 0)y px p 的对称轴上一点 0 0A a a ， 的直线与抛物线相交于
M 、 N 两点，自 M ， N 向直线l ： x a 作垂线，垂足分别为 1M 、 1N ．w．w．w．k．s．5．u．c．o．m
（Ⅰ）当
2
pa 时，求证： 1AM ⊥ 1AN ；
（Ⅱ）记 1AMM 、 1 1AM N 、 1ANN 的面积分别为 1S ， 2S ， 3S ，是否存在
使得对任意的 0a ，都有 2
2 1 3S S S 成立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由．
解析（Ⅰ）证法一：如图 8-3-10，
证法二：
证法三：
证法四：如图 8-3-11
图 8-3-10
图 8-3-11
（Ⅱ）存在 4 ，使得对任意的 0a ，都有 2
2 1 3S S S 成立，证明如下：
证法一：
证法二：如图 8-3-12，
图 8-3-12
图 8-3-13
必杀技： 综合运用基础知识与基本方法
本例主要考查抛物线的定义和几何性质等平面解析几何的基础知识．通过分级设
问，问题难度依次增加，能有效区分考生的数学层次．
纵观近几年的高考数学试题，“依纲扣本”是命题的主方向，数学课本成了高考命
题取之不尽、用之不竭的源泉．本例题起点低，入手易，根植课本，拓展创新，完美地诠
释了高考试题“源于教材，高于教材”的命题理念．
对于本例的（Ⅰ）是抛物线的几何性质为背景，探究动弦下的确定的位
置关系，而抛物线的焦点弦中，还蕴含着三个垂直关系和三个相切关系．
我们可将其作纵向延伸，具体为：
延伸一：
（如图 8-3-13）
（如图 8-3-14）
（如图 8-3-15）
延伸二：
图 8-3-14
图 8-3-15
对于上述延伸二，我们还可作横向拓展，具体为：
拓展一：
拓展二：
进一步反思本例的（Ⅱ），我们便会发现，抛物线具有如下性质：
定理一：
对于椭圆及双曲线是否也有类似的性质？回答是肯定的，即有如下的两个定理，具体
为：
定理二：
定理三：
对于以上定理的证明，这里不再赘述．
实战演练
1．已知点 F（1，0），直线 l： 1x ，P 为平面上的动点，过 P 作 l 的垂线，垂足为
点 Q，且 · ·QP QF FP FQ
＝ .
（1）求动点 P 的轨迹 C 的方程；
（2）过点 F 的直线交轨迹 C 于 A、B 两点，交直线 l 于点 M．设 1MA AF ，
2MB BF ，求 1 2 的值．
2． 如图 8-3-16，在平面直角坐标系 xOy 中，过 y 轴正方向上一点 (0, )C c
任作一直线，与抛物线 2y x 相交于 A ， B 两点，一条垂直于 x 轴的直线，分
别与线段 AB 和直线l ： y c 交于 P ，Q ．
(1)若 2OA OB ，求 c 的值；
(2)若 P 为线段 AB 的中点，求证：QA 为此抛物线的切线；
(3)试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．
3．已知 BA、 是抛物线 xy 42 上的相异两点．
(1)设过点 A 且斜率为1 的直线 1l ，与过点 B 且斜率为 1 的直线 2l 相交于点 P(4，4)，
求直线 AB 的斜率；
(2)问题(1)的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线，过该圆锥曲线上的相异
两点 A、B 所作的两条直线 21 ll 、 相交于圆锥曲线上一点；结论是关于直线 AB 的斜率的
值．请你对问题(1)作适当推广，并给予解答；
(3)若线段 AB（不平行于 y 轴）的垂直平分线与 x 轴相交于点 )0( 0，xQ ．设 50 x ，
试用线段 AB 中点的纵坐标表示线段 AB 的长度，并求出中点的纵坐标的取值范围．
参考答案：
1．（1） 2 4y x .
