圆锥曲线之椭圆题库2 含详解 高考必备 30页

51 如图，设 F 是椭圆 的左焦点，直线 l 为其左准线，直线 l 与 x 轴交于点 P，线段 MN 为椭圆的长轴，已知 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）若过点 P 的直线与椭圆相交于不同两点 A、B 求证：∠AFM=∠BFN； （3）（理科）求三角形 ABF 面积的最大值。 解（1） （2）当 AB 的斜率为 0 时，显然 满足题意 当 AB 的斜率不为 0 时，设 ，AB 方程为 代入椭圆方程 整理得 则 综上可知：恒有 （3）（理科） )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC .||2||,8|| MFPMMN == 且 48|| =∴= aMN 122 )(12 10132)(2||2|| 222 2 2 =−==∴ ==⇒=+−−=−= cabc eceecaac aMFPM 舍去或即得又 11216 22 =+∴ yx椭圆的标准方程为 .0=∠=∠ BFNAFM ),(),,( 2211 yxByxA ,8−= myx 014448)43( 22 =+−+ myym 43 144 43 48),43(1444)48( 221221 22 +=⋅+=++×−=∆ myym myymm 6622 2 2 1 1 2 2 1 1 −+−=+++=+∴ my y my y x y x ykk BFAF 0)6)(6( )(62 21 2121 =−− +−= mymy yyymy .,0 BFNAFMkk BFAF ∠=∠=+∴ 从而 BFNAFM ∠=∠ 43 472||||2 1 2 2 12 + −=−⋅=−= ∆∆∆ m myyPFSSS PAFPBFABF 当且仅当 （此时适合△＞0 的条件）取得等号. 三角形 ABF 面积的最大值是 3 3 52 设椭圆方程为 =1，求点 M（0，1）的直线 l 交椭圆于点 A、B，O 为坐标原点， 点 P 满足 ，当 l 绕点 M 旋转时，求动点 P 的轨迹方程. 解：设 P（x，y）是所求轨迹上的任一点，①当斜率存在时，直线 l 的方程为 y=kx+1，A （x1，y1），B（x2，y2），联立并消元得：（4+k2）x2+2kx－3=0， x1+x2=－ y1+y2= ， 由 得 ： （ x ， y ） = （ x1+x2 ， y1+y2 ） ， 即 ： 消去 k 得：4x2+y2－y=0 当斜率不存在时，AB 的中点为坐标原点，也适合方程 所以动点 P 的轨迹方程为：4x2+y2－y= 0． 53 已知椭圆 C: =1( )的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 . (1)求椭圆 的方程； (2)设直线 与椭圆 交于 、 两点，坐标原点 到直线 的距离为 ， 求△ 面积的最大值. 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，依题意 ∴ ，∴ 所求椭圆方程为 ． 33 1632 72 4 1643 72 16)4(3 472 2 2 2 2 = ⋅ ≤ − +− =+− −= m mm m 3 28 4 1643 2 2 2 = − =− m m m 即 ∴ 4 2 2 yx + →→→ += )(2 1 OBOAOP ,4 2 2k k + 24 8 k+ )(2 1 →→→ += OBOAOP 2 1       +=+= +−=+= 2 21 2 21 4 4 2 42 k yyy k kxxx 2 2 2 2 b y a x + 0a b> > 3 6 3 C l C A B O l 2 3 AOB c 6 3 3 c a a  =  = ， ， 1b = 2 2 13 x y+ = （Ⅱ）设 ， ． （1）当 轴时， ． （2）当 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ． 由已知 ，得 ． 把 代入椭圆方程，整理得 ， ， ． ． 当且仅当 ，即 时等号成立．当 时， ， 综上所述 ． 当 最大时， 面积取最大值 ． 54 已知向量 ，经过定点 且方向向量为 的直线 与经过定点 且方向向量为 的直线交于点 M，其中 R，常数 a>0. （1）求点 M 的轨迹方程； （2）若 ，过点 的直线与点 M 的轨迹交于 C、D 两点，求 的 取值范围. 设点 ， 又 ∥ ， ∥ 1 1( )A x y， 2 2( )B x y， AB x⊥ 3AB = AB x AB y kx m= + 2 3 21 m k = + 2 23 ( 1)4m k= + y kx m= + 2 2 2(3 1) 6 3 3 0k x kmx m+ + + − = 1 2 2 6 3 1 kmx x k −∴ + = + 2 1 2 2 3( 1) 3 1 mx x k −= + 2 2 2 2 1(1 )( )AB k x x∴ = + − 2 2 2 2 2 2 2 36 12( 1)(1 ) (3 1) 3 1 k m mk k k  −= + − + +  2 2 2 2 2 2 2 2 2 12( 1)(3 1 ) 3( 1)(9 1) (3 1) (3 1) k k m k k k k + + − + += =+ + 2 4 2 2 2 12 12 123 3 ( 0) 3 419 6 1 2 3 69 6 k kk k k k = + = + ≠ ≤ + =+ + × ++ + 2 2 19k k = 3 3k = ± 0k = 3AB = max 2AB = AB AOB△ max 1 3 3 2 2 2S AB= × × = )1,0(,)0,( 21 eae == )0,( aA − 21 ee λ+− )0,( aB 212 ee +λ ∈λ 2 6=a )0,1( F FDFC • ),(,),(,),( yaxBMyaxAMyxM −=+=则 AM ),()( 21 λλ ee a−=+− BM )1,2()2( 21 ee aλλ =+ ∴ 故 ，消去参数 ，整理得点Ｍ的轨迹方程为 （除去点 ） （2）由 得点 M 轨迹方程为 （除去点 ）， 若 设 直 线 CD 的 方 程 为 ， ， ，则由 消去 y 得 ， 显然 ，于是 ， 设 ， 因此 ， 即 若直线 轴，则 ，于是 ， 综上可知 55 如图，已知直线 的右焦点 F，且交椭圆 C 于 A，B 两点，点 A，F，B 在直线 上的射影依次为点 D，K，E. （1）若抛物线 的焦点为椭圆 C 的上顶点，求椭圆 C 的方程； （2）对于（1）中的椭圆 C，若直线 L 交 y 轴于点 M，且 ， 当 m 变化时，求 的值； （3）连接 AE，BD，试探索当 m 变化时，直线 AE、BD 是否相交于一定点 N？若交于定 点 N，请求出 N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由. 