2017高考上海各区数学一模含答案 73页

上海市宝山区 2017 届高三一模数学试卷 一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 2 3lim 1n n n    2. 设全集U R ，集合 { 1,0,1,2,3}A   ， { | 2}B x x  ，则 UA C B  3. 不等式 1 0 2 x x    的解集为 4. 椭圆 5cos 4sin x y      （ 为参数）的焦距为 5. 设复数 z满足 2 3z z i   （ i为虚数单位），则 z  6. 若函数 cos sin sin cos x x y x x  的最小正周期为 a ，则实数 a的值为 7. 若点 (8, 4)在函数 ( ) 1 log af x x  图像上，则 ( )f x 的反函数为 8. 已知向量 (1, 2)a   ， (0,3)b   ，则b  在 a  的方向上的投影为 9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为 6 的正三角形，则该圆锥的侧面 积为 10. 某班级要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人参加公益活动，则在选出的 3 人中男、女生 均有的概率为 （结果用最简分数表示） 11. 设常数 0a  ，若 9( )ax x  的二项展开式中 5x 的系数为 144，则 a  12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于 2），且所有项之和为 N ， 那么称该数列为 N 型标准数列，例如，数列 2，3，4，5，6 为 20 型标准数列，则 2668 型 标准数列的个数为 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 设 a R ，则“ 1a  ”是“复数 ( 1)( 2) ( 3)a a a i    为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 某中学的高一、高二、高三共有学生 1350 人，其中高一 500 人，高三比高二少 50 人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生 120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ） A. 80 B. 96 C. 108 D. 110 15. 设M 、 N 为两个随机事件，给出以下命题： （1）若M 、 N 为互斥事件，且 1( ) 5 P M  ， 1( ) 4 P N  ，则 9( ) 20 P M N  ； （2）若 1( ) 2 P M  ， 1( ) 3 P N  ， 1( ) 6 P MN  ，则M 、 N 为相互独立事件； （3）若 1( ) 2 P M  ， 1( ) 3 P N  ， 1( ) 6 P MN  ，则M 、 N 为相互独立事件； （4）若 1( ) 2 P M  ， 1( ) 3 P N  ， 1( ) 6 P MN  ，则M 、 N 为相互独立事件； （5）若 1( ) 2 P M  ， 1( ) 3 P N  ， 5( ) 6 P MN  ，则M 、 N 为相互独立事件； 其中正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 在平面直角坐标系中，把位于直线 y k 与直线 y l （ k、 l均为常数，且 k l ）之 间的点所组成区域（含直线 y k ，直线 y l ）称为“ k l 型带状区域”，设 ( )f x 为二次 函数，三点 ( 2, ( 2) 2)f   、 (0, (0) 2)f  、 (2, (2) 2)f  均位于“0 4 型带状区域”，如 果点 ( , 1)t t  位于“ 1 3  型带状区域”，那么，函数 | ( ) |y f t 的最大值为（ ） A. 7 2 B. 3 C. 5 2 D. 2 三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 如图，已知正三棱柱 1 1 1ABC ABC 的底面积为 9 3 4 ，侧面积为 36； （1）求正三棱柱 1 1 1ABC ABC 的体积； （2）求异面直线 1AC与 AB所成的角的大小； 18. 已知椭圆C的长轴长为 2 6 ，左焦点的坐标为 ( 2,0) ； （1）求C的标准方程； （2）设与 x轴不垂直的直线 l过C的右焦点，并与C交于 A、B两点，且 | | 6AB  ， 试求直线 l的倾斜角； 19. 设数列{ }nx 的前 n项和为 nS ，且 4 3 0n nx S   （ *n N ）； （1）求数列{ }nx 的通项公式； （2）若数列{ }ny 满足 1n n ny y x   （ *n N ），且 1 2y  ，求满足不等式 55 9ny  的最小 正整数 n的值； 20. 设函数 ( ) lg( )f x x m  （m R ）； （1）当 2m  时，解不等式 1( ) 1f x  ； （2）若 (0) 1f  ，且 1( ) ( ) 2 xf x   在闭区间[2,3]上有实数解，求实数的范围； （3）如果函数 ( )f x 的图像过点 (98,2)，且不等式 [cos(2 )] lg 2nf x  对任意 n N 均成立， 求实数 x的取值集合； 21. 设集合 A、 B均为实数集 R的子集，记： { | , }A B a b a A b B     ； （1）已知 {0,1,2}A  ， { 1,3}B   ，试用列举法表示 A B ； （2）设 1 2 3 a  ，当 *n N ，且 2n  时，曲线 2 2 2 1 1 1 9 x y n n n      的焦距为 na ，如果 1 2{ , , , }nA a a a  ， 1 2 2{ , , } 9 9 3 B     ，设 A B 中的所有元素之和为 nS ，对于满足 3m n k  ，且m n 的任意正整数m、 n、 k，不等式 0m n kS S S   恒成立，求实 数的最大值； （3）若整数集合 1 1 1A A A  ，则称 1A为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合 2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称 2A 为“ *N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是 *N 的基底集？请说明理由； 上海市宝山区 2017 届高三一模数学试卷 一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 2 3lim 1n n n    2. 设全集U R ，集合 { 1,0,1,2,3}A   ， { | 2}B x x  ，则 UA C B  3. 不等式 1 0 2 x x    的解集为 4. 椭圆 5cos 4sin x y      （ 为参数）的焦距为 5. 设复数 z满足 2 3z z i   （ i为虚数单位），则 z  6. 若函数 cos sin sin cos x x y x x  的最小正周期为 a ，则实数 a的值为 7. 若点 (8, 4)在函数 ( ) 1 log af x x  图像上，则 ( )f x 的反函数为 8. 已知向量 (1, 2)a   ， (0,3)b   ，则b  在 a  的方向上的投影为 9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为 6 的正三角形，则该圆锥的侧面 积为 10. 某班级要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人参加公益活动，则在选出的 3 人中男、女生 均有的概率为 （结果用最简分数表示） 11. 设常数 0a  ，若 9( )ax x  的二项展开式中 5x 的系数为 144，则 a  12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于 2），且所有项之和为 N ， 那么称该数列为 N 型标准数列，例如，数列 2，3，4，5，6 为 20 型标准数列，则 2668 型 标准数列的个数为 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 设 a R ，则“ 1a  ”是“复数 ( 1)( 2) ( 3)a a a i    为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 某中学的高一、高二、高三共有学生 1350 人，其中高一 500 人，高三比高二少 50 人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生 120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ） A. 80 B. 96 C. 108 D. 110 15. 设M 、 N 为两个随机事件，给出以下命题： （1）若M 、 N 为互斥事件，且 1( ) 5 P M  ， 1( ) 4 P N  ，则 9( ) 20 P M N  ； （2）若 1( ) 2 P M  ， 1( ) 3 P N  ， 1( ) 6 P MN  ，则M 、 N 为相互独立事件； （3）若 1( ) 2 P M  ， 1( ) 3 P N  ， 1( ) 6 P MN  ，则M 、 N 为相互独立事件； （4）若 1( ) 2 P M  ， 1( ) 3 P N  ， 1( ) 6 P MN  ，则M 、 N 为相互独立事件； （5）若 1( ) 2 P M  ， 1( ) 3 P N  ， 5( ) 6 P MN  ，则M 、 N 为相互独立事件； 其中正确命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 在平面直角坐标系中，把位于直线 y k 与直线 y l （ k、 l均为常数，且 k l ）之 间的点所组成区域（含直线 y k ，直线 y l ）称为“ k l 型带状区域”，设 ( )f x 为二次 函数，三点 ( 2, ( 2) 2)f   、 (0, (0) 2)f  、 (2, (2) 2)f  均位于“0 4 型带状区域”，如 果点 ( , 1)t t  位于“ 1 3  型带状区域”，那么，函数 | ( ) |y f t 的最大值为（ ） A. 7 2 B. 3 C. 5 2 D. 2 三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 如图，已知正三棱柱 1 1 1ABC ABC 的底面积为 9 3 4 ，侧面积为 36； （1）求正三棱柱 1 1 1ABC ABC 的体积； （2）求异面直线 1AC与 AB所成的角的大小； 18. 已知椭圆C的长轴长为 2 6 ，左焦点的坐标为 ( 2,0) ； （1）求C的标准方程； （2）设与 x轴不垂直的直线 l过C的右焦点，并与C交于 A、B两点，且 | | 6AB  ， 试求直线 l的倾斜角； 19. 设数列{ }nx 的前 n项和为 nS ，且 4 3 0n nx S   （ *n N ）； （1）求数列{ }nx 的通项公式； （2）若数列{ }ny 满足 1n n ny y x   （ *n N ），且 1 2y  ，求满足不等式 55 9ny  的最小 正整数 n的值； 20. 设函数 ( ) lg( )f x x m  （m R ）； （1）当 2m  时，解不等式 1( ) 1f x  ； （2）若 (0) 1f  ，且 1( ) ( ) 2 xf x   在闭区间[2,3]上有实数解，求实数的范围； （3）如果函数 ( )f x 的图像过点 (98,2)，且不等式 [cos(2 )] lg 2nf x  对任意 n N 均成立， 求实数 x的取值集合； 21. 设集合 A、 B均为实数集 R的子集，记： { | , }A B a b a A b B     ； （1）已知 {0,1,2}A  ， { 1,3}B   ，试用列举法表示 A B ； （2）设 1 2 3 a  ，当 *n N ，且 2n  时，曲线 2 2 2 1 1 1 9 x y n n n      的焦距为 na ，如果 1 2{ , , , }nA a a a  ， 1 2 2{ , , } 9 9 3 B     ，设 A B 中的所有元素之和为 nS ，对于满足 3m n k  ，且m n 的任意正整数m、 n、 k，不等式 0m n kS S S   恒成立，求实 数的最大值； （3）若整数集合 1 1 1A A A  ，则称 1A为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合 2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称 2A 为“ *N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是 *N 的基底集？