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  • 2021-05-13 发布

高考数学考点简单多面体与球练习

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考点22 简单多面体与球 ‎1.(2010·四川高考理科·T11)半径为的球的直径垂直于平面,垂足为,是平面内边长为的正三角形,线段,分别与球面交于点,,那么,两点间的球面距离 是( )‎ ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ ‎【命题立意】本题考查了两点间的球面距离(即求弧长)问题,解三角形,平行线等分线段成比例的知识,考查了学生利用平面几何知识解决空间几何体问题的能力.‎ ‎【思路点拨】欲求,两点间的球面距离,根据弧长公式可知,需求的弧度数,进而转化为求线段的长度.∵题目中所给条件大多集中在内, 故探求与的数量关系.‎ ‎【规范解答】选A . 连结,∵为球的直径,∴ ,‎ 在中, ‎ 由射影定理可得.则.‎ 同理,连结,则△ABM≌△ABN,则,又,‎ ‎∴∥.∴, 即.‎ 在三角形中, OM=OM=R, 利用余弦定理可得:‎ ‎ ,∴,∴M,N两点间的球面距离为.‎ ‎2.(2010·全国卷Ⅰ理科·T12)已知在半径为2的球面上有A,B,C,D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【命题立意】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.‎ ‎【思路点拨】当时体积最大,选择合适的底和高,利用三棱锥体积公式求解.‎ ‎【规范解答】选B.方法一: 当时,体积最大,如图:‎ ‎ 过作平面,使,‎ 交与点,设点到的距离为,‎ 则有,当直径通过与的中点时,,故.‎ 方法二:如图:当异面直线与间的距离最大,且时,‎ 四面体的体积最大,分别取与的中点,, ‎ 连结,此时球心为线段的中点,则..‎ ‎3.(2010·湖北高考理科·T13)圆柱形容器内盛有高度为‎8 cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是____cm.‎ ‎【命题立意】本题主要考查圆柱和球的体积公式以及考生的运算求解能力.‎ ‎【思路点拨】圆柱形容器的容积减去圆柱内高度为‎8cm的水的体积即为3个球的体积和。‎ ‎【规范解答】设球的半径为,则圆柱形容器的高为6,容积为,高度为‎8cm的水的体积为,3个球的体积和为,由题意-=解得.‎ ‎【答案】4‎ ‎4. (2010·江西高考文科·T16)长方体的顶点 均在同一个球面上,,,则,两点间 的球面距离为 .‎ ‎【命题立意】本题主要考查棱锥、球的基本知识,考查多面体与球体的内接问题,考查球面距离问题,考查空间想象力.‎ ‎【思路点拨】先求体对角线长即为球的直径,再求球心角,最后由弧长公式求两点间的球面距离.‎ ‎【规范解答】设球的半径为,则设球心为,则,所以所求A,B两点间的球面距离为 ‎【答案】‎ ‎5. (2010·上海高考理科·T12)如图所示,在边长为4的正方形纸片ABCD中,AC与BD相交于O,剪去,将剩余部分沿OC,OD折叠,使OA,OB重合,则以A(B),C,D,O为顶点的四面体的体积为 .‎ ‎【命题立意】本题考查立体几何中的折叠问题和几何体体积的求法.‎ ‎【思路点拨】先确定折叠后的几何体的形状,再由体积公式求体积.‎ ‎【规范解答】折叠后的图形如图所示,‎ ‎ ∵,∴.‎ ‎ ∴为四面体的高,‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎【答案】‎ ‎【方法技巧】折叠问题的关键是找到折叠前后,变与不变的量.一般在折线同侧的量(包括角和距离)不变,跨过折线的量要改变.