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  • 2021-05-13 发布

2017高考上海各区数学一模含答案

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上海市宝山区 2017 届高三一模数学试卷 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 2 3lim 1n n n    2. 设全集U R ,集合 { 1,0,1,2,3}A   , { | 2}B x x  ,则 UA C B  3. 不等式 1 0 2 x x    的解集为 4. 椭圆 5cos 4sin x y      ( 为参数)的焦距为 5. 设复数 z满足 2 3z z i   ( i为虚数单位),则 z  6. 若函数 cos sin sin cos x x y x x  的最小正周期为 a ,则实数 a的值为 7. 若点 (8, 4)在函数 ( ) 1 log af x x  图像上,则 ( )f x 的反函数为 8. 已知向量 (1, 2)a   , (0,3)b   ,则b  在 a  的方向上的投影为 9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥,其左视图是边长为 6 的正三角形,则该圆锥的侧面 积为 10. 某班级要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人参加公益活动,则在选出的 3 人中男、女生 均有的概率为 (结果用最简分数表示) 11. 设常数 0a  ,若 9( )ax x  的二项展开式中 5x 的系数为 144,则 a  12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成(数列的项数大于 2),且所有项之和为 N , 那么称该数列为 N 型标准数列,例如,数列 2,3,4,5,6 为 20 型标准数列,则 2668 型 标准数列的个数为 二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 设 a R ,则“ 1a  ”是“复数 ( 1)( 2) ( 3)a a a i    为纯虚数”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 某中学的高一、高二、高三共有学生 1350 人,其中高一 500 人,高三比高二少 50 人, 为了解该校学生健康状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有高一学生 120 人,则该样本中的高二学生人数为( ) A. 80 B. 96 C. 108 D. 110 15. 设M 、 N 为两个随机事件,给出以下命题: (1)若M 、 N 为互斥事件,且 1( ) 5 P M  , 1( ) 4 P N  ,则 9( ) 20 P M N  ; (2)若 1( ) 2 P M  , 1( ) 3 P N  , 1( ) 6 P MN  ,则M 、 N 为相互独立事件; (3)若 1( ) 2 P M  , 1( ) 3 P N  , 1( ) 6 P MN  ,则M 、 N 为相互独立事件; (4)若 1( ) 2 P M  , 1( ) 3 P N  , 1( ) 6 P MN  ,则M 、 N 为相互独立事件; (5)若 1( ) 2 P M  , 1( ) 3 P N  , 5( ) 6 P MN  ,则M 、 N 为相互独立事件; 其中正确命题的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 在平面直角坐标系中,把位于直线 y k 与直线 y l ( k、 l均为常数,且 k l )之 间的点所组成区域(含直线 y k ,直线 y l )称为“ k l 型带状区域”,设 ( )f x 为二次 函数,三点 ( 2, ( 2) 2)f   、 (0, (0) 2)f  、 (2, (2) 2)f  均位于“0 4 型带状区域”,如 果点 ( , 1)t t  位于“ 1 3  型带状区域”,那么,函数 | ( ) |y f t 的最大值为( ) A. 7 2 B. 3 C. 5 2 D. 2 三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 如图,已知正三棱柱 1 1 1ABC ABC 的底面积为 9 3 4 ,侧面积为 36; (1)求正三棱柱 1 1 1ABC ABC 的体积; (2)求异面直线 1AC与 AB所成的角的大小; 18. 已知椭圆C的长轴长为 2 6 ,左焦点的坐标为 ( 2,0) ; (1)求C的标准方程; (2)设与 x轴不垂直的直线 l过C的右焦点,并与C交于 A、B两点,且 | | 6AB  , 试求直线 l的倾斜角; 19. 设数列{ }nx 的前 n项和为 nS ,且 4 3 0n nx S   ( *n N ); (1)求数列{ }nx 的通项公式; (2)若数列{ }ny 满足 1n n ny y x   ( *n N ),且 1 2y  ,求满足不等式 55 9ny  的最小 正整数 n的值; 20. 设函数 ( ) lg( )f x x m  (m R ); (1)当 2m  时,解不等式 1( ) 1f x  ; (2)若 (0) 1f  ,且 1( ) ( ) 2 xf x   在闭区间[2,3]上有实数解,求实数的范围; (3)如果函数 ( )f x 的图像过点 (98,2),且不等式 [cos(2 )] lg 2nf x  对任意 n N 均成立, 求实数 x的取值集合; 21. 设集合 A、 B均为实数集 R的子集,记: { | , }A B a b a A b B     ; (1)已知 {0,1,2}A  , { 1,3}B   ,试用列举法表示 A B ; (2)设 1 2 3 a  ,当 *n N ,且 2n  时,曲线 2 2 2 1 1 1 9 x y n n n      的焦距为 na ,如果 1 2{ , , , }nA a a a  , 1 2 2{ , , } 9 9 3 B     ,设 A B 中的所有元素之和为 nS ,对于满足 3m n k  ,且m n 的任意正整数m、 n、 k,不等式 0m n kS S S   恒成立,求实 数的最大值; (3)若整数集合 1 1 1A A A  ,则称 1A为“自生集”,若任意一个正整数均为整数集合 2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和,则称 2A 为“ *N 的基底集”,问:是否存在一个整数集 合既是自生集又是 *N 的基底集?请说明理由; 上海市宝山区 2017 届高三一模数学试卷 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 2 3lim 1n n n    2. 设全集U R ,集合 { 1,0,1,2,3}A   , { | 2}B x x  ,则 UA C B  3. 不等式 1 0 2 x x    的解集为 4. 椭圆 5cos 4sin x y      ( 为参数)的焦距为 5. 设复数 z满足 2 3z z i   ( i为虚数单位),则 z  6. 若函数 cos sin sin cos x x y x x  的最小正周期为 a ,则实数 a的值为 7. 若点 (8, 4)在函数 ( ) 1 log af x x  图像上,则 ( )f x 的反函数为 8. 已知向量 (1, 2)a   , (0,3)b   ,则b  在 a  的方向上的投影为 9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥,其左视图是边长为 6 的正三角形,则该圆锥的侧面 积为 10. 某班级要从 5 名男生和 2 名女生中选出 3 人参加公益活动,则在选出的 3 人中男、女生 均有的概率为 (结果用最简分数表示) 11. 设常数 0a  ,若 9( )ax x  的二项展开式中 5x 的系数为 144,则 a  12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成(数列的项数大于 2),且所有项之和为 N , 那么称该数列为 N 型标准数列,例如,数列 2,3,4,5,6 为 20 型标准数列,则 2668 型 标准数列的个数为 二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 设 a R ,则“ 1a  ”是“复数 ( 1)( 2) ( 3)a a a i    为纯虚数”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 某中学的高一、高二、高三共有学生 1350 人,其中高一 500 人,高三比高二少 50 人, 为了解该校学生健康状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有高一学生 120 人,则该样本中的高二学生人数为( ) A. 80 B. 96 C. 108 D. 110 15. 