请说明理由； 上海市崇明县 2017 届高三一模数学试卷 2016.12 一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 复数 (2 )i i 的虚部为 2. 设函数 2log , 0 ( ) 4 , 0x x x f x x     ，则 ( ( 1))f f   3. 已知 { || 1| 2, }M x x x R    ， 1{ | 0, } 2 xP x x R x      ，则M P  4. 抛物线 2y x 上一点M 到焦点的距离为 1，则点M 的纵坐标为 5. 已知无穷数列{ }na 满足 1 1 2n na a  *( )n N ，且 2 1a  ，记 nS 为数列{ }na 的前 n项和， 则 lim nn S   6. 已知 ,x y R ，且 2 1x y  ，则 xy的最大值为 7. 已知圆锥的母线 10l  ，母线与旋转轴的夹角 30  ，则圆锥的表面积为 8. 若 2 1(2 )nx x  *( )n N 的二项展开式中的第 9 项是常数项，则 n  9. 已知 ,A B分别是函数 ( ) 2sinf x x ( 0)  在 y轴右侧图像上的第一个最高点和第一 个最低点，且 2 AOB    ，则该函数的最小正周期是 10. 将序号分别为 1、2、3、4、5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少一张，如果分给同 一人的 2 张参观券连号，那么不同的分法种数是 11. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数 ( )y f x 的图像恰 好经过 k个格点，则称函数 ( )y f x 为 k阶格点函数，已知函数：① 2y x ；② 2siny x ； ③ 1xy   ；④ cos( ) 3 y x    ；其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你认为 正确的序号都填上） 12. 已知 AB为单位圆O的一条弦，P为单位圆O上的点，若 ( ) | |f AP AB     ( )R  的最小值为m，当点P在单位圆上运动时，m的最大值为 4 3 ，则线段 AB长度为 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ） A. tany x B. 3xy  C. 1 3y x D. lg | |y x 14. 设 ,a b R ，则“ 2 1 a b ab     ”是“ 1a  且 1b  ”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 15. 如图，已知椭圆C的中心为原点O， ( 2 5,0)F  为C的左焦点， P为C上一点，满 足 | | | |OP OF 且 | | 4PF  ，则椭圆C的方程为（ ） A. 2 2 1 25 5 x y   B. 2 2 1 30 10 x y   C. 2 2 1 36 16 x y   D. 2 2 1 45 25 x y   16. 实数 a、b满足 0ab  且 a b ，由 a、b、 2 a b 、 ab按一定顺序构成的数列（ ） A. 可能是等差数列，也可能是等比数列 B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列 C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列 D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列 三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 在正三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1AB  ， 1 2BB  ，求： （1）异面直线 1 1BC 与 1AC所成角的大小； （2）四棱锥 1 1 1A B BCC 的体积； 18. 在一个特定时段内，以点 E为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域，点 E正北 55 海 里处有一个雷达观测站 A，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A北偏东 45°且与 点 A相距 40 2海里的位置 B处，经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A北偏东 45   （其中 26sin 26   ，0 90   ）且与点 A相距10 13海里的位置C处； （1）求该船的行驶速度；（单位：海里/小时） （2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断 它是否会进入警戒水域，并说明理由； 19. 已知点 1F 、 2F 为双曲线 2 2 2: 1yC x b   ( 0)b  的左、右焦点，过 2F 作垂直于 x轴的 直线，在 x轴上方交双曲线C于点M ，且 1 2 30MFF   ； （1）求双曲线C的方程； （2）过双曲线C上任意一点 P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为 1P、 2P ，求 1 2PP PP   的值； 20. 设 1 2( ) 2 x x af x b     ， ,a b为实常数； （1）当 1a b  时，证明： ( )f x 不是奇函数； （2）若 ( )f x 是奇函数，求 a与b的值； （3）当 ( )f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D，对任何属于D的 x、 c， 都有 2( ) 3 3f x c c   成立？若存在，试找出所有这样的D；若不存在，说明理由； 21. 已知数列{ }na 、{ }nb 满足 2 ( 2)n n nS a b  ，其中 nS 是数列{ }na 的前 n项和； （1）若数列{ }na 是首项为 2 3 ，公比为 1 3  的等比数列，求数列{ }nb 的通项公式； （2）若 nb n ， 2 3a  ，求证：数列{ }na 满足 2 12n n na a a   ，并写出{ }na 通项公式； （3）在（2）的条件下，设 n n n ac b  ，求证：数列{ }nc 中的任意一项总可以表示成该数列 其他两项之积； 参考答案 一. 填空题 1. 2 2. 2 3. [ 1,1] 4. 3 4 5. 4 6. 1 8 7. 75 8. 12 9. 8 3 3 10. 96 11. ②③ 12. 4 2 3 二. 选择题 13. C 14. B 15. C 16. D 三. 解答题 17.（1） 5arccos 10 ；（2） 3 3 ； 18.（1）15 5 ；（2） 3 5 7d   ，会进入警戒水域； 19.（1） 2 2 1 2 yx   ；（2） 2 9 ； 20.（1） ( 1) (1)f f   ；（2） 1 2 a b    ， 1 2 a b      ；（3）当 1 2 1( ) 2 2 x xf x      ，D R ； 当 1 2 1( ) 2 2 x xf x      ， (0, )D   ， 2 5( , log ] 7 D   ； 21.（1） 1 2nb  ；（2） 1na n  ；（3）略； 上海市金山区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12 一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 若集合 2{ | 2 0}M x x x   ， { || | 1}N x x  ，则M N  2. 若复数 z满足 2 3 2z z i   ，其中 i为虚数单位，则 z  3. 如果 5sin 13    ，且 为第四象限角，则 tan 的值是 4. 函数 cos sin ( ) sin cos x x f x x x  的最小正周期是 5. 函数 ( ) 2xf x m  的反函数为 1( )y f x ，且 1( )y f x 的图像过点 (5, 2)Q ，那么 m  6. 点 (1,0)到双曲线 2 2 1 4 x y  的渐近线的距离是 7. 如果实数 x、 y满足 2 0 3 0 x y x y x        ，则 2x y 的最大值是 8. 从 5 名学生中任选 3 人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课 代表，共有 种不同的选法（结果用数值表示） 9. 方程 2 2 24 2 3 4 0x y tx ty t      （ t为参数）所表示 的圆的圆心轨迹方程是 （结果化为普通方程） 10. 若 na 是 (2 )nx （ *n N ， 2n  ， x R ）展开式中 2x 项的二项式系数，则 2 3 1 1 1lim( ) n na a a     11. 设数列{ }na 是集合{ | 3 3 ,s tx x s t   且 , }s t N 中所有的数从小到大排列成的数列， 即 1 4a  ， 2 10a  ， 3 12a  ， 4 28a  ， 5 30a  ， 6 36a  ，，将数列{ }na 中各项按 照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则 15a 的值为 12. 曲线C是平面内到直线 1 : 1l x   和直线 2 : 1l y  的距离之积等于常数 2k （ 0k  ）的 点的轨迹，下列四个结论：① 曲线C过点 ( 1,1) ；② 曲线C关于点 ( 1,1) 成中心对称； ③ 若点 P在曲线C上，点 A、 B分别在直线 1l 、 2l 上，则 | | | |PA PB 不小于 2k； ④ 设 0P 为曲线C上任意一点，则点 0P 关于直线 1 : 1l x   ，点 ( 1,1) 及直线 2 : 1l y  对称 的点分别为 1P、 2P 、 3P ，则四边形 0 1 2 3P PP P 的面积为定值 24k ； 其中，所有正确结论的序号是 4 10 12 28 30 36    二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 给定空间中的直线 l与平面 ，则“直线 l与平面 垂直”是“直线 l垂直于平面 上 无数条直线”的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 已知 x、 y R ，且 0x y  ，则（ ） A. 1 1 0 x y   B. 1 1( ) ( ) 0 2 2 x y  C. 2 2log log 0x y  D. sin sin 0x y  15. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ） A. 28 3   B. 8 3   C. 8 2 D. 2 3  16. 已知函数 2 (4 3) 3 0 ( ) log ( 1) 1 0a x a x a x f x x x           （ 0a  且 1a  ）在 R上单调递减，且关 于 x的方程 | ( ) | 2f x x  恰好有两个不相等的实数解，则 a的取值范围是（ ） A. 2(0, ] 3 B. 2 3[ , ] 3 4 C. 1 2 3[ , ] { } 3 3 4  D. 1 2 3[ , ) { } 3 3 4  三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是矩形， PA 平面 ABCD， PB、 PD与 平面 ABCD所成的角依次是 4  和 1arctan 2 ， 2AP  ， E、 F 依次是 PB、 PC的中点； （1）求异面直线 EC与 PD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）求三棱锥 P AFD 的体积； 18. 