(2)0 . 提示：
方法一：基本方法---------解析法
图 8-3-16
注：在此方法中，须关注以下几点：
第一：抛物线上的的点到焦点的距离与到准线的距离相等，由此，可以把斜线段化为
水平线段，水平线段又可用点的坐标表示；第二：韦达定理的运用；第三：选取表达式的
整体考虑：(1)在 1 ， 2 表达式的选取时，有一个计算简捷与否的考虑；(2)方程
的设法有讲究．第四：这是一个代数解法，通过数的运算解决几何问题．
方法二：将向量关系转化为比例关系
由已知 1MA AF ， 2MB BF ，结合图 8-3-17 便知 1 2 0 ，
注：第一：这个解法是一个几何解法；第二：再次体会斜的线段化为水平线段这一基
本特性；第三：重要数学思想方法------------数形结合思想方法的应用．
本题的(2)可以纵向延伸：
命题一：
命题一的逆向变式：
命题二：
本题的(2)也可以横向拓展：
命题三：
图 8-3-17
命题四：
2． (1) 2c 提示：
方法一：
注：关键在于揭示隐含条件：“ 1 2k x x ”
方法二：
注：关键在于揭示隐含条件：“ 1 2c x x ”
方法三：
方法四：
注：本小题也可从特殊情形或极端情形入手获解．
(2) 方法一：
方法二：
方法三：
注：以上三种常规解法（通法）的关键是证明“过 A 点(Q 点)且以切线斜率 12x 为斜
率的直线必通过Q 点( A 点)”．
方法四：
方法五：
注：注：以上两种常规解法（通法）的关键是证明 AQ Ak k ．
方法六：
方法七：
注：方法六与七的关键是证明“ 0 ”．
方法八：
注：方法八的关键是证明“过Q 点与抛物线相切的左切线的切点是 A 点”．
方法九：
注：方法九的关键在于揭示了隐含条件“ A ， B 两点是对称的”，从而减少了计算量．
(3) 逆命题成立．
方法一：
方法二：
注：审题时要深挖题中“隐含条件”，否则，解题不畅、不全、不准，像本题中的 1 0x
就较易忽视（因 1 0x 时，直线与轴将会重合，与题设不符）．
方法三：
对(1)作进一步的探究，便可得以下关于抛物线弦的性质：
性质 1：
对(2)作进一步的探究，便可得以下关于抛物线切线的性质：
性质 2：
性质 3：
性质 4：
对于抛物线相关性质，同样可以类比拓展到椭圆及双曲线，读者可仿上作探究，
限于篇幅，不再赘述．
3．(1)
2
1 .
(2)推广可分三层.
一层：点 P 到一般或斜率到一般，或抛物线到一般
例：1．已知 BA、 是抛物线 xy 42 上的相异两点．设过点 A 且斜率为1 的直线 1l ，
与过点 B 且斜率为 1 的直线 2l 相交于抛物线 xy 42 上的一定点 P ),4(
2
tt ，求直线 AB 的
斜率；
2．已知 BA、 是抛物线 xy 42 上的相异两点．设过点 A 且斜率为k 的直线 1l ，与
过点 B 且斜率为 k 的直线 2l 相交于抛物线 xy 42 上的一点 P（4，4），求直线 AB 的斜率；
3．已知 BA、 是抛物线 )0(22 ppxy 上的相异两点．设过点 A 且斜率为1 的直
线 1l ，与过点 B 且斜率为 1 的直线 2l 相交于抛物线 )0(22 ppxy 上的一定点
P ),2(
2
tp
t ，求直线 AB 的斜率； AB 的斜率的值．
二层：两个一般或推广到其它曲线
例：4．已知点是抛物线 xy 42 上的定点．过点 P 作斜率分别为 k 、 k 的两条直
线 21 ll 、 ，分别交抛物线于 A、B 两点，试计算直线 AB 的斜率．
三层： （对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法．）
例：5．已知抛物线 pxy 22 上有一定点 P，过点 P 作斜率分别为 k 、 k 的两条直
线 21 ll 、 ，分别交抛物线于 A、B 两点，试计算直线 AB 的斜率．
略解：过点 P（ 00 , yx ），斜率互为相反数的直线可设为 00 )( yxxky ，
00 )( yxxky ，其中 0
2
0 2pxy ．由
pxy
yxxky
2
)(
2
00 得
022 2
00
2 kypypyky ，所以 )2,2
)2(
( 0
2
0
yk
p
p
yk
p
A
，同理，把上式中 k 换
成 k 得 )2,2
)2(
( 0
2
0
yk
p
p
yk
