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  • 2021-05-13 发布

高考广西文科数学试题及答案word解析版

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‎2014年普通高等学校招生全国统一考试(广西卷)‎ 数学(文科)‎ 第Ⅰ卷(共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)【2014年广西,文1,5分】设集合,则中元素的个数为( )‎ ‎(A)2 (B)3 (C)5 (D)7‎ ‎【答案】B ‎【解析】,所以中元素的个数为3,故选B.‎ ‎【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.‎ ‎(2)【2014年广西,文2,5分】已知角的终边经过点,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三角函数定义知,故选D.‎ ‎【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题.‎ ‎(3)【2014年广西,文3,5分】不等式组的解集为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得或;由得,所以不等式组的解集为,故选C.‎ ‎【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法,属于基础题.‎ ‎(4)【2014年广西,文4,5分】已知正四面体中,是的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图,取的中点,连接、.因为、分别是、的中点,‎ 所以,故或其补角是异面直线、所成的角.‎ 设正四面体的棱长为,易知,.在中,‎ 由余弦定理可得,故选B.‎ ‎【点评】本题考查异面直线及其所成的角,关键是找角,考查了余弦定理的应用,是中档题.‎ ‎(5)【2014年广西,文5,5分】函数的反函数是( )‎ ‎ (A)(B)(C)(D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得,即,又由可知,所以原函数的反函数为,故选D.‎ ‎【点评】本题考查反函数解析式的求解,属基础题.‎ ‎(6)【2014年广西,文6,5分】已知为单位向量,其夹角为,则( )‎ ‎(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2‎ ‎【答案】B ‎【解析】,故选B.‎ ‎【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义,属于基础题.‎ ‎(7)【2014年广西,文7,5分】有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )‎ ‎ (A)60种 (B)70种 (C)75种 (D)150种 ‎【答案】C ‎【解析】根据题意,先从6名男医生中选2人,有种选法,再从5名女医生中选出1人,有种选法,则不同的选法共有15×5=75种,故选C.‎ ‎【点评】本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同.‎ ‎(8)【2014年广西,文8,5分】设等比数列的前项和为,若,则( )‎ ‎(A)31 (B)32 (C)63 (D)64‎ ‎【答案】C ‎【解析】由等比数列的性质得,即,解得,故选C.‎ ‎【点评】本题考查等比数列的性质,得出,,成等比数列是解决问题的关键,属基础题.‎ ‎(9)【2014年广西,文9,5分】已知椭圆:的左、右焦点为、,离心率为,过的直线交于、两点,若的周长为,则的方程为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵的周长为,∴,∴,∵离心率为,∴,∴,‎ ‎∴椭圆的方程为,故选A.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎(10)【2014年广西,文10,5分】正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】设球的半径为,则∵棱锥的高为4,底面边长为2,∴,‎ ‎∴,∴球的表面积为,故选A.‎ ‎【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题.‎ ‎(11)【2014年广西,文11,5分】双曲线:的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则的焦距等于( )‎ ‎(A)2 (B) (C)4 (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知得,所以,故,从而双曲线的渐进线方程为,由焦点到渐进线的距离为,得,解得,故,故选C.‎ ‎【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算,利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式,建立方程组是解决本题的关键,比较基础.‎ ‎(12)【2014年广西,文12,5分】奇函数的定义域为R,若为偶函数,且,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】D ‎【解析】由是偶函数可得,又由是奇函数得,‎ 所以,,故是以4为周期的周期函数,‎ 所以,又是定义在上的奇函数,所以,‎ 所以,故,故选D.‎ ‎【点评】本题主要考查函数值的计算,利用函数奇偶性的性质,得到函数的对称轴是解决本题的关键.‎ 第II卷(共100分)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎(13)【2014年广西,文13,5分】的展开式中的系数为 (用数字作答).‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通项,令,得,所以的系数为.‎ ‎【点评】本题考查二项式定理的应用,关键要得到的展开式的通项.