已知△ ABC中， 1AC  ， 2 3 ABC    ，设 BAC x  ，记 ( )f x AB BC    ； （1）求函数 ( )f x 的解析式及定义域； （2）试写出函数 ( )f x 的单调递增区间，并求方程 1( ) 6 f x  的解； 19. 已知椭圆C以原点为中心，左焦点 F 的坐标是 ( 1,0) ，长轴长是短轴长的 2 倍，直 线 l与椭圆C交于点 A与 B，且 A、B都在 x轴上方，满足 180OFA OFB    ； （1）求椭圆C的标准方程； （2）对于动直线 l，是否存在一个定点，无论 OFA 如何变化，直线 l总经过此定点？若 存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由； 20. 已知函数 2( ) 2 1g x ax ax b    ( 0)a  在区间[2,3]上的最大值为 4，最小值为1， 记 ( ) (| |)f x g x ， x R ； （1）求实数 a、b的值； （2）若不等式 2 2 2( ) ( ) log 2log 3f x g x k k    对任意 x R 恒成立，求实数 k的范围； （3）对于定义在[ , ]p q 上的函数 ( )m x ，设 0x p ， nx q ，用任意 ix ( 1, 2, , 1)i n   将[ , ]p q 划分成 n个小区间，其中 1 1i i ix x x   ，若存在一个常数 0M  ，使得不等式 0 1 1 2 1| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) |n nm x m x m x m x m x m x M       恒成立，则称函数 ( )m x 为在[ , ]p q 上的有界变差函数，试证明函数 ( )f x 是在[1,3]上的有界变差函数，并求出M 的最小值； 21. 数列{ }nb 的前 n项和为 nS ，且对任意正整数 n，都有 ( 1) 2n n nS   ； （1）试证明数列{ }nb 是等差数列，并求其通项公式； （2）如果等比数列{ }na 共有 2017 项，其首项与公比均为 2，在数列{ }na 的每相邻两项 ia 与 1ia  之间插入 i个 ( 1)i ib *( )i N 后，得到一个新数列{ }nc ，求数列{ }nc 中所有项的和； （3）如果存在 *n N ，使不等式 1 1 8 20( 1)( ) ( 1)n n n n n b n b b b          成立，若存在， 求实数的范围，若不存在，请说明理由； 参考答案 一. 填空题 1. (1, 2) 2. 1 2i 3. 5 12  4.  5. 1 6. 5 5 7. 4 8. 48 9. 2 0x y  10. 2 11. 324 12. ②③④ 二. 选择题 13. A 14. B 15. A 16. C 三. 解答题 17.（1） 3 10arccos 10 ；（2） 4 3 ； 18.（1） 2 2 1 1( ) sin sin( ) sin(2 ) 3 3 3 6 6 f x x x x      ， (0, ) 3 x   ； （2）递增区间 (0, ] 6  ， 6 x   ； 19.（1） 2 2 1 2 x y  ；（2） ( 2,0) ； 20.（1） 0b  ， 1a  ；（2） 1[ ,8] 2 ；（3） min 4M  ； 21.（1） nb n ；（2） 20182 2033134 ；（3）不存在； 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org 上海市虹口区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12 一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 已知集合 {1,2,4,6,8}A  ， { | 2 , }B x x k k A   ，则 A B  2. 已知 2 1 z i i    ，则复数 z的虚部为 3. 设函数 ( ) sin cosf x x x  ，且 ( ) 1f a  ，则 sin 2a  4. 已知二元一次方程 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c      的增广矩阵是 1 1 1 1 1 3       ，则此方程组的解是 5. 数列{ }na 是首项为 1，公差为 2 的等差数列， nS 是它前 n项和，则 2lim n n n S a  6. 已知角 A是 ABC 的内角，则“ 1cos 2 A  ”是“ 3sin 2 A  ”的 条件（填“充 分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一） 7. 若双曲线 2 2 2 1yx b   的一个焦点到其渐近线距离为 2 2 ，则该双曲线焦距等于 8. 若正项等比数列{ }na 满足： 3 5 4a a  ，则 4a 的最大值为 9. 一个底面半径为 2 的圆柱被与其底面所成角是 60°的平 面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于 10. 设函数 6 1 ( ) 2 1 1 x x f x x x         ，则当 1x   时，则 [ ( )]f f x 表达式的展开式中含 2x 项的系数是 11. 点 (20,40)M ，抛物线 2 2y px （ 0p  ）的焦点为 F ，若对于抛物线上的任意点 P， | | | |PM PF 的最小值为 41，则 p的值等于 12. 当实数 x、 y满足 2 2 1x y  时， | 2 | | 3 2 |x y a x y     的取值与 x、 y均无关， 则实数 a的取值范围是 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 在空间， 表示平面，m、 n表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若m∥ ，m、 n不平行，则 n与 不平行 B. 若m∥ ，m、n不垂直，则 n与 不垂直 C. 若m  ，m、 n不平行，则n与 不垂直 D. 若m  ，m、 n不垂直，则 n与 不平行 14. 已知函数 ( ) sin(2 ) 3 f x x    在区间[0, ]a （其中 0a  ）上单调递增，则实数 a的取值 范围是（ ） A. 0 2 a    B. 0 12 a    C. 12 a k   ， *k N D. 2 2 12 k a k     ， k N 15. 如图，在圆C中，点 A、 B在圆上，则 AB AC   的值（ ） A. 只与圆C的半径有关 B. 既与圆C的半径有关，又与弦 AB的长度有关 C. 只与弦 AB的长度有关 D. 是与圆C的半径和弦 AB的长度均无关的定值 16. 定义 ( ) { }f x x （其中{ }x 表示不小于 x的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1} 3 ， {4} 4 ，以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ） ① (2 ) 2 ( )f x f x ；② 若 1 2( ) ( )f x f x ，则 1 2 1x x  ； ③ 任意 1x 、 2x R ， 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x   ；④ 1( ) ( ) (2 ) 2 f x f x f x   ； A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 在正三棱锥 P ABC 中，已知底面等边三角形的边长为 6，侧棱长为 4； （1）求证： PA BC ； （2）求此三棱锥的全面积和体积； 18. 如图，我海蓝船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至 A处，此时测得其北偏东 30° 方向与它相距 20 海里的 B处有一外国船只，且D岛位于海蓝船正东 18 海里处； （1）求此时该外国船只与D岛的距离； （2）观测中发现，此外国船只正以每小时 4 海里的速度沿正南方航行，为了将该船拦截在 离D岛 12 海里的 E处（ E在 B的正南方向），不让其进入D岛 12 海里内的海域，试确定 海蓝船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到 0.1°，速度精确到 0.1 海里/小时）； 19. 已知二次函数 2( ) 4f x ax x c   的值域为[0, ) ； （1）判断此函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断此函数在 2[ , ) a  的单调性，并用单调性的定义证明你的结论； （3）求出 ( )f x 在[1, ) 上的最小值 ( )g a ，并求 ( )g a 的值域； 20. 椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   （ 0a b  ）过点 (2,0)M ，且右焦点为 (1,0)F ，过 F 的直线 l与 椭圆C相交于 A、 B两点，设点 (4,3)P ，记 PA、PB的斜率分别为 1k 和 2k ； （1）求椭圆C的方程； （2）如果直线 l的斜率等于 1 ，求出 1 2k k 的值； （3）探讨 1 2k k 是否为定值？如果是，求出该定 值，如果不是，求出 1 2k k 的取值范围； 21. 已知函数 ( ) 2 | 2 | | 1|f x x x    ，无穷数列{ }na 的首项 1a a ； （1）若 ( )na f n （ *n N ），写出数列{ }na 的通项公式； （2）若 1( )n na f a  （ *n N 且 2n  ），要使数列{ }na 是等差数列，求首项 a取值范围； （3）如果 1( )n na f a  （ *n N 且 2n  ），求出数列{ }na 的前 n项和 nS ； 参考答案 一. 填空题 1. {2,4,8} 2. 1 3. 0 4. 2 1 x y    5. 1 4 6. 充分非必要 7. 6 8. 2 9. 4 3 10. 60 11. 22或 42 12. [ 5, ) 二. 选择题 13. A 14. B 15. C 16. C 三. 解答题 17.（1）略；（2） 9 7 9 3S   ， 6 3V  ； 18.（1） 2 91；（2）东偏北 41.8 ， 6.4v  海里/小时； 19.（1）非奇非偶函数；（2）单调递增； （3）当0 2a  ， ( ) 0g a  ；当 2a  ， 4( ) 4g a a a    ；值域[0, ) ； 20.（1） 2 2 1 4 3 x y   ；（2） 1 2 ；（3）2； 21.（1） 3na n  ；（2） { 3} [ 1, )a    ； （3）当 2a   ， 3( 1)( 2)( 1)( 3) 2n n nS a n a         ； 当 2 1a    ， 3( 1)( 2)( 1)(3 5) 2n n nS a n a        ； 当 1a   ， 3 ( 1) 2n n nS na    ； 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org 上海市闵行区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12 一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 方程 lg(3 4) 1x   的解 x  2. 若关于 x的不等式 0x a x b    （ ,a b R ）的解集为 ( ,1) (4, )  ，则 a b  3. 已知数列{ }na 的前 n项和为 2 1n nS   ，则此数列的通项公式为 4. 函数 ( ) 1f x x  的反函数是 5. 6(1 2 )x 展开式中 3x 项的系数为 （用数字作答） 6. 如图，已知正方形 1 1 1 1ABCD ABC D ， 1 2AA  ， E为 棱 1CC 的中点，则三棱锥 1D ADE 的体积为 7. 从单词“shadow”中任意选取 4 个不同的字母排成一排， 则其中含有“a”的共有 种排法（用数字作答） 8. 集合{ | cos( cos ) 0, [0, ]}x x x    （用列举法表示） 9. 如图，已知半径为 1 的扇形 AOB， 60AOB  ， P 为弧AB上的一个动点，则OP AB   取值范围是 10. 