2016高考数学离心率专题 11页

高考数学离心率 离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a，b，c，e的一个方程，就可以从中求出离心率．但如果选择方法不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！‎ ‎【例1】 ‎ ‎[解法一]（大多数学生的解法）‎ 解：由于为等腰直角三角形，故有 ‎，而，‎ 所以，整理得 等式两边同时除以，得，即，‎ 解得，舍去 因此，选D ‎[解法二]（采用离心率的定义以及椭圆的定义求解）‎ 解：如右图所示，有 故选D ‎[评]‎ 以上两种方法都是很好的方法，解法一是高手的解法，灵活运用了“通径”这个二级结论，使题目迎刃而解，但计算量偏大，耗时较长；而解法二则是老手，整个过程没有任何高级结论，只运用了最最最简单的、人人皆知的“定义”，通过几个简单的步骤即可。正所谓此时无法胜有法！‎ 一、用定义求离心率问题 ‎1. 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）D ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）A ‎ A． B． C． D．‎ ‎3.在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．‎ ‎4、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为_________；‎ 解析：设c=1，则 ‎5、已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为 。‎ 解析：由已知C=2，‎ ‎6．过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为B ‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）D ‎ A． B． C． D．‎ ‎8.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）B A． B． C． D．‎ ‎9、设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 解．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，，∴ 离心率，选B。‎ ‎10、如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，则双曲线的离心率为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 解析：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△是等边三角形，连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，∴ ，双曲线的离心率为，选D。‎ ‎11.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满=4:3:2，则曲线r的离心率等于A A. B.或2 C.2 D.‎ 二、列方程求离心率问题 ‎1．方程的两个根可分别作为（　　）‎ Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 解：方程的两个根分别为2，，故选A ‎ ‎2、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴ ，椭圆的离心率，选D。‎ ‎3、设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为B ‎（A） （B） （C）2 （D）3‎ ‎4.在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半 径的圆，过点(，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e= ．‎ ‎5．已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为 （A） (B) (C) (D) 解析:双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A ‎6、在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解析：由 ， 选A ‎7．已知双曲线(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为 A.2 B. C. D. 解：双曲线(a>)的两条渐近线的夹角为，则，∴ a2=6，双曲线的离心率为 ，选D．‎ ‎8.已知双曲线（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=,则双曲线方程为（ ）C ‎（A）－=1 (B) (C) (D)‎ ‎9设双曲线（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )‎ ‎（A） （B）2 （C） （D） ‎ 解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又 解得: . 【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.‎ ‎10、设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ 解析：选D.不妨设双曲线的焦点在轴上，设其方程为：，‎ 则一个焦点为一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，，‎ ‎11．如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 . ‎ ‎【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。‎ 直线的方程为：；‎ 直线的方程为：。二者联立解得：， ‎ 则在椭圆上，‎ ‎， ‎ 解得：‎ ‎12已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若。则k =‎ ‎（A）1 （B） （C） （D）2‎ ‎【解析】B：，∵ ，∴ ， ∵ ，设，，∴ ，直线AB方程为。代入消去，∴ ，∴ ，‎ ‎，解得，‎ ‎13已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 ‎ 答案：‎ ‎【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.‎ ‎【解析】如图，,‎ 作轴于点D1,则由，得 ‎,所以,‎ 即,由椭圆的第二定义得 又由,得,整理得.‎ 两边都除以,得,解得.‎ ‎14．过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ 解析：过双曲线的左顶点(1，0)作斜率为1的直线：y=x－1, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 联立方程组代入消元得，∴ ，x1+x2=2x1x2，又,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得，∴ b2=9，双曲线的离心率e=，选A.‎ ‎15．过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( ) ‎ A． B． C． D．‎ 答案：C ‎ ‎【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，‎ ‎，则有 ‎，因．‎ ‎16. 已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为 .‎ m A． B. C. D. ‎ 解：设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,由双曲线的第二定义有 ‎.‎ 又 故选A B2‎ B1‎ F1‎ y x O F2‎ P 一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式．离心率是描述圆锥曲线性质的一个关键量，它是一个比值，它与圆锥曲线的大小无关，只与其形状有关．在椭圆中，离心率越大，椭圆越扁平，离心率越小，椭圆越圆，椭圆离心率的取值范围e∈(0，1)；在双曲线中，离心率越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的“张口”逐渐增大，双曲线离心率的取值范围e∈(1，＋∞)；在抛物线中，离心率e＝1．‎ 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2＝60°，则椭圆离心率的取值范围是 ．‎ 分析：如果我们考虑几何的大小，我们发现当M为椭圆的短轴的顶点B1（或B2）时∠F1PF2最大（需要证明），从而有0＜∠F1PF2≤∠F1 B1F2．根据条件可得∠F1 B1F2≥60°，易得≥．故≤e＜1．‎ 证明，在△F1PF2中，由余弦定理得，‎ 当且仅当PF1＝PF2时，等号成立，即当M与椭圆的短轴的顶点B1（或B2）时∠F1MF2最大．‎ 如果通过设椭圆上的点P(x，y)，利用椭圆本身的范围，也可以求出离心率e的范围．在本题中，运用此法可以做，但比较复杂（关键是点P的坐标不易表示）．因此，在解题过程中要注意方法的选择．‎ 三、离心率范围问题 ‎1.已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P，使得∠F1PF2‎ ‎＝60°，则椭圆离心率的取值范围是 ．‎ ‎2．已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．‎ 答案：(1, )‎ ‎3.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）C A． B． C． D．‎ ‎4、椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（　　）‎ Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．‎ 解析：椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，，，则，该椭圆离心率e≥，取值范围是，选D。‎ ‎5.设，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）B A． B． C． D．‎ ‎6. 已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为：（ ）B ‎ A． B． C． D．‎ ‎7.双曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）B A.(1,3) B. C.(3,+) D.‎ ‎8．已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)‎ 解析：双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，∴ ≥，离心率e2=，∴ e≥2，选C ‎7.已知点M在椭圆＋＝1上，MP′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P′，并且M为线段PP′的中点，求P点的轨迹方程.‎ 中点弦 ‎28.自椭圆（a>b>0）上任意一点P，作x轴的垂线，垂足为Q，则线段PQ的中点M的轨迹方程是 ‎ ‎ ‎16.已知（4，2）是直线L被椭圆所截得的线段的中点，则L的方程是 A.x-2y=0 B.x+2y-4=0 C.2x+3y+4=0 D.x+2y-8=0‎ ‎19.椭圆ax2+by2=1与直线y=1－x交于A、B两点，若过原点与线段AB中点的直线的倾角为30°，则的值为 A. B. C. D.‎ 特殊性质 ‎20.过椭圆的中心的弦为PQ，焦点为F1，F2，则△PQF1的最大面积是 A. a b B. b c C. c a D. a b c 最距离 ‎34.直线x-y-m=0与椭圆且只有一个公共点,则m的值是 A.10 B.±10 C.± D.‎ ‎ 定义法求方程 ‎1、(北京西城区)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是 (　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎2、如图，动圆与定圆：(x＋2)2＋y2＝36内切，且过定圆内的一个定点A（2，0），求动圆圆心P的轨迹方程。 ‎ 例 2已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3，0)，圆P过B且与圆A内切，‎ ‎ 求圆心P的轨迹方程. ‎ ‎ ‎ ‎ 3、已知圆，又P（，0），M是圆上的动点，MP的中垂线交OM于Q，则点Q的轨迹是（ ）‎ A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 ‎ ‎6.△ABC的三边a，b，c成等差数列，且a>b>c，A，C的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，求顶点B的轨迹方程.‎ ‎ ‎