‎ ‎6.(2010·上海高考文科·T6)已知四棱锥的底面是边长为6 的正方形,侧棱底面,且,则该四棱锥的体积是 .‎ ‎【命题立意】本题考查棱锥的体积公式的应用,属容易题.‎ ‎【思路点拨】按棱锥的体积公式代入数值求解.‎ ‎【规范解答】=96.‎ ‎【答案】96‎ ‎7. (2010·上海高考文科·T20)如图所示,为了制作一个圆柱形灯笼,先要制作4个全等的矩形骨架,总计耗用‎9.6米铁丝,再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).‎ ‎(1)当圆柱底面半径取何值时,取得最大值?并求出该最大值(结果精确到‎0.01平方米);‎ ‎(2)若要制作一个如图放置的,底面半径为‎0.3米的灯笼,请作出用于灯笼的三视图(作图时,不需考虑骨架等因素).‎ ‎【命题立意】本题是个应用题,主要考查学生分析问题、解决问题的能力,涉及函数求最值、几何体的三视图等相关知识.‎ ‎【思路点拨】(1)建立关于的函数,根据函数的性质求最值;‎ ‎(2)确定几何体的有关数据后,按三视图的要求画图.‎ ‎【规范解答】(1)设圆柱形灯笼的高为,则,所以 所以(1.2-2r).‎ 所以,当时S有最大值.‎ 最大值为(平方米)‎ ‎(2)由(1)知时,其正视图与侧视图均为边长是0.6的正方形,俯视图是半径为0.3的圆.如图:‎ ‎8. (2010·重庆高考文科·T20)如题图,四棱锥中,‎ 底面为矩形,,,‎ 点是棱的中点. ‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)若,求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎【命题立意】本小题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系,考查余弦定理及其应用,考查空间向量的基础知识和在立体几何中的应用,考查空间想象能力,推理论证能力,运算求解能力,考查数形结合的思想,考查转化与化归的思想.‎ ‎【思路点拨】(1)通过证明线线垂直证明结论:线面垂直,(2)作出二面角的平面角,再利用三角函数、余弦定理等知识求余弦值.或建立空间直角坐标系,利用向量的坐标运算证明垂直和求出有关角的三角函数值.‎ ‎【规范解答】方法一:(1)如图所示,由得.又知为等腰直角三角形,而点是棱的中点,‎ 所以.‎ 由题意知,又是在面内的射影,由三垂线定理得,从而,故。因为,,PB∩BC=B所以.‎ ‎(2)由(1)知,又∥,得,故.在中,,所以 ,‎ 所以在中,.在中,,‎ 又,所以为等边三角形.取的中点,连结,则.‎ 因,且,则为等腰直角三角形,连结,则,‎ 所以为所求的二面角的平面角.连结,在中,,‎ ‎,,所以 ‎ ‎,故二面角的平面角的余弦值为.‎ 方法二:(1)以为坐标原点,‎ 射线分别为轴、轴、轴的正半轴,‎ 建立空间直角坐标系.如图所示.‎ 设,则,,,。于是,,,则,‎ 所以,故.‎ ‎(2)设平面BEC的法向量为,由(Ⅰ)知,,故可取.设平面DEC的法向量,则,由,得D,C,‎ 从而,,故,所以,,可取,则,从而.‎ ‎【方法技巧】(1)用几何法推理证明、计算求解;(2)空间向量坐标法,通过向量的坐标运算解题.‎ ‎9. (2010·重庆高考理科·T19)如图,四棱锥中,底面为矩形,,,点是棱的中点.‎ ‎(1)求直线与平面的距离;‎ ‎(2)若,求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎【命题立意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、三垂线定理等,考查线面距离的求法、二面角的余弦值的求法,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程的思想、数形结合的思想方法、转化与化归的能力.