解：（1）易知    −= −=+ axay ayax λ λ 2 )( λ 2222 2 ayax =+ )0,(,)0,( aBaA − 2 6=a 1 2 1 )2 6( 2 2 2 =+ yx )0,2 6(,)0,2 6( BA − )1( −= xky k ,0( ≠ )点过否则 ACD yxC ),( 11 yxD ),( 22    =+ −= 362 )1( 22 yx xky 0)12(312)13(2 2222 =−+−+ kkxk 0)1(24 2 >+=∆ k )13(2 )12(3,13 6 2 2 212 2 21 + −=+=+ k kxxk kxx ),1(,),1(, 2211 yxFDyxFCmFDFC −=−==• )1)(1()1)(1()1)(1( 21 2 212121 −−+−−=+−−=•= xxkxxyyxxFDFCm ]1 13 6 )13(2 )12(3)[1(]1)()[1( 2 2 2 2 2 2121 2 + + − + −+=++−+= k k k kkxxxxk ,6 1 2 1)016(016 12 )13(2 1 2 2 2 mmm mk k km −<<−⇒≠+>+ +=⇒ + +−= xCD ⊥ 6 1,1 2121 −=== yyxx 6 1−=m     −−∈=• 6 1,2 1 mFDFC )0(1:1: 2 2 2 2 >>=++= bab y a xCmyxL 过椭圆 2: axG = yx 342 = BFMBAFMA 21 , λλ == 21 λλ + )0,1(,33 2 Fbb 又=∴= 41 222 =+==∴ cbac （2） 设 又由 同理 … （3） 先探索，当 m=0 时，直线 L⊥ox 轴，则 ABED 为矩形，由对称性知，AE 与 BD 相交 FK 中点 N，且 猜想：当 m 变化时，AE 与 BD 相交于定点 … 证明：设 当 m 变化时首先 AE 过定点 N 134 22 =+∴ yxC的方程为椭圆 )1,0( mMyl −轴交于与    =−+ += 01243 1),(),,( 222211 yx myxyxByxA 由 0)1(144096)43( 222 >+=∆=−++∴ mmyym (*)3 211 21 m yy =+∴ ),1()1,( 111111 yxmyxAFMA −−=+∴= λλ 1 1 11 my −−=∴λ 2 2 11 my −−=λ 3 8 3 22)11(12 21 21 −=−−=+−−=+∴ yym λλ 3 8 21 −=+∴ λλ )0,(),0,1( 2akF = )0,2 1( 2 +aN )0,2 1( 2 +aN ),(),,(),,(),,( 1 2 2 2 2211 yaDyaEyxByxA A、N、E 三点共线 同理可得 B、N、D 三点共线 ∴AE 与 BD 相交于定点 56 已知椭圆 C 过点 是椭圆的左焦点，P、Q 是椭圆 C 上的两个动点， 且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。 （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）求证：线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A； （3）设点 A 关于原点 O 的对称点是 B，求|PB|的最小值及相应点 P 的坐标。 解：（1）设椭圆 的方程为 ，由已知，得 ，解得 所以椭圆的标准方程为 …………3 分 （2）证明：设 。由椭圆的标准方程为 ，可知 2 1, 2 1 )1(0)1(4 0)1(2)( 0 1 2 2 1 2 1 22222 2222222 222222 a yK mya yK abmaba abymbymba bayaxb myx ENAN − −= −− −= >>−+=∆ =−+++    =−+ += 又 即   )2 1(2 1 )(2 1 1 22 2121 2 myaa ymyyya KK ENAN −−− −+− =−而 )0)()1( )1()2(2 1)(2 1( 222 222 222 22 222 22 2121 2 =+ −⋅−= + −⋅−+−⋅−=−+− bma mbmba bma abmbma mbaymyyya  ∴=∴ ENAN KK )0,2 1( 2 +aN )0,2(),2 6,1( −FM C 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2 2 6 1 4 1 2 a b a b   + =  − = 2 2 4 2 a b  = = 2 2 14 2 x y+ = 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y 2 2 14 2 x y+ = 同理 ∵ ，∴ ∴ ①当 时，由 ，得 从而有 设线段 的中点为 ，由 得线段 的中垂线方程为 ∴ ，该直线恒过一定点 ②当 时， 或 线段 的中垂线是 轴，也过点 ， ∴线段 的中垂线过点 （3）由 ，得 。 又 ，∴ ∴ 时，点 的坐标为 57 在直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率 e＝ ，左右两 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2| | ( 2) ( 2) 2 22 2 xPF x y x x= + + = + + − = + 2 2 2| | 2 ,| | 22 2OF x MF= + = + 2 | | | | | |MF PF QF= + 1 2 2 22(2 ) 4 ( )2 2 x x+ = + + 1 2 2x x+ = 1 2x x≠ 2 2 1 1 2 2 2 2 2 4 2 4 x y x y  + = + = 2 2 2 2 1 2 1 22( ) 0x x y y− + − = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 y y x x x x y y − += − ⋅− + PQ (1, )N n 1 2 1 2 1 2PQ y yk x x n −= = −− PQ 2 ( 1)y n n x− = − (2 1) 0x n y− − = 1( ,0)2A 1 2x x= 6 6(1, ), (1, )2 2P Q− 6 6(1, ), (1, )2 2P Q − PQ x 1( ,0)2A PQ 1( ,0)2A 1( ,0)2A 1( ,0)2B − 1 22 2, 2 2x x− ≤ ≤ − ≤ ≤ 1 22 [0,2]x x= − ∈ 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 7 9| | ( ) ( ) 2 ( 1)2 2 2 2 4 4 xPB x y x x= + + = + + − = + + ≥ min 3| | 2PB = P xOy )0(1: 2 2 2 2 >>=+ ba b y a xC 3 2 个焦分别为 ．