高考冲刺空间直线与平面的关系基础巩固练习 9页

‎【巩固练习】‎ ‎1.（2015 青羊区校级模拟）已知α、β是平面，m、n是直线，下列命题中不正确的是（　　）‎ A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α B．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β C．若m⊥α，m⊥β，则α∥β D．若m∥α，α∩β=n，则m∥n ‎2．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)‎ A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m⊂α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m ‎3．已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是(　　)‎ A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β B．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β C．若m∥n，m∥α，则n∥α D．若n⊥α，n⊥β，则α∥β ‎4．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点(　　)‎ A．只有1个　　　　　　 B．恰有3个 C．恰有4个 D．有无穷多个 ‎5．如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有以下命题：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中真命题的个数为 (　　)‎ A．3 B．‎2 C．1 D．0‎ ‎6．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎7．正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，则EF与对角面BDD1B1所成角的度数是(　　)‎ A．30° B．45°‎ C．60° D．150°‎ ‎8．对于四面体ABCD，下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)‎ ‎①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；②由顶点A作四面体的高，其垂足是 ‎△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高 的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于四个面的面积；⑤分别作三组相对棱 中点的连线，所得的三条线段相交于一点．‎ ‎9．下面给出四个命题：‎ ‎①若平面α∥平面β，AB，CD是夹在α，β间的线段，若AB∥CD，则AB＝CD；‎ ‎②a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c一定是异面直线 ‎③过空间任一点，可以做两条直线和已知平面α垂直；‎ ‎④平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ⊂α；‎ 其中正确的命题是________(只填命题号)．‎ ‎10.（2016 红桥区模拟）如图，在底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，PA=PB=PC=PD=AB=2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为　　．‎ ‎11．如图，正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB‎1C，则线段EF的长度等于________．‎ ‎12.（2015 甘肃一模）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．‎ ‎（1）证明：DN∥平面PMB；‎ ‎（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；‎ ‎（3）求点A到平面PMB的距离．‎ ‎13．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA＝PB，底面ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，点M是AB的中点，点E在棱PD上，满足DE＝2PE，求证：‎ ‎(1)平面PAB⊥平面PMC；‎ ‎(2)直线PB∥平面EMC.‎ ‎14．已知是矩形，，分别是线段的中点，平面 ‎．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）在棱上找一点，使∥平面，并说明理由．‎ M S D B C A P Q ‎·‎ ‎15．如图，在四棱锥中，平面平面．四边形为正方形，且 为的中点，为的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）若，为中点，在棱上是否存在点， ‎ 使得平面⊥平面，并证明你的结论.‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.【答案】D ‎【解析】由α、β是平面，m、n是直线，‎ 在A中，此命题正确．因为如果两条平行线中有一条和一个平面垂直，则另一条一定和这个平面垂直；‎ 在B中，此命题正确．因为由平面垂直的判定定理知如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直．‎ 在C中，此命题正确．因为垂直于同一直线的两个平面互相平行；‎ 在D中，此命题不正确．因为若m∥α，α∩β=n，则m∥n或m，n异面．‎ 故选D．‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】选项A，由一条直线垂直于一个平面内的一条直线得不到这条直线垂直于这个平面；选项B，两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；选项C，一条直线平行于一个平面，得不到这条直线平行于这个平面内任意一条直线；选项D，两条直线同时平行于同一平面，这两条直线可能平行、相交或异面．