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- 2021-05-13 发布
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理科数学 2017年高三2017年全国甲卷理科数学
理科数学
考试时间:____分钟
题型
单选题
填空题
简答题
总分
得分
单选题 (本大题共12小题,每小题____分,共____分。)
1.( )
A.
B.
C.
D.
2.设集合,.若,则( )
A.
B.
C.
D.
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
A. 1盏
B. 3盏
C. 5盏
D. 9盏
4.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
5.设,满足约束条件,则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
6.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有( )
A. 12种
B. 18种
C. 24种
D. 36种
7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则( )
A. 乙可以知道四人的成绩
B. 丁可以知道四人的成绩
C. 乙、丁可以知道对方的成绩
D. 乙、丁可以知道自己的成绩
8.执行右面的程序框图,如果输入的,则输出的( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
9.若双曲线(,)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则的离心率为( )
A. 2
B.
C.
D.
10.已知直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
11.若是函数的极值点,则的极小值为( )
A.
B.
C.
D. 1
12.已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小是( )
A.
B.
C.
D.
填空题 (本大题共4小题,每小题____分,共____分。)
13.一批产品的二等品率为,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取次,表示抽到的二等品件数,则____________.
14.函数的最大值是____________.
15.等差数列的前项和为,,,则____________.
16.已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则____________.
简答题(综合题) (本大题共7小题,每小题____分,共____分。)
17.(12分)
的内角的对边分别为,已知.
(1)求;
(2)若,的面积为,求.
18.(12分)
海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg).其频率分布直方图如下:
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件:“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).
附:,
19.(12分)
如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD, E是PD的中点.
(1)证明:直线平面PAB;
(2)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成角为,求二面角的余弦值.
20.(12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线上,且.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
21.(12分)
已知函数,且.
(1)求;
(2)证明:存在唯一的极大值点,且.
所以.
22.选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
[选修4―4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)M为曲线上的动点,点P在线段OM上,且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线上,求面积的最大值.
23.选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知.证明:
(1);
(2).
答案
单选题
1. D 2. C 3. B 4. B 5. A 6. D 7. D 8. B 9. A 10. C 11. A 12. B
填空题
13.
14.
1
15.
16.
6
简答题
17.
(1) (2)
18.
(1) (2)见解析 (3)
19.
(1)见解析; (2)
20.
(1);(2)见解析
21.
(1);(2)见解析
22.
(1).(2)
23.
(1)见解析(2)见解析
解析
单选题
1.
由复数的除法运算法则有:,故选D.
2.
由得,即是方程的根,所以,,故选C.
3.
设塔的顶层共有灯盏,则各层的灯数构成一个首项为,公比为2的等比数列,结合等比数列的求和公式有:,解得,即塔的顶层共有灯3盏,故选B.
4.
由题意,其体积,其体积,故该组合体的体积.故选B.
5.
绘制不等式组表示的可行域,结合目标函数的几何意义可得函数在点处取得最小值,最小值为.故选A.
6.
由题意可得,一人完成两项工作,其余两人每人完成一项工作,据此可得,只要把工作分成三份:有种方法,然后进行全排列,由乘法原理,不同的安排方式共有种. 故选D.
7.
四人所知只有自己看到,老师所说及最后甲说的话.甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良,(若为两优,甲会知道自己成绩;两良亦然)→乙看了丙成绩,知自己成绩→丁看甲,甲、丁中也为一优一良,丁知自己成绩.
8.
阅读程序框图,初始化数值.
循环结果执行如下:
第一次:;
第二次:;
第三次:;
第四次:;
第五次:;
第六次:;
结束循环,输出.故选B.
9.
取渐近线,化成一般式,圆心到直线距离为
得,,.
10.
如图所示,补成直四棱柱,
则所求角为,
易得,因此,故选C.
11.
,
则,
则,,
令,得或,
当或时,,
当时,,
则极小值为.
12.
如图,以为轴,的垂直平分线为轴,为坐标原点建立平面直角坐标系,则,,,设,所以,,,所以,
,当时,所求的最小值为,故选B.
填空题
13.
由题意可得,抽到二等品的件数符合二项分布,即,由二项分布的期望公式可得.
14.
化简三角函数的解析式,则
,由可得,当时,函数取得最大值1.
15.
设首项为,公差为.
则
求得,,则,
16.
如图所示,不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线与轴交于点,作与点,与点,由抛物线的解析式可得准线方程为,则,在直角梯形中,中位线,由抛物线的定义有:,结合题意,有,故.
简答题
17.
(1)依题得:.
∵,
∴,
∴,
∴,
(2)由⑴可知.
∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴.
18.
(1)记:“旧养殖法的箱产量低于” 为事件
“新养殖法的箱产量不低于”为事件
而
(2)
由计算可得的观测值为
∵
∴
∴有以上的把握产量的养殖方法有关.
(3),
,
,∴中位数为.
19.
(1)令中点为,连结,,.
∵,为,中点,∴为的中位线,∴.
又∵,∴.
又∵,∴,∴.
∴四边形为平行四边形,∴.
又∵,∴
(2)取中点,连,由于为正三角形
∴
又∵平面平面,平面平面
∴平面,连,四边形为正方形。
∵平面,∴平面平面
而平面平面
过作,垂足为,∴平面
∴为与平面所成角,
∴
在中,,∴,
设,,,
∴,∴
在中,,∴
∴,,
以为坐标原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系,,,,
,
设平面的法向量为,,∴
∴,而平面的法向量为
设二面角的大角为(为锐角)
∴
20.
(1)设,设,.
由得.
因为在C上,所以.
因此点P的轨迹方程为.
(2)由题意知.设,
则,.
由得,又由(1)知,故,
所以,即.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ,所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.
21.
(1)的定义域为
设,则等价于
因为
若a=1,则.当0<x<1时,单调递减;当x>1时,>0,单调递增.所以x=1是的极小值点,故
综上,
⑵ ,,.
令,则,.
令得,
当时,,单调递减;当时,,单调递增.
所以,.
因为,,,,
所以在和上,即各有一个零点.
设在和上的零点分别为,因为在上单调减,
所以当时,,单调增;当时,,单调减.因此,是的极大值点.
因为,在上单调增,所以当时,,单调减,时,单调增,因此是的极小值点.
所以,有唯一的极大值点.
由前面的证明可知,,则.
因为,所以,则
又,因为,所以.
因此,.
22.
⑴设
则.
解得,化为直角坐标系方程为.
(2)设点B的极坐标为,由题设知
,于是△OAB面积
当时,S取得最大值
所以△OAB面积的最大值为
23.
(1)
(2)因为
所以,因此.