过右焦点 且与 轴垂直的直线与椭圆 相交 M、N 两点，且|MN|=1 ． (Ⅰ) 求椭圆 的方程； (Ⅱ) 设椭圆 的左顶点为 A,下顶点为 B，动点 P 满足 ，（ ）试 求点 P 的轨迹方程，使点 B 关于该轨迹的对称点落在椭圆 上. 解：(Ⅰ)∵ 轴，∴ ,由椭圆的定义得： （2 分） ∵ ， ∴ ， （4 分） 又 得 ∴ ∴ ， ∴所求椭圆 C 的方程为 ． (Ⅱ)由（Ⅰ）知点 A(－2,0)，点 B 为（0，－1），设点 P 的坐标为 则 ， , 由 －4 得－ ， ∴点 P 的轨迹方程为 . 设点 B 关于 P 的轨迹的对称点为 ，则由轴对称的性质可得： ，解得： ， ∵点 在椭圆上，∴ ， 整理得 解得 或 ∴点 P 的轨迹方程为 或 ， 经检验 和 都符合题设， ∴满足条件的点 P 的轨迹方程为 或 ． 21 FF 、 2F x C C C 4PA AB m⋅ = −  m R∈ C 2MF x⊥ 2 1| | 2MF = 1 1| | 22MF a+ = 2 2 1 1| | (2 ) 4MF c= + 2 21 1(2 ) 42 4a c− = + 3 2e = 2 23 4c a= 2 24 2 3 ,a a a− = 0a > 2a∴ = 2 2 2 21 14b a c a= − = = 2 2 14 x y+ = ( , )x y ( 2 , )PA x y= − − − (2, 1)AB = − PA AB m⋅ =  4 2 4x y m− + = − 2y x m= + 0 0'( , )B x y 0 0 0 0 1 11 , 22 2 2 y y x mx + −= − = ⋅ + 0 0 4 4 2 3,5 5 m mx y − − −= = 0 0'( , )B x y 2 24 4 2 3( ) 4( ) 45 5 m m− − −+ = 22 3 0m m− − = 1m = − 3 2m = 2 1y x= − 32 2y x= + 2 1y x= − 32 2y x= + 2 1y x= − 32 2y x= + 58 椭 圆 ： 的 两 个 焦 点 为 、 ， 点 在 椭 圆 上 ， 且 ，且 ， . （1）求椭圆 的方程. （2）若直线 过圆 的圆心 ，交椭圆 于 、 两点，且 、 关于点 对称，求直线 的方程. 解：(1) 又 （2） 即 59 在直角坐标平面内，已知点 ， 是平面内一动点，直线 、 斜 率之积为 . (Ⅰ)求动点 的轨迹 的方程； (Ⅱ)过点 作直线 与轨迹 交于 两点，线段 的中点为 ,求直线 的斜率 的取值范围. C 12 2 2 2 =+ b y a x ( )0>> ba 1F 2F P C 211 FFPF ⊥ 3 4 1 =PF 3 14 2 =PF C l 02422 =−++ yxyx M C A B A B M l 202 21 =FF 525221 =⇒==∴ ccFF 362 21 =⇒=+= aPFPFa 149: 22 =+∴ yxC椭圆 ( ) ( ) ( ) 0273636183694 149 12 22222 =−+++++⇒    =+ ++= kkkkxkyx xky 对称关于、 MBA 9 8294 918 2 2 2 21 =⇒−=+ +−=+∴ kk kkxx ( ) 129 8: ++=∴ xyl 02598 =+− yx (2,0), ( 2,0)A B − P PA PB 3 4 − P C 1( ,0)2 l C E F、 EF M MA k 解: (Ⅰ)设 点的坐标为 ，依题意，有 . 化简并整理，得 . ∴动点 的轨迹 的方程是 . (Ⅱ)解法一：依题意，直线 过点 且斜率不为零，故可设其方程为 , 由方程组 消去 ，并整理得 设 , ,则 ， ∴ ∴ , , (1)当 时， ； (2)当 时, P ( , )x y 3 ( 2)2 2 4 y y xx x ⋅ = − ≠ ±− + 2 2 1( 2)4 3 x y x+ = ≠ ± P C 2 2 1( 2)4 3 x y x+ = ≠ ± l 1( ,0)2 1 2x my= + 2 2 1 2 14 3 x my x y  = +  + = x 2 24(3 4) 12 45 0m y my+ + − = ),(),,( 2211 yxFyxE ),( 00 yxM 1 2 2 3 3 4 my y m ∴ + = − + 1 2 0 2 3 2 2(3 4) y y my m += = − + 0 0 2 1 2 2 3 4x my m = + = + 0 2 0 2 4 4 y mk x m ∴ = =− + 0=m 0k = 0≠m 1 44 k m m = + . . 且 . 综合(1)、(2)可知直线 的斜率 的取值范围是： . 60 在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C1： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F 1， F2．F2 也是抛物线 C2： 的焦点，点 M 为 C1 与 C2 在第一象限的交点，且｜MF2｜= ． （Ⅰ）求 C1 的方程； （Ⅱ）平面上的点 N 满足 ，直线 l∥MN，且与 C1 交于 A，B 两点，若 ，求直线 l 的方程． 解：（Ⅰ）由 ： 知 ． 设 ， 在 上，因为 ，所以 ，得 ， ． 在 上，且椭圆 的半焦距 ，于是 消去 并整理得 ， 解得 （ 不合题意，舍去）． 故椭圆 的方程为 ． （Ⅱ）由 知四边形 是平行四边形，其中心为坐标原点 ， 因为 ，所以 与 的斜率相同， 4 4| 4 | 4 | | 8| |m mm m + = + ≥ 1 10 4 84m m ∴ < ≤ + 10 | | 8k∴ < ≤ 1 1 8 8k∴− ≤ ≤ 0k ≠ MA k 1 1 8 8k− ≤ ≤ 2 2 2 2 b y a x + 2 4y x= 3 5 21 MFMFMN += 0OA OB =   2C 2 4y x= 2 (1 0)F ， 1 1( )M x y， M 2C 2 5 3MF = 1 51 3x + = 1 2 3x = 1 2 6 3y = M 1C 1C 1c = 2 2 2 2 4 8 19 3 1. a b b a  + =  = − ， 2b 4 29 37 4 0a a− + = 2a = 1 3a = 1C 2 2 14 3 x y+ = 1 2MF MF MN+ =   1 2MF NF O l MN∥ l OM 故 的斜率 ．设 的方程为 ． 由 消去 并化简得 ． 设 ， ， ， ． 因为 ，所以 ． ． 所以 ．此时 ， 故所求直线 的方程为 ，或 ． 