设M 、 N 为两个随机事件,给出以下命题: (1)若M 、 N 为互斥事件,且 1( ) 5 P M  , 1( ) 4 P N  ,则 9( ) 20 P M N  ; (2)若 1( ) 2 P M  , 1( ) 3 P N  , 1( ) 6 P MN  ,则M 、 N 为相互独立事件; (3)若 1( ) 2 P M  , 1( ) 3 P N  , 1( ) 6 P MN  ,则M 、 N 为相互独立事件; (4)若 1( ) 2 P M  , 1( ) 3 P N  , 1( ) 6 P MN  ,则M 、 N 为相互独立事件; (5)若 1( ) 2 P M  , 1( ) 3 P N  , 5( ) 6 P MN  ,则M 、 N 为相互独立事件; 其中正确命题的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 在平面直角坐标系中,把位于直线 y k 与直线 y l ( k、 l均为常数,且 k l )之 间的点所组成区域(含直线 y k ,直线 y l )称为“ k l 型带状区域”,设 ( )f x 为二次 函数,三点 ( 2, ( 2) 2)f   、 (0, (0) 2)f  、 (2, (2) 2)f  均位于“0 4 型带状区域”,如 果点 ( , 1)t t  位于“ 1 3  型带状区域”,那么,函数 | ( ) |y f t 的最大值为( ) A. 7 2 B. 3 C. 5 2 D. 2 三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 如图,已知正三棱柱 1 1 1ABC ABC 的底面积为 9 3 4 ,侧面积为 36; (1)求正三棱柱 1 1 1ABC ABC 的体积; (2)求异面直线 1AC与 AB所成的角的大小; 18. 已知椭圆C的长轴长为 2 6 ,左焦点的坐标为 ( 2,0) ; (1)求C的标准方程; (2)设与 x轴不垂直的直线 l过C的右焦点,并与C交于 A、B两点,且 | | 6AB  , 试求直线 l的倾斜角; 19. 设数列{ }nx 的前 n项和为 nS ,且 4 3 0n nx S   ( *n N ); (1)求数列{ }nx 的通项公式; (2)若数列{ }ny 满足 1n n ny y x   ( *n N ),且 1 2y  ,求满足不等式 55 9ny  的最小 正整数 n的值; 20. 设函数 ( ) lg( )f x x m  (m R ); (1)当 2m  时,解不等式 1( ) 1f x  ; (2)若 (0) 1f  ,且 1( ) ( ) 2 xf x   在闭区间[2,3]上有实数解,求实数的范围; (3)如果函数 ( )f x 的图像过点 (98,2),且不等式 [cos(2 )] lg 2nf x  对任意 n N 均成立, 求实数 x的取值集合; 21. 设集合 A、 B均为实数集 R的子集,记: { | , }A B a b a A b B     ; (1)已知 {0,1,2}A  , { 1,3}B   ,试用列举法表示 A B ; (2)设 1 2 3 a  ,当 *n N ,且 2n  时,曲线 2 2 2 1 1 1 9 x y n n n      的焦距为 na ,如果 1 2{ , , , }nA a a a  , 1 2 2{ , , } 9 9 3 B     ,设 A B 中的所有元素之和为 nS ,对于满足 3m n k  ,且m n 的任意正整数m、 n、 k,不等式 0m n kS S S   恒成立,求实 数的最大值; (3)若整数集合 1 1 1A A A  ,则称 1A为“自生集”,若任意一个正整数均为整数集合 2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和,则称 2A 为“ *N 的基底集”,问:是否存在一个整数集 合既是自生集又是 *N 的基底集?请说明理由; 上海市崇明县 2017 届高三一模数学试卷 2016.12 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 复数 (2 )i i 的虚部为 2. 设函数 2log , 0 ( ) 4 , 0x x x f x x     ,则 ( ( 1))f f   3. 已知 { || 1| 2, }M x x x R    , 1{ | 0, } 2 xP x x R x      ,则M P  4. 抛物线 2y x 上一点M 到焦点的距离为 1,则点M 的纵坐标为 5. 已知无穷数列{ }na 满足 1 1 2n na a  *( )n N ,且 2 1a  ,记 nS 为数列{ }na 的前 n项和, 则 lim nn S   6. 已知 ,x y R ,且 2 1x y  ,则 xy的最大值为 7. 已知圆锥的母线 10l  ,母线与旋转轴的夹角 30  ,则圆锥的表面积为 8. 若 2 1(2 )nx x  *( )n N 的二项展开式中的第 9 项是常数项,则 n  9. 已知 ,A B分别是函数 ( ) 2sinf x x ( 0)  在 y轴右侧图像上的第一个最高点和第一 个最低点,且 2 AOB    ,则该函数的最小正周期是 10. 将序号分别为 1、2、3、4、5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少一张,如果分给同 一人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是 11. 在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点,若函数 ( )y f x 的图像恰 好经过 k个格点,则称函数 ( )y f x 为 k阶格点函数,已知函数:① 2y x ;② 2siny x ; ③ 1xy   ;④ cos( ) 3 y x    ;其中为一阶格点函数的序号为 (注:把你认为 正确的序号都填上) 12. 已知 AB为单位圆O的一条弦,P为单位圆O上的点,若 ( ) | |f AP AB     ( )R  的最小值为m,当点P在单位圆上运动时,m的最大值为 4 3 ,则线段 AB长度为 二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A. tany x B. 3xy  C. 1 3y x D. lg | |y x 14. 设 ,a b R ,则“ 2 1 a b ab     ”是“ 1a  且 1b  ”的( )条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 15. 如图,已知椭圆C的中心为原点O, ( 2 5,0)F  为C的左焦点, P为C上一点,满 足 | | | |OP OF 且 | | 4PF  ,则椭圆C的方程为( ) A. 2 2 1 25 5 x y   B. 2 2 1 30 10 x y   C. 2 2 1 36 16 x y   D. 2 2 1 45 25 x y   16. 实数 a、b满足 0ab  且 a b ,由 a、b、 2 a b 、 ab按一定顺序构成的数列( ) A. 可能是等差数列,也可能是等比数列 B. 可能是等差数列,但不可能是等比数列 C. 不可能是等差数列,但可能是等比数列 D. 不可能是等差数列,也不可能是等比数列 三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 在正三棱柱 1 1 1ABC ABC 中, 1AB  , 1 2BB  ,求: (1)异面直线 1 1BC 与 1AC所成角的大小; (2)四棱锥 1 1 1A B BCC 的体积; 18. 在一个特定时段内,以点 E为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域,点 E正北 55 海 里处有一个雷达观测站 A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A北偏东 45°且与 点 A相距 40 2海里的位置 B处,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A北偏东 45   (其中 26sin 26   ,0 90   )且与点 A相距10 13海里的位置C处; (1)求该船的行驶速度;(单位:海里/小时) (2)若该船不改变航行方向继续行驶,判断 它是否会进入警戒水域,并说明理由; 19. 已知点 1F 、 2F 为双曲线 2 2 2: 1yC x b   ( 0)b  的左、右焦点,过 2F 作垂直于 x轴的 直线,在 x轴上方交双曲线C于点M ,且 1 2 30MFF   ; (1)求双曲线C的方程; (2)过双曲线C上任意一点 P作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为 1P、 2P ,求 1 2PP PP   的值; 20. 设 1 2( ) 2 x x af x b     , ,a b为实常数; (1)当 1a b  时,证明: ( )f x 不是奇函数; (2)若 ( )f x 是奇函数,求 a与b的值; (3)当 ( )f x 是奇函数时,研究是否存在这样的实数集的子集D,对任何属于D的 x、 c, 都有 2( ) 3 3f x c c   成立?若存在,试找出所有这样的D;若不存在,说明理由; 21. 已知数列{ }na 、{ }nb 满足 2 ( 2)n n nS a b  ,其中 nS 是数列{ }na 的前 n项和; (1)若数列{ }na 是首项为 2 3 ,公比为 1 3  的等比数列,求数列{ }nb 的通项公式; (2)若 nb n , 2 3a  ,求证:数列{ }na 满足 2 12n n na a a   ,并写出{ }na 通项公式; (3)在(2)的条件下,设 n n n ac b  ,求证:数列{ }nc 中的任意一项总可以表示成该数列 其他两项之积; 参考答案 一. 填空题 1. 2 2. 2 3. [ 1,1] 4. 3 4 5. 4 6. 1 8 7. 75 8. 12 9. 8 3 3 10. 96 11. ②③ 12. 4 2 3 二. 选择题 13. C 14. B 15. C 16. D 三. 解答题 17.(1) 5arccos 10 ;(2) 3 3 ; 18.(1)15 5 ;(2) 3 5 7d   ,会进入警戒水域; 19.(1) 2 2 1 2 yx   ;(2) 2 9 ; 20.(1) ( 1) (1)f f   ;(2) 1 2 a b    , 1 2 a b      ;(3)当 1 2 1( ) 2 2 x xf x      ,D R ; 当 1 2 1( ) 2 2 x xf x      , (0, )D   , 2 5( , log ] 7 D   ; 21.