高考数学快速提升成绩题型训练——导数 21页

n 运算能力主要是指在运算定律和定理的指导下，对数和式的组合或分解变形能力，包括数字的计算，代数式和某些超越式的恒等变形，集合的运算，解方程和不等式，三角恒等变形，数列极限的计算，几何图形中的计算等。‎ n 运算准确 运算熟练 运算合理（是核心）运算的简捷。‎ ‎2009届高考数学快速提升成绩题型训练——导数 ‎1. 讨论函数的增减性。‎ ‎2 证明函数在区间上是单调增加的。‎ ‎3. 求函数在区间上的最大值及最小值．‎ ‎4. 已知某商品的需求函数为（为商品的价格），总成本函数为，若工厂有权自定价格，求每天生产多少个单位产品，才能使利润达到最大？此时价格为多少？‎ ‎5. 已知在区间上最大值是5，最小值是－11，求的解析式.‎ ‎6. 设函数 （a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，取极小值 ‎ （1）求a、b、c、d的值；‎ ‎ （2）当时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你 的结论.‎ ‎7. 知a＞0，函数，x∈[0，+∞)，设x1＞0，记曲线y＝f (x)在点M (x1，f (x1))处的切线为l．‎ ‎ （1）求l的方程；‎ ‎ （2）设l与x轴交点为(x2，0)，证明：①x2≥，②若，则．‎ ‎8. 函数)‎ ‎ （1）已知的展开式中的系数为，求常数 ‎ （2）是否存在的值，使在定义域中取任意值时， 恒成立？如存在，求出 的值，如不存在，说明理由.‎ ‎9. 已知m为实数，函数f(x)=(x2－9)（x－m）在[-3,3]上都是递减的，求m取值范围。‎ ‎10. 求函数的单调递增区间。‎ ‎11. （1）已知：证明： ‎ ‎（2）证明：方程 只有一个实根：.‎ ‎12. 已知向量，若函数在区间上是增函数，求的取值范围。‎ ‎13. 某厂生产某种产品的固定成本（固定投入）为2500元。已知每生产件这样的产品需要再增加可变成本（元），若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这样的产品？最大利润是多少？‎ ‎14. 已知的图象相切.‎ ‎（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；‎ ‎（Ⅱ）设函数内有极值点，求c的取值范围。‎ ‎15. 已知抛物线C: y=x+2x和抛物线C:y=-x+,当取什么值时，C 和C有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程。‎ ‎16. 已知在与x=1时都取得极值。（1）求b、c之值；（2）若对任意，恒成立。求d的取值范围。‎ ‎17. 研究函数的单调性.‎ ‎18. 设函数=其中求的取值范围,使函数在区间上是单调函数.‎ ‎19. 已知不等式对任意实数恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎20. （1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；‎ ‎　　（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度。‎ ‎21. 设，求函数的单调区间.‎ ‎22. 求下列函数的单调区间：‎ ‎⑴ ⑵ ‎⑶ ⑷ ‎23. 设f（x）=x3－3ax2+2bx在x=1处有极小值－1，试求a、b的值，并求出f（x）的单调区间 ‎24. 若函数y=x3－ax2+（a－1）x+1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a的取值范围 ‎25. 设恰有三个单调区间，试确定的取值范围，并求出这三个单调区间 ‎26. 设f（x）=x3－－2x+5‎ ‎（1）求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当x∈［1，2］时，f（x）0,‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎↗‎ 极大 ‎↘‎ ‎ 因此f(0)必为最大值,∴f(0)=5,得b=5,‎ ‎ ‎ 若a<0,同理可得f(0)为最小值, ∴f(0)=-11,得b=-11,‎ …………（12分）‎ ‎6．解（1）∵函数图象关于原点对称，∴对任意实数，‎ ，即恒成立 …………4分 ，‎ 时，取极小值，解得…6分 ‎ （2）当时，图象上不存在这样的两点使结论成立.…………8分 假设图象上存在两点、，使得过此两点处的切线互相垂直，‎ 则由知两点处的切线斜率分别为，‎ 且…………（*）…………10分 、， 此与（*）相矛盾，故假设不成立.………………12分 ‎7．(1)解：，∴曲线y＝f (x)在点M (x1，f (x1))处的切线的斜率 ∴切线l的方程为，即…… 4分 ‎(2)解：令y＝0得 　　①≥0 　(*) 　　∴，当且仅当时等号成立．‎ ‎∵，∴(*)中“＝”不成立，故 ………8分 　　 　　∵　∴，故x2＜x1 　　∴当时，成立． ………………………12分 ‎8．解（1）Tr+1=C 由 解得……3分 ……6分 ‎（2） 要使（ ‎ 只需……8分 10当时，设 ‎（0， ‎（，+）‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 极小值 ……10分 ‎20当时，不成立 30当时，不成立 故当……12分 另解法 只需 ‎9. 