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  • 2021-05-13 发布

2015年高考全国2卷文科数学试题(含解析)

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绝密★启用前 ‎2015年高考全国2卷文科数学试题(含解析)‎ 注意事项:‎ ‎1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷(选择题)‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题(题型注释)‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若为实数,且,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )‎ A.逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著 ‎ B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效 ‎ C.2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势 ‎ D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 ‎4.已知,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.设是等差数列的前项和,若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )‎ ‎ ‎ ‎7.已知三点,则△外接圆的圆心到原点的距离为( )‎ ‎ ‎ ‎8.下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的分别为14,18,则输出的为( )‎ ‎ ‎ ‎9.已知等比数列满足,,则( )‎ ‎ ‎ ‎10.已知是球的球面上两点,,为该球面上的动点.若三棱锥 体积的最大值为36,则球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.如图,长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记 ,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数 ,则的图像大致为( )‎ ‎12.设函数,则使得成立的的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ 第II卷(非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题(题型注释)‎ ‎13.已知函数的图像过点(-1,4),则a= .‎ ‎14.若x,y满足约束条件 ,则z=2x+y的最大值为 .‎ ‎15.已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为 .‎ ‎16.已知曲线在点 处的切线与曲线 相切,则a= .‎ 评卷人 得分 三、解答题(题型注释)‎ ‎17.(本小题满分12分)△ABC中D是BC上的点,AD平分BAC,BD=2DC.‎ ‎(Ⅰ)求 ;‎ ‎(Ⅱ)若,求.‎ ‎18.(本小题满分12分)某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.‎ A地区用户满意度评分的频率分布直方图 B地区用户满意度评分的频率分布表 满意度评分分组 频数 ‎2‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎(Ⅰ)在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度.(不要求计算出具体值,给出结论即可)‎ B地区用户满意度评分的频率分布直方图 ‎(Ⅱ)根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级:‎ 满意度评分 低于70分 ‎70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.‎ ‎19.(本小题满分12分)如图,长方体中AB=16,BC=10,,点E,F分别在 上,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.‎ ‎(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法与理由);‎ ‎(Ⅱ)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.‎ ‎20.(本小题满分12分)已知椭圆 的离心率为,点在C上.‎ ‎(Ⅰ)求C的方程;‎ ‎(Ⅱ)直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明:直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.‎ ‎21.(本小题满分12分)已知.‎ ‎(Ⅰ)讨论的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当有最大值,且最大值大于时,求a的取值范围.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲 如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.‎ ‎(Ⅰ)证明;‎ ‎(Ⅱ)若AG等于圆O半径,且 ,求四边形EBCF的面积.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线 (t为参数,且 ),其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 ‎ ‎(Ⅰ)求与交点的直角坐标;‎ ‎(Ⅱ)若与 相交于点A,与相交于点B,求最大值.‎ ‎24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式证明选讲 设 均为正数,且.证明:‎ ‎(Ⅰ)若 ,则;‎ ‎(Ⅱ)是的充要条件.‎ 参考答案 ‎1.A ‎【解析】‎ 因为,,所以故选A.‎ 考点:本题主要考查不等式基础知识及集合的交集运算.‎ ‎2.D ‎【解析】由题意可得 ,故选D.‎ 考点:本题主要考查复数的乘除运算,及复数相等的概念.‎ ‎3. D ‎【解析】由柱形图可知2006年以来,我国二氧化碳排放量基本成递减趋势,所以二氧化碳排放量与年份负相关,故选D.‎ 考点:本题主要考查统计知识及对学生柱形图的理解 ‎4.C ‎【解析】‎ 试题分析:由题意可得 , 所以.故选C.‎ 考点:本题主要考查向量数量积的坐标运算.‎ ‎5.A ‎【解析】‎ 试题解析:由,所有.故选A.‎ 考点:本题主要考查等差数列的性质及前n项和公式的应用.‎ ‎6.D ‎【解析】‎ 试题分析:如图所示,截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ,故选D.‎ 考点:本题主要考查三视图及几何体体积的计算.‎ ‎7.B ‎【解析】‎ 试题分析:△外接圆圆心在直线BC垂直平分线上即直线上,设圆心D,由DA=DB得 ,所以圆心到原点的距离. 故选B.‎ 考点:本题主要考查圆的方程的求法,及点到直线距离公式.‎ ‎8.B ‎【解析】‎ 试题分析:由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2,故选B.