(1) 1 2nb  ;(2) 1na n  ;(3)略; 上海市金山区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 若集合 2{ | 2 0}M x x x   , { || | 1}N x x  ,则M N  2. 若复数 z满足 2 3 2z z i   ,其中 i为虚数单位,则 z  3. 如果 5sin 13    ,且 为第四象限角,则 tan 的值是 4. 函数 cos sin ( ) sin cos x x f x x x  的最小正周期是 5. 函数 ( ) 2xf x m  的反函数为 1( )y f x ,且 1( )y f x 的图像过点 (5, 2)Q ,那么 m  6. 点 (1,0)到双曲线 2 2 1 4 x y  的渐近线的距离是 7. 如果实数 x、 y满足 2 0 3 0 x y x y x        ,则 2x y 的最大值是 8. 从 5 名学生中任选 3 人分别担任语文、数学、英语课代表,其中学生甲不能担任数学课 代表,共有 种不同的选法(结果用数值表示) 9. 方程 2 2 24 2 3 4 0x y tx ty t      ( t为参数)所表示 的圆的圆心轨迹方程是 (结果化为普通方程) 10. 若 na 是 (2 )nx ( *n N , 2n  , x R )展开式中 2x 项的二项式系数,则 2 3 1 1 1lim( ) n na a a     11. 设数列{ }na 是集合{ | 3 3 ,s tx x s t   且 , }s t N 中所有的数从小到大排列成的数列, 即 1 4a  , 2 10a  , 3 12a  , 4 28a  , 5 30a  , 6 36a  ,,将数列{ }na 中各项按 照上小下大,左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表,则 15a 的值为 12. 曲线C是平面内到直线 1 : 1l x   和直线 2 : 1l y  的距离之积等于常数 2k ( 0k  )的 点的轨迹,下列四个结论:① 曲线C过点 ( 1,1) ;② 曲线C关于点 ( 1,1) 成中心对称; ③ 若点 P在曲线C上,点 A、 B分别在直线 1l 、 2l 上,则 | | | |PA PB 不小于 2k; ④ 设 0P 为曲线C上任意一点,则点 0P 关于直线 1 : 1l x   ,点 ( 1,1) 及直线 2 : 1l y  对称 的点分别为 1P、 2P 、 3P ,则四边形 0 1 2 3P PP P 的面积为定值 24k ; 其中,所有正确结论的序号是 4 10 12 28 30 36    二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 给定空间中的直线 l与平面 ,则“直线 l与平面 垂直”是“直线 l垂直于平面 上 无数条直线”的( )条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 已知 x、 y R ,且 0x y  ,则( ) A. 1 1 0 x y   B. 1 1( ) ( ) 0 2 2 x y  C. 2 2log log 0x y  D. sin sin 0x y  15. 某几何体的三视图如图所示,则它的体积是( ) A. 28 3   B. 8 3   C. 8 2 D. 2 3  16. 已知函数 2 (4 3) 3 0 ( ) log ( 1) 1 0a x a x a x f x x x           ( 0a  且 1a  )在 R上单调递减,且关 于 x的方程 | ( ) | 2f x x  恰好有两个不相等的实数解,则 a的取值范围是( ) A. 2(0, ] 3 B. 2 3[ , ] 3 4 C. 1 2 3[ , ] { } 3 3 4  D. 1 2 3[ , ) { } 3 3 4  三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD是矩形, PA 平面 ABCD, PB、 PD与 平面 ABCD所成的角依次是 4  和 1arctan 2 , 2AP  , E、 F 依次是 PB、 PC的中点; (1)求异面直线 EC与 PD所成角的大小;(结果用反三角函数值表示) (2)求三棱锥 P AFD 的体积; 18. 已知△ ABC中, 1AC  , 2 3 ABC    ,设 BAC x  ,记 ( )f x AB BC    ; (1)求函数 ( )f x 的解析式及定义域; (2)试写出函数 ( )f x 的单调递增区间,并求方程 1( ) 6 f x  的解; 19. 已知椭圆C以原点为中心,左焦点 F 的坐标是 ( 1,0) ,长轴长是短轴长的 2 倍,直 线 l与椭圆C交于点 A与 B,且 A、B都在 x轴上方,满足 180OFA OFB    ; (1)求椭圆C的标准方程; (2)对于动直线 l,是否存在一个定点,无论 OFA 如何变化,直线 l总经过此定点?若 存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由; 20. 已知函数 2( ) 2 1g x ax ax b    ( 0)a  在区间[2,3]上的最大值为 4,最小值为1, 记 ( ) (| |)f x g x , x R ; (1)求实数 a、b的值; (2)若不等式 2 2 2( ) ( ) log 2log 3f x g x k k    对任意 x R 恒成立,求实数 k的范围; (3)对于定义在[ , ]p q 上的函数 ( )m x ,设 0x p , nx q ,用任意 ix ( 1, 2, , 1)i n   将[ , ]p q 划分成 n个小区间,其中 1 1i i ix x x   ,若存在一个常数 0M  ,使得不等式 0 1 1 2 1| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) |n nm x m x m x m x m x m x M       恒成立,则称函数 ( )m x 为在[ , ]p q 上的有界变差函数,试证明函数 ( )f x 是在[1,3]上的有界变差函数,并求出M 的最小值; 21. 数列{ }nb 的前 n项和为 nS ,且对任意正整数 n,都有 ( 1) 2n n nS   ; (1)试证明数列{ }nb 是等差数列,并求其通项公式; (2)如果等比数列{ }na 共有 2017 项,其首项与公比均为 2,在数列{ }na 的每相邻两项 ia 与 1ia  之间插入 i个 ( 1)i ib *( )i N 后,得到一个新数列{ }nc ,求数列{ }nc 中所有项的和; (3)如果存在 *n N ,使不等式 1 1 8 20( 1)( ) ( 1)n n n n n b n b b b          成立,若存在, 求实数的范围,若不存在,请说明理由; 参考答案 一. 填空题 1. (1, 2) 2. 1 2i 3. 5 12  4.  5. 1 6. 5 5 7. 4 8. 48 9. 2 0x y  10. 2 11. 324 12. ②③④ 二. 选择题 13. A 14. B 15. A 16. C 三. 解答题 17.(1) 3 10arccos 10 ;(2) 4 3 ; 18.(1) 2 2 1 1( ) sin sin( ) sin(2 ) 3 3 3 6 6 f x x x x      , (0, ) 3 x   ; (2)递增区间 (0, ] 6  , 6 x   ; 19.(1) 2 2 1 2 x y  ;(2) ( 2,0) ; 20.(1) 0b  , 1a  ;(2) 1[ ,8] 2 ;(3) min 4M  ; 21.(1) nb n ;(2) 20182 2033134 ;(3)不存在; 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org 上海市虹口区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 已知集合 {1,2,4,6,8}A  , { | 2 , }B x x k k A   ,则 A B  2. 已知 2 1 z i i    ,则复数 z的虚部为 3. 设函数 ( ) sin cosf x x x  ,且 ( ) 1f a  ,则 sin 2a  4. 已知二元一次方程 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c      的增广矩阵是 1 1 1 1 1 3       ,则此方程组的解是 5. 数列{ }na 是首项为 1,公差为 2 的等差数列, nS 是它前 n项和,则 2lim n n n S a  6. 已知角 A是 ABC 的内角,则“ 1cos 2 A  ”是“ 3sin 2 A  ”的 条件(填“充 分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一) 7. 若双曲线 2 2 2 1yx b   的一个焦点到其渐近线距离为 2 2 ,则该双曲线焦距等于 8. 若正项等比数列{ }na 满足: 3 5 4a a  ,则 4a 的最大值为 9. 一个底面半径为 2 的圆柱被与其底面所成角是 60°的平 面所截,截面是一个椭圆,则该椭圆的焦距等于 10. 设函数 6 1 ( ) 2 1 1 x x f x x x         ,则当 1x   时,则 [ ( )]f f x 表达式的展开式中含 2x 项的系数是 11. 点 (20,40)M ,抛物线 2 2y px ( 0p  )的焦点为 F ,若对于抛物线上的任意点 P, | | | |PM PF 的最小值为 41,则 p的值等于 12. 