‎ ‎(14)【2014年广西,文14,5分】函数的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,因为,所以当时,.‎ ‎【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式,二次函数的性质应用,正弦函数的值域,属于基础题.‎ ‎(15)【2014年广西,文15,5分】设、满足约束条件,则的最大值为 .‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】由约束条件作出可行域如图,联立,解得.‎ 化目标函数为直线方程的斜截式,得.‎ 由图可知,当直线过点时,直线在轴上的截距最大,最大.此时.‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.‎ ‎(16)【2014年广西,文16,5分】直线和是圆的两条切线,若与的交点为,则与 的夹角的正切值等于____________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设与的夹角为,由于与的交点在圆的外部,且点与圆心之间的距离为:‎ ‎,圆的半径为,∴,,,‎ ‎.‎ ‎【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质,直角三角形中的变角关系,同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用,属于中档题.‎ 三、解答题:本大题共6题,共75分.‎ ‎(17)【2014年广西,文17,10分】数列满足.‎ ‎(1)设,证明是等差数列;‎ ‎(2)求的通项公式.‎ 解:(1)由得,,即.又.‎ 所以是首项为1,公差为2的等差数列.‎ ‎(2)由(1)得,即.于是,所以,.又,所以的通项公式为.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的定义、通项公式、前项和公式,及累加法求数列的通项公式和转化思想,属于中档题.‎ ‎(18)【2014年广西,文18,12分】的内角、、的对边分别为、、,已知,,求.‎ 解:根据正弦定理,由 因为,所以,所以 ‎ 因为,所以,由三角形的内角和可得.‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.‎ ‎(19)【2014年广西,文19,12分】如图,三棱柱中,点在平面内的射影在上,,.‎ ‎(1)证明:;‎ ‎(2)设直线与平面的距离为,求二面角的大小.‎ 解:解法一:‎ ‎(1)因为平面,平面,故平面平面.‎ 又,所以平面.连结.因为侧面为菱形,故. ‎ 由三垂线定理得.‎ ‎(2)平面,平面,故平面平面.‎ 作,为垂足,则平面.又直线平面,因而为直线 与平面的距离,.因为为的平分线,故.作,‎ 为垂足,连结.由三垂线定理得,故为二面角的平面角.‎ 由得为中点,,.‎ 所以二面角的大小为.‎ 解法二:‎ 以为坐标原点,射线为轴的正半轴,以的长为单位长,建立如图所示的空间直角 ‎ 坐标系,由题设知与轴平行,轴在平面内 ‎(1)设,由题设有,则, ‎ ‎, ………………2分 由,即①‎ 于是,所以. ……………………5分 ‎(2)设平面的法向量,则,所以,‎ 因,所以,令,则,,‎ 点到平面的距离为,‎ 又依题设,到平面的距离为,所以代入①解得(舍去)或 ……8分 于是,设平面的法向量,则所以,‎ 所以,令,则,又为平面 的法向量,故,‎ 所以二面角的大小为. ………………………………………………………12分 ‎【点评】本题考查二面角的求解,作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键,属中档题.‎ ‎(20)【2014年广西,文20,12分】设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为,各人是否需使用设备相互独立.‎ ‎(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;‎ ‎(2)实验室计划购买台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于”的概 率小于,求的最小值.‎ 解:记表示事件:同一工作日乙、丙中恰有人需使用设备,,‎ 表示事件:甲需使用设备,表示事件:丁需使用设备,表示事件:同一工作日至少3人需使用设备 ‎(1), ,‎ 所以 ‎.‎ ‎(2)由(1)知,若,则.又,.‎ 若,则.所以的最小值时为3.‎ ‎【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.‎ ‎(21)【2014年广西,文21,12分】函数. ‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)若在区间是增函数,求的取值范围.‎ 解:(1),的判别式.‎ ‎(i)若,则,且当且仅当,.故此时在上是增函数.‎ ‎(ii)由于,故当时,有两个根:,.‎ 若,则当或时,,故在,上是增函 数;当时,,故在上是减函数;‎ 若,则当或时,,故在,上是减函数;‎ 当时,,故在上是增函数.‎ ‎(2)当,时,,故当时,在区间上是增函数.‎ 当时,在区间上是增函数当且仅当且,解得.‎ 综上,的取值范围是.‎ ‎【点评】本题考查函数的导数的应用,判断函数的单调性以及已知单调性求解函数中的变量的范围,考查分类讨论思想的应用.‎ ‎(22)【2014年广西,文22,12分】已知抛物线:的焦点为,直线与轴的交点为,与的交点为,且. ‎(1)求的方程;‎ ‎(2)过的直线与相交于,两点,若的垂直平分线与相交于,两点,且,,‎ ‎,四点在同一圆上,求的方程.‎ 解:(1)设,代入得.所以,.由题设得,解得(舍去)或.所以的方程为.‎ ‎(2)依题意知与坐标轴不垂直,故可设的方程为.代入得.‎ 设,,则,.故的中点为,‎ ‎.又的斜率为,所以的方程为.‎ 将上式代入,并整理得.设,,则,.故中点为,.‎ 由于垂直平分,故,,,四点在同一圆上等价于,从而,即.‎ 化简得,解得或.所求直线的方程为或.‎ ‎【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理、弦长公式的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.‎