故选B.‎ ‎3．【答案】D ‎【解析】对于选项A，垂直于同一平面的两个平面也可以相交，如正方体相邻的两个平面，故A错；对于选项B，设平面α与平面β相交于直线l，则在这两个平面内都存在与交线平行的直线，此时这两直线也平行，故B也错；对于选项C，应有n∥α或n⊂α两种情形；对于选项D，由线面垂直性质知，垂直于同一直线的两平面平行，故D正确．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】‎ 在长方体ABCD－A1B‎1C1D1中建立如图所示的空间直角坐标系，易知直线AD与D‎1C1是异面且垂直的两条直线，过直线AD与D‎1C1平行的平面是平面ABCD，因此考虑在平面ABCD内到直线AD与D‎1C1的距离相等的动点M(x，y,0)的坐标所满足的条件，作MM1⊥AD于点M1，MN⊥CD于点N，NP⊥D‎1C1于点P，连接MP，易知MN⊥平面CDD‎1C1，MP⊥D‎1C1，若MM1＝MP，则有y2＝x2＋a2(其中a是异面直线AD与D‎1C1间的距离)，即有y2－x2＝a2，从而可知在平面ABCD内动点M的轨迹是双曲线的一部分，故满足题意的点有无穷多个，选D.‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC又BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC；‎ ‎∵OM∥PA，∴OM∥平面PAC；∵BC⊥平面PAC，‎ ‎∴BC是点B到平面PAC的距离，故①、②、③都正确．‎ ‎6．【答案】B ‎【解析】对于命题①，由分别垂直于互相垂直的直线的两平面垂直知，①正确；对于命题②，分别平行于互相垂直的直线的两平面的位置关系可能相交，故②错误；对于命题③，两平面也可能相交，故③错误；对于命題④，由于m⊥α，α∥β⇒m⊥β，则直线m垂直于平面β内的任意一条直线，又n∥β，则n平行于β内的无数条直线，所以直线m⊥n，故④正确．‎ ‎7．【答案】A ‎【解析】‎ 如上图，∵EF∥A1B，∴EF、A1B与对面角BDD1B1所成的角相等，设正方体的棱长为1，则A1B＝.连接A‎1C1，交D1B1于点M，连接BM，则有A‎1M⊥面BDD1B1，∠A1BM为A1B与面BDD1B1所成的角．Rt△A1BM中，A1B＝，A‎1M＝，‎ 故∠A1BM＝30°.‎ ‎∴EF与对角面BDD1B1所成角的度数是30°.故选A.‎ ‎8．【答案】①④⑤‎ ‎9．【答案】①④‎ ‎【解析】∵AB∥CD可确定一个平面γ，如图 又∵α∥β，∴BD∥AC，‎ ‎∴四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AB＝CD，①正确．‎ ‎②不正确，a与c可能异面，也可能共面．‎ ‎③过一点作已知平面α的垂线有且只有一条，故③不正确．‎ ‎④正确．‎ ‎10.【答案】‎ ‎【解析】如图，连接AC，BD，并交于O点，连接PO，根据题意知，PO⊥底面ABCD；‎ 又底面ABCD为正方形；‎ ‎∴AC⊥BD；‎ ‎∴OB，OC，OP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：‎ 根据条件可确定以下几点坐标：A（0，，0），，，；‎ ‎∴，；‎ ‎∴，；‎ ‎∴=；‎ ‎∴异面直线BE与PD所成角的余弦值为．故答案为：．‎ ‎11．【答案】‎ ‎【解析】∵EF∥面AB‎1C，∴EF∥AC.又E是AD的中点，∴F是DC的中点．∴EF＝AC＝‎ ‎12.【解析】（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，‎ 因为M、N分别是棱AD、PC中点，‎ 所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．‎ ‎⇒DN∥平面PMB．‎ ‎（2）⇒PD⊥MB 又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，‎ 所以MB⊥AD．‎ 又AD∩PD=D，‎ 所以MB⊥平面PAD.⇒平面PMB⊥平面PAD．‎ ‎（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．‎ 过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．‎ 故DH是点D到平面PMB的距离.．‎ ‎∴点A到平面PMB的距离为．‎ ‎13．【证明】(1)∵PA＝PB，M是AB的中点．∴PM⊥AB.‎ ‎∵底面ABCD是菱形，‎ ‎∴BA＝BC.‎ ‎∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．‎ 则CM⊥AB.∵PM∩CM＝M，∴AB⊥平面PMC，‎ ‎∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PMC.‎ ‎(2)连BD交MC于F，连EF.‎ 由CD＝2BM，CD∥BM，‎ 易得△CDF∽△MBF.‎ ‎∴DF＝2BF.∵DE＝2PE，∴EF∥PB.‎ ‎∵EF⊂平面EMC，PB⊄平面EMC，‎ ‎∴PB∥平面EMC.‎ ‎14．【解析】（Ⅰ）证明：在矩形ABCD中，‎ 因为AD=2AB,点F是BC的中点,‎ 所以∠AFB=∠DFC=45°．‎ 所以∠AFD=90°,‎ 即AF⊥FD．‎ 又PA⊥平面ABCD,‎ 所以PA⊥FD． ‎ 所以FD⊥平面PAF． ‎ ‎（Ⅱ）过E作EH//FD交AD于H,‎ 则EH//平面PFD,且 AH =AD． ‎ 再过H作HG//PD交PA于G, ‎ 所以GH//平面PFD,且 AG=PA． ‎ 所以平面EHG//平面PFD． ‎ 所以EG//平面PFD．‎ M S D B C A P Q ‎·‎ R(N)‎ O 从而点G满足AG=PA． ‎ ‎15．【解析】证明：（Ⅰ）因为四边形为正方形，则. ‎ 又平面平面，‎ 且面面，‎ ‎ 所以平面. ‎ ‎（Ⅱ）取SC的中点R，连QR, DR．‎ ‎ 由题意知：PD∥BC且PD=BC． ‎ ‎ 在中，为的中点，R为SC的中点，‎ ‎ 所以QR∥BC且QR=BC．‎ ‎ 所以QR∥PD且QR=PD，‎ ‎ 则四边形为平行四边形. ‎ 所以PQ∥DR.又PQ平面SCD，DR平面SCD， ‎ 所以PQ∥平面SCD． ‎ ‎（Ⅲ）存在点为中点，使得平面平面． ‎ 连接交于点，连接、，‎ 因为，并且，‎ 所以四边形为平行四边形，所以.‎ 又因为为中点，‎ 所以． ‎ 因为平面平面，平面平面=，并且，‎ 所以平面，‎ 所以平面，‎ 又因为平面，‎ 所以平面平面． ‎