圆锥曲线高考真题 4页

圆锥曲线高考真题 ‎1.平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： =1(a>b>0)的右焦点的直线x + y - = 0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.‎ ‎（1）求M的方程 ‎（2）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD的面积最大值.‎ ‎2.设,分别是椭圆的左右焦点，M是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.‎ ‎（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；‎ ‎（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且，求a,b.‎ ‎3.已知椭圆C：，直线不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.‎ ‎(1) 证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为定值；‎ ‎（2）若过点（）,延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否平行四边行？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由.‎ ‎4.已知抛物线C： 的焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.‎ ‎（1）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；‎ ‎（2）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.‎ ‎5.已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．‎ ‎（1）证明：坐标原点O在圆M上；‎ ‎（2）设圆M过点P（4，-2），求直线l与圆M的方程．‎ ‎6.已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．‎ ‎7.已知椭圆的离心率为，且经过点，圆。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线与椭圆有且只有一个公共点，且与圆相交于两点，问是否存在这样的直线，使得？若存在，求出的方程，若不存在，请说明理由。‎ ‎8.已知椭圆的中心和抛物线的顶点都在坐标原点O，和有公共焦点，点在x轴正半轴上，且的长轴长、短轴长及点到右准线的距离成等比数列。‎ ‎（1）当的准线与的右准线间的距离为15时，求及的方程；‎ ‎（2）设过点且斜率为1的直线交于P,Q两点，交于M,N两点。当时，求的值。‎ ‎9.如图，椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．‎ ‎（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；‎ y x l A F B O ‎（2）设过点F的直线l交椭圆于A，B两点．若直线l绕点F任意转动，恒有，求a的取值范围．‎ ‎10.设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）求四边形面积的最大值．‎ ‎11.已知椭圆的中心和抛物线的顶点都在坐标原点O，和有公共焦点，点在x轴正半轴上，且的长轴长、短轴长及点到右准线的距离成等比数列。‎ ‎（1）当的准线与的右准线间的距离为15时，求及的方程；‎ ‎（2）设过点且斜率为1的直线交于P,Q两点，交于M,N两点。当时，求的值。‎ 12. 如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原 的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k （1） 当直线PA平分线段MN，求k的值；‎ （2） 当k=2时，求点P到直线AB的距离d；‎ ‎（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB ‎13.平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线．‎ ‎（1）求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；‎ ‎（2）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在撒谎个，是否存在点，使得△的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。‎ ‎14.如图7，椭圆的离心率，x轴被曲线 截得的线段长等于C1的长半轴长。‎ ‎（1）求C1，C2的方程；‎ ‎（2）设C2与y轴的焦点为M，过坐标原点O的直线与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E．（i）证明：MD⊥ME;（ii）记△MAB,△MDE的面积分别是．问：是否存在直线l,使得?请说明理由。‎ ‎15.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．‎ ‎（1）设，求与的比值；‎ ‎（2）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．‎ ‎16.已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上 的焦点，过F且斜率为的直线与C交于A、B两点，点P 满足 ‎（1）证明：点P在C上；‎ ‎（2）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上．‎ ‎17.在平面直角坐标系xOy中， 已知点A（0，-1），B点在直线上，M点满足，，M点的轨迹为曲线C．‎ ‎（I）求C的方程；‎ ‎（II）P为C上动点，为C在点P处的切线，求O点到距离的最小值．‎ ‎18.已知动直线与椭圆C: 交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.‎ ‎（1）证明和均为定值;‎ ‎（2）设线段PQ的中点为M，求的最大值；‎ ‎（3）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.‎ ‎19.如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且 ‎（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度 20. 椭圆有两顶点A（-1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直 线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．‎ ‎（I）当|CD | = 时，求直线l的方程；‎ ‎（II）当点P异于A、B两点时，求证： 为定值。‎ ‎21.已知斜率为的直线与双曲线:相交于、两点，且的中点为 ‎（Ⅰ）求的离心率；‎ ‎（Ⅱ）设的右顶点为，右焦点为，‎ 证明：过、、三点的圆与轴相切。‎