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- 2021-05-13 发布
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机密★启用前
山东省2015年普通高校招生(春季)考试
数学试题
注意事项:
1.本试卷分卷一(选择题)和卷二(非选择题)两部分,满分120分,考试时间120分钟.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.本次考试允许使用函数型计算器,凡使用计算器的题目,最后结果精确到0.01.
卷一(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共20个小题,每小题3分,共60分.在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请将符合题目要求的选项字母代号选出,填涂在答题卡上)
1.集合,,则等于( )
A.{1,2,3} B.{1,3} C.{1,2} D.{2}
【考查内容】集合的交集
【答案】B
2.不等式的解集是( )
A.(,4) B.(,6) C. D.
【考查内容】绝对值不等式的解法
【答案】B
【解析】.
3.函数的定义域是( )
A. B. C. D.
【考查内容】函数的定义域
【答案】A
【解析】且得该函数的定义域是.
4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【考查内容】充分、必要条件
【答案】C
【解析】“圆心到直线的距离等于圆的半径”“直线与圆相切”,“直线与圆相切” “圆心到直线的距离等于圆的半径”.
5.在等比数列中,,则的值是( )
A. B.5 C. D.9
【考查内容】等比数列的性质
【答案】D
【解析】,.
6.如图所示,M是线段OB的中点,设向量,则可以表示为( )
第6题图 15SD1
A. B. C. D.
【考查内容】向量的线性运算
【答案】B
【解析】.
7.终边在y轴的正半轴上的角的集合是( )
A. B.
C. D.
【考查内容】终边相同的角的集合
【答案】A
【解析】终边在y轴正半轴上的角的集合是.
8.关于函数,下列叙述错误的是( )
A.函数的最大值是1 B.函数图象的对称轴是直线
C.函数的单调递减区间是 D.函数的图象经过点(2,0)
【考查内容】二次函数的图象和性质
【答案】C
【解析】,最大值是1,对称轴是直线,单调递减区间是,(2,0)在函数图象上.
9.某值日小组共有5名同学,若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生,其余2名同学负责教师外的走廊卫生,则不同的安排方法种数是( )
A.10 B.20 C.60 D.100
【考查内容】组合数的应用
【答案】A
【解析】从5人中选取3人负责教室内的地面卫生,共有种安排方法.
(选取3人后剩下2名同学干的活就定了)
10.如图所示,直线l的方程是( )
第10题图 15SD2
A. B.
C. D.
【考查内容】直线的倾斜角,直线的点斜式方程
【答案】D
【解析】由图可得直线的倾斜角为30°,斜率,直线l与x轴的交点为(1,0),由直线的点斜式方程可得l:,即.
11.对于命题p,q,若是假命题,是真命题,则( )
A. p,q都是真命题 B. p,q都是假命题 C. p,q一个是真命题一个是假命题
D.无法判断
【考查内容】逻辑联结词
【答案】C
【解析】由是假命题可知p,q至少有一个假命题,由是真命题可知p,q至少有一个真命题,∴p,q一个是真命题一个是假命题.
12.已知函数是奇函数,当时,,则的值是( )
A. B. C.1 D.3
【考查内容】奇函数的性质
【答案】A
【解析】.
13.已知点在函数的图象上,点A的坐标是(4,3),则的值是( )
A. B. C. D.
【考查内容】对数的运算,向量的坐标运算,向量的模
【答案】D
【解析】∵点在函数的图象上,∴,∴P点坐标为,.
14.关于x,y的方程,给出下列命题:
①当时,方程表示双曲线; ②当时,方程表示抛物线;
③当时,方程表示椭圆; ④当时,方程表示等轴双曲线;
⑤当时,方程表示椭圆.
其中,真命题的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程,等轴双曲线的概念
【答案】B
【解析】当时,方程表示双曲线;当时,方程表示两条垂直于x轴的直线;当时,方程表示焦点在y轴上的椭圆;当时,方程表示圆;当时,方程表示焦点在x轴上的椭圆.①③⑤正确.
15.的二项展开式中,所有项的二项式系数之和是( )
A.0 B. C. D.32
【考查内容】二项式定理
【答案】D
【解析】所有项的二项式系数之和为.
16.不等式组表示的区域(阴影部分)是( )
A B C D
15SD3 15SD4 15SD5 15SD6
【考查内容】不等式组表示的区域
【答案】C
【解析】可以用特殊点(0,0)进行验证:,,非严格不等式的边界用虚线表示,∴该不等式组表示的区域如C选项中所示.
17.甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览,约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处,则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是( )
A. B. C. D.
【考查内容】古典概率
【答案】D
【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为,其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2,故所求概率为.
18.已知向量则的值等于( )
A. B. C.1 D.0
【考查内容】余弦函数的两角差公式,向量的内积的坐标运算
【答案】A
【解析】.
19.已知表示平面,m,n表示直线,下列命题中正确的是( )
A.若,,则 B.若,,,则
C.若,,则 D.若,,,,则
【考查内容】空间直线、平面的位置关系
【答案】C
【解析】A. 若,,则或n在内;B. 若,,,则或m与n异面;D. 若,,,,且m、n相交才能判定;根据两平面平行的性质可知C正确.
