高考数学文科试卷广东 11页

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东A卷)‎ 数学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。‎ 参考公式：锥体的体积公式V=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛｝关系的韦恩（Venn）图是 ‎2．下列n的取值中，使in =1(i是虚数单位)的是 ‎　　A．n=2 　　　B．n=3 　　　C．n=4 　　　D．n=5‎ ‎3．已知平面向量a =(x，1)，b =(—x，x2 )，则向量a+b ‎ A．平行于x轴 　B．平行于第一、三象限的角平分线 ‎ C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线 ‎4．若函数是函数的反函数，且，则 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知等比数列的公比为正数，且，，则 ‎　A． 　　 B． 　　C． 　　D．‎ ‎6．给定下列四个命题：‎ ‎　①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；‎ ‎ ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；‎ ‎ ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；‎ ‎ ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。‎ ‎ 其中，为真命题的是 ‎ A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ ‎ ‎7．已知中，的对边分别为。若，且 ，则 ‎ A．2 B． C． D．‎ ‎8．函数的单调递增区间是 ‎　A． B．（0，3） C．（1，4） D．‎ ‎9．函数是 ‎　A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 ‎　C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎10．广州2010年亚运会火炬传递在A，B，C，D，E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见右表。若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是 ‎ ‎ ‎ A．20.6 B．‎21 C．22 D．23‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，(一)必做题(11~13题)‎ ‎11．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：‎ ‎ ‎ 图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填 ‎ ，输出的= 。‎ ‎(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“”或“：=”)‎ ‎12．某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1~200编号，并按编号顺序平均分为40组(1~5号，6~10号，，196~200号)。若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人。‎ ‎ ‎ ‎13．以点（2，－1）为圆心且与直线相切的圆的方程是_______________________。‎ ‎（二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）若直线（为参数）与直线垂直，则常数=________。 ‎ ‎15．(几何证明选讲选做题)如图3，点A，B，C是圆上的点，且，，则圆的面积等于__________________。‎ ‎ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ ‎ 已知向量与互相垂直，其中.‎ （1） 求和的值；‎ （2） 若，求的值。‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ ‎ 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示。墩的上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体。图5、图6分别是该标识墩的正（主）视图和俯视图。‎ ‎（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图； ‎ ‎（2）求该安全标识墩的体积；‎ ‎（3）证明：直线平面.‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分13分）‎ ‎ 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图7。‎ ‎ （1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； ‎ ‎ （2）计算甲班的样本方差；‎ ‎（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于‎173cm的同学，求身高为‎176cm的同学被抽中的概率。 ‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ ‎ 已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为和，椭圆G上一点到和的距离之和为12。圆：的圆心为点。‎ ‎ （1）求椭圆G的方程；‎ ‎ （2）求面积；‎ ‎（3）问是否存在圆包围椭圆G？请说明理由。 ‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 已知点是函数的图像上一点。等比数列的前n项和为。数列的首项为c，且前n项和满足 ‎（1）求数列和的通项公式； ‎ ‎ （2）若数列的前项和为，问满足＞的最小正整数是多少？‎ ‎21．（本小题满分14分） ‎ ‎ 已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在 处取得极小值。设函数。 ‎ ‎ （1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；‎ ‎ （2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点。‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) ‎ 数学(文科） 参考答案 一、 选择题 1-10 BCCAB DADAB ‎1、【解析】由N= { x |x+x=0}得,选B.‎ ‎2、【解析】因为,故选C. ‎ ‎3、【解析】,由及向量的性质可知,C正确.‎ ‎4、【解析】函数的反函数是,又,即,‎ 所以,,故,选A.‎ ‎5、【解析】设公比为,由已知得,即,因为等比数列的公比为正数，所以,故,选B ‎6、【解析】①错, ②正确, ③错, ④正确.故选D ‎7、【解析】‎ 由a=c=可知,,所以,‎ 由正弦定理得,故选A ‎8、【解析】,令,解得,故选D ‎9、【解析】因为为奇函数,,所以选A.‎ ‎10、【解析】由题意知,所有可能路线有6种:‎ ‎①,②,③,④,⑤,⑥, ‎ 其中, 路线③的距离最短, 最短路线距离等于,‎ 故选B.‎ 一、 填空题 ‎11、【答案】,‎ ‎【解析】顺为是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，所图中判断框应填，输出的s=.‎ ‎12、【答案】37, 20‎ ‎【解析】由分组可知,抽号的间隔为5,又因为第5组抽出的号码为22，所以第6组抽出的号码为27，第7组抽出的号码为32，第8组抽出的号码为37.‎ ‎ 40岁以下年龄段的职工数为,则应抽取的人数为人.‎ ‎13、【解析】将直线化为,圆的半径,所以圆的方程为 ‎ ‎14、【答案】‎ ‎【解析】将化为普通方程为,斜率,‎ 当时,直线的斜率,由得;‎ 当时,直线与直线不垂直.‎ 综上可知,.‎ ‎15、【答案】‎ ‎【解析】连结AO,OB,因为 ,所以,为等边三角形,故圆O的半径,圆O的面积. ‎ 二、 解答题 ‎16、【解析】（１）,,即 又∵, ∴,即,∴‎ 又　,‎ ‎(2) ∵‎ ‎ , ,即 ‎ 又 , ∴ ‎ ‎17、【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.‎ ‎　　　（２）该安全标识墩的体积为：‎ ‎　　　　　　　　‎ ‎　　　（３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO.‎ ‎ 由正四棱锥的性质可知,平面EFGH , ‎ ‎ 又 平面PEG ‎ 又 平面PEG； ‎ ‎18、【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于之间，而乙班身高集中于 之间。因此乙班平均身高高于甲班;‎ ‎ (2) ‎ ‎ 甲班的样本方差为 ‎ ＝57‎ ‎ （3）设身高为‎176cm的同学被抽中的事件为A；‎ ‎ 从乙班10名同学中抽中两名身高不低于‎173cm的同学有：（181，173） （181，176）‎ ‎ （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173）‎ ‎ (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；‎ ‎ ；‎ ‎19、【解析】（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c;‎ ‎ 则 , 解得 , ‎ ‎ 所求椭圆G的方程为：. ‎ ‎(2 )点的坐标为 ‎ ‎ ‎（3）若，由可知点（6，0）在圆外，‎ ‎ 若，由可知点（-6，0）在圆外；‎ ‎ 不论K为何值圆都不能包围椭圆G.‎ ‎20、【解析】（1）, ‎ ‎ ,,‎ ‎ .‎ 又数列成等比数列， ，所以 ；‎ 又公比，所以 ；‎ ‎ ‎ 又,, ；‎ 数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， ‎ 当， ；‎ ‎()；‎ ‎（2）‎ ‎ ； ‎ ‎ 由得，满足的最小正整数为112.‎ ‎21、【解析】（1）设，则；‎ ‎ 又的图像与直线平行 ‎ ‎ 又在取极小值， ， ‎ ‎ ， ；‎ ‎ ， 设 ‎ 则 ‎ ； ‎ ‎ （2）由，‎ ‎ 得 ‎ ‎ 当时，方程有一解，函数有一零点；‎ ‎ 当时，方程有二解，若，，‎ ‎ 函数有两个零点；若，‎ ‎ ，函数有两个零点；‎ ‎ 当时，方程有一解, , 函数有一零点 ‎