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  • 2021-05-13 发布

高考真题理科数学全国II卷

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理科数学 2017年高三2017年全国甲卷理科数学 ‎ 理科数学 考试时间:____分钟 题型 单选题 填空题 简答题 总分 得分 单选题 (本大题共12小题,每小题____分,共____分。) ‎ ‎1.(     )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎2.设集合,.若,则(      )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(          )‎ A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 ‎4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为(        )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎5.设,满足约束条件,则的最小值是(       )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有(         )‎ A. 12种 B. 18种 C. 24种 D. 36种 ‎7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则(          )‎ A. 乙可以知道四人的成绩 B. 丁可以知道四人的成绩 C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 乙、丁可以知道自己的成绩 ‎8.执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的(       )‎ A. 2‎ B. 3‎ C. 4‎ D. 5‎ ‎9.若双曲线(,)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则的离心率为(          )‎ A. 2‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎10.已知直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为(         )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎11.若是函数的极值点,则的极小值为(        )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. 1‎ ‎12.已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小是(        )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 填空题 (本大题共4小题,每小题____分,共____分。) ‎ ‎13.一批产品的二等品率为,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件数,则____________.‎ ‎14.函数的最大值是____________.‎ ‎15.等差数列的前项和为,,,则____________.‎ ‎16.已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则____________.‎ 简答题(综合题) (本大题共7小题,每小题____分,共____分。) ‎ ‎17.(12分)‎ 的内角的对边分别为,已知.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)若,的面积为,求.‎ ‎18.(12分)‎ 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg).其频率分布直方图如下:‎ ‎(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件:“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;‎ ‎(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:‎ ‎(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).‎ 附:,‎ ‎19.(12分)‎ 如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD, E是PD的中点.‎ ‎(1)证明:直线平面PAB;‎ ‎(2)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成角为,求二面角的余弦值.‎ ‎20.(12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程;‎ ‎(2)设点Q在直线上,且.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.‎ ‎21.(12分)‎ 已知函数,且.‎ ‎(1)求;‎ ‎(2)证明:存在唯一的极大值点,且.‎ 所以.‎ ‎22.选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4―4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)M为曲线上的动点,点P在线段OM上,且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点A的极坐标为,点B在曲线上,求面积的最大值.