p
B
，所以当 P 为原点时直线 AB 的斜率不存在，当 P 不
为原点时直线 AB 的斜率为
0y
p ．
(3) 488 24 mm yyl （ 3232 my ）
典型考法 4 抛物线与圆
典型例题
若 m 是非零实数，抛物线C ： 2 2 ( 0)y px p 的焦点 F 在直线l ：
2
02
mx my
上．
（Ⅰ）若 m＝2，求抛物线 C 的方程；
（Ⅱ）设直线 l 与抛物线C 交于 A，B 两点，过 A，B 分别作抛物线C 的准线的垂直，
垂足为 A1，B1，△AA1F，△BB1F 的重心分别为 G，H.求证：对任意非零实数 m，抛物线C
的准线与 x 轴的交点在以线段 GH 为直径的圆外．
解析（Ⅰ）因为焦点 ( 0)2
pF ， 在直线 l 上，得 p=m2，又 m=2，故 p=4．所以抛物线 C
的方程为 y2＝8x．
（Ⅱ）方法一：（如图 8-3-18）
方法二：
图 8-3-18
方法三：（同方法二）
必杀技： 平面几何知识与所给图形特征相结合
本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、点与圆的位置关系等基础知识，同时
考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力．
本题的（Ⅱ）可推广为一般情形：
定理：
证明：如图 8-3-19，
实战演练
1．设 0p 是一常数，过点 (2 ,0)Q p 的直线与抛物线 2 2y px 交于相异两点 A、B，
以线段 AB 为直经作圆 H（H 为圆心）．试证抛物线顶点在圆 H 的圆周上；并求圆 H 的面
积最小时直线 AB 的方程．
2．已知抛物线C ： 2 4y x 的焦点为 F，过点 ( 1 0)K ， 的直线l 与C 相交于 A 、B 两
点，点 A 关于 x 轴的对称点为 D．
（Ⅰ）证明：点 F 在直线 BD 上；
图 8-3-19
（Ⅱ）设 8
9FA FB ，求 BDK 的内切圆 M 的方程．
3． 在平面直角坐标系 xOy 中，过定点 (0 )C p， 作直线与抛物线 2 2x py （ 0p ）
相交于 A ， B 两点．
（I）若点 N 是点C 关于坐标原点 O 的对称点，求 ANB△ 面积的最小值；
（II）是否存在垂直于 y 轴的直线 l ，使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定
值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．
参考答案：
1．圆面积最小时的直线 AB 的方程为： 2x p . 提示：方法一：只须证明OA OB ，
即证 0A B A BOA OB x x y y ．
方法二：求出 A 、B 两点所在圆的方程 2 2 22 ( 2) 2 0x y p k x pky ，原点O 的
坐标满足此方程，以下同方法一．
方法三：同方法一，
注：该题解法较多，关键在于半径的获取方式，把圆的背景融入其中，使其蒙上一层
神秘面纱，通过逆向分析可揭开面纱．由“以线段 AB 为直经作圆 H（H 为圆心）”证“抛
物线顶点在圆 H 的圆周上”，要么证 OA OB ，要么求出圆 H 方程后验证抛物线顶点满
足圆 H 的方程；“圆 H 的面积最小”即半径最小，可直接构造函数（一元或二元）研究，
也可由直径间接讨论．无论采用哪种方式，利用方程组，构造函数这一常规思路蕴含其中，
这是解决直线与圆锥曲线综合类最值问题的通法．
2．(Ⅰ)证略．提示：方法一：设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ， 1 1( , )D x y ， l 的方程为
1( 0)x my m ． 将 1x my 代 入 2 4y x 并 整 理 得 2 4 4 0y my ， 从 而
1 2 1 24 , 4y y m y y ，直线 BD 的方程为
2
2
2
2 1
4 ( )4
yy y xy y
，令 0y ，得
1 2 14
y yx ，所以，点 F(1，0)在直线 BD 上．
方法二：
注：
方法三：
注：
（ Ⅱ ） 2 21 4( )9 9x y . 提 示 ： 方 法 一 ： 由 （ Ⅰ ） 知 ，
2