很多学生认为，函数单调递增（递减）的充要条件是 ‎（）。事实上，（）只是函数单调递增（递减）的充分条件，而非必要条件。例如，我们知道函数在R上是增函数，但其导数0在R上恒成立，因此，函数在上单调递增（递减）的充要条件是：（）且在的任意子区间上都不恒为0。因此，本题的正确答案为.‎ ‎10. 定义域作为构成函数的三要素之一，它直接制约着函数的解析式、图像和性质，在解题过程中，必须优先考虑函数的定义域，且单调区间应该是定义域的子区间。本题中的定义域为，所以正确答案为.‎ ‎11. 证明：（1）构造函数.。在上为增函数。‎ 又。 ‎（2）构造函数 上是增函数。‎ 又， ‎12. 解法1（数形结合法）：依定义有，则。若 ，则在上可设图的抛物线，当且仅当上满足，即在上是增函数，故的取值范围是。‎ 解法2（变量分离法）：有，令，其图象为对称轴是直线，开口向上的抛物线，故要使在区间 上恒成立，即。而当时，，即在上是增函数，故。‎ ‎13. 设生产件产品的利润为元，则 。当时， 的极大值点。故。因此，要使利润最大，该厂应生产60件这种产品，最大利润为9500元。‎ ‎14. （Ⅰ）依题意，令 ‎（Ⅱ） x x0‎ ‎（ ‎+‎ ‎0‎ ‎+‎ 于是不是函数的极值点.‎ 的变化如下：‎ x x1‎ ‎（ ‎+‎ ‎0‎ ‎—‎ ‎0‎ ‎+‎ 由此，的极小值点.‎ 综上所述，当且仅当 ‎15. 解 ：设公切线L切C于P(x,y),切C于P(x,y), ‎ ‎ 则L的方程有两种表达方式：①;②.‎ ‎∵ ‎∴①、②变为和 于是消去,得，由题意知，，此时，重合。‎ 故当时，和有且仅有一条公切线，且公切线方程为.‎ ‎16. 解 ⑴ ‎ 由题意知,是方程的两根,于是 ‎ ‎ ⑵ ‎ 当时, ‎ 当时, ‎ 当时, ‎ 当时,有极大值 ‎ 又时, 的最大值为 ‎ 对任意恒成立即 ‎ 或 ‎17. 解: ① 当时,由得 ‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎-‎ ‎+‎ 从上表中的符号随取值的变化规律发现,此时的单调区间是和,单调减区间是和.‎ ‎② 当时, 此时的定义域为 因此在内单调递增.‎ ‎③ 当时,定义域为 此时单调区间是和没有单调减区间.‎ ‎18. 解:函数在上是单调函数,即或在上恒成立.‎ ① 由,得在上的最小值是0,所以此与题设矛盾.‎ ② 由,得 在上连续递增,且所有值都小于1,所以 综合①②可知,当时,函数在区间上是单调函数. ‎ ‎19. 解: 令 ① 当时,由得且当时当时, ‎ 是的最小值.‎ ‎ 在上恒成立即 ‎ ② 当时,由得 ‎ ‎ x ‎(-x,-)‎ ‎(-,0)‎ ‎(0,)‎ ‎(,+x)‎ f(x)‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎-‎ ‎+‎ ‎ 从上表可知f(x)=- a +2是极大值f()是极小值且为f(x)在(-,+)上的最小值．‎ ‎　因此f(x)>0在(-,+)上恒成立f()=-a-a+2>0,‎ ‎ 即-20时，x>1或x<－，‎ 当（x）<0时，－1，即a>2时，函数f（x）在（－∞，1）上为增函数，在（1，a－1）上为减函数，在（a－1，+∞）上为增函数 依题意，当x∈（1，4）时，（x）<0，当x∈（6，+∞）时，（x）>0，∴4≤a－1≤6‎ ‎∴5≤a≤7∴a的取值范围为［5，7］‎ ‎25. 解：由f(x)的解析式得， ‎ 若a>0, 则 , f(x) 单调,矛盾；‎ 若a=o，则 ,f(x)单调；‎ 若a<0, 则 由此可知，当a<0时，f(x)恰有三个单调区间，其中减区间为：,,增区间 ‎26. 解：（1）（x）=3x2－x－2=0，得x=1，－在（－∞，－）和［1，+∞)上（x）>0，f（x）为增函数；在［－，1］上（x）<0，f（x）为减函数所以所求f（x）的单调增区间为（－∞，－]和［1，+∞)，单调减区间为［－，1］‎ ‎（2）当x∈［1，2］时，显然（x）>0，f（x）为增函数，f（x）≤f（2）=7‎ ‎∴m>7‎ ‎27. 解：（x）=3x2－a，（1）3x2－a>0在R上恒成立，∴a<0‎ 又a=0时，f（x）=x3－1在R上单调递增，∴a≤0‎ ‎（2）3x2－a<0在（－1，1）上恒成立，即a>3x2在（－1，1）上恒成立，即a>3‎ 又a=3，f（x）=x3－3x－1，（x）=3（x2－1）在（－1，1）上，（x）<0恒成立，即f（x）在（－1，1）上单调递减，∴a≥3‎ ‎（3）当x=－1时，f（－1）=a－20，得x∈（－，0）∪（，+∞），‎ 则f（x）的单调递增区间为（－，0）和（，+∞）‎ ‎29. 证：（1） ‎ ‎∴ 为上 ∴ 恒成立 ‎∴ ‎∴ 在上 ‎ ‎∴ 恒成立 ‎（2）原式 令 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ∴ ‎（3）令 ∴ ‎∴ ‎30. 解： ‎ 当时 ‎（i）当时，对所有，有 即，此时在内单调递增 ‎（ii）当时，对，有，‎ 即，此时在（0，1）内单调递增，又知函数在x=1处连续，因此，函数在（0，+）内单调递增 ‎（iii）当时，令，即 解得 因此，函数在区间内单调递增，在区间内也单调递增 令，‎ 解得 因此，函数在区间内单调递减