当实数 x、 y满足 2 2 1x y  时, | 2 | | 3 2 |x y a x y     的取值与 x、 y均无关, 则实数 a的取值范围是 二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 在空间, 表示平面,m、 n表示二条直线,则下列命题中错误的是( ) A. 若m∥ ,m、 n不平行,则 n与 不平行 B. 若m∥ ,m、n不垂直,则 n与 不垂直 C. 若m  ,m、 n不平行,则n与 不垂直 D. 若m  ,m、 n不垂直,则 n与 不平行 14. 已知函数 ( ) sin(2 ) 3 f x x    在区间[0, ]a (其中 0a  )上单调递增,则实数 a的取值 范围是( ) A. 0 2 a    B. 0 12 a    C. 12 a k   , *k N D. 2 2 12 k a k     , k N 15. 如图,在圆C中,点 A、 B在圆上,则 AB AC   的值( ) A. 只与圆C的半径有关 B. 既与圆C的半径有关,又与弦 AB的长度有关 C. 只与弦 AB的长度有关 D. 是与圆C的半径和弦 AB的长度均无关的定值 16. 定义 ( ) { }f x x (其中{ }x 表示不小于 x的最小整数)为“取上整函数”,例如{2.1} 3 , {4} 4 ,以下关于“取上整函数”性质的描述,正确的是( ) ① (2 ) 2 ( )f x f x ;② 若 1 2( ) ( )f x f x ,则 1 2 1x x  ; ③ 任意 1x 、 2x R , 1 2 1 2( ) ( ) ( )f x x f x f x   ;④ 1( ) ( ) (2 ) 2 f x f x f x   ; A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 在正三棱锥 P ABC 中,已知底面等边三角形的边长为 6,侧棱长为 4; (1)求证: PA BC ; (2)求此三棱锥的全面积和体积; 18. 如图,我海蓝船在D岛海域例行维权巡航,某时刻航行至 A处,此时测得其北偏东 30° 方向与它相距 20 海里的 B处有一外国船只,且D岛位于海蓝船正东 18 海里处; (1)求此时该外国船只与D岛的距离; (2)观测中发现,此外国船只正以每小时 4 海里的速度沿正南方航行,为了将该船拦截在 离D岛 12 海里的 E处( E在 B的正南方向),不让其进入D岛 12 海里内的海域,试确定 海蓝船的航向,并求其速度的最小值(角度精确到 0.1°,速度精确到 0.1 海里/小时); 19. 已知二次函数 2( ) 4f x ax x c   的值域为[0, ) ; (1)判断此函数的奇偶性,并说明理由; (2)判断此函数在 2[ , ) a  的单调性,并用单调性的定义证明你的结论; (3)求出 ( )f x 在[1, ) 上的最小值 ( )g a ,并求 ( )g a 的值域; 20. 椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   ( 0a b  )过点 (2,0)M ,且右焦点为 (1,0)F ,过 F 的直线 l与 椭圆C相交于 A、 B两点,设点 (4,3)P ,记 PA、PB的斜率分别为 1k 和 2k ; (1)求椭圆C的方程; (2)如果直线 l的斜率等于 1 ,求出 1 2k k 的值; (3)探讨 1 2k k 是否为定值?如果是,求出该定 值,如果不是,求出 1 2k k 的取值范围; 21. 已知函数 ( ) 2 | 2 | | 1|f x x x    ,无穷数列{ }na 的首项 1a a ; (1)若 ( )na f n ( *n N ),写出数列{ }na 的通项公式; (2)若 1( )n na f a  ( *n N 且 2n  ),要使数列{ }na 是等差数列,求首项 a取值范围; (3)如果 1( )n na f a  ( *n N 且 2n  ),求出数列{ }na 的前 n项和 nS ; 参考答案 一. 填空题 1. {2,4,8} 2. 1 3. 0 4. 2 1 x y    5. 1 4 6. 充分非必要 7. 6 8. 2 9. 4 3 10. 60 11. 22或 42 12. [ 5, ) 二. 选择题 13. A 14. B 15. C 16. C 三. 解答题 17.(1)略;(2) 9 7 9 3S   , 6 3V  ; 18.(1) 2 91;(2)东偏北 41.8 , 6.4v  海里/小时; 19.(1)非奇非偶函数;(2)单调递增; (3)当0 2a  , ( ) 0g a  ;当 2a  , 4( ) 4g a a a    ;值域[0, ) ; 20.(1) 2 2 1 4 3 x y   ;(2) 1 2 ;(3)2; 21.(1) 3na n  ;(2) { 3} [ 1, )a    ; (3)当 2a   , 3( 1)( 2)( 1)( 3) 2n n nS a n a         ; 当 2 1a    , 3( 1)( 2)( 1)(3 5) 2n n nS a n a        ; 当 1a   , 3 ( 1) 2n n nS na    ; 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org 上海市闵行区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 方程 lg(3 4) 1x   的解 x  2. 若关于 x的不等式 0x a x b    ( ,a b R )的解集为 ( ,1) (4, )  ,则 a b  3. 已知数列{ }na 的前 n项和为 2 1n nS   ,则此数列的通项公式为 4. 函数 ( ) 1f x x  的反函数是 5. 6(1 2 )x 展开式中 3x 项的系数为 (用数字作答) 6. 如图,已知正方形 1 1 1 1ABCD ABC D , 1 2AA  , E为 棱 1CC 的中点,则三棱锥 1D ADE 的体积为 7. 从单词“shadow”中任意选取 4 个不同的字母排成一排, 则其中含有“a”的共有 种排法(用数字作答) 8. 集合{ | cos( cos ) 0, [0, ]}x x x    (用列举法表示) 9. 如图,已知半径为 1 的扇形 AOB, 60AOB  , P 为弧AB上的一个动点,则OP AB   取值范围是 10. 已知 x、 y满足曲线方程 2 2 1 2x y   ,则 2 2x y 的 取值范围是 11. 已知两个不相等的非零向量 a  和b  ,向量组 1 2 3 4( , , , )x x x x     和 1 2 3 4( , , , )y y y y     均由 2 个 a  和 2 个b  排列而成,记 1 1 2 2 3 3 4 4S x y x y x y x y                ,那么 S的所有可能取值中的最 小值是 (用向量 a  、b  表示) 12. 已知无穷数列{ }na , 1 1a  , 2 2a  ,对任意 *n N ,有 2n na a  ,数列{ }nb 满足 1n n nb b a   ( *n N ),若数列 2{ }n n b a 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次,则满 足要求的 1b 的值为 二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 若 a、b为实数,则“ 1a  ”是“ 1 1 a  ”的( )条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 14. 若 a为实数, (2 )( 2 ) 4ai a i i    ( i是虚数单位),则 a ( ) A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 15. 函数 2( ) | |f x x a  在区间[ 1,1] 上的最大值是 a,那么实数 a的取值范围是( ) A. [0, ) B. 1[ ,1] 2 C. 1[ , ) 2  D. [1, ) 16. 曲线 1 : sinC y x ,曲线 2 2 2 2 1: ( ) 2 C x y r r    ( 0r  ),它们交点的个数( ) A. 恒为偶数 B. 恒为奇数 C. 不超过 2017 D. 可超过 2017 三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 如图,在 Rt AOB 中, 6 OAB    ,斜边 4AB  ,D是 AB中点,现将 Rt AOB 以 直角边 AO为轴旋转一周得到一个圆锥,点C为圆锥底面圆周上一点,且 90BOC  , (1)求圆锥的侧面积; (2)求直线CD与平面 BOC所成的角的大小; (用反三角函数表示) 18. 已知 (2 3,1)m   , 2(cos ,sin ) 2 An A  , A、B、C是 ABC 的内角; (1)当 2 A   时,求 | |n  的值; (2)若 2 3 C   , | | 3AB  ,当m n  取最大值时,求 A的大小及边 BC的长; 19. 如图所示,沿河有 A、 B两城镇,它们相距 20 千米,以前,两城镇的污水直接排入河 里,现为保护环境,污水需经处理才能排放,两城镇可以单独建污水处理厂,或者联合建污 水处理厂(在两城镇之间或其中一城镇建厂,用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送), 依据经验公式,建厂的费用为 0.7( ) 25f m m  (万元),m表示污水流量,铺设管道的费 用(包括管道费) ( ) 3.2g x x (万元), x表示输送污水管道的长度(千米); 已知城镇 A和城镇 B的污水流量分别为 1 3m  、 2 5m  , A、 B两城镇连接污水处理 厂的管道总长为 20 千米;假定:经管道运输的污水流量不发生改变,污水经处理后直接排 入河中;请解答下列问题(结果精确到 0.1) (1)若在城镇 A和城镇 B单独建厂,共需多少总费用? (2)考虑联合建厂可能节约总投资,设城镇 A到拟建厂 的距离为 x千米,求联合建厂的总费用 y与 x的函数关系 式,并求 y的取值范围; 20. 