高考真题体验抛物线专项 11页

高考真题体验：抛物线专项 一、选择题 ‎1. 抛物线的焦点坐标是（　B　）‎ A．（2，0） B． （2，0） C． （4，0） D． （4，0）‎ ‎2. 抛物线的准线方程是（　B　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎3. 抛物线的准线方程是（　A　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎4. 抛物线的焦点到准线的距离是C ‎ （A） 1 （B）2 （C）4 （D）8‎ ‎5. 设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是B A． 4 B． ‎6 ‎‎ C． 8 D．12‎ ‎6. 以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( D )‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎7. 已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9. 已知直线和直线，抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是（　A　）‎ A．2 B．‎3 ‎ C． D．‎ ‎10. 抛物线上的点到直线距离的最小值是（A　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎11. 连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点，设点为坐标原点，则三角形的面积为（　B　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎12. 设斜率为2的直线过抛物线（）的焦点，且和轴交于点．若（O为坐标原点) 的面积为4，则抛物线方程为（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎13. 直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为（　A　）‎ Ａ．48 Ｂ．56 Ｃ．64 Ｄ．72‎ ‎14. 设抛物线的焦点为，过点（，0）的直线与抛物线相交于两点，与抛物线的准线相交于点，=2，则与的面积之比= （　A　）A． B． C． D．‎ ‎15. 抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是（　C　）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎16. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（ B ）‎ A．4 B．‎8 ‎ C．16 D．32‎ ‎17. 已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为C （A） （B） 1 （C）2 （D）4 ‎ ‎18. 若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（　D　）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎19. 已知两点，，点为坐标平面内的动点，满足，则动点的轨迹方程为（　B　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎20. 设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么=B ‎ （A）4 （B）8 （C） （D）16‎ ‎21. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，则有（　C　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ ‎22. 设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点．若，则（ B ）‎ A．9 B．‎6 ‎ C．4 D．3‎ ‎23. 已知直线与抛物线相交与两点，F为C的焦点．若，则（ D ）‎ A． B． C． D．‎ ‎24. 设为坐标原点，为抛物经的焦点，为抛物线上一点，若 ‎，则点的坐标为（B　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ ‎25. 已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为B ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎26. 设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为（ B ）‎ A． B． C． D．‎ ‎27. 点在直线上，若存在过的直线交抛物线于两点，且，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（ A ）‎ A．直线上的所有点都是“点”‎ B．直线上仅有有限个点是“点”‎ C．直线上的所有点都不是“点”‎ D．直线上有无穷多个点（但不是所有的点）是“点” ‎ 二、填空题 ‎1. 在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点，则该抛物线的方程是 ．‎ ‎2. 动点到点的距离与它到直线的距离相等，则点的轨迹方程为 ．‎ ‎3. 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为轴上，直线与抛物线交于A，B两点．若为AB的中点，则抛物线的方程为 ．‎ ‎4. 抛物线的焦点坐标是 ．（2，0）‎ ‎5. 以双曲线的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ．‎ ‎6. 设抛物线的焦点为F，点．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为 ．‎ ‎7. 已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足，则弦AB的中点到准线的距离为_____．‎ ‎8. 已知过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点，，则_______ ．2‎ ‎9. 已知直线与抛物线相切，则________．‎ ‎10. 设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 ．‎ ‎11. 过抛物线（）的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则　　　　．‎ ‎12. 已知抛物线的准线为，过M（1，0）且斜率为的直线与相交于点A，与C的一个交点为B，若，则_______．2‎ ‎13. 过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于两点（点在轴左侧），则 ．‎ ‎14. 已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为（2，2），则直线的方程为 ．‎ ‎15. 已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于 ．‎ ‎16. 已知是抛物线的焦点，是上的两个点，线段AB的中点为，则的面积等于 ．