61 椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点在 y 轴上，离心率 e = 2 2 ，椭圆上的点到焦点的最短 距离为 1－ 2 2 , 直线 l 与 y 轴交于点 P（0，m），与椭圆 C 交于相异两点 A、B，且 ． （1）求椭圆方程； （2）若 ，求 m 的取值范围． 解：（1）设 C： y2 a2＋ x2 b2＝1（a>b>0），设 c>0，c2＝a2－b2，由条件知 a-c＝ 2 2 ， c a＝ 2 2 ， ∴a＝1，b＝c＝ 2 2 ， 故 C 的方程为：y2＋ x2 1 2 ＝1　 5′ （2）由AP→ ＝λPB→ ， ∴λ＋1＝4，λ＝3　或 O 点与 P 点重合OP→ = 0→ 7′ 当 O 点与 P 点重合OP→ = 0→ 时，m=0 当 λ＝3 时，直线 l 与 y 轴相交，则斜率存在。 l 2 6 3 62 3 k = = l 6( )y x m= − 2 23 4 12 6( ) x y y x m  + = = − ， ， y 2 29 16 8 4 0x mx m− + − = 1 1( )A x y， 2 2( )B x y， 1 2 16 9 mx x+ = 2 1 2 8 4 9 mx x −= OA OB⊥  1 2 1 2 0x x y y+ = 1 2 1 2 1 2 1 26( )( )x x y y x x x m x m+ = + − − 2 1 2 1 27 6 ( ) 6x x m x x m= − + + 2 28 4 167 6 69 9 m mm m −= − +  21 (14 28) 09 m= − = 2m = ± 2 2(16 ) 4 9(8 4) 0m m∆ = − × − > l 6 2 3y x= − 6 2 3y x= + AP ＝ PBλ  OA＋ OB ＝ 4OPλ   OA＋ OB ＝ 4OPλ   设 l 与椭圆 C 交点为 A（x1，y1），B（x2，y2） Error! 得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0 Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>0 （*） x1＋x2＝ －2km k2＋2， x1x2＝ m2－1 k2＋2　 ∵AP＝3PB→ ∴－x1＝3x2 ∴Error! 消去 x2，得 3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（ －2km k2＋2）2＋4 m2－1 k2＋2＝0 整理得 4k2m2＋2m2－k2－2＝0　 m2＝ 1 4时，上式不成立；m2≠ 1 4时，k2＝ 2－2m2 4m2－1， 因 λ＝3 ∴k≠0 ∴k2＝ 2－2m2 4m2－1>0，∴－12m2－2 成立，所以（*）成立 即所求 m 的取值范围为（－1，－1 2）∪（1 2，1）∪｛0｝ 62 如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1)， 平行于 OM 的直线 l 在 轴上的截距为 ，l 交椭圆于 A、B 两个不同点. （1）求椭圆的方程； （2）求 m 的取值范围； （3）求证直线 MA、MB 与 轴始终围成一个等腰三角形. 解：（1）设椭圆方程为 则 - ∴椭圆方程 （2）∵直线 l 平行于 OM，且在 轴上的截距为 m 又 ∴l 的方程为： -- x y ( 0)m m ≠ x )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x    = =    =+ = 2 8 114 2 2 2 22 b a ba ba 解得 128 22 =+ yx y 2 1=OMK mxy += 2 1 由 ∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点， ∴m 的取值范围是 （3）设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1，k2，只需证明 k1+k2=0 即可--9 分 设 可得 而 ∴k1+k2=0 故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 63 设椭圆 的离心率为 = ,点 是椭圆上的一点,且点 到椭 圆 两焦点的距离之和为 4. (1)求椭圆 的方程； （2）椭圆 上一动点 关于直线 的对称点为 ,求 的 取值范围. 解:(1)依题意知, 0422 128 2 1 22 22 =−++∴       =+ += mmxx yx mxy ,0)42(4)2( 22 >−−=∆∴ mm }022|{ ≠<<− mmm 且 2 1,2 1),,(),,( 2 2 2 1 1 12211 − −=− −= x ykx ykyxByxA 则 0422 22 =−++ mmxx由 42,2 2 2121 −=−=+ mxxmxx )2)(2( )2)(1()2)(1( 2 1,2 1 21 1221 2 2 1 1 21 −− −−+−−=− −+− −=+ xx xyxy x y x ykk )2)(2( )1(4)2)(2(42 )2)(2( )1(4))(2( )2)(2( )2)(12 1()2)(12 1( 21 2 21 2121 21 1221 −− −−−−+−= −− −−+++= −− −−++−−+ = xx mmmm xx mxxmxx xx xmxxmx 0)2)(2( 444242 21 22 =−− +−+−−= xx mmmm :C )0(12 2 2 2 >>=+ ba b y a x e 2 2 A A C C C P ( )00 , yx xy 2= ( )111 , yxP 11 43 yx − 2 4, 2.a a= ∴ = ∵ , ∴ . ∴所求椭圆 的方程为 . （2）∵ 点 关于直线 的对称点为 ， ∴ 解得： ， . ∴ . ∵ 点 在椭圆 : 上, ∴ , 则 . ∴ 的取值范围为 . 64 已知椭圆 的方程为 ， 、 和 为 的三 个顶点. （1）若点 满足 ，求点 的坐标； （ 2 ） 设 直 线 交 椭 圆 于 、 两 点 ， 交 直 线 于 点 . 若 ，证明： 为 的中点； （3）设点 在椭圆 内且不在 轴上，如何构作过 中点 的直线 ，使得 与椭圆 的两个交点 、 满足 ？