‎ ‎23.选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4—5:不等式选讲](10分)‎ 已知.证明:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ 答案 单选题 ‎ ‎1.  D 2.  C 3.  B 4.  B 5.  A 6.  D 7.  D 8.  B 9.  A 10.  C 11.  A 12.  B ‎ 填空题 ‎ ‎13.  ‎ ‎14.  ‎ ‎1‎ ‎15.  ‎ ‎16.  ‎ ‎6‎ 简答题 ‎ ‎17.  ‎ ‎(1)      (2)‎ ‎18.  ‎ ‎(1)   (2)见解析   (3)‎ ‎19.  ‎ ‎(1)见解析;    (2)‎ ‎20.  ‎ ‎(1);(2)见解析 ‎21.  ‎ ‎(1);(2)见解析 ‎22.  ‎ ‎(1).(2)‎ ‎23.  ‎ ‎(1)见解析(2)见解析 解析 单选题 ‎ ‎1.  ‎ 由复数的除法运算法则有:,故选D.‎ ‎2.  ‎ 由得,即是方程的根,所以,,故选C.‎ ‎3.  ‎ 设塔的顶层共有灯盏,则各层的灯数构成一个首项为,公比为2的等比数列,结合等比数列的求和公式有:,解得,即塔的顶层共有灯3盏,故选B.‎ ‎4.  ‎ 由题意,其体积,其体积,故该组合体的体积.故选B.‎ ‎5.  ‎ 绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值,最小值为.故选A.‎ ‎6.  ‎ 由题意可得,一人完成两项工作,其余两人每人完成一项工作,据此可得,只要把工作分成三份:有种方法,然后进行全排列,由乘法原理,不同的安排方式共有种. 故选D.‎ ‎7.  ‎ 四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说的话.甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良,(若为两优,甲会知道自己成绩;两良亦然)→乙看了丙成绩,知自己成绩→丁看甲,甲、丁中也为一优一良,丁知自己成绩.‎ ‎8.  ‎ 阅读程序框图,初始化数值.‎ 循环结果执行如下:‎ 第一次:;‎ 第二次:;‎ 第三次:;‎ 第四次:;‎ 第五次:;‎ 第六次:;‎ 结束循环,输出.故选B.‎ ‎9.  ‎ 取渐近线,化成一般式,圆心到直线距离为 得,,.‎ ‎10.  ‎ 如图所示,补成直四棱柱,‎ 则所求角为,‎ 易得,因此,故选C.‎ ‎11.  ‎ ‎,‎ 则,‎ 则,,‎ 令,得或,‎ 当或时,,‎ 当时,,‎ 则极小值为.‎ ‎12.  ‎ 如图,以为轴,的垂直平分线为轴,为坐标原点建立平面直角坐标系,则,,,设,所以,,,所以,‎ ‎,当时,所求的最小值为,故选B.‎ 填空题 ‎ ‎13.  ‎ 由题意可得,抽到二等品的件数符合二项分布,即,由二项分布的期望公式可得.‎ ‎14.  ‎ 化简三角函数的解析式,则 ‎,由可得,当时,函数取得最大值1.‎ ‎15.  ‎ 设首项为,公差为.‎ 则 求得,,则,‎ ‎16.  ‎ 如图所示,不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线与轴交于点,作与点,与点,由抛物线的解析式可得准线方程为,则,在直角梯形中,中位线,由抛物线的定义有:,结合题意,有,故.‎ 简答题 ‎ ‎17.  ‎ ‎(1)依题得:.‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎(2)由⑴可知.‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎18.  ‎ ‎(1)记:“旧养殖法的箱产量低于” 为事件 ‎“新养殖法的箱产量不低于”为事件 而 ‎(2)‎ ‎ 由计算可得的观测值为 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴有以上的把握产量的养殖方法有关.‎ ‎(3),‎ ‎,‎ ‎,∴中位数为.‎ ‎19.  ‎ ‎(1)令中点为,连结,,.‎ ‎∵,为,中点,∴为的中位线,∴.‎ 又∵,∴.‎ 又∵,∴,∴.‎ ‎∴四边形为平行四边形,∴.‎ 又∵,∴‎ ‎(2)取中点,连,由于为正三角形 ‎∴‎ 又∵平面平面,平面平面 ‎∴平面,连,四边形为正方形。‎ ‎∵平面,∴平面平面 而平面平面 过作,垂足为,∴平面 ‎∴为与平面所成角,‎ ‎∴‎ 在中,,∴,‎ 设,,,‎ ‎∴,∴‎ 在中,,∴‎ ‎∴,,‎ 以为坐标原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系,,,,‎ ‎,‎ 设平面的法向量为,,∴‎ ‎∴,而平面的法向量为 设二面角的大角为(为锐角)‎ ‎∴‎ ‎20.  ‎ ‎(1)设,设,.‎ 由得.‎ 因为在C上,所以.‎ 因此点P的轨迹方程为.‎ ‎(2)由题意知.设,‎ 则,.‎ 由得,又由(1)知,故,‎ 所以,即.‎ 又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.‎ ‎21.  ‎ ‎(1)的定义域为 设,则等价于 因为 若a=1,则.当0<x<1时,单调递减;当x>1时,>0,单调递增.所以x=1是的极小值点,故 综上,‎ ‎⑵ ,,.‎ 令,则,.‎ 令得,‎ 当时,,单调递减;当时,,单调递增.‎ 所以,.‎ 因为,,,,‎ 所以在和上,即各有一个零点.‎ 设在和上的零点分别为,因为在上单调减,‎ 所以当时,,单调增;当时,,单调减.因此,是的极大值点.‎ 因为,在上单调增,所以当时,,单调减,时,单调增,因此是的极小值点.‎ 所以,有唯一的极大值点.‎ 由前面的证明可知,,则.‎ 因为,所以,则 又,因为,所以.‎ 因此,.‎ ‎22.  ‎ ‎⑴设 则.‎ 解得,化为直角坐标系方程为.‎ ‎(2)设点B的极坐标为,由题设知 ‎,于是△OAB面积 当时,S取得最大值 所以△OAB面积的最大值为 ‎23.  ‎ ‎(1)‎ ‎(2)因为 所以,因此.‎