2‎ ‎17. 过抛物线的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于两点，在轴上的正射影分别为．若梯形的面积为，则 ．2‎ ‎18. 已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值是 ．32‎ 三、解答题 ‎1. （本小题满分12分）‎ 已知抛物线C：过点A（1，2）．‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其准线方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线，使得直线与抛物线C有公共点，且直线OA与的距离等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎1. 本小题主要考查直线、抛物线等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分12分．‎ 解：（Ⅰ）将（1，）代入，得·1，所以．‎ 故所求的抛物线C的方程为，其准线方程为．‎ ‎（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，其方程为，‎ 由得．‎ 因为直线l与抛物线C有公共点，所以，解得．‎ 另一方面，由直线OA与l的距离可得，解得．‎ 因为，，‎ 所以符合题意的直线l存在，其方程为．‎ ‎2. （本小题满分14分）‎ 如图，已知，直线，为平面上的动点，过点作的垂线，垂足为点，且．‎ ‎（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线交轨迹于两点，交直线于点．‎ ‎（1）已知，，求的值；‎ ‎（2）求的最小值．‎ ‎2. 本小题主要考查直线、抛物线、向量等基础知识，考查轨迹方程的求法以及研究曲线几何特征的基本方法，考查运算能力和综合解题能力．满分14分．‎ 解法一：（Ⅰ）设点，则，由得：‎ ‎，化简得．‎ ‎（Ⅱ）（1）设直线的方程为：‎ ‎．‎ 设，，又，‎ P B Q M F O A x y 联立方程组，消去得：，，‎ 由，得：‎ ‎，，整理得：‎ ‎，，‎ ‎．‎ 解法二：（Ⅰ）由得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 所以点的轨迹是抛物线，由题意，轨迹的方程为：．‎ ‎（Ⅱ）（1）由已知，，得．‎ 则：．…………①‎ 过点分别作准线的垂线，垂足分别为，，‎ 则有：．…………②‎ 由①②得：，即．‎ ‎（Ⅱ）（2）解：由解法一，‎ ‎．‎ 当且仅当，即时等号成立，所以最小值为．‎ ‎3. （本小题满分13分）‎ ‎ 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．‎ ‎ （Ⅰ）求曲线C的方程；‎ ‎ （Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ ‎3. 本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质等基础知识，同时考查推理运算的能力． ‎ ‎ 解：（Ⅰ）设P（x，y）是曲线C上任意一点，那么点P（x，y）满足：‎ ‎ ‎ ‎ 化简得．‎ ‎ （Ⅱ）设过点M（m，0）的直线与曲线C的交点为 设的方程为，‎ 于是 ①‎ 又．‎ ‎ ②‎ 又，于是不等式②等价于 ‎ ③‎ 由①式，不等式③等价于 ④‎ 对任意实数t，的最小值为0，所以不等式④对于一切t成立等价于 ‎．‎ 由此可知，存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A，B的任一直线，都有，且m的取值范围是．‎ ‎4. （本题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点在原点，经过点，其焦点在轴上．‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）求过点，且与直线垂直的直线的方程；‎ O x y ‎1‎ ‎1‎ A ‎（3）设过点的直线交抛物线于两点，，记和两点间的距离为，求关于的表达式．‎ ‎4. 本题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识，考查运算求解能力．满分10分．‎ O x y ‎1‎ ‎1‎ A M D E 解：（1）由题意，可设抛物线的标准方程为．因为点在抛物线上，所以．因此，抛物线的标准方程为．‎ ‎（2）由（1）可得焦点的坐标是，又直线的斜率为，故与直线垂直的直线的斜率为．因此，所求直线的方程是．‎ ‎（3）解法一：‎ 设点和的坐标分别为和，直线的方程是，．将代入，有，解得．‎ 由知，化简得．因此 ‎．‎ 所以．‎ 解法二：‎ 设，．由点及得 ‎．‎ 因此．所以 ‎．‎ ‎5. （本小题满分12分）‎ 已知抛物线：，直线交于两点，是线段的中点，过作轴的垂线交于点．‎ ‎（Ⅰ）证明：抛物线在点处的切线与平行；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数使，若存在，求的值；若不存在，说明理由．‎ ‎5. 解法一：（Ⅰ）如图，设，，把代入得，‎ x A y ‎1‎ ‎1‎ ‎2‎ M N B O 由韦达定理得，，‎ ‎，点的坐标为．‎ 设抛物线在点处的切线的方程为，‎ 将代入上式得，‎ 直线与抛物线相切，‎ ‎，．‎ 即．‎ ‎（Ⅱ）假设存在实数，使，则，又是的中点，‎ ‎．‎ 由（Ⅰ）知 ‎．‎ 轴，．‎ 又 ‎ ．‎ ‎，解得．‎ 即存在，使．‎ 解法二：（Ⅰ）如图，设，把代入得 ‎．由韦达定理得．‎ ‎，点的坐标为．，，‎ 抛物线在点处的切线的斜率为，．‎ ‎（Ⅱ）假设存在实数，使．‎ 由（Ⅰ）知，则 ‎，‎ ‎，，解得．‎ 即存在，使．‎ ‎（11湖南）6．已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的差等于1．‎ ‎（I）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．‎ 解析：（I）设动点的坐标为，由题意为 化简得 当、‎ 所以动点P的轨迹C的方程为 ‎（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．‎ 由，得 设则是上述方程的两个实根，于是 ‎ ．‎ 因为，所以的斜率为．‎ 设则同理可得 故 当且仅当即时，取最小值16．‎ ‎（11江苏）7.已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且．‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．‎ 解析：（1）直线AB的方程是 ‎ 所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，‎ 抛物线方程为：‎ （2） ‎、由p=4，化简得，从而,从而A:(1,),B(4,)‎ 设=，又，即8（4），即，解得 ‎（11福建）8.如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x2=4y相切于点A。‎ （1） 求实数b的值；‎ ‎（11） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程.‎ ‎（11浙江）9.如图，设是抛物线：‎ 上的动点。过点做圆的两条切线，交直线：于两点。 ‎ ‎（Ⅰ）求的圆心到抛物线 准线的距离。‎ ‎（Ⅱ）是否存在点，使线段被抛物线在点处得切线平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。‎