如图,椭圆 2 2 1 4 yx   的左、右顶点分别为 A、 B,双曲线以 A、 B为顶点,焦距 为 2 5,点 P是上在第一象限内的动点,直线 AP与椭圆相交于另一点Q,线段 AQ的 中点为M ,记直线 AP的斜率为 k,O为坐标原点; (1)求双曲线的方程; (2)求点M 的纵坐标 My 的取值范围; (3)是否存在定直线 l,使得直线 BP与直线 OM 关于直线 l对称?若存在,求直线 l方程, 若不存在,请说明理由; 21. 在平面直角坐标系上,有一点列 0 1 2 3 1, , , , , ,n nP P P P P P   ,设点 kP 的坐标 ( , )k kx y ( k N , k n ),其中 kx 、 ky Z ,记 1k k kx x x    , 1k k ky y y    ,且满足 | | | | 2k kx y    ( *k N , k n ); (1)已知点 0 (0,1)P ,点 1P满足 1 1 0y x    ,求 1P的坐标; (2)已知点 0 (0,1)P , 1kx  ( *k N , k n ),且{ }ky ( k N , k n )是递增数列, 点 nP 在直线 : 3 8l y x  上,求 n; (3)若点 0P 的坐标为 (0,0), 2016 100y  ,求 0 1 2 2016x x x x    的最大值; 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org 上海市松江区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 设集合 2{ | }M x x x  , { | lg 0}N x x  ,则M N  2. 已知 a、b R , i是虚数单位,若 2a i bi   ,则 2( )a bi  3. 已知函数 ( ) 1xf x a  的图像经过 (1,1)点,则 1(3)f   4. 不等式 | 1| 0x x   的解集为 5. 已知 (sin ,cos )a x x  , (sin ,sin )b x x  ,则函数 ( )f x a b    的最小正周期为 6. 里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道,在由 2 名中国运动员和 6 名外国运动员组成的小组中,2 名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 7. 按下图所示的程序框图运算:若输入 17x  ,则输出的 x值是 8. 设 2 3 0 1 2 3(1 )n n nx a a x a x a x a x       ,若 2 3 1 3 a a  ,则 n  9. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm,如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等,那么 这个圆锥的侧面积是 2cm 10. 设 ( , )P x y 是曲线 2 2 : 1 25 9 x yC   上的点, 1( 4,0)F  , 2 (4,0)F ,则 1 2| | | |PF PF 的最大值为 11. 已知函数 2 4 3, 1 3( ) 2 8, 3x x x xf x x          ,若 ( ) ( )F x f x kx  在其定义域内有 3 个 零点,则实数 k 12. 已知数列{ }na 满足 1 1a  , 2 3a  ,若 1| | 2nn na a   *( )n N ,且 2 1{ }na  是递增数 列, 2{ }na 是递减数列,则 2 1 2 lim n n n a a    二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 已知 a、b R ,则“ 0ab  ”是“ 2b a a b   ”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 如图,在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中,点 P在截面 1ADB上,则线段 AP 的最小值为( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 3 3 D. 2 2 15. 若矩阵 11 12 21 22 a a a a       满足: 11a 、 12a 、 21a 、 22 {0,1}a  , 且 11 12 21 22 0 a a a a  ,则这样的互不相等的矩阵共有( ) A. 2 个 B. 6 个 C. 8 个 D. 10 个 16. 解不等式 1 1( ) 0 2 2 x x   时,可构造函数 1( ) ( ) 2 xf x x  ,由 ( )f x 在 x R 是减函数 及 ( ) (1)f x f ,可得 1x  ,用类似的方法可求得不等式 2 6 3arcsin arcsin 0x x x x    的解集为( ) A. (0,1] B. ( 1,1) C. ( 1,1] D. ( 1,0) 三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 如图,在正四棱锥 P ABCD 中, PA AB a  , E是棱 PC的中点; (1)求证: PC BD ; (2)求直线 BE与 PA所成角的余弦值; 18. 已知函数 2 1( ) 2 1 x x af x     ( a为实数); (1)根据 a的不同取值,讨论函数 ( )y f x 的奇偶性,并说明理由; (2)若对任意的 1x  ,都有1 ( ) 3f x  ,求 a的取值范围; 19. 松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”, 兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高,如图,记O点为塔基、 P点为塔尖、 点 P在地面上的射影为点H ,在塔身OP射影所在直线上选点 A,使仰角 45HAP   , 过O点与OA成120的地面上选 B点,使仰角 45HBP   (点 A、 B、O都在同一水平 面上),此时测得 27OAB   , A与 B之间距离为 33.6 米,试求: (1)塔高;(即线段 PH 的长,精确到 0.1 米) (2)塔的倾斜度;(即 OPH 的大小,精确到0.1 ) 20. 已知双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   经过点 (2,3),两条渐近线的夹角为60 ,直线 l交双曲线 于 A、 B两点; (1)求双曲线C的方程; (2)若 l过原点, P为双曲线上异于 A、 B的一点,且直线 PA、 PB的斜率 PAk 、 PBk 均 存在,求证: PA PBk k 为定值; (3)若 l过双曲线的右焦点 1F ,是否存在 x轴上的点 ( ,0)M m ,使得直线 l绕点 1F 无论怎 样转动,都有 0MA MB    成立?若存在,求出M 的坐标;若不存在,请说明理由; 21. 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它前一项的差都大于 2,则称为“H 型数列”; (1)若数列{ }na 为“H 型数列”,且 1 1 3a m   , 2 1a m  , 3 4a  ,求实数m的范围; (2)是否存在首项为 1 的等差数列{ }na 为“H型数列”,其前 n项和 nS 满足 2 nS n n  *( )n N ?若存在,请求出{ }na 的通项公式;若不存在,请说明理由; (3)已知等比数列{ }na 的每一项均为正整数,且{ }na 为“H 型数列”; 若 2 3n nb a , nc  5( 1) 2 n n a n   ,当数列{ }nb 不是“H型数列”时, 试判断数列{ }nc 是否为“H 型数列”,并说明理由; 参考答案 一. 填空题 1. {1} 2. 3 4i 3. 2 4. (0,1) (1, ) 5.  6. 1 4 7. 143 8. 11 9. 17 10. 10 11. 3(0, ) 3 12. 1 2  二. 选择题 13. B 14. C 15. D 16. A 三. 解答题 17.(1)略;(2) 3 3 ; 18.(1) 1a   ,偶函数; 1a  ,奇函数; a R 且 1a   ,非奇非偶函数; (2)[2,3]; 19.(1)18.9 米;(2)6.9°; 20.(1) 2 2 1 3 yx   ;(2)3;(3) ( 1,0) ; 21.(1) 1( ,0) ( , ) 2   ;(2)不存在; (3) 13 2nna   时,{ }nc 不是“H 型数列”; 14nna  时,{ }nc 是“H 型数列”; 上海市浦东新区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 已知U R ,集合 { | 4 2 1}A x x x    ,则 UC A  2. 三阶行列式 3 5 1 2 3 6 7 2 4    中元素 5 的代数余子式的值为 3. 8(1 ) 2 x  的二项展开式中含 2x 项的系数是 4. 已知一个球的表面积为16 ,则它的体积为 5. 一个袋子中共有 6 个球,其中 4 个红色球,2 个蓝色球,这些球的质地和形状一样,从中 任意抽取 2 个球,则所抽的球都是红色球的概率是 6. 已知直线 : 0l x y b   被圆 2 2: 25C x y  所截得的弦长为 6,则b  7. 若复数 (1 )(2 )ai i  在复平面上所对应的点在直线 y x 上,则实数 a  8. 函数 ( ) ( 3 sin cos )( 3 cos sin )f x x x x x   的最小正周期为 9. 