已知 x、 y满足曲线方程 2 2 1 2x y   ，则 2 2x y 的 取值范围是 11. 已知两个不相等的非零向量 a  和b  ，向量组 1 2 3 4( , , , )x x x x     和 1 2 3 4( , , , )y y y y     均由 2 个 a  和 2 个b  排列而成，记 1 1 2 2 3 3 4 4S x y x y x y x y                ，那么 S的所有可能取值中的最 小值是 （用向量 a  、b  表示） 12. 已知无穷数列{ }na ， 1 1a  ， 2 2a  ，对任意 *n N ，有 2n na a  ，数列{ }nb 满足 1n n nb b a   （ *n N ），若数列 2{ }n n b a 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满 足要求的 1b 的值为 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 若 a、b为实数，则“ 1a  ”是“ 1 1 a  ”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 14. 若 a为实数， (2 )( 2 ) 4ai a i i    （ i是虚数单位），则 a （ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 15. 函数 2( ) | |f x x a  在区间[ 1,1] 上的最大值是 a，那么实数 a的取值范围是（ ） A. [0, ) B. 1[ ,1] 2 C. 1[ , ) 2  D. [1, ) 16. 曲线 1 : sinC y x ，曲线 2 2 2 2 1: ( ) 2 C x y r r    （ 0r  ），它们交点的个数（ ） A. 恒为偶数 B. 恒为奇数 C. 不超过 2017 D. 可超过 2017 三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 如图，在 Rt AOB 中， 6 OAB    ，斜边 4AB  ，D是 AB中点，现将 Rt AOB 以 直角边 AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且 90BOC  ， （1）求圆锥的侧面积； （2）求直线CD与平面 BOC所成的角的大小； （用反三角函数表示） 18. 已知 (2 3,1)m   ， 2(cos ,sin ) 2 An A  ， A、B、C是 ABC 的内角； （1）当 2 A   时，求 | |n  的值； （2）若 2 3 C   ， | | 3AB  ，当m n  取最大值时，求 A的大小及边 BC的长； 19. 如图所示，沿河有 A、 B两城镇，它们相距 20 千米，以前，两城镇的污水直接排入河 里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污 水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）， 依据经验公式，建厂的费用为 0.7( ) 25f m m  （万元），m表示污水流量，铺设管道的费 用（包括管道费） ( ) 3.2g x x （万元）， x表示输送污水管道的长度（千米）； 已知城镇 A和城镇 B的污水流量分别为 1 3m  、 2 5m  ， A、 B两城镇连接污水处理 厂的管道总长为 20 千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排 入河中；请解答下列问题（结果精确到 0.1） （1）若在城镇 A和城镇 B单独建厂，共需多少总费用？ （2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇 A到拟建厂 的距离为 x千米，求联合建厂的总费用 y与 x的函数关系 式，并求 y的取值范围； 20. 如图，椭圆 2 2 1 4 yx   的左、右顶点分别为 A、 B，双曲线以 A、 B为顶点，焦距 为 2 5，点 P是上在第一象限内的动点，直线 AP与椭圆相交于另一点Q，线段 AQ的 中点为M ，记直线 AP的斜率为 k，O为坐标原点； （1）求双曲线的方程； （2）求点M 的纵坐标 My 的取值范围； （3）是否存在定直线 l，使得直线 BP与直线 OM 关于直线 l对称？若存在，求直线 l方程， 若不存在，请说明理由； 21. 在平面直角坐标系上，有一点列 0 1 2 3 1, , , , , ,n nP P P P P P   ，设点 kP 的坐标 ( , )k kx y （ k N ， k n ），其中 kx 、 ky Z ，记 1k k kx x x    ， 1k k ky y y    ，且满足 | | | | 2k kx y    （ *k N ， k n ）； （1）已知点 0 (0,1)P ，点 1P满足 1 1 0y x    ，求 1P的坐标； （2）已知点 0 (0,1)P ， 1kx  （ *k N ， k n ），且{ }ky （ k N ， k n ）是递增数列， 点 nP 在直线 : 3 8l y x  上，求 n； （3）若点 0P 的坐标为 (0,0)， 2016 100y  ，求 0 1 2 2016x x x x    的最大值； 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org 上海市松江区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12 一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 设集合 2{ | }M x x x  ， { | lg 0}N x x  ，则M N  2. 已知 a、b R ， i是虚数单位，若 2a i bi   ，则 2( )a bi  3. 已知函数 ( ) 1xf x a  的图像经过 (1,1)点，则 1(3)f   4. 不等式 | 1| 0x x   的解集为 5. 已知 (sin ,cos )a x x  ， (sin ,sin )b x x  ，则函数 ( )f x a b    的最小正周期为 6. 里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道，在由 2 名中国运动员和 6 名外国运动员组成的小组中，2 名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 7. 按下图所示的程序框图运算：若输入 17x  ，则输出的 x值是 8. 设 2 3 0 1 2 3(1 )n n nx a a x a x a x a x       ，若 2 3 1 3 a a  ，则 n  9. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么 这个圆锥的侧面积是 2cm 10. 设 ( , )P x y 是曲线 2 2 : 1 25 9 x yC   上的点， 1( 4,0)F  ， 2 (4,0)F ，则 1 2| | | |PF PF 的最大值为 11. 已知函数 2 4 3, 1 3( ) 2 8, 3x x x xf x x          ，若 ( ) ( )F x f x kx  在其定义域内有 3 个 零点，则实数 k 12. 已知数列{ }na 满足 1 1a  ， 2 3a  ，若 1| | 2nn na a   *( )n N ，且 2 1{ }na  是递增数 列， 2{ }na 是递减数列，则 2 1 2 lim n n n a a    二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 已知 a、b R ，则“ 0ab  ”是“ 2b a a b   ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，点 P在截面 1ADB上，则线段 AP 的最小值为（ ） A. 1 3 B. 1 2 C. 3 3 D. 2 2 15. 若矩阵 11 12 21 22 a a a a       满足： 11a 、 12a 、 21a 、 22 {0,1}a  ， 且 11 12 21 22 0 a a a a  ，则这样的互不相等的矩阵共有（ ） A. 2 个 B. 6 个 C. 8 个 D. 10 个 16. 解不等式 1 1( ) 0 2 2 x x   时，可构造函数 1( ) ( ) 2 xf x x  ，由 ( )f x 在 x R 是减函数 及 ( ) (1)f x f ，可得 1x  ，用类似的方法可求得不等式 2 6 3arcsin arcsin 0x x x x    的解集为（ ） A. (0,1] B. ( 1,1) C. ( 1,1] D. ( 1,0) 三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 如图，在正四棱锥 P ABCD 中， PA AB a  ， E是棱 PC的中点； （1）求证： PC BD ； （2）求直线 BE与 PA所成角的余弦值； 18. 已知函数 2 1( ) 2 1 x x af x     （ a为实数）； （1）根据 a的不同取值，讨论函数 ( )y f x 的奇偶性，并说明理由； （2）若对任意的 1x  ，都有1 ( ) 3f x  ，求 a的取值范围； 19. 松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”， 兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记O点为塔基、 P点为塔尖、 点 P在地面上的射影为点H ，在塔身OP射影所在直线上选点 A，使仰角 45HAP   ， 过O点与OA成120的地面上选 B点，使仰角 45HBP   （点 A、 B、O都在同一水平 面上），此时测得 27OAB   ， A与 B之间距离为 33.6 米，试求： （1）塔高；（即线段 PH 的长，精确到 0.1 米） （2）塔的倾斜度；（即 OPH 的大小，精确到0.1 ） 20. 已知双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   经过点 (2,3)，两条渐近线的夹角为60 ，直线 l交双曲线 于 A、 B两点； （1）求双曲线C的方程； （2）若 l过原点， P为双曲线上异于 A、 B的一点，且直线 PA、 PB的斜率 PAk 、 PBk 均 存在，求证： PA PBk k 为定值； （3）若 l过双曲线的右焦点 1F ，是否存在 x轴上的点 ( ,0)M m ，使得直线 l绕点 1F 无论怎 样转动，都有 0MA MB    成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由； 21. 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差都大于 2，则称为“H 型数列”； （1）若数列{ }na 为“H 型数列”，且 1 1 3a m   ， 2 1a m  ， 3 4a  ，求实数m的范围； （2）是否存在首项为 1 的等差数列{ }na 为“H型数列”，其前 n项和 nS 满足 2 nS n n  *( )n N ？若存在，请求出{ }na 的通项公式；若不存在，请说明理由； （3）已知等比数列{ }na 的每一项均为正整数，且{ }na 为“H 型数列”； 若 2 3n nb a ， nc  5( 1) 2 n n a n   ，当数列{ }nb 不是“H型数列”时， 试判断数列{ }nc 是否为“H 型数列”，并说明理由； 参考答案 一. 填空题 1. {1} 2. 3 4i 3. 2 4. (0,1) (1, ) 5.  6. 1 4 7. 143 8. 11 9. 17 10. 10 11. 3(0, ) 3 12. 1 2  二. 选择题 13. B 14. C 15. D 16. A 三. 解答题 17.（1）略；（2） 3 3 ； 18.（1） 1a   ，偶函数； 1a  ，奇函数； a R 且 1a   ，非奇非偶函数； （2）[2,3]； 19.（1）18.9 米；（2）6.9°； 20.（1） 2 2 1 3 yx   ；（2）3；（3） ( 1,0) ； 21.