‎ 考点:本题主要考查程序框图及更相减损术.‎ ‎9.C ‎【解析】‎ 试题分析:由题意可得,所以 ,故 ,选C.‎ 考点:本题主要考查等比数列性质及基本运算.‎ ‎10.C ‎【解析】‎ 试题分析:设球的半径为R,则△AOB面积为,三棱锥 体积最大时,C到平面AOB距离最大且为R,此时 ,所以球O的表面积.故选C.‎ 考点:本题主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力.‎ ‎11.B ‎【解析】‎ 试题分析:由题意可得,由此可排除C,D;当时点在边上,,,所以 ,可知时图像不是线段,可排除A,故选B.‎ 考点:本题主要考查函数的识图问题及分析问题解决问题的能力.‎ ‎12.A ‎【解析】‎ 试题分析:由可知是偶函数,且在是增函数,所以 .故选A.‎ 考点:本题主要考查函数的奇偶性、单调性及不等式的解法.‎ ‎13.-2‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由可得 .‎ 考点:本题主要考查利用函数解析式求值.‎ ‎14.8‎ ‎【解析】‎ 试题分析:不等式组表示的可行域是以为顶点的三角形区域,的最大值必在顶点处取得,经验算,时.‎ 考点:本题主要考查线性规划知识及计算能力.‎ ‎15.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:根据双曲线渐近线方程为,可设双曲线的方程为 ,把代入得.所以双曲线的方程为.‎ 考点:本题主要考查双曲线几何性质及计算能力.‎ ‎16.8‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由可得曲线在点处的切线斜率为2,故切线方程为,与 联立得,显然,所以由 .‎ 考点:本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题.‎ ‎17.(Ⅰ);(Ⅱ). ‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)利用正弦定理转化得:(Ⅱ)由诱导公式可得 由(Ⅰ)知,‎ 所以 ‎ 试题解析:(Ⅰ)由正弦定理得 因为AD平分BAC,BD=2DC,所以.‎ ‎(Ⅱ)因为 ‎ 所以 由(I)知,‎ 所以 ‎ 考点:本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力.‎ ‎18.(Ⅰ)见试题解析(Ⅱ)A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.(II)由直方图得 的估计值为, 的估计值为,所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.‎ 试题解析:(Ⅰ)‎ 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值,B地区用户满意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散.‎ ‎(Ⅱ)A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.‎ 记 表示事件“A地区的用户的满意度等级为不满意”;表示事件“B地区的用户的满意度等级为不满意”.‎ 由直方图得 的估计值为,‎ ‎ 的估计值为,‎ 所以A地区的用户的满意度等级为不满意的概率大.‎ 考点:本题主要考查频率分布直方图及概率估计.‎ ‎19.(Ⅰ)见试题解析(Ⅱ) 或 ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)分别在上取H,G,使;长方体被平面 分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为 或 试题解析:‎ 解:(Ⅰ)交线围成的正方形如图:‎ ‎(Ⅱ)作 垂足为M,则,,,因为是正方形,所以,于是 ‎ 因为长方体被平面 分成两个高为10的直棱柱,所以其体积比值为 (也正确).‎ 考点:本题主要考查几何体中的截面问题及几何体的体积的计算.‎ ‎20.(Ⅰ)(Ⅱ)见试题解析 ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)由 求得,由此可得C的方程.(II)把直线方程与椭圆方程联立得,所以于是.‎ 试题解析:‎ 解:(Ⅰ)由题意有 解得,所以椭圆C的方程为.‎ ‎(Ⅱ)设直线,,把代入 得 故 于是直线OM的斜率 即,所以直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.‎ 考点:本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.‎ ‎21.(Ⅰ),在是单调递增;,在单调递增,在 单调递减;(Ⅱ).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)由,可分,两种情况来讨论;(II)由(I)知当时在无最大值,当时最大值为因此.令,则在是增函数,当时,,当时,因此a的取值范围是.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)的定义域为,,若,则,在是单调递增;若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是.‎ 考点:本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.‎ ‎22.(Ⅰ)见试题解析;(Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)要证明, 可证明;(Ⅱ)‎ 先求出有关线段的长度,然后把四边形EBCF的面积转化为△ABC和△AEF面积之差来求.‎ 试题解析:‎ ‎(Ⅰ)由于△ABC是等腰三角形, 所以AD是的平分线,又因为圆O与AB,AC分别相切于E,F,所以,故,所以.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,故AD是EF的垂直平分线,又EF为圆O的弦,所以O在AD上,连接OE,OF,则,由AG等于圆O的半径得AO=2OE,所以,因此,△ABC和△AEF都是等边三角形,,因为,所以 因为 所以OD=1,于是AD=5, 所以四边形DBCF的面积为 ‎ 考点:本题主要考查几何证明、四边形面积的计算及逻辑推理能力.‎ ‎23.(Ⅰ);(Ⅱ)4.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)把与的方程化为直角坐标方程分别为,,联立解方程组可得交点坐标;(Ⅱ)先确定曲线极坐标方程为进一步求出点A的极坐标为,点B的极坐标为,,由此可得.‎ 试题解析:‎ 解:(Ⅰ)曲线的直角坐标方程为,曲线的直角坐标方程为,联立两方程解得 或,所以与交点的直角坐标.‎ ‎(Ⅱ)曲线极坐标方程为其中 ,因此点A的极坐标为 ‎,点B的极坐标为,‎ 所以,当时取得最大值,最大值为4.‎ 考点:本题主要考查参数方程、直角坐标及极坐标方程的互化.圆的方程及三角函数的最值.‎ ‎24.‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(Ⅰ)由及,可证明,开方即得.(Ⅱ)本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性与充分性来证明.‎ 试题解析:‎ 解:(Ⅰ)因为 ‎ 由题设,,得,因此.‎ ‎(Ⅱ)(ⅰ)若,则,即 因为,所以,由(Ⅰ)得.‎ ‎(ⅱ)若,则,即因为,所以,‎ 于是因此,综上是的充要条件.‎ 考点:本题主要考查不等式证明及充分条件与必要条件.‎