令 ， ，点 的坐 标是（-8，-1），若椭圆 上的点 、 满足 ，求点 、 的坐标. 2 2== a ce 2,2 22 =−== cabc C 124 22 =+ yx P ( )00 , yx xy 2= ( )111 , yxP      +×=+ −=×− − .222 ,12 1010 10 10 xxyy xx yy 0 0 1 4 3 5 y xx −= 0 0 1 3 4 5 y xy += 011 543 xyx −=− P ( )00 , yx C 124 22 =+ yx 22 0 ≤≤− x 10510 0 ≤−≤− x 11 43 yx − [ ]10,10− Γ 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > (0, )A b (0, )B b− ( ,0)Q a Γ M 1 ( )2AM AQ AB= +   M 1 1:l y k x p= + Γ C D 2 2:l y k x= E 2 1 2 2 bk k a ⋅ = − E CD P Γ x PQ F l l Γ 1P 2P 1 2PP PP PQ+ =   1 2PP PP PQ+ =   10a = 5b = P Γ 1P 2P 1 2PP PP PQ+ =   1P 2P 解析：(1) ； (2) 由方程组 ，消 y 得方程 ， 因为直线 交椭圆 于 、 两点， 所以∆>0，即 ， 设 C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD 中点坐标为(x0,y0)， 则 ， 由方程组 ，消 y 得方程(k2−k1)x=p， 又因为 ，所以 ， 故 E 为 CD 的中点； (3) 因为点 P 在椭圆 Γ 内且不在 x 轴上，所以点 F 在椭圆 Γ 内，可以求得直线 OF 的斜率 k2，由 知 F 为 P1P2 的中点，根据(2)可得直线 l 的斜率 ，从而得直 线 l 的方程． ，直线 OF 的斜率 ，直线 l 的斜率 ， 解方程组 ，消 y：x2−2x−48=0，解得 P1(−6,−4)、P2(8,3)． 65 已知 m＞1，直线 ，椭圆 ， 分别为椭圆 的左、 右焦点. （Ⅰ）当直线 过右焦点 时，求直线 的方程； （Ⅱ）设直线 与椭圆 交于 两点， ， 的重心分别为 .若原 ( , )2 2 a bM − 1 2 2 2 2 1 y k x p x y a b = + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1( ) 2 ( ) 0a k b x a k px a p b+ + + − = 1 1:l y k x p= + Γ C D 2 2 2 2 1 0a k b p+ − > 2 1 2 1 0 2 2 2 1 2 0 1 0 2 2 2 1 2 x x a k px a k b b py k x p a k b  += = − +  = + = + 1 2 y k x p y k x = +  = 2 2 2 1 bk a k = − 2 1 02 2 2 2 1 1 2 2 02 2 2 1 a k ppx xk k a k b b py k x ya k b  = = − = − +  = = = + 1 2PP PP PQ+ =   2 1 2 2 bk a k = − 1(1, )2F − 2 1 2k = − 2 1 2 2 1 2 bk a k = − = 2 2 1 12 1100 25 y x x y  = −  + = 2 : 02 ml x my− − = 2 2 2: 1xC ym + = 1, 2F F C l 2F l l C ,A B 1 2AF F 1 2BF F ,G H 点 在以线段 为直径的圆内，求实数 的取值范围. （Ⅰ）解：因为直线 经过 ，所以 ,得 ， 又因为 ，所以 ， 故直线 的方程为 。 （Ⅱ）解：设 。 由 ，消去 得 则由 ，知 ， 且有 。 由于 ， 故 为 的中点， 由 ， 可知 设 是 的中点，则 ， 由题意可知 O GH m :l 2 02 mx my− − = 2 2 ( 1,0)F m − 2 2 1 2 mm − = 2 2m = 1m > 2m = l 2 22 02x y− − = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 2 2 2 2 2 1 mx my x ym  = +  + = x 2 22 1 04 my my+ + − = 2 2 28( 1) 8 04 mm m∆ = − − = − + > 2 8m < 2 1 2 1 2 1,2 8 2 m my y y y+ = − = − 1 2( ,0), ( ,0),F c F c− O 1 2F F 2 , 2AG GO BH HO= =    1 1 2 1( , ), ( , ),3 3 3 3 x y x yG h 2 2 2 1 2 1 2( ) ( ) 9 9 x x y yGH − −= + M GH 1 2 1 2( , )6 6 x x y yM + + 2 ,MO GH< 即 即 而 所以 即 又因为 且 所以 。 所以 的取值范围是 。 66 设 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，过 的直线 与椭圆 相交于 , 两点，直线 的倾斜角为 ， 到直线 的距离为 . （Ⅰ）求椭圆 的焦距； （Ⅱ）如果 ,求椭圆 的方程. 解：（Ⅰ）设焦距为 ，由已知可得 到直线 l 的距离 所以椭圆 的焦距为 4. （Ⅱ）设 直线 的方程为 联立 解得 因为 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )4[( ) ( ) ]6 6 9 9 x x y y x x y y+ + − −+ < + 1 2 1 2 0x x y y+ < 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( )( )2 2 m mx x y y my my y y+ = + + + 2 2 1( 1 ( )8 2 mm= + −） 2 1 08 2 m − < 2 4m < 1m > 0∆ > 1 2m< < m (1,2) 1F 2F 2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > 2F l C A B l 60 1F l 2 3 C 2 22AF F B=  C 2c 1F 3 2 3, 2.c c= =故 C 1 1 2 2 1 2( , ), ( , ), 0, 0,A x y B x y y y< >由题意知 l 3( 2).y x= − 2 2 2 2 42 2 2 2 3( 2), (3 ) 4 3 3 0. 1 y x a b y b y bx y a b  = − + + − = + = 得 2 2 1 22 2 2 2 3 (2 2 ) 3 (2 2 ), .3 3 b a b ay ya b a b − + − −= =+ + 2 2 1 22 , 2 .AF F B y y= − =  所以 即 得 故椭圆 的方程为 67 设椭圆 C： 的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60o, . (I) 求椭圆 C 的离心率； (II) 如果|AB|= ，求椭圆 C 的方程. 