（1） 1( ,0) ( , ) 2   ；（2）不存在； （3） 13 2nna   时，{ }nc 不是“H 型数列”； 14nna  时，{ }nc 是“H 型数列”； 上海市浦东新区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12 一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 已知U R ，集合 { | 4 2 1}A x x x    ，则 UC A  2. 三阶行列式 3 5 1 2 3 6 7 2 4    中元素 5 的代数余子式的值为 3. 8(1 ) 2 x  的二项展开式中含 2x 项的系数是 4. 已知一个球的表面积为16 ，则它的体积为 5. 一个袋子中共有 6 个球，其中 4 个红色球，2 个蓝色球，这些球的质地和形状一样，从中 任意抽取 2 个球，则所抽的球都是红色球的概率是 6. 已知直线 : 0l x y b   被圆 2 2: 25C x y  所截得的弦长为 6，则b  7. 若复数 (1 )(2 )ai i  在复平面上所对应的点在直线 y x 上，则实数 a  8. 函数 ( ) ( 3 sin cos )( 3 cos sin )f x x x x x   的最小正周期为 9. 过双曲线 2 2 2: 1 4 x yC a   的右焦点 F 作一条垂直于 x轴的垂线交双曲线C的两条渐近线 于 A、 B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积的最小值为 10. 若关于 x的不等式 1| 2 | 0 2 x xm   在区间[0,1]内恒 成立，则实数m的范围 11. 如图，在正方形 ABCD中， 2AB  ，M 、N 分别是 边 BC、CD上的两个动点，且 2MN  ，则 AM AN   的取值范围是 12. 已知定义在 *N 上的单调递增函数 ( )y f x ，对于任意的 *n N ，都有 *( )f n N ，且 ( ( )) 3f f n n 恒成立，则 (2017) (1999)f f  二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 将 cos 2y x 图像向左平移 6  个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2 ) 3 y x    B. cos(2 ) 6 y x    C. cos(2 ) 3 y x    D. cos(2 ) 6 y x    14. 已知函数 ( )y f x 的反函数为 1( )y f x ，则 ( )y f x  与 1( )y f x  图像（ ） A. 关于 y轴对称 B. 关于原点对称 C. 关于直线 0x y  对称 D. 关于直线 0x y  对称 15. 设{ }na 是等差数列，下列命题中正确的是（ ） A. 若 1 2 0a a  ，则 2 3 0a a  B. 若 1 3 0a a  ，则 1 2 0a a  C. 若 1 20 a a  ，则 2 1 3a a a D. 若 1 0a  ，则 2 1 2 3( )( ) 0a a a a   16. 元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买 2 只玫瑰与 1 只康乃馨所需费用之和大于 8 元， 而购买 4 只玫瑰与 5 只康乃馨所需费用之和小于 22 元；设购买 2 只玫瑰花所需费用为 A元， 购买 3 只康乃馨所需费用为 B元，则 A、 B的大小关系是（ ） A. A B B. A B C. A B D. A、 B的大小关系不确定 三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中（如图）， 1 1AD AA  ， 2AB  ，点 E是棱 AB中点； （1）求异面直线 1AD 与 EC所成角的大小； （2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角 形的四面体成为鳖臑，试问四面体 1DCDE 是 否为鳖臑？并说明理由； 18. 已知△ ABC的内角 A、 B、C的对边分别为 a、b、 c； （1）若 3 B   ， 7b  ，△ ABC的面积 3 3 2 S  ，求 a c 的值； （2）若 22cos ( )C BA BC AB AC c        ，求角C； 19. 已知椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   ( 0)a b  的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，过 2F 的一条直线交 椭圆于 P、Q两点，若△ 1 2PF F 的周长为 4 4 2 ，且长轴长与短轴长之比为 2 :1； （1）求椭圆C的方程； （2）若 1 2| | | |F P F Q PQ     ，求直线 PQ的方程； 20. 设数列{ }na 满足 2 1 2 4 1n na a n n     ， 2 2n nb a n n   ； （1）若 1 2a  ，求证：数列{ }nb 为等比数列； （2）在（1）的条件下，对于正整数 2、 q、 r (2 )q r  ，若 25b 、 qb 、 rb 这三项经适当 排序后能构成等差数列，求符合条件的数组 ( , )q r ； （3）若 1 1a  ， n nc b n  ， 2 2 1 1 11n n n d c c     ， nM 是 nd 的前 n项和，求不超过 2016M 的最大整数； 21. 已知定义在 R上的函数 ( )x 的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上 ( )x 都不 是常值函数，设 0 1 1i i na t t t t t b          ，其中分点 1t 、 2t 、   、 1nt  将区间 [ , ]a b 划分为 n *( )n N 个小区间 1[ , ]i it t ，记 0 1 1 2{ , , } | ( ) ( ) | | ( ) ( ) |M a b n t t t t       1| ( ) ( ) |n nt t    ，称为 ( )x 关于区间[ , ]a b 的 n阶划分的“落差总和”；当 { , , }M a b n 取得最大值且 n取得最小值 0n 时，称 ( )x 存在“最佳划分” 0{ , , }M a b n ； （1）已知 ( ) | |x x  ，求 { 1,2,2}M  的最大值 0M ； （2）已知 ( ) ( )a b  ，求证： ( )x 在[ , ]a b 上存在“最佳划分” { , ,1}M a b 的充要条件 是 ( )x 在[ , ]a b 上单调递增； （3）若 ( )x 是偶函数且存在“最佳划分” 0{ , , }M a a n ，求证： 0n 是偶数，且 00 1 1 0i i nt t t t t        ； 参考答案 一. 填空题 1. { | 1}x x  2. 34 3. 7 4. 32 3  5. 2 5 6. 4 2 7. 3 8.  9. 8 10. 3( , 2) 2 11. [4,8 2 2] 12. 54 二. 选择题 13. A 14. D 15. C 16. A 三. 解答题 17.（1） 3  ；（2）是； 18.（1） 5a c  ；（2） 3  ； 19.（1） 2 2 1 8 4 x y   ；（2） 2( 2)y x   ； 20.（1） 12nnb  ；（2） (3,5)；（3） 2016； 21.（1） 0 3M  ；（2）略；（3）略； 上海市青浦区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12 一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 已知复数 2z i  （ i为虚数单位），则 2z  2. 已知集合 1{ | 2 16} 2 xA x   ， 2 2{ | log (9 )}B x y x   ，则 A B  3. 在二项式 62( )x x  的展开式中，常数项是 4. 等轴双曲线 2 2 2x y a  与抛物线 2 16y x 的准线交于 A、B两点，且 | | 4 3AB  ， 则该双曲线的实轴长等于 5. 若由矩阵 2 2 2 2 a x a a y a                表示 x、 y 的二元一次方程组无解，则实数 a  6. 执行如图所示的程序框图，若输入 1n  ， 则输出 S  7. 若圆锥侧面积为 20 ，且母线与底面所成 角为 4arccos 5 ，则该圆锥的体积为 8. 已知数列{ }na 的通项公式为 2 na n bn  ，若数列{ }na 是单调递增数列，则实数b的取 值范围是 9. 将边长为 10 的正三角形 ABC，按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△ A B C  ， 则△ A B C  中最短边的边长为 （精确到 0.01） 10. 已知点 A是圆 2 2: 4O x y  上的一个定点，点 B是圆O上的一个动点，若满足 | | | |AO BO AO BO       ，则 AO AB    11. 若定义域均为D的三个函数 ( )f x 、 ( )g x 、 ( )h x 满足条件：对任意 x D ，点 ( , ( ))x g x 与点 ( , ( ))x h x 都关于点 ( , ( ))x f x 对称，则称 ( )h x 是 ( )g x 关于 ( )f x 的“对称函数”，已知 2( ) 1g x x  ， ( ) 2f x x b  ， ( )h x 是 ( )g x 关于 ( )f x 的“对称函数”，且 ( ) ( )h x g x 恒成立，则实数b的取值范围是 12. 已知数列{ }na 满足：对任意的 *n N 均有 1 3 3n na ka k    ，其中 k为不等于 0 与 1 的常数，若 { 678, 78, 3,22,222,2222}ia     ， 2,3,4,5i  ，则满足条件的 1a 所有可能值 的和为 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 已知 ( ) sin 3 f x x  ， {1,2,3,4,5,6,7,8}A  ，现从集合 A中任取两个不同元素 s、 t， 则使得 ( ) ( ) 0f s f t  的可能情况为（ ） A. 12 种 B. 13 种 C. 14 种 D. 15 种 14. 已知空间两条直线m、 n，两个平面 、  ，给出下面四个命题： ①m∥n，m n    ； ② ∥  ，m  ，n   m∥n； ③m∥n，m∥ n ∥ ； ④ ∥  ，m∥n，m  n   ； 其中正确的序号是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 15. 如图，有一直角坡角，两边的长度足够长，若 P处有一棵树与两坡的距离分别是 4m和 am（0 12a  ），不考虑树的粗细，现用 16m长的篱笆，借助坡角围成一个矩形花圃 ABCD，设此矩形花圃的最大面积为M ，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数 ( )M f a （单位 2m ）的图像大致是（ ） A. B. C. D. 16. 已知集合 {( , ) | ( )}M x y y f x  ，若对于任意实数对 1 1( , )x y M ，存在 2 2( , )x y M ， 使 1 2 1 2 0x x y y  成立，则称集合M 是“垂直对点集”，给出下列四个集合： ① 2 1{( , ) | }M x y y x   ； ② 2{( , ) | log }M x y y x  ； ③ {( , ) | 2 2}xM x y y   ； ④ {( , ) | sin 1}M x y y x   ； 其中是“垂直对点集”的序号是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 如图所示，三棱柱 1 1 1ABC ABC 的侧面 1 1ABB A 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周 上不与 A、 B重合的一个点； （1）若圆柱的轴截面是正方形，当点C是弧 AB的中点时，求异面直线 1AC与 AB的所成 角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）当点C是弧 AB的中点时，求四棱锥 1 1 1A BCC B 与圆柱的体积比； 18. 