20.已知是双曲线的左焦点,点P在双曲线上,直线与x轴垂直,且,则双曲线的离心率是( )
A. B. C.2 D.3
【考查内容】双曲线的简单几何性质
【答案】A
【解析】的坐标为,设P点坐标为,,解得,由可得,则,该双曲线为等轴双曲线,离心率为.
卷二(非选择题,共60分)
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上)
21.直棱柱的底面是边长为a的菱形,侧棱长为h,则直棱柱的侧面积是 .
【考查内容】直棱柱的侧面积
【答案】4ah
22.在△ABC中,,,,则BC= .
【考查内容】正弦定理
【答案】
【解析】由正弦定理可知,,.
23.计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查,拟采用系统抽样方法,为此将他们逐一编号为1-500,并对编号进行分段,若从第一个号码段中随机抽出的号码是2
,则从第五个号码段中抽取的号码应是 .
【考查内容】系统抽样
【答案】42
【解析】从500名学生中抽取50名,则每两相邻号码之间的间隔是10,第一个号码是2,则第五个号码段中抽取的号码应是.
24.已知椭圆的中心在坐标原点,右焦点与圆的圆心重合,长轴长等于圆的直径,则短轴长等于 .
【考查内容】椭圆的简单几何性质
【答案】
【解析】圆的圆心为(3,0),半径为4,则椭圆的长轴长为8,即,,则短轴长为.
25.集合都是非空集合,现规定如下运算:
.且.
若集合,,其中实数a,b,c,d,e,f,满足:①;②;③.则 .
【考查内容】不等式的基本性质,集合的交集和并集
【答案】
【解析】∵,∴;∵,∴;∴,;同理可得,∴.由①③可得.则,,..
三、解答题(本大题共5小题,共40分.请在答题卡相应的题号处写出解答过程)
26.(本小题6分)某学校合唱团参加演出,需要把120名演员排成5排,并且从第二排起,每排比前一排多3名,求第一排应安排多少名演员.
【考查内容】等差数列的实际应用
【解】由题意知各排人数构成等差数列,设第一排人数是,则公差,前5项和,因为,所以,解得.
答:第一排应安排18名演员.
27.(本小题8分)已知函数,.函数的部分图象如图所示.求:
(1)函数的最小正周期T及的值;
(2)函数的单调递增区间.
15SD7 第27题图
【考查内容】正弦型函数的图象和性质
【解】(1)函数的最小正周期,因为函数的图象过点(0,1),所以,即,又因为,所以.
(2)因为函数的单调递增区间是.
所以,解得,
所以函数的单调递增区间是.
28.(本小题8分)已知函数(且)在区间上的最大值是16.
(1)求实数a的值;
(2)若函数的定义域是R,求满足不等式的实数t的取值范围.
【考查内容】指数函数的单调性
【解】(1)当时,函数在区间上是减函数,
所以当时,函数取得最大值16,即,所以.
当时,函数在区间上是增函数,
所以当时,函数取得最大值16,即,所以.
(2)因为的定义域是R,即恒成立.所以方程的判别式,即,解得,又因为或,所以.代入不等式得,即,解得,所以实数t的取值范围是.
29.(本小题9分)如图所示,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,平面平面ABCD,.
(1)求SA与BC所成角的余弦值;
(2)求证:.
15SD8 第29题图
【考查内容】异面直线所成的角,直线与平面垂直的判定和性质
【解】(1)因为,所以即为SA与BC所成的角,在△SAD中,,
又在正方形ABCD中,所以,所以SA与BC所成角的余弦值是.
(2)因为平面平面ABCD,平面平面ABCD,在正方形ABCD中,,
所以平面SAD,又因为平面SAD,所以.
30.(本小题9分)已知抛物线的顶点是坐标原点O,焦点F在x轴的正半轴上,Q是抛物线上的点,点Q到焦点F的距离是1,且到y轴的距离是.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若直线l经过点M(3,1),与抛物线相交于A,B两点,且,求直线l的方程.
15SD10 第30题图
【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质,直线与抛物线的位置关系
【解】(1)由已知条件,可设抛物线的方程为,因为点Q到焦点F的距离是1,
所以点Q到准线的距离是1,又因为点Q到y轴的距离是,所以,解得,
所以抛物线方程是.
(2)假设直线l的斜率不存在,则直线l的方程为,与联立,可解得交点A、B的坐标分别为,易得,可知直线OA与直线OB不垂直,不满足题意,故假设不成立,从而,直线l的斜率存在.
设直线l的斜率为k,
则方程为,整理得,
设联立直线l与抛物线的方程得 ,
消去y,并整理得,
于是.
由①式变形得,代入②式并整理得,
于是,又因为,所以,即,
,解得或.
当时,直线l的方程是,不满足,舍去.
当时,直线l的方程是,即,所以直线l的方程是.