过双曲线 2 2 2: 1 4 x yC a   的右焦点 F 作一条垂直于 x轴的垂线交双曲线C的两条渐近线 于 A、 B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积的最小值为 10. 若关于 x的不等式 1| 2 | 0 2 x xm   在区间[0,1]内恒 成立,则实数m的范围 11. 如图,在正方形 ABCD中, 2AB  ,M 、N 分别是 边 BC、CD上的两个动点,且 2MN  ,则 AM AN   的取值范围是 12. 已知定义在 *N 上的单调递增函数 ( )y f x ,对于任意的 *n N ,都有 *( )f n N ,且 ( ( )) 3f f n n 恒成立,则 (2017) (1999)f f  二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 将 cos 2y x 图像向左平移 6  个单位,所得的函数为( ) A. cos(2 ) 3 y x    B. cos(2 ) 6 y x    C. cos(2 ) 3 y x    D. cos(2 ) 6 y x    14. 已知函数 ( )y f x 的反函数为 1( )y f x ,则 ( )y f x  与 1( )y f x  图像( ) A. 关于 y轴对称 B. 关于原点对称 C. 关于直线 0x y  对称 D. 关于直线 0x y  对称 15. 设{ }na 是等差数列,下列命题中正确的是( ) A. 若 1 2 0a a  ,则 2 3 0a a  B. 若 1 3 0a a  ,则 1 2 0a a  C. 若 1 20 a a  ,则 2 1 3a a a D. 若 1 0a  ,则 2 1 2 3( )( ) 0a a a a   16. 元旦将近,调查鲜花市场价格得知:购买 2 只玫瑰与 1 只康乃馨所需费用之和大于 8 元, 而购买 4 只玫瑰与 5 只康乃馨所需费用之和小于 22 元;设购买 2 只玫瑰花所需费用为 A元, 购买 3 只康乃馨所需费用为 B元,则 A、 B的大小关系是( ) A. A B B. A B C. A B D. A、 B的大小关系不确定 三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中(如图), 1 1AD AA  , 2AB  ,点 E是棱 AB中点; (1)求异面直线 1AD 与 EC所成角的大小; (2)《九章算术》中,将四个面都是直角三角 形的四面体成为鳖臑,试问四面体 1DCDE 是 否为鳖臑?并说明理由; 18. 已知△ ABC的内角 A、 B、C的对边分别为 a、b、 c; (1)若 3 B   , 7b  ,△ ABC的面积 3 3 2 S  ,求 a c 的值; (2)若 22cos ( )C BA BC AB AC c        ,求角C; 19. 已知椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   ( 0)a b  的左、右焦点分别为 1F 、 2F ,过 2F 的一条直线交 椭圆于 P、Q两点,若△ 1 2PF F 的周长为 4 4 2 ,且长轴长与短轴长之比为 2 :1; (1)求椭圆C的方程; (2)若 1 2| | | |F P F Q PQ     ,求直线 PQ的方程; 20. 设数列{ }na 满足 2 1 2 4 1n na a n n     , 2 2n nb a n n   ; (1)若 1 2a  ,求证:数列{ }nb 为等比数列; (2)在(1)的条件下,对于正整数 2、 q、 r (2 )q r  ,若 25b 、 qb 、 rb 这三项经适当 排序后能构成等差数列,求符合条件的数组 ( , )q r ; (3)若 1 1a  , n nc b n  , 2 2 1 1 11n n n d c c     , nM 是 nd 的前 n项和,求不超过 2016M 的最大整数; 21. 已知定义在 R上的函数 ( )x 的图像是一条连续不断的曲线,且在任意区间上 ( )x 都不 是常值函数,设 0 1 1i i na t t t t t b          ,其中分点 1t 、 2t 、   、 1nt  将区间 [ , ]a b 划分为 n *( )n N 个小区间 1[ , ]i it t ,记 0 1 1 2{ , , } | ( ) ( ) | | ( ) ( ) |M a b n t t t t       1| ( ) ( ) |n nt t    ,称为 ( )x 关于区间[ , ]a b 的 n阶划分的“落差总和”;当 { , , }M a b n 取得最大值且 n取得最小值 0n 时,称 ( )x 存在“最佳划分” 0{ , , }M a b n ; (1)已知 ( ) | |x x  ,求 { 1,2,2}M  的最大值 0M ; (2)已知 ( ) ( )a b  ,求证: ( )x 在[ , ]a b 上存在“最佳划分” { , ,1}M a b 的充要条件 是 ( )x 在[ , ]a b 上单调递增; (3)若 ( )x 是偶函数且存在“最佳划分” 0{ , , }M a a n ,求证: 0n 是偶数,且 00 1 1 0i i nt t t t t        ; 参考答案 一. 填空题 1. { | 1}x x  2. 34 3. 7 4. 32 3  5. 2 5 6. 4 2 7. 3 8.  9. 8 10. 3( , 2) 2 11. [4,8 2 2] 12. 54 二. 选择题 13. A 14. D 15. C 16. A 三. 解答题 17.(1) 3  ;(2)是; 18.(1) 5a c  ;(2) 3  ; 19.(1) 2 2 1 8 4 x y   ;(2) 2( 2)y x   ; 20.(1) 12nnb  ;(2) (3,5);(3) 2016; 21.(1) 0 3M  ;(2)略;(3)略; 上海市青浦区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 已知复数 2z i  ( i为虚数单位),则 2z  2. 已知集合 1{ | 2 16} 2 xA x   , 2 2{ | log (9 )}B x y x   ,则 A B  3. 在二项式 62( )x x  的展开式中,常数项是 4. 等轴双曲线 2 2 2x y a  与抛物线 2 16y x 的准线交于 A、B两点,且 | | 4 3AB  , 则该双曲线的实轴长等于 5. 若由矩阵 2 2 2 2 a x a a y a                表示 x、 y 的二元一次方程组无解,则实数 a  6. 执行如图所示的程序框图,若输入 1n  , 则输出 S  7. 若圆锥侧面积为 20 ,且母线与底面所成 角为 4arccos 5 ,则该圆锥的体积为 8. 已知数列{ }na 的通项公式为 2 na n bn  ,若数列{ }na 是单调递增数列,则实数b的取 值范围是 9. 将边长为 10 的正三角形 ABC,按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为△ A B C  , 则△ A B C  中最短边的边长为 (精确到 0.01) 10. 已知点 A是圆 2 2: 4O x y  上的一个定点,点 B是圆O上的一个动点,若满足 | | | |AO BO AO BO       ,则 AO AB    11. 若定义域均为D的三个函数 ( )f x 、 ( )g x 、 ( )h x 满足条件:对任意 x D ,点 ( , ( ))x g x 与点 ( , ( ))x h x 都关于点 ( , ( ))x f x 对称,则称 ( )h x 是 ( )g x 关于 ( )f x 的“对称函数”,已知 2( ) 1g x x  , ( ) 2f x x b  , ( )h x 是 ( )g x 关于 ( )f x 的“对称函数”,且 ( ) ( )h x g x 恒成立,则实数b的取值范围是 12. 已知数列{ }na 满足:对任意的 *n N 均有 1 3 3n na ka k    ,其中 k为不等于 0 与 1 的常数,若 { 678, 78, 3,22,222,2222}ia     , 2,3,4,5i  ,则满足条件的 1a 所有可能值 的和为 二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 已知 ( ) sin 3 f x x  , {1,2,3,4,5,6,7,8}A  ,现从集合 A中任取两个不同元素 s、 t, 则使得 ( ) ( ) 0f s f t  的可能情况为( ) A. 12 种 B. 13 种 C. 14 种 D. 15 种 14. 已知空间两条直线m、 n,两个平面 、  ,给出下面四个命题: ①m∥n,m n    ; ② ∥  ,m  ,n   m∥n; ③m∥n,m∥ n ∥ ; ④ ∥  ,m∥n,m  n   ; 其中正确的序号是( ) A. ①④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④ 15. 如图,有一直角坡角,两边的长度足够长,若 P处有一棵树与两坡的距离分别是 4m和 am(0 12a  ),不考虑树的粗细,现用 16m长的篱笆,借助坡角围成一个矩形花圃 ABCD,设此矩形花圃的最大面积为M ,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数 ( )M f a (单位 2m )的图像大致是( ) A. B. C. D. 16. 