已知函数 2 2 1 3( ) 3 sin cos ( ) 4 2 f x x x      （ x R ）； （1）求函数 ( )f x 在区间[0, ] 2  上的最大值； （2）在 ABC 中，若 A B ，且 1( ) ( ) 2 f A f B  ，求 BC AB 的值； 19. 如图， 1F 、 2F 分别是椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   （ 0a b  ）的左、右焦点，且焦距为 2 2， 动弦 AB平行于 x轴，且 1 1| | | | 4F A F B  ； （1）求椭圆C的方程； （2）若点 P是椭圆C上异于点 A、 B的任意一点，且直线 PA、 PB分别与 y轴交于点M 、 N ，若 2MF 、 2NF 的斜率分别为 1k 、 2k ，求证： 1 2k k 是定值； 20. 如图，已知曲线 1 2: 1 xC y x   （ 0x  ）及曲线 2 1: 3 C y x  （ 0x  ）， 1C 上的点 1P的 横坐标为 1a （ 1 10 2 a  ），从 1C 上的点 nP （ *n N ）作直线平行于 x轴，交曲线 2C 于 nQ 点，再从 2C 上的点 nQ （ *n N ）作直线平行于 y轴，交曲线 1C 于 1nP  点，点 nP （ 1,2,3,n  ）的横坐标构成数列{ }na ； （1）求曲线 1C 和曲线 2C 的交点坐标； （2）试求 1na  与 na 之间的关系； （3）证明： 2 1 2 1 2n na a  ； 21. 已知函数 2( ) 2f x x ax  （ 0a  ）； （1）当 2a  时，解关于 x的不等式 3 ( ) 5f x   ； （2）函数 ( )y f x 在[ , 2]t t  的最大值为 0，最小值是 4 ，求实数 a和 t的值； （3）对于给定的正数a，有一个最大的正数 ( )M a ，使得在整个区间[0, ( )]M a 上，不等式 | ( ) | 5f x  恒成立，求出 ( )M a 的解析式； 参考答案 一. 填空题 1. 3 4i 2. [ 1,3) 3. 160 4. 4 5. 2 6. 3log 19 7. 16 8. 3b   9. 3.62 10. 4 11. [ 5, ) 12. 22010 3 二. 选择题 13. C 14. A 15. B 16. C 三. 解答题 17.（1） 6arccos 6 ；（2） 2 3 ； 18.（1）1；（2） 2 ； 19.（1） 2 2 1 4 2 x y   ；（2） 1 2 1k k  ； 20.（1） 1 2( , ) 2 3 ；（2） 1 1 6 n n n aa a   ；（3）略； 21.（1） ( 1,1) (3,5)  ；（2） 0t  或 2， 2a  ； （3）当0 5a  ， 2( ) 5M a a a   ；当 5a  ， 2( ) 5M a a a   ； 上海市奉贤区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12 一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 已知集合 { 2, 1}A    ， { 1,2,3}B   ，则 A B  2. 已知复数 z满足 (1 ) 2z i  ，其中 i是虚数单位，则 z  3. 方程 lg( 3) lg 1x x   的解 x  4. 已知 ( ) logaf x x ( 0, 1)a a  ，且 1( 1) 2f    ，则 1( )f x  5. 若对任意正实数 x，不等式 2 1x a  恒成立，则实数a的最小值为 6. 若抛物线 2 2y px 的焦点与椭圆 2 2 1 5 x y  的右焦点重合，则 p  7. 中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为 8. 如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图 均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角 边长都为 1，那么这个几何体的表面积为 9. 已知互异复数 0mn  ，集合 2 2{ , } { , }m n m n ，则 m n  10. 已知等比数列{ }na 的公比为 q，前 n项和为 nS ，对任意的 *n N ， 0nS  恒成立，则 公比 q的取值范围是 11. 参数方程 | sin cos | 2 2 1 sin x y           ， [0, 2 )  表示的曲线的普通方程是 12. 已知函数 ( ) sin cosf x x x   ( 0)  ， x R ，若函数 ( )f x 在区间 ( , )  内单 调递增，且函数 ( )f x 的图像关于直线 x  对称，则的值为 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 对于常数m、 n，“ 0mn  ”是“方程 2 2 1mx ny  表示的曲线是双曲线”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 若方程 ( ) 2 0f x   在 ( ,0) 内有解，则 ( )y f x 的图像可能是（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数 2 2 sin , 0 ( ) cos( ), 0 x x x f x x x x         ( [0, 2 ))  是奇函数，则 （ ） A. 0 B. 2  C.  D. 3 2  16. 若正方体 1 2 3 4 1 2 3 4A A A A B B B B 的棱长为 1，则集合 1 1{ | , {1,2,3,4},i jx A B AB i j     {1,2,3,4}}中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 已知圆锥母线长为 5，底面圆半径长为 4，点M 是母线 PA的中点， AB是底面圆的直 径，点C是弧 AB的中点； （1）求三棱锥 P ACO 的体积； （2）求异面直线MC与 PO所成的角； 18. 已知函数 2 2( ) log ( 2)x xf x a a   ( 0)a  ，且 (1) 2f  ； （1）求 a和 ( )f x 的单调区间； （2） ( 1) ( ) 2f x f x   ； 19. 一艘轮船在江中向正东方向航行，在点 P观测到灯塔 A、 B在一直线上，并与航线成 角 (0 90 )   ，轮船沿航线前进b米到达C处，此时观测到灯塔 A在北偏西 45 方向， 灯塔 B在北偏东  (0 90 )   方向，0 90     ，求CB；（结果用 , ,b  表示） 20. 过双曲线 2 2 1 4 yx   的右支上的一点 P作一直线 l与两渐近线交于 A、 B两点，其中 P是 AB的中点； （1）求双曲线的渐近线方程； （2）当 P坐标为 0( , 2)x 时，求直线 l的方程； （3）求证： | | | |OA OB 是一个定值； 21. 设数列{ }na 的前 n项和为 nS ，若 11 2 2 n n a a   *( )n N ，则称{ }na 是“紧密数列”； （1）若 1 1a  ， 2 3 2 a  ， 3a x ， 4 4a  ，求 x的取值范围； （2）若{ }na 为等差数列，首项 1a ，公差 d ，且 10 d a  ，判断{ }na 是否为“紧密数列”； （3）设数列{ }na 是公比为 q的等比数列，若数列{ }na 与{ }nS 都是“紧密数列”，求 q的 取值范围； 参考答案 一. 填空题 1. { 1} 2. 1 i 3. 5 4. 1( ) 2 x 5. ？ 6. 4p  7. 5 8. 3 3 2  9. 1 10. ( 1,0) (0, )  11. 2y x ， [0, 2]x 12. 2  二. 选择题 13. C 14. D 15. D 16. A 三. 解答题 17.（1）8；（2） 4 5arctan 3 ； 18.（1） 2a  ，递增区间 (0, ) ；（2） 2(0, log 3)； 19.（1） sin cos( ) bCB      ； 20.（1） 2y x  ；（2） ( 2, 2)P ， 2 2 2y x  ；（3）5； 21.（1）[2,3]；（2）是；（3） 1[ ,1] 2 ； 上海市嘉定区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12.21 一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 设集合 { || 2 | 1, }A x x x R    ，集合 B Z ，则 A B  2. 函数 sin( ) 3 y x   （ 0  ）的最小正周期是 ，则  3. 设 i为虚数单位，在复平面上，复数 2 3 (2 )i 对应的点到原点的距离为 4. 若函数 2( ) log ( 1)f x x a   的反函数的图像经过点 (4,1)，则实数 a  5. 已知 ( 3 )na b 展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64，则 n  6. 甲、乙两人从 5 门不同的选修课中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的 选法有 种； 7. 若圆锥的侧面展开图是半径为 2 cm，圆心角为 270°的扇形，则这个圆锥的体积为 3cm 8. 若数列{ }na 的所有项都是正数，且 2 1 2 3na a a n n     （ *n N ），则 1 2 2 1lim ( ) 2 3 1 n n aa a n n      9. 如图，在 ABC 中， 45B  ，D是 BC边上的一点， 5AD  ， 7AC  ， 3DC  ，则 AB的长为 10. 有以下命题： ① 若函数 ( )f x 既是奇函数又是偶函数，则 ( )f x 的值域为{0}； ② 若函数 ( )f x 是偶函数，则 (| |) ( )f x f x ； ③ 若函数 ( )f x 在其定义域内不是单调函数，则 ( )f x 不存在反函数； ④ 若函数 ( )f x 存在反函数 1( )f x ，且 1( )f x 与 ( )f x 不完全相同，则 ( )f x 与 1( )f x 图 像的公共点必在直线 y x 上； 其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号） 11. 设向量 (1, 2)OA    ， ( , 1)OB a   ， ( ,0)OC b   ，其中O为坐标原点， 0a  ， 0b  ， 若 A、 B、C三点共线，则 1 2 a b  的最小值为 12. 如图，已知正三棱柱的底面边长为 2 cm，高为 5 cm， 一质点自 A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 1A 点的最短路线的长为 cm 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. “ 2x  ”是“ 2 4x  ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 若无穷等差数列{ }na 的首项 1 0a  ，公差 0d  ，{ }na 的前 n项和为 nS ，则以下结论 中一定正确的是（ ） A. nS 单调递增 B. nS 单调递减 C. nS 有最小值 D. nS 有最大值 15. 给出下列命题：① 存在实数 使 3sin cos 2    ；② 直线 2 x    是函数 siny x 图像的一条对称轴；③ cos(cos )y x （ x R ）的值域是[cos1,1]；④ 若 、  都是第 一象限角，且  ，则 tan tan  ；其中正确命题的题号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 16. 如果对一切实数 x、 y，不等式 2 9cos sin 4 y x a x y    恒成立，则实数a的取值范围 是（ ） A. 4( , ] 3  B. [3, ) C. [ 2 2,2 2] D. [ 3,3] 三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 如图，已知 AB 平面 BCD，BC CD ，AD与平面 BCD所成的角为 30°，且 2AB BC  ； （1）求三棱锥 A BCD 的体积； （2）设M 为 BD的中点，求异面直线 AD与CM 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； 18. 