解： 设 ，由题意知 ＜0， ＞0. （Ⅰ）直线 l 的方程为 ，其中 . 联立 得 解得 因为 ，所以 . 即 得离心率 . （Ⅱ）因为 ，所以 . 由 得 .所以 ，得 a=3， . 椭圆 C 的方程为 . 2 2 2 2 2 2 3 (2 2 ) 3 (2 2 )2 .3 3 b a b a a b a b + − −= ⋅+ + 2 23. 4, 5.a a b b= − = =而 所以 C 2 2 1.9 5 x y+ = 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2AF FB=  15 4 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1y 2y 3( )y x c= − 2 2c a b= − 2 2 2 2 3( ), 1 y x c x y a b  = − + = 2 2 2 2 4(3 ) 2 3 3 0a b y b cy b+ + − = 2 2 1 22 2 2 2 3 ( 2 ) 3 ( 2 ),3 3 b c a b c ay ya b a b − + − −= =+ + 2AF FB=  1 22y y− = 2 2 2 2 2 2 3 ( 2 ) 3 ( 2 )23 3 b c a b c a a b a b + − −= •+ + 2 3 ce a = = 2 1 11 3AB y y= + − 2 2 2 2 4 3 15 3 43 ab a b • =+ 2 3 c a = 5 3b a= 5 15 4 4a = 5b = 2 2 19 5 x y+ = 68 设椭圆 ，抛物线 。 （1） 若 经过 的两个焦点，求 的离心率； （2） 设 A（0，b）， ,又 M、N 为 与 不在 y 轴上的两个交点，若△AMN 的垂心为 ，且△QMN 的重心在 上，求椭圆 和抛物线 的方程。 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。 （1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得： ，由 。 (2) 由 题 设 可 知 M 、 N 关 于 y 轴 对 称 ， 设 ,由 的垂心为 B，有 。 由点 在抛物线上， ，解得： 故 ，得 重心坐标 . 由重心在抛物线上得： ， ，又因为 M、N 在椭圆上得： ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 。 69已知椭圆 C 的左、右焦点坐标分别是 ， ，离心率是 ，直线 y=t 椭圆 C 交与不同的两点 M，N，以线段为直径作圆 P,圆心为 P。 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）若圆 P 与 x 轴相切，求圆心 P 的坐标； （Ⅲ）设 Q（x，y）是圆 P 上的动点，当 t 变化时，求 y 的最大值。 解：（Ⅰ）因为 ，且 ，所以 2 2 1 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 2 2 2 :C x by b+ = 2C 1C 1C 53 3 4Q    ， 1C 2C 3 4B b    0， 2C 1C 2C 2 2c b= 2 2 2 2 2 2 1 22 , 2 2 ca b c c ea = + = = ⇒ =有 1 1 1 1 1( , ), ( , )( 0)M x y N x y x− > AMN∆ 2 1 1 1 30 ( )( ) 04BM AN x y b y b⋅ = ⇒ − + − − =  1 1( , )N x y 2 2 1 1x by b+ = 1 1 ( )4 by y b= − =或 舍去 1 5 5 5, ( , ), ( , )2 2 4 2 4 b bx b M b N b= − − − QMN∆ ( 3, )4 b 2 23 , =24 b b b+ = 所以 1 1( 5, ), ( 5, )2 2M N− − − 2 16 3a = 2 2 16 3 14 x y+ = 2 2 4x y+ = ( 2,0)− ( 2,0) 6 3 6 3 c a = 2c = 2 23, 1a b a c= = − = 所以椭圆 C 的方程为 （Ⅱ）由题意知 由 得 所以圆 P 的半径为 解得 所以点 P 的坐标是（0， ） （Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆 P 的方程 。因为点 在圆 P 上。所以 设 ，则 当 ，即 ，且 ， 取最大值 2. 70 在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（-1,1）关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程； (Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N，问：是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的 面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由。 （I）解：因为点 B 与 A 关于原点 对称，所以点 得坐标为 . 设点 的坐标为 由题意得 化简得 . 故动点 的轨迹方程为 （II）解法一：设点 的坐标为 ，点 ， 得坐标分别为 , . 2 2 13 x y+ = (0, )( 1 1)p t t− < < 2 2 13 y t x y = + = 23(1 )x t= ± − 23(1 )t− 3 2t = ± 3 2 ± 2 2 2( ) 3(1 )x y t t+ − = − ( , )Q x y 2 2 23(1 ) 3(1 )y t t x t t= ± − − ≤ + − cos , (0, )t θ θ π= ∈ 23(1 ) cos 3sin 2sin( )6t t πθ θ θ+ − = + = + 3 πθ = 1 2t = 0x = y 1 3 − ( 1,1)− O B (1, 1)− P ( , )x y 1 1 1 1 1 3 y y x x − + = −+ − 2 23 4( 1)x y x+ = ≠ ± P 2 23 4( 1)x y x+ = ≠ ± P 0 0( , )x y M N (3, )My (3, )Ny 则直线 的方程为 ，直线 的方程为 令 得 ， . 于是 得面积 又直线 的方程为 ， ， 点 到直线 的距离 . 于是 的面积 当 时，得 又 ， 所以 = ，解得 。 因为 ，所以 故存在点 使得 与 的面积相等，此时点 的坐标为 . 