已知集合 {( , ) | ( )}M x y y f x  ,若对于任意实数对 1 1( , )x y M ,存在 2 2( , )x y M , 使 1 2 1 2 0x x y y  成立,则称集合M 是“垂直对点集”,给出下列四个集合: ① 2 1{( , ) | }M x y y x   ; ② 2{( , ) | log }M x y y x  ; ③ {( , ) | 2 2}xM x y y   ; ④ {( , ) | sin 1}M x y y x   ; 其中是“垂直对点集”的序号是( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 如图所示,三棱柱 1 1 1ABC ABC 的侧面 1 1ABB A 是圆柱的轴截面,C是圆柱底面圆周 上不与 A、 B重合的一个点; (1)若圆柱的轴截面是正方形,当点C是弧 AB的中点时,求异面直线 1AC与 AB的所成 角的大小(结果用反三角函数值表示); (2)当点C是弧 AB的中点时,求四棱锥 1 1 1A BCC B 与圆柱的体积比; 18. 已知函数 2 2 1 3( ) 3 sin cos ( ) 4 2 f x x x      ( x R ); (1)求函数 ( )f x 在区间[0, ] 2  上的最大值; (2)在 ABC 中,若 A B ,且 1( ) ( ) 2 f A f B  ,求 BC AB 的值; 19. 如图, 1F 、 2F 分别是椭圆 2 2 2 2: 1x yC a b   ( 0a b  )的左、右焦点,且焦距为 2 2, 动弦 AB平行于 x轴,且 1 1| | | | 4F A F B  ; (1)求椭圆C的方程; (2)若点 P是椭圆C上异于点 A、 B的任意一点,且直线 PA、 PB分别与 y轴交于点M 、 N ,若 2MF 、 2NF 的斜率分别为 1k 、 2k ,求证: 1 2k k 是定值; 20. 如图,已知曲线 1 2: 1 xC y x   ( 0x  )及曲线 2 1: 3 C y x  ( 0x  ), 1C 上的点 1P的 横坐标为 1a ( 1 10 2 a  ),从 1C 上的点 nP ( *n N )作直线平行于 x轴,交曲线 2C 于 nQ 点,再从 2C 上的点 nQ ( *n N )作直线平行于 y轴,交曲线 1C 于 1nP  点,点 nP ( 1,2,3,n  )的横坐标构成数列{ }na ; (1)求曲线 1C 和曲线 2C 的交点坐标; (2)试求 1na  与 na 之间的关系; (3)证明: 2 1 2 1 2n na a  ; 21. 已知函数 2( ) 2f x x ax  ( 0a  ); (1)当 2a  时,解关于 x的不等式 3 ( ) 5f x   ; (2)函数 ( )y f x 在[ , 2]t t  的最大值为 0,最小值是 4 ,求实数 a和 t的值; (3)对于给定的正数a,有一个最大的正数 ( )M a ,使得在整个区间[0, ( )]M a 上,不等式 | ( ) | 5f x  恒成立,求出 ( )M a 的解析式; 参考答案 一. 填空题 1. 3 4i 2. [ 1,3) 3. 160 4. 4 5. 2 6. 3log 19 7. 16 8. 3b   9. 3.62 10. 4 11. [ 5, ) 12. 22010 3 二. 选择题 13. C 14. A 15. B 16. C 三. 解答题 17.(1) 6arccos 6 ;(2) 2 3 ; 18.(1)1;(2) 2 ; 19.(1) 2 2 1 4 2 x y   ;(2) 1 2 1k k  ; 20.(1) 1 2( , ) 2 3 ;(2) 1 1 6 n n n aa a   ;(3)略; 21.(1) ( 1,1) (3,5)  ;(2) 0t  或 2, 2a  ; (3)当0 5a  , 2( ) 5M a a a   ;当 5a  , 2( ) 5M a a a   ; 上海市奉贤区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 已知集合 { 2, 1}A    , { 1,2,3}B   ,则 A B  2. 已知复数 z满足 (1 ) 2z i  ,其中 i是虚数单位,则 z  3. 方程 lg( 3) lg 1x x   的解 x  4. 已知 ( ) logaf x x ( 0, 1)a a  ,且 1( 1) 2f    ,则 1( )f x  5. 若对任意正实数 x,不等式 2 1x a  恒成立,则实数a的最小值为 6. 若抛物线 2 2y px 的焦点与椭圆 2 2 1 5 x y  的右焦点重合,则 p  7. 中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为 2015,则该数列的首项为 8. 如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图 均为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角 边长都为 1,那么这个几何体的表面积为 9. 已知互异复数 0mn  ,集合 2 2{ , } { , }m n m n ,则 m n  10. 已知等比数列{ }na 的公比为 q,前 n项和为 nS ,对任意的 *n N , 0nS  恒成立,则 公比 q的取值范围是 11. 参数方程 | sin cos | 2 2 1 sin x y           , [0, 2 )  表示的曲线的普通方程是 12. 已知函数 ( ) sin cosf x x x   ( 0)  , x R ,若函数 ( )f x 在区间 ( , )  内单 调递增,且函数 ( )f x 的图像关于直线 x  对称,则的值为 二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 对于常数m、 n,“ 0mn  ”是“方程 2 2 1mx ny  表示的曲线是双曲线”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 若方程 ( ) 2 0f x   在 ( ,0) 内有解,则 ( )y f x 的图像可能是( ) A. B. C. D. 15. 已知函数 2 2 sin , 0 ( ) cos( ), 0 x x x f x x x x         ( [0, 2 ))  是奇函数,则 ( ) A. 0 B. 2  C.  D. 3 2  16. 若正方体 1 2 3 4 1 2 3 4A A A A B B B B 的棱长为 1,则集合 1 1{ | , {1,2,3,4},i jx A B AB i j     {1,2,3,4}}中元素的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 已知圆锥母线长为 5,底面圆半径长为 4,点M 是母线 PA的中点, AB是底面圆的直 径,点C是弧 AB的中点; (1)求三棱锥 P ACO 的体积; (2)求异面直线MC与 PO所成的角; 18. 已知函数 2 2( ) log ( 2)x xf x a a   ( 0)a  ,且 (1) 2f  ; (1)求 a和 ( )f x 的单调区间; (2) ( 1) ( ) 2f x f x   ; 19. 一艘轮船在江中向正东方向航行,在点 P观测到灯塔 A、 B在一直线上,并与航线成 角 (0 90 )   ,轮船沿航线前进b米到达C处,此时观测到灯塔 A在北偏西 45 方向, 灯塔 B在北偏东  (0 90 )   方向,0 90     ,求CB;(结果用 , ,b  表示) 20. 过双曲线 2 2 1 4 yx   的右支上的一点 P作一直线 l与两渐近线交于 A、 B两点,其中 P是 AB的中点; (1)求双曲线的渐近线方程; (2)当 P坐标为 0( , 2)x 时,求直线 l的方程; (3)求证: | | | |OA OB 是一个定值; 21. 设数列{ }na 的前 n项和为 nS ,若 11 2 2 n n a a   *( )n N ,则称{ }na 是“紧密数列”; (1)若 1 1a  , 2 3 2 a  , 3a x , 4 4a  ,求 x的取值范围; (2)若{ }na 为等差数列,首项 1a ,公差 d ,且 10 d a  ,判断{ }na 是否为“紧密数列”; (3)设数列{ }na 是公比为 q的等比数列,若数列{ }na 与{ }nS 都是“紧密数列”,求 q的 取值范围; 参考答案 一. 填空题 1. { 1} 2. 1 i 3. 5 4. 1( ) 2 x 5. ? 6. 4p  7. 5 8. 3 3 2  9. 1 10. ( 1,0) (0, )  11. 2y x , [0, 2]x 12. 2  二. 选择题 13. C 14. D 15. D 16. A 三. 解答题 17.(1)8;(2) 4 5arctan 3 ; 18.(1) 2a  ,递增区间 (0, ) ;(2) 2(0, log 3); 19.(1) sin cos( ) bCB      ; 20.(1) 2y x  ;(2) ( 2, 2)P , 2 2 2y x  ;(3)5; 21.(1)[2,3];(2)是;(3) 1[ ,1] 2 ; 上海市嘉定区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12.21 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 设集合 { || 2 | 1, }A x x x R    ,集合 B Z ,则 A B  2. 函数 sin( ) 3 y x   ( 0  )的最小正周期是 ,则  3. 设 i为虚数单位,在复平面上,复数 2 3 (2 )i 对应的点到原点的距离为 4. 若函数 2( ) log ( 1)f x x a   的反函数的图像经过点 (4,1),则实数 a  5. 已知 ( 3 )na b 展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64,则 n  6. 甲、乙两人从 5 门不同的选修课中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的 选法有 种; 7. 若圆锥的侧面展开图是半径为 2 cm,圆心角为 270°的扇形,则这个圆锥的体积为 3cm 8. 