在 ABC 中， a、b、 c分别是角 A、 B、C的对边，且 28sin 2cos 2 7 2 B C A   ； （1）求角 A的大小； （2）若 3a  ， 3b c  ，求b和 c的值； 19. 某地要建造一个边长为 2（单位： km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域 ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为 (1, 2)，曲线OD是函 数 2y ax 图像的一部分，过边OA上一点M 在区域OABD内作一次函数 y kx b  （ 0k  ）的图像，与线段DB交于点 N （点 N 不与点D重合），且线段MN与曲线OD有 且只有一个公共点 P，四边形MABN 为绿化风景区； （1）求证： 2 8 kb   ； （2）设点 P的横坐标为 t， ① 用 t表示M 、 N 两点坐标； ② 将四边形MABN 的面积 S表示成关于 t的函数 ( )S S t ，并求 S的最大值； 20. 已知函数 ( ) 9 2 3 3x xf x a    ； （1）若 1a  ， [0,1]x ，求 ( )f x 的值域； （2）当 [ 1,1]x  时，求 ( )f x 的最小值 ( )h a ； （3）是否存在实数m、 n，同时满足下列条件：① 3n m  ；②当 ( )h a 的定义域为[ , ]m n 时，其值域为 2 2[ , ]m n ，若存在，求出m、 n的值，若不存在，请说明理由； 21. 已知无穷数列{ }na 的各项都是正数，其前 n项和为 nS ，且满足： 1a a ， 1 1n n nrS a a   ，其中 1a  ，常数 r N ； （1）求证： 2n na a  是一个定值； （2）若数列{ }na 是一个周期数列（存在正整数T ，使得对任意 *n N ，都有 n T na a  成立，则称{ }na 为周期数列，T 为它的一个周期），求该数列的最小周期； （3）若数列{ }na 是各项均为有理数的等差数列， 12 3nnc   （ *n N ），问：数列{ }nc 中的所有项 是否都是数列{ }na 中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例； 参考答案 一. 填空题 1. {2} 2. 2 3. 3 5 4. 3 5. 6 6. 60 7. 3 7 8  8. 2 9. 5 6 2 10. ①② 11. 8 12. 13 二. 选择题 13. B 14. C 15. B 16. D 三. 解答题 17.（1） 4 2 3 ；（2） 3arccos 6 ； 18.（1） 3  ；（2） 1b  ， 2c  ；或 2b  ， 1c  ； 19.（1） 2 8 kb   ；（2）① ( ,0) 2 tM ， 1( , 2) 2 2 tN t  ；② 14 ( ) 4 2 2 S t t      ； 20.（1）[2,6]；（2）当 1 3 a  ， 28 2( ) 9 3 h a a  ；当 1 3 3 a  ， 2( ) 3h a a  ； 当 3a  ， ( ) 12 6h a a  ；（3）不存在； 21.（1） 2n na a r   ；（2） 2T  ；（3）不是； 上海市长宁区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12.21 一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 设集合 { || 2 | 1, }A x x x R    ，集合 B Z ，则 A B  2. 函数 sin( ) 3 y x   （ 0  ）的最小正周期是 ，则  3. 设 i为虚数单位，在复平面上，复数 2 3 (2 )i 对应的点到原点的距离为 4. 若函数 2( ) log ( 1)f x x a   的反函数的图像经过点 (4,1)，则实数 a  5. 已知 ( 3 )na b 展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64，则 n  6. 甲、乙两人从 5 门不同的选修课中各选修 2 门，则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的 选法有 种； 7. 若圆锥的侧面展开图是半径为 2 cm，圆心角为 270°的扇形，则这个圆锥的体积为 3cm 8. 若数列{ }na 的所有项都是正数，且 2 1 2 3na a a n n     （ *n N ），则 1 2 2 1lim ( ) 2 3 1 n n aa a n n      9. 如图，在 ABC 中， 45B  ，D是 BC边上的一点， 5AD  ， 7AC  ， 3DC  ，则 AB的长为 10. 有以下命题： ① 若函数 ( )f x 既是奇函数又是偶函数，则 ( )f x 的值域为{0}； ② 若函数 ( )f x 是偶函数，则 (| |) ( )f x f x ； ③ 若函数 ( )f x 在其定义域内不是单调函数，则 ( )f x 不存在反函数； ④ 若函数 ( )f x 存在反函数 1( )f x ，且 1( )f x 与 ( )f x 不完全相同，则 ( )f x 与 1( )f x 图 像的公共点必在直线 y x 上； 其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号） 11. 设向量 (1, 2)OA    ， ( , 1)OB a   ， ( ,0)OC b   ，其中O为坐标原点， 0a  ， 0b  ， 若 A、 B、C三点共线，则 1 2 a b  的最小值为 12. 如图，已知正三棱柱的底面边长为 2 cm，高为 5 cm， 一质点自 A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 1A 点的最短路线的长为 cm 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. “ 2x  ”是“ 2 4x  ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 若无穷等差数列{ }na 的首项 1 0a  ，公差 0d  ，{ }na 的前 n项和为 nS ，则以下结论 中一定正确的是（ ） A. nS 单调递增 B. nS 单调递减 C. nS 有最小值 D. nS 有最大值 15. 给出下列命题：① 存在实数 使 3sin cos 2    ；② 直线 2 x    是函数 siny x 图像的一条对称轴；③ cos(cos )y x （ x R ）的值域是[cos1,1]；④ 若 、  都是第 一象限角，且  ，则 tan tan  ；其中正确命题的题号为（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 16. 如果对一切实数 x、 y，不等式 2 9cos sin 4 y x a x y    恒成立，则实数a的取值范围 是（ ） A. 4( , ] 3  B. [3, ) C. [ 2 2,2 2] D. [ 3,3] 三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 如图，已知 AB 平面 BCD，BC CD ，AD与平面 BCD所成的角为 30°，且 2AB BC  ； （1）求三棱锥 A BCD 的体积； （2）设M 为 BD的中点，求异面直线 AD与CM 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； 18. 在 ABC 中， a、b、 c分别是角 A、 B、C的对边，且 28sin 2cos 2 7 2 B C A   ； （1）求角 A的大小； （2）若 3a  ， 3b c  ，求b和 c的值； 19. 某地要建造一个边长为 2（单位： km）的正方形市民休闲公园OABC，将其中的区域 ODC开挖成一个池塘，如图建立平面直角坐标系后，点D的坐标为 (1, 2)，曲线OD是函 数 2y ax 图像的一部分，过边OA上一点M 在区域OABD内作一次函数 y kx b  （ 0k  ）的图像，与线段DB交于点 N （点 N 不与点D重合），且线段MN与曲线OD有 且只有一个公共点 P，四边形MABN 为绿化风景区； （1）求证： 2 8 kb   ； （2）设点 P的横坐标为 t， ① 用 t表示M 、 N 两点坐标； ② 将四边形MABN 的面积 S表示成关于 t的函数 ( )S S t ，并求 S的最大值； 20. 已知函数 ( ) 9 2 3 3x xf x a    ； （1）若 1a  ， [0,1]x ，求 ( )f x 的值域； （2）当 [ 1,1]x  时，求 ( )f x 的最小值 ( )h a ； （3）是否存在实数m、 n，同时满足下列条件：① 3n m  ；②当 ( )h a 的定义域为[ , ]m n 时，其值域为 2 2[ , ]m n ，若存在，求出m、 n的值，若不存在，请说明理由； 21. 已知无穷数列{ }na 的各项都是正数，其前 n项和为 nS ，且满足： 1a a ， 1 1n n nrS a a   ，其中 1a  ，常数 r N ； （1）求证： 2n na a  是一个定值； （2）若数列{ }na 是一个周期数列（存在正整数T ，使得对任意 *n N ，都有 n T na a  成立，则称{ }na 为周期数列，T 为它的一个周期），求该数列的最小周期； （3）若数列{ }na 是各项均为有理数的等差数列， 12 3nnc   （ *n N ），问：数列{ }nc 中的所有项 是否都是数列{ }na 中的项？若是，请说明理由，若不是，请举出反例； 参考答案 一. 填空题 1. {2} 2. 2 3. 3 5 4. 3 5. 6 6. 60 7. 3 7 8  8. 2 9. 5 6 2 10. ①② 11. 8 12. 13 二. 选择题 13. B 14. C 15. B 16. D 三. 解答题 17.（1） 4 2 3 ；（2） 3arccos 6 ； 18.（1） 3  ；（2） 1b  ， 2c  ；或 2b  ， 1c  ； 19.（1） 2 8 kb   ；（2）① ( ,0) 2 tM ， 1( , 2) 2 2 tN t  ；② 14 ( ) 4 2 2 S t t      ； 20.（1）[2,6]；（2）当 1 3 a  ， 28 2( ) 9 3 h a a  ；当 1 3 3 a  ， 2( ) 3h a a  ； 当 3a  ， ( ) 12 6h a a  ；（3）不存在； 21.（1） 2n na a r   ；（2） 2T  ；（3）不是； 上海市普陀区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12 一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 若集合 2{ | , }A x y x y R   ， { | sin , }B y y x x R   ，则 A B  2. 若 2 2     ， 3sin 5   ，则 cot 2  3. 函数 2( ) 1 logf x x  （ 1x  ）的反函数 1( )f x  4. 若 5 5 0 1 2 5(1 )x a a x a x a x      ，则 1 2 5a a a    5. 设 k R ， 2 2 1 2 y x k k    表示焦点在 y轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是 6. 设m R ，若 2 3( ) ( 1) 1f x m x mx    是偶函数，则 ( )f x 的单调递增区间是 7. 方程 2 2log (9 5) 2 log (3 2)x x    的解 x  8. 已知圆 2 2 2: 2 2 0C x y kx y k     （ k R ）和定点 (1, 1)P  ，若过 P可以作两条直 线与圆C相切，则 k的取值范围是 9. 如图，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 90ABC  ， 1AB BC  ，若 1AC与平面 1 1B BCC 所成的角为 6  ， 则三棱锥 1A ABC 的体积为 10. 掷两颗骰子得两个数，若两数的差为 d ，则 { 2, 1,0,1,2}d    出现的概率的最大值 为 （结果用最简分数表示） 11. 