70 已知椭圆 （a>b>0）的离心率 e= ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 积为 4. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B，已知点 A 的坐标为（-a，0）. （i）若 ，求直线 l 的倾斜角； （ii）若点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上，且 .求 的值. （Ⅰ）解：由 e= ，得 .再由 ，解得 a=2b. AP 0 0 11 ( 1)1 yy xx −− = ++ BP 0 0 11 ( 1)1 yy xx ++ = −− 3x = 0 0 0 4 3 1M y xy x + −= + 0 0 0 2 3 1N y xy x − += − PMN 2 0 0 0 0 2 0 | | (3 )1 | | (3 )2 | 1|PMN M N x y xS y y x x + −= − − = − AB 0x y+ = | | 2 2AB = P AB 0 0| | 2 x yd += PAB 0 0 1 | | | |2PABS AB d x y= = +   PAB PMNS S=   2 0 0 0 0 0 2 0 | | (3 )| | | 1| x y xx y x + −+ = − 0 0| | 0x y+ ≠ 2 0(3 )x− 2 0| 1|x − 0 5| 3x = 2 2 0 03 4x y+ = 0 33 9y = ± P PAB PMN P 5 33( , )3 9 ± 2 2 2 2 1x y a b + = 3 2 4 2AB 5| | = y0（0， ） QA QB=4   y0 3 2 c a = 2 23 4a c= 2 2 2c a b= − 由题意可知 ，即 ab=2. 解方程组 得 a=2，b=1. 所以椭圆的方程为 . (Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点 A 的坐标是（-2,0）.设点 B 的坐标为 ，直线 l 的斜率为 k.则直线 l 的方程为 y=k（x+2）. 于是 A、B 两点的坐标满足方程组 消去 y 并整理，得 . 由 ，得 .从而 . 所以 . 由 ，得 . 整理得 ，即 ，解得 k= . 所以直线 l 的倾斜角为 或 . （ii）解：设线段 AB 的中点为 M，由（i）得到 M 的坐标为 . 以下分两种情况： （1）当 k=0 时，点 B 的坐标是（2,0），线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，于是 由 ，得 。 （2）当 时，线段 AB 的垂直平分线方程为 。 令 ，解得 。 由 ， ， 1 2 2 42 a b× × = 2 , 2, a b ab =  = 2 2 14 x y+ = 1 1( , )x y 2 2 ( 2), 1.4 y k x x y = + + = 2 2 2 2(1 4 ) 16 (16 4) 0k x k x k+ + + − = 2 1 2 16 42 1 4 kx k −− = + 2 1 2 2 8 1 4 kx k −= + 1 2 4 1 4 ky k = + 2 22 2 2 2 2 2 8 4 4 1| | 2 1 4 1 4 1 4 k k kAB k k k  − + = − − + =   + + +   4 2| | 5AB = 2 2 4 1 4 2 1 4 5 k k + =+ 4 232 9 23 0k k− − = 2 2( 1)(32 23) 0k k− + = 1± 4 π 3 4 π 2 2 2 8 2,1 4 1 4 k k k k  − + +  ( ) ( )0 02, , 2, .QA y QB y= − − = −  4QA QB• =  y 2 2= ±0 0k ≠ 2 2 2 2 1 8 1 4 1 4 k ky xk k k  − = − + + +  0x = 0 2 6 1 4 ky k = − + ( )02,QA y= − − ( )1 1 0,QB x y y= − ， 整理得 。故 。所以 。 综上， 或 71 在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆 的左、右顶点为 A、B，右焦点 为 F。设过点 T（ ）的直线 TA、TB 与椭圆分别交于点 M 、 ，其中 m>0, 。 （1）设动点 P 满足 ,求点 P 的轨迹； （2）设 ，求点 T 的坐标； （3）设 ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐 标与 m 无关）。 （1）设点 P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。 由 ，得 化简得 。 故所求点 P 的轨迹为直线 。 （2）将 分别代入椭圆方程，以及 得：M（2， ）、N（ ， ） 直线 MTA 方程为： ，即 ， 直线 NTB 方程为： ，即 。 ( ) ( )2 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 8 6 4 62 1 4 1 4 1 4 1 4 k k k kQA QB x y y y k k k k − −  • = − − − = + + + + + +    ( ) ( ) 4 2 22 4 16 15 1 4 1 4 k k k + − = = + 27 2k = 14 7k = ± 0 2 14 5y = ± 0 2 2y = ± 0 2 14 5y = ± xoy 159 22 =+ yx mt, ),( 11 yx ),( 22 yxN 0,0 21 <> yy 422 =− PBPF 3 1,2 21 == xx 9=t 422 =− PBPF 2 2 2 2( 2) [( 3) ] 4,x y x y− + − − + = 9 2x = 9 2x = 3 1,2 21 == xx 0,0 21 <> yy 5 3 1 3 20 9 − 0 3 5 2 303 y x− += +− 1 13y x= + 0 3 20 10 39 3 y x− −= − − − 5 5 6 2y x= − 联立方程组，解得： ， 所以点 T 的坐标为 。 （3）点 T 的坐标为 直线 MTA 方程为： ，即 ， 直线 NTB 方程为： ，即 。 分别与椭圆 联立方程组，同时考虑到 ， 解得： 、 。 （方法一）当 时，直线 MN 方程为： 令 ，解得： 。此时必过点 D（1，0）； 当 时，直线 MN 方程为： ，与 x 轴交点为 D（1，0）。 所以直线 MN 必过 x 轴上的一定点 D（1，0）。 72 已知点 在椭圆 上, 以 为圆心的圆与 轴相切于 椭圆的右焦点 . (1)若圆 与 轴相切,求椭圆的离心率； (2)若圆 与 轴相交于 两点,且 是边长为 2 的正三角形，求椭圆的方程. 