1 2 1 2( 1) ( 1) 4 2x x my my m ， 1 2 1 2( 1)( 1) 1x x my my ． 因 为
1 1( 1 )FA x y ，uur
， 2 2( 1, )FB x y
uur
，
1 2 1 2( 1)( 1)FA FB x x y y
uur uur
1 2 1 2( ) 1 4x x x x 28 4m ，
故 2 88 4 9m ，解得 4
3m ，所以l 的方程为3 4 3 0,3 4 3 0x y x y ，
又由（Ⅰ）知 2
2 1
4(4 ) 4 4 73y y m ，故直线 BD 的斜率
2 1
4 3
7y y
，
因而直线 BD 的方程为 3 7 3 0x y ， 3 7 3 0x y ，因为 KF 为 BKD 的平分
线，故可设圆心 ( ,0)( 1 1)M t t ， ( ,0)M t 到l 及 BD 的距离分别为 3 1 3 1,5 4
t t ．由
3 1 3 1
5 4
t t 得 1
9t ，或 9t （舍去），故 圆 M 的半径 3 1 2
5 3
tr
．所以圆 M
的方程为 2 21 4( )9 9x y ．
方法二：
3．（Ⅰ） 22 2 p . 提示：方法一：
依题意，点 N 的坐标为 (0 )N p， ，可设 1 1 2 2( ) ( )A x y B x y， ， ， ，直线 AB 的方程为
y kx p ，与 2 2x py 联立得
2 2x py
y kx p
，
．
消去 y 得 2 22 2 0x pkx p ．由韦达定
理得 1 2 2x x pk ， 2
1 2 2x x p ．于是
1 2
1 22ABN BCN ACNS S S p x x △ △ △ · ． 2
1 2 1 2 1 2( ) 4p x x p x x x x
2 2 2 2 24 8 2 2p p k p p k ，
∴当 0k 时， 2
min( ) 2 2ABNS p△ ．
方法二：前同方法一，再由弦长公式得
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 21 1 ( ) 4 1 4 8AB k x x k x x x x k p k p · ·
2 22 1 2p k k · ，
又由点到直线的距离公式得
2
2
1
pd
k
．从而
2 2 2 2
2
1 1 22 1 2 2 22 2 1ABN
pS d AB p k k p k
k
△ ·· · · · ，
∴当 0k 时， 2
min( ) 2 2ABNS p△ ．
（Ⅱ）存在，且该直线可为抛物线的通径所在的直线.提示：
方法一：假设满足条件的直线l 存在，其方程为 y a ，AC 的中点为O ，l 与 AC 为
直径的圆相交于点 P ，Q PQ， 的中点为 H ，则O H PQ ，Q 点的坐标为 1 1
2 2
x y p
， ．
2 2
1
1 1
2 2O P AC y p ∵ ， 1
1
1 22 2
y pO H a a y p ，
2 2 2PH O P O H ∴ 1 ( )2
pa y a p a
，
2 2(2 )PQ PH∴ 14 ( )2
pa y a p a
．
令 02
pa ，得
2
pa ，此时 PQ p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为
2
py ，即抛物线的通径所在的直线．
方法二：假设满足条件的直线l 存在，其方程为 y a ，则以 AC 为直径的圆的方程为
1 1( 0)( ) ( )( ) 0x x x y p y y ，将 y a 代入得 2
1 1( )( ) 0x x x a p a y ，则
2
1 1 14( )( ) 4 ( )2
px a p a y a y a p a
△ ．设直线 l 与以 AC 为直径的圆的
交点为 3 3 4 4( ) ( )P x y Q x y， ， ， ，则有 3 4 12 ( )2
pPQ x x a y a p a
．
令 02
pa ，得
2
pa ，此时 PQ p 为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为
2
py ，即抛物线的通径所在的直线．
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