设地球半径为 R，若 A、 B两地均位于北纬 45°，且两地所在纬度圈上的弧长为 2 4 R ，则 A、 B之间的球面距离是 （结果用含有 R的代数式表示） 12. 已知定义域为 R的函数 ( )y f x 满足 ( 2) ( )f x f x  ，且 1 1x   时， 2( ) 1f x x  ，函数 lg | |, 0 ( ) 1, 0 x x g x x     ，若 ( ) ( ) ( )F x f x g x  ，则 [ 5,10]x  ，函 数 ( )F x 零点的个数是 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 若 0a b  ，则下列不等关系中，不能成立的是（ ） A. 1 1 a b  B. 1 1 a b a   C. 1 1 3 3a b D. 2 2a b 14. 设无穷等比数列{ }na 的首项为 1a ，公比为 q，前 n项和为 nS ，则“ 1 1a q  ”是 “ lim 1nn S   ”成立的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 15. 设 l   是直二面角，直线 a在平面 内，直线b在平面  内，且 a、b与 l均不垂 直，则（ ） A. a与b可能垂直，但不可能平行 B. a与b可能垂直，也可能平行 C. a与b不可能垂直，但可能平行 D. a与b不可能垂直，也不可能平行 16. 设 是两个非零向量 a  、b  的夹角，若对任意实数 t， | |a tb   的最小值为 1，则下列判 断正确的是（ ） A. 若 | |a  确定，则 唯一确定 B. 若 | |b  确定，则 唯一确定 C. 若 确定，则 | |b  唯一确定 D. 若 确定，则 | |a  唯一确定 三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 已知 a R ，函数 1( ) | | f x a x   ； （1）当 1a  时，解不等式 ( ) 2f x x ； （2）若关于 x的方程 ( ) 2 0f x x  在区间[ 2, 1]  上有解，求实数 a的取值范围； 18. 已知椭圆 2 2 2 2: 1x y a b    （ 0a b  ）的左、右两个焦点分别为 1F 、 2F ， P是椭圆上 位于第一象限内的点， PQ x 轴，垂足为Q，且 1 2| | 6F F  ， 1 2 5 3arccos 9 PF F  ， 1 2PF F 的面积为3 2； （1）求椭圆的方程； （2）若M 是椭圆上的动点，求 | |MQ 的最大值， 并求出 | |MQ 取得最大值时M 的坐标； 19. 现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为 7.8 3/g cm ，总重量为 5.8 kg，其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位：毫米）； （1）这堆螺帽至少有多少个； （2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要 耗材 0.11 千克，共需要多少千克防腐材料？ （结果精确到 0.01） 20. 已知数列{ }na 的各项均为正数，且 1 1a  ，对任意的 *n N ，均有 2 1 1 4 ( 1)n n na a a     ， 22log (1 ) 1n nb a   ； （1）求证：{1 }na 是等比数列，并求出{ }na 的通项公式； （2）若数列{ }nb 中去掉{ }na 的项后，余下的项组成数列{ }nc ，求 1 2 100c c c   ； （3）设 1 1 n n n d b b    ，数列{ }nd 的前 n项和为 nT ，是否存在正整数m（1 m n  ），使得 1T 、 mT 、 nT 成等比数列，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由； 21. 已知函数 ( )y f x ，若存在实数m、 k（ 0m  ），使得对于定义域内的任意实数 x， 均有 ( ) ( ) ( )m f x f x k f x k     成立，则称函数 ( )f x 为“可平衡”函数，有序数对 ( , )m k 称为函数 ( )f x 的“平衡”数对； （1）若 1m  ，判断 ( ) sinf x x 是否为“可平衡”函数，并说明理由； （2）若 a R ， 0a  ，当 a变化，求证： 2( )f x x 与 ( ) 2 xg x a  的“平衡”数对相同； （3）若 1m 、 2m R ，且 1( , ) 2 m  、 2( , ) 4 m  均为函数 2( ) cosf x x （0 4 x    ）的“平 衡”数对，求 2 2 1 2m m 的取值范围； 参考答案 一. 填空题 1. [0,1] 2. 7 24 3. 12x ( 1)x  4. 31 5. ( 2, ) 6. [0, ) 7. 1x  8. 2k   或 0k  9. 2 6 10. 2 3 11. 3 R 12. 15 二. 选择题 13. B 14. B 15. C 16. D 三. 解答题 17.（1）[1, ) ；（2） 9[ , 3] 2   ； 18.（1） 2 2 1 12 3 x y   ；（2） ( 2 3,0)M  ， max| | 2 2 3MQ   ； 19.（1） 252个；（2）0.05千克； 20.（1） 2 1n na   ；（2）11202；（3） 2m  ， 12n  ； 21.（1）是；（2）平衡数对 (2,0)；（3） (1,8] 上海市徐汇区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12.21 一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分） 1. 2 5lim 1n n n    2. 已知抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在 x轴上，若C经过点 (1,3)M ，则 其焦点到准线的距离为 3. 若线性方程组的增广矩阵为 0 2 0 1 a b       ，解为 2 1 x y    ，则 a b  4. 若复数 z满足： 3i z i   （ i是虚数单位），则 | |z  5. 在 6 2 2( )x x  的二项展开式中第四项的系数是 （结果用数值表示） 6. 在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中，若 1AB BC  ， 1 2AA  ，则异面直线 1BD 与 1CC 所成角的大小为 7. 若函数 2 2 , 0 ( ) , 0 x x f x x m x       的值域为 ( ,1] ，则实数m的取值范围是 8. 如图，在△ ABC中，若 3AB AC  ， 1cos 2 BAC  ， 2DC BD   ，则 AD BC    9. 定义在 R上的偶函数 ( )y f x ，当 0x  时， 2( ) lg( 3 3)f x xx   ，则 ( )f x 在 R上 的零点个数为 个 10. 将 6 辆不同的小汽车和 2 辆不同的卡车驶入如图所示的 10 个车位中的某 8 个内，其中 2 辆卡车必须停在 A与 B的位置，那么不同的停车位置安排共有 种（结果用数值 表示） 11. 已知数列{ }na 是首项为 1，公差为 2m的等差数列，前 n项和为 nS ，设 2 n n n Sb n   *( )n N ，若数列{ }nb 是递减数列，则实数m的取值范围是 12. 若使集合 2{ | ( 6)( 4) 0, }A x kx k x x Z      中的元素个数最少，则实数 k的取值 范围是 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. “ 4 x k   ( )k Z ”是“ tan 1x  ”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 14. 若1 2i （ i是虚数单位）是关于 x的方程 2 0x bx c   的一个复数根，则（ ） A. 2b  ， 3c  B. 2b  ， 1c   C. 2b   ， 1c   D. 2b   ， 3c  15. 已知函数 f (x)为 R上的单调函数， f 1(x)是它的反函数，点 A(1,3)和点B(1,1)均在 函数 f (x)的图像上，则不等式 1| (2 ) | 1xf   的解集为（ ） A. ( 1,1) B. (1,3) C. 2(0, log 3) D. 2(1, log 3) 16. 如图，两个椭圆 22 1 25 9 yx   、 2 2 1 25 9 y x  内部重叠区域的边界记为曲线C， P是曲线 C上的任意一点，给出下列三个判断： （1） P到 1( 4,0)F  、 2 (4,0)F 、 1(0, 4)E  、 2 (0, 4)E 四点的距离之和为定值 （2）曲线C关于直线 y x 、 y x  均对称 （3）曲线C所围区域面积必小于 36 上述判断中正确命题的个数为（ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分） 17. 已知 PA 平面 ABC， AC AB ， 2AP BC  ， 30CBA   ，D是 AB的中点； （1）求 PD与平面 PAC 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）求△ PDB绕直线 PA旋转一周所构成的旋转体的体积；（结果保留 ） 18. 已知函数 23 cos sin( ) cos 1 x xf x x   ； （1）当 [0, ] 2 x   时，求 ( )f x 的值域； （2）已知△ ABC的内角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c，若 ( ) 3 2 Af  ， 4a  ， 5b c  ， 求△ ABC的面积； 19. 某创业团队拟生产 A、 B两种产品，根据市场预测， A产品的利润与投资额成正比 （如图 1）， B产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图 2）； （注：利润与投资额的单位均为万元） （1）分别将 A、 B两种产品的利润 f (x)、g(x)表示为投资额 x的函数； （2）该团队已筹集到 10 万元资金，并打算全部投入 A、 B两种产品生产，问：当 B产品 的投资额为多少万元时，生产 A、 B两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？ 20. 如图，双曲线 2 2: 1 3 x y   的左、右焦点 1F 、 2F ，过 2F 作直线 l交 y轴于点Q； （1）当直线 l平行于的一条渐近线时，求点 1F 到直线 l的距离； （2）当直线 l的斜率为 1 时，在的右支上是否存在点 P，满足 1 1 0F P FQ    ？，若存在， 求点 P的坐标，若不存在，说明理由； （3）若直线 l与交于不同两点 A、 B，且上存在一点M ，满足 4 0OA OB OM       （其中O为坐标原点），求直线 l的方程； 21. 正数数列{ }na 、{ }nb 满足： 1 1a b ，且对一切 2k  ， k N  ， ka 是 1ka  与 1kb  的等 差中项， kb 是 1ka  与 1kb  的等比中项； （1）若 2 2a  ， 2 1b  ，求 1a 、 1b 的值； （2）求证：{ }na 是等差数列的充要条件是 na 为常数数列； （3）记 | |n n nc a b  ，当 2n  ， n N  ，指出 2 nc c  与 1c 的大小关系并说明理由； 参考答案 一. 填空题 1. 2 2. 9 2 3. 2 4. 2 5. 160 6. 4  7. 0 1m  8. 3 2  9. 4 10. 40320 11. [0,1) 12. [ 3, 2]  二. 选择题 13. C 14. D 15. C 16. C 三. 解答题 17.（1） 3arctan 4 ；（2） 3 2  ； 18.（1） 3 2[0, ] 2  ；（2） 3 3 4 ； 19.（1） 1( ) 4 f x x ， 5( ) 4 g x x ； （2）对 A投资 3.75 万元，对 B投资 6.25 万元，可获得最大利润 65 16 万元； 20.（1） 2；（2）不存在；（3） 2 2x y   ； 21.（1） 1 2 3a   ， 1 2 3b   ；（2）略；（3） 2 1nc c c   ；