若数列{ }na 的所有项都是正数,且 2 1 2 3na a a n n     ( *n N ),则 1 2 2 1lim ( ) 2 3 1 n n aa a n n      9. 如图,在 ABC 中, 45B  ,D是 BC边上的一点, 5AD  , 7AC  , 3DC  ,则 AB的长为 10. 有以下命题: ① 若函数 ( )f x 既是奇函数又是偶函数,则 ( )f x 的值域为{0}; ② 若函数 ( )f x 是偶函数,则 (| |) ( )f x f x ; ③ 若函数 ( )f x 在其定义域内不是单调函数,则 ( )f x 不存在反函数; ④ 若函数 ( )f x 存在反函数 1( )f x ,且 1( )f x 与 ( )f x 不完全相同,则 ( )f x 与 1( )f x 图 像的公共点必在直线 y x 上; 其中真命题的序号是 (写出所有真命题的序号) 11. 设向量 (1, 2)OA    , ( , 1)OB a   , ( ,0)OC b   ,其中O为坐标原点, 0a  , 0b  , 若 A、 B、C三点共线,则 1 2 a b  的最小值为 12. 如图,已知正三棱柱的底面边长为 2 cm,高为 5 cm, 一质点自 A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 1A 点的最短路线的长为 cm 二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. “ 2x  ”是“ 2 4x  ”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 若无穷等差数列{ }na 的首项 1 0a  ,公差 0d  ,{ }na 的前 n项和为 nS ,则以下结论 中一定正确的是( ) A. nS 单调递增 B. nS 单调递减 C. nS 有最小值 D. nS 有最大值 15. 给出下列命题:① 存在实数 使 3sin cos 2    ;② 直线 2 x    是函数 siny x 图像的一条对称轴;③ cos(cos )y x ( x R )的值域是[cos1,1];④ 若 、  都是第 一象限角,且  ,则 tan tan  ;其中正确命题的题号为( ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 16. 如果对一切实数 x、 y,不等式 2 9cos sin 4 y x a x y    恒成立,则实数a的取值范围 是( ) A. 4( , ] 3  B. [3, ) C. [ 2 2,2 2] D. [ 3,3] 三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 如图,已知 AB 平面 BCD,BC CD ,AD与平面 BCD所成的角为 30°,且 2AB BC  ; (1)求三棱锥 A BCD 的体积; (2)设M 为 BD的中点,求异面直线 AD与CM 所成角的大小(结果用反三角函数值表示); 18. 在 ABC 中, a、b、 c分别是角 A、 B、C的对边,且 28sin 2cos 2 7 2 B C A   ; (1)求角 A的大小; (2)若 3a  , 3b c  ,求b和 c的值; 19. 某地要建造一个边长为 2(单位: km)的正方形市民休闲公园OABC,将其中的区域 ODC开挖成一个池塘,如图建立平面直角坐标系后,点D的坐标为 (1, 2),曲线OD是函 数 2y ax 图像的一部分,过边OA上一点M 在区域OABD内作一次函数 y kx b  ( 0k  )的图像,与线段DB交于点 N (点 N 不与点D重合),且线段MN与曲线OD有 且只有一个公共点 P,四边形MABN 为绿化风景区; (1)求证: 2 8 kb   ; (2)设点 P的横坐标为 t, ① 用 t表示M 、 N 两点坐标; ② 将四边形MABN 的面积 S表示成关于 t的函数 ( )S S t ,并求 S的最大值; 20. 已知函数 ( ) 9 2 3 3x xf x a    ; (1)若 1a  , [0,1]x ,求 ( )f x 的值域; (2)当 [ 1,1]x  时,求 ( )f x 的最小值 ( )h a ; (3)是否存在实数m、 n,同时满足下列条件:① 3n m  ;②当 ( )h a 的定义域为[ , ]m n 时,其值域为 2 2[ , ]m n ,若存在,求出m、 n的值,若不存在,请说明理由; 21. 已知无穷数列{ }na 的各项都是正数,其前 n项和为 nS ,且满足: 1a a , 1 1n n nrS a a   ,其中 1a  ,常数 r N ; (1)求证: 2n na a  是一个定值; (2)若数列{ }na 是一个周期数列(存在正整数T ,使得对任意 *n N ,都有 n T na a  成立,则称{ }na 为周期数列,T 为它的一个周期),求该数列的最小周期; (3)若数列{ }na 是各项均为有理数的等差数列, 12 3nnc   ( *n N ),问:数列{ }nc 中的所有项 是否都是数列{ }na 中的项?若是,请说明理由,若不是,请举出反例; 参考答案 一. 填空题 1. {2} 2. 2 3. 3 5 4. 3 5. 6 6. 60 7. 3 7 8  8. 2 9. 5 6 2 10. ①② 11. 8 12. 13 二. 选择题 13. B 14. C 15. B 16. D 三. 解答题 17.(1) 4 2 3 ;(2) 3arccos 6 ; 18.(1) 3  ;(2) 1b  , 2c  ;或 2b  , 1c  ; 19.(1) 2 8 kb   ;(2)① ( ,0) 2 tM , 1( , 2) 2 2 tN t  ;② 14 ( ) 4 2 2 S t t      ; 20.(1)[2,6];(2)当 1 3 a  , 28 2( ) 9 3 h a a  ;当 1 3 3 a  , 2( ) 3h a a  ; 当 3a  , ( ) 12 6h a a  ;(3)不存在; 21.(1) 2n na a r   ;(2) 2T  ;(3)不是; 上海市长宁区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12.21 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 设集合 { || 2 | 1, }A x x x R    ,集合 B Z ,则 A B  2. 函数 sin( ) 3 y x   ( 0  )的最小正周期是 ,则  3. 设 i为虚数单位,在复平面上,复数 2 3 (2 )i 对应的点到原点的距离为 4. 若函数 2( ) log ( 1)f x x a   的反函数的图像经过点 (4,1),则实数 a  5. 已知 ( 3 )na b 展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64,则 n  6. 甲、乙两人从 5 门不同的选修课中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的 选法有 种; 7. 若圆锥的侧面展开图是半径为 2 cm,圆心角为 270°的扇形,则这个圆锥的体积为 3cm 8. 若数列{ }na 的所有项都是正数,且 2 1 2 3na a a n n     ( *n N ),则 1 2 2 1lim ( ) 2 3 1 n n aa a n n      9. 如图,在 ABC 中, 45B  ,D是 BC边上的一点, 5AD  , 7AC  , 3DC  ,则 AB的长为 10. 有以下命题: ① 若函数 ( )f x 既是奇函数又是偶函数,则 ( )f x 的值域为{0}; ② 若函数 ( )f x 是偶函数,则 (| |) ( )f x f x ; ③ 若函数 ( )f x 在其定义域内不是单调函数,则 ( )f x 不存在反函数; ④ 若函数 ( )f x 存在反函数 1( )f x ,且 1( )f x 与 ( )f x 不完全相同,则 ( )f x 与 1( )f x 图 像的公共点必在直线 y x 上; 其中真命题的序号是 (写出所有真命题的序号) 11. 设向量 (1, 2)OA    , ( , 1)OB a   , ( ,0)OC b   ,其中O为坐标原点, 0a  , 0b  , 若 A、 B、C三点共线,则 1 2 a b  的最小值为 12. 如图,已知正三棱柱的底面边长为 2 cm,高为 5 cm, 一质点自 A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达 1A 点的最短路线的长为 cm 二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. “ 2x  ”是“ 2 4x  ”的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 若无穷等差数列{ }na 的首项 1 0a  ,公差 0d  ,{ }na 的前 n项和为 nS ,则以下结论 中一定正确的是( ) A. nS 单调递增 B. nS 单调递减 C. nS 有最小值 D. nS 有最大值 15. 给出下列命题:① 存在实数 使 3sin cos 2    ;② 直线 2 x    是函数 siny x 图像的一条对称轴;③ cos(cos )y x ( x R )的值域是[cos1,1];④ 若 、  都是第 一象限角,且  ,则 tan tan  ;其中正确命题的题号为( ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④ 16. 如果对一切实数 x、 y,不等式 2 9cos sin 4 y x a x y    恒成立,则实数a的取值范围 是( ) A. 4( , ] 3  B. [3, ) C. [ 2 2,2 2] D. [ 3,3] 三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 如图,已知 AB 平面 BCD,BC