解：(1)设 ，圆 M 的半径为. 依题意得 将 代入椭圆方程得： ，所以 ，又 从而得 ，两边除以 得： 解得： ，因为 ，所以 . (2)因为 是边长为 2 的正三角形，所以圆 M 的半径 ， M 到圆 轴的距离 又由(1)知： ， 7 10 3 x y = = 10(7, )3 (9, )m 0 3 0 9 3 y x m − +=− + ( 3)12 my x= + 0 3 0 9 3 y x m − −=− − ( 3)6 my x= − 159 22 =+ yx 1 23, 3x x≠ − ≠ 2 2 2 3(80 ) 40( , )80 80 m mM m m − + + 2 2 2 3( 20) 20( , )20 20 m mN m m − −+ + 1 2x x≠ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 3( 20) 20 20 40 20 3(80 ) 3( 20) 80 20 80 20 m my xm m m m m m m m m m −+ −+ += − −+ −+ + + + 0y = 1x = 1 2x x= 1x = M )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x M x F M y M y BA, ABM∆ ),( 00 yxM || 00 yrcx === cx =0 a by 2 0 = ca b = 2 222 cab −= 022 =−+ aacc 2a 012 =−+ ee 2 51±−=e )1,0(∈e 2 15 −=e ABM∆ 2=r y 3=d a br 2 = cd = y O x B A PF1 F2 所以， ， 又因为 ,解得： , 所求椭圆方程是： 73 已知点(x, y) 在曲线 C 上，将此点的纵坐标变为原来的 2 倍,对应的横坐标不变,得到的 点满足方程 ；定点 M(2,1)，平行于 OM 的直线 在 y 轴上的截距为 m(m≠0),直 线 与曲线 C 交于 A、B 两个不同点. (1)求曲线 的方程； (2)求 m 的取值范围. 解： (1)在曲线 上任取一个动点 P(x,y), 则点(x,2y)在圆 上. 所以有 . 整理得曲线 C 的方程为 . (2)∵直线 平行于 OM，且在 y 轴上的截距为 m,又 , ∴直线 的方程为 . 由 , 得 ∵直线 与椭圆交于 A、B 两个不同点， ∴ 解得 . ∴m 的取值范围是 . 74 已知椭圆 两焦点分别为 F1、F2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足 ，过 P 作倾斜角互补的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、B 两点. （1）求 P 点坐标； （2）求证直线 AB 的斜率为定值； （3）求△PAB 面积的最大值。 3=c 2 2 = a b 222 cba =− 3=a 622 == ab 169 22 =+ yx 2 2 8x y+ = l l C C 2 2 8x y+ = 2 2(2 ) 8x y+ = 128 22 =+ yx l 2 1=OMK l mxy += 2 1 2 2 1 ,2 1.8 2 y x m x y  = +  + = 2 22 2 4 0x mx m+ + − = l 2 2(2 ) 4(2 4) 0,m m∆ = − − > 2 2 0m m− < < ≠且 2 0 0 2m m− < < < <或 142 22 =+ yx 121 =⋅ PFPF y O x B A PF1 F2 解：（1）由题可得 ， ，设 则 ， ，分 ∴ ，∵点 在曲线上，则 ，∴ ，从 而 ，得 .则点 P 的坐标为 . （2）由题意知，两直线 PA、PB 的斜率必存在，设 PB 的斜率为 则 BP 的直线方程为： .由 得 ，设 ，则 ， 同理可得 ，则 ， . 所以：AB 的斜率 为定值. （3）设 AB 的直线方程： . 由 ，得 ， 由 ，得 P 到 AB 的距离为 ， 则 。 当且仅当 取等号 ∴三角形 PAB 面积的最大值为 。 75 已知 A、B、C 是椭圆 上的三点，其中点 A 的坐标为 ，BC 过椭圆 m 的中心，且 。 （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）过点 的直线 l（斜率存在时）与椭圆 m 交于两点 P，Q，设 D 为椭圆 m 与 y 轴负半轴的交点，且 .求实数 t 的取值范围。 )2,0(1F )20(2 −F )0,0(),( 00000 >> yxyxP )2,( 001 yxPF −−= )2,( 001 yxPF −−−= 1)2( 2 0 2 021 =−−=⋅ yxPFPF ),( 00 yxP 142 2 0 2 0 =+ yx 2 4 2 02 0 yx −= 1)2(2 4 2 0 2 0 =−−− yy 20 =y )2,1( )0( >kk )1(2 −=− xky    =+ −=− 142 )1(2 22 yx xky xkkxk )2(2)2( 22 −++ 04)2( 2 =−−+ k ),( BB yxB 2 2 22 2 22212 )2(2,2 )2(21 k kk k kkxk kkx BB + −−=−+ −=+ −=+ 2 2 2 )222 k kkxA + −+= 22 24 k kxx BA +=− 22 8)1()1( k kxkxkyy BABA +=−−−−=− 2=− −= BA BA AB xx yyk mxy += 2    =+ += 142 2 22 yx mxy 04224 22 =−++ mmxx 0)4(16)22( 22 >−−=∆ mm 2222 <<− m 3 || md = 3 ||3)2 14(2 1||2 1 2 mmdABS PAB ⋅⋅−=⋅=∆ 2)2 8(8 1)8(8 1 2 22 22 =+−≤+−= mmmm ( )22,222 −∈±=m 2 )0(1: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xm )0,32( ||2||,0 ACBCBCAC ==• m ),0( tM |||| DQDP = 解（Ⅰ）∵ 过（0，0） 则 ∴∠OCA=90°， 即 又∵ 将 C 点坐标代入得 解得 c2=8，b2=4 ∴椭圆 m： （Ⅱ）由条件 D（0，－2） ∵M（0，t） 1°当 k=0 时，显然－20 可得 ① 设 则 ∴ 由 ∴ ② ∴t>1 将①代入②得 1> ba 3=c 2 3= a c ∴ 1,2 222 =−== caba ∴ 14 2 2 =+ yx    =+ += 44 22 yx mxy 0)1(485 22 =−++ mmxx 0)1(8064 22 >−−=∆ mm 52