2018年高考全国二卷理科数学试卷 4页

‎2018 年普通高等学校招生全国统一考试（ II 卷）‎ 理科数学 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1． 1‎ ‎2i ‎1‎ ‎2i ‎4‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ i ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎4‎ A ．‎ i B．‎ ‎5‎ C．‎ i D．‎ i ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎2．已知集合 A x，y x2‎ y2≤3 ，x Z ，y Z ，则 A 中元素的个数为 A ．9‎ B． 8‎ C． 5‎ D． 4‎ ‎3．函数 f ex e x 的图像大致为 x x2‎ A B C D ‎4．已知向量 a 、 b 满足 | a | 1 ， a b ‎1 ，则 a ‎(2a b)‎ A ．4‎ B． 3‎ C． 2‎ D． 0‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎5．双曲线 x2‎ y2‎ ‎1( a ‎0, b ‎0) 的离心率为 ‎3‎ ‎，则其渐近线方程为 a b A ． y ‎2x B． y ‎3x C． y ‎2‎ D． y ‎3‎ x x ‎2‎ ‎2‎ ‎6．在 △ABC 中， cos C ‎5，BC ‎1‎ ‎， AC ‎5，则 AB 开始 ‎2‎ ‎5‎ N ‎0,T ‎0‎ A．4 2‎ B． 30‎ C． 29‎ D．2 5‎ i ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎7．为计算 S ‎1‎ ‎3‎ ‎99‎ ‎，设计了右侧的程序框图，则在 是 ‎100‎ 否 ‎2‎ ‎4‎ ‎100‎ i 空白框中应填入 ‎1‎ A ． i i ‎1‎ N N S N T i B ． i i ‎2‎ T T ‎1‎ 输出 S i 1‎ C． i i ‎3‎ 结束 D ． i i ‎4‎ ‎8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于 ‎2 的偶数可以 表示为两个素数的和”，如 ‎30 7‎ ‎23 ．在不超过 30‎ 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 ‎30 的概率是 ‎1‎ B．‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ A ．‎ ‎14‎ C．‎ D．‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎18‎ ‎9．在长方体 ABCD A1 B1C1D1 中， AB BC ‎1， AA1‎ ‎3 ，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为 理科数学 1‎ ‎1‎ B．‎ ‎5‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎2‎ A ．‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎．若 f (x) cos x sin x 在 [‎ a, a ] 是减函数，则 a 的最大值是 π B．‎ π C．‎ ‎3π D． π A ．‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎11．已知 f ( x) 是定义域为 (‎ ‎,‎ ‎) 的奇函数， 满足 f (1 x)‎ f (1‎ x) ．若 f 1)( 2 ，则 f 1)(‎ ‎(f2) 3)( f ‎50)( f A． 50‎ B． 0‎ C． 2‎ D． 50‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎12．已知 F1 ， F2‎ x y ‎1( a b 0) 的左，右焦点，‎ A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜率为 的直线 是椭圆 C： 2‎ b ‎2‎ ‎6‎ a 上， △ PF1 F2‎ 为等腰三角形，‎ F1F2 P ‎120 ，则 C 的离心率为 ‎2‎ B．‎ ‎1‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ ‎1‎ A ．‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎3‎ 二、填空题：本题共 ‎4 小题，每小题 ‎5 分，共 20 分。‎ ‎13．曲线 y 2ln( x ‎1) 在点 (0, 0) 处的切线方程为 __________．‎ x ‎2 y ‎5‎ ‎0‎ ‎，‎ ‎14‎ ‎．若 x, y 满足约束条件 x ‎2 y ‎3‎ ‎0‎ ‎， 则 z x y 的最大值为 __________．‎ x ‎5‎ ‎0‎ ‎，‎ ‎15．已知 sin α cos β 1， cosα sin β ‎0 ，则 sin(α β) __________ ．‎ ‎16‎ ‎．已知圆锥的顶点为 ‎7‎ SA 与圆锥底面所成角为 ‎45°‎ 的面积为 5 15 ，‎ S ，母线 SA，SB 所成角的余弦值为 ‎，‎ ‎，若 △SAB ‎8‎ 则该圆锥的侧面积为 ‎__________ ．‎ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～ 21 题为必考题，每个试题考生都必须 作答。第 22、 23 为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共 60 分。‎ ‎17．（ 12‎ 分）‎ 记 Sn 为等差数列 { an } 的前 n 项和，已知 a1‎ ‎7， S315．‎ （ ‎1）求 { an} 的通项公式；‎ （ ‎2）求 Sn ，并求 Sn 的最小值．‎ ‎18．（ 12 分）‎ 下图是某地区 ‎2000 年至 2016 年环境基础设施投资额 y （单位：亿元）的折线图．‎ 为了预测该地区 ‎2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y 与时间变量 t 的两个线性回归模型．根据 ‎2000 年至 ‎2016 年的数据（时间变量 t ‎?‎ ‎30.4 13.5t ；根据 2010 年至 2016 年的 的值依次为 1，2 ， ，17 ）建立模型①： y 数据（时间变量 t ‎?‎ ‎．‎ 的值依次为 1 ，2， ，7 ）建立模型②： y 99 17.5t 理科数学 2‎ （ ‎1）分别利用这两个模型，求该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值；‎ （ ‎2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．‎ ‎19．（ 12 分）‎ 设抛物线 C：y ‎2‎ ‎0) 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， | AB | 8 ．‎ ‎4 x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k(k （ ‎1）求 l 的方程；‎ （ ‎2）求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程．‎ ‎20．（ 12 分）‎ 如图，在三棱锥 P ABC 中， AB BC ‎2‎ ‎2， PA PB PC AC 4，O为 AC 的中点．‎ ‎1‎ 平面 ABC ；‎ P ‎（ ）证明： PO ‎（ 2）若点 M 在棱 BC 上，且二面角 M PA C为30‎ ‎，‎ 求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值．‎ O A C M B 理科数学 3‎ ‎21．（ 12 分）‎ 已知函数 x ‎2‎ f ( x) e ax ．‎ ‎（ 1）若 a ‎1 ，证明：当 x ‎0 时， f (x)‎ ‎1 ；‎ ‎2‎ ‎(x) 在 (0,‎ ‎) 只有一个零点，求 a ‎．‎ ‎（ ）若 f ‎（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22． [选修 4－4：坐标系与参数方程 ‎]（10 分）‎ x ‎，‎ xOy 中，曲线 C ‎2cos θ θ l 的参数方程为 在直角坐标系 的参数方程为 ‎（‎ 为参数），直线 y ‎4sin θ x 1 t cosα，‎ y ‎2 t sin α （ t 为参数）．‎ （ ‎1）求 C 和 l 的直角坐标方程；‎ ‎（ 2）若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2) ，求 l 的斜率．‎ ‎23． [选修 4－5：不等式选讲 ]（ 10 分）‎ 设函数 f ( x) 5 | x a | | x 2| ．‎ （ ‎1）当 a 1 时，求不等式 f ( x) 0 的解集；‎ （ ‎2）若 f (x) 1 ，求 a 的取值范围．‎ 理科数学 4‎