‎ ‎【思路点拨】(1)把直线到平面的距离转化为点到平面的距离,‎ 寻找过此点与平面垂直的直线;(2)作出二面角的平面角,‎ 再根据三角函数、余弦定理等求解.‎ ‎【规范解答】方法一:(1)如图1,在矩形中,‎ ‎∥,从而∥平面,故求直线与平面的距离就是点到平面的距离.因为,所以,‎ 由知为等腰直角三角形,又点是棱的中点.故,又在矩形中,,而是在底面上的射影,由三垂线定理得,从而,故,从而,故之长即为直线与平面的距离.在中,,所以 ‎ ‎,即直线与平面的距离是.‎ ‎(2)过点作,交于,过点作,交于点,则为所求二面角的平面角.因为,又∥,得,故,从而,在中,,又因为,所以为等边三角形,故为的中点,且.‎ 因为,故,又,知且∥,从而,且点为的中点.连结,则在中,.所以.‎ 方法二:(I)如图2,以为坐标原点,‎ 射线分别为轴、轴、轴的正半轴,‎ 建立空间直角坐标系.设,‎ 则,,,‎ 因此,‎ ‎,则,所以,又因为∥,所以∥平面,故直线与平面的距离为点到平面的距离,即为.‎ ‎(2)因为AD,则,设平面的法向量为,则,又,所以,‎ 所以,取,则.‎ 设平面的法向量,则.又,所以,所以,取,则.所以,所以二面角的平面角的余弦值为.‎ ‎【方法技巧】(1)用几何法推理证明、计算求解;(2)空间向量坐标法,通过向量的坐标运算解题,并体会法向量在求空间角中的作用.‎ ‎10. (2010·江西高考文科·T20)如图,与 都是边长为2的正三角形,‎ 平面平面,平面,.‎ ‎(1)求直线与平面所成的角的大小;‎ ‎(2)求平面与平面所成的二面角的正弦值.‎ ‎【命题立意】本题主要考查空间几何体的线线、线面与面面 垂直关系及平行关系,考查空间线面角、二面角的问题以及有关的计算问题,考查空间向量的坐标运算,考查数形结合思想,考查考生的空间想象能力、推理论证能力、化归转化能力和运算求解能力。‎ ‎【思路点拨】本题主要有两种方法,方法一:几何法(1)直接找出线面角,然后求解;‎ ‎(2)对二面角的求法思路, 一般是分三步①“作”,②“证”,③“求”. 其中“作”是关键, “证”‎ 是难点.方法二:建立空间直角坐标系,利用空间向量中的法向量求解.‎ ‎【规范解答】方法一:(1)如图:取中点,连结,则OB⊥CD,OM⊥CD.‎ 又平面平面,则MO⊥平面,所以MO∥AB,‎ A,B,O,M共面.延长AM,BO相交于E,连结CE,DE,则∠AEB就是AM与 平面BCD所成的角.‎ OB=MO=,MO∥AB,则,,所以,故.‎ ‎(2)CE是平面与平面的交线.‎ 由(1)知,O是BE的中点,则BCED是菱形.‎ 作BF⊥EC于F,连结AF,则AF⊥EC,∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角,设为.‎ 因为∠BCE=120°,所以∠BCF=60°.‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以,所求二面角的正弦值是.‎ 方法二:取CD中点O,连结OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD,又平面平面,‎ 则MO⊥平面.以O为原点,直线OC,BO,OM为x轴,y轴,z轴,建立空 间直角坐标系如图.‎ OB=OM=,则各点坐标分别为O(0,0,0),C(1,0,0),M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2),‎ ‎(1)设直线AM与平面BCD所成的角为.‎ 因(0,,),平面 的法向量为.则有 ‎,所以.‎ ‎(2),.‎ 设平面ACM的法向量为,由得.‎ 解得,,取.又平面BCD的法向量为,‎ 则 设所求二面角为,则.‎ ‎11. (2010·江西高考理科·T20)如图,与都是边长为2的正三角形,平面平面,平面,.‎ ‎(1)求点到平面的距离;‎ ‎(2)求平面与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎ 【命题立意】本题考查空间几何体的线线、线面与面面垂直关系及平行关系,考查空间中点面距离,考查二面角的求解以及几何体的计算问题,考查空间向量的坐标运算,考查数形结合思想,考查考生的空间想象能力、推理论证能力、化归转化能力和运算求解能力。‎ ‎【思路点拨】本题主要有两种方法,‎ 方法一:几何法(1)将点面距离问题转化为体积相等的问题,降低直接求解的难度;(2)对二面角的求法思路, 一般是①“作”,②“证”,③“求”. 其中“作”是关键, “证”是难点.‎ 方法二:建立空间直角坐标系,利用空间向量,借助于法向量求解,使问题变得简单.‎ ‎【规范解答】方法一:(1)取中点,连结,‎ 则.‎ 又平面平面,则,‎ 所以//,//平面.‎ 到平面的距离相等.‎ 作于,连结,则.‎ 求得,.‎ 设点到平面的距离为,由得 ‎.‎ 即,解得.‎ ‎(2)延长相交于,连结,,是平面与平面的交线.‎ 由(1)知,是的中点,则四边形是菱形.‎ 作于,连结,则就是二面角 的平面角,设为.‎ 因为,所以.‎ ‎,.‎ 方法二:取中点,连结,则.‎ 又平面平面,则平面.以为原点,‎ 直线OC,BO,OM为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系如图.,则各点坐标分别为 ‎(1)设是平面MBC的法向量,则由得由得取 则 ‎ (2)设平面ACM的法向量为由得解得取又平面BCD的法向量为 所以设所求二面角为则 ‎12. (2010·四川高考理科·T18)已知正方体的棱长为1,点是棱的中点,‎ 点是对角线的中点.‎ ‎(1)求证:为异面直线和的公垂线;‎ ‎(2)求二面角的大小;‎ ‎(3)求三棱锥的体积.‎ ‎【命题立意】本题主要考查异面直线、直线与平面垂直、‎ 二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识,并考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查应用向量知识解决数学问题的能力,转化与化归的数学思想.‎ ‎【思路点拨】方法一:几何法. 问题(1),分别证明,即可. ‎ 问题(2)首先利用三垂线定理,作出二面角的平面角, 然后通过平面角所在的直角三角形,求出平面角的一个三角函数值,便可解决问题.‎ 问题(3)选择便于计算的底面和高,观察图形可知,和都在平面内,且,故,利用三棱锥的体积公式很快求出.‎ 方法二:建立空间直角坐标系,利用空间向量中的法向量求解.‎ ‎【规范解答】方法一:(1)连结.取的中点,则为的中点,连结.‎ ‎ ∵点是棱的中点,点是的中点,‎ ‎ ‎ 由,得.‎ ‎∵,且BD∩BB´=B ∴.‎ ‎ ∴.∴.‎ 又∵与异面直线和都相交,‎ ‎ 故为异面直线和的公垂线,‎ ‎(2)取的中点,连结,则,‎ 过点作于,连结,则由三垂线 定理得,.‎ ‎∴为二面角的平面角.‎ ‎.‎ 在中.tan∠‎ 故二面角的大小为.‎ ‎(3)易知,,且和都在平面内,‎ ‎ 点到平面的距离,‎ ‎∴.‎ 方法二:以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,‎ ‎(1) ∵点是棱的中点,点是的中点,‎ ‎ ∴, ,, ,.‎ ‎ ,,‎ ‎∴,,‎ 又∵与异面直线和都相交,‎ ‎ 故为异面直线和的公垂线,‎ ‎(2)设平面的一个法向量为,‎ ‎,.‎ 即 ‎ 取,则..‎ ‎ 取平面的一个法向量.‎ ‎,‎ 由图可知,二面角的平面角为锐角,‎ 故二面角的大小为.‎ ‎(3)易知,,设平面的一个法向量为,‎ ‎ ,,‎ ‎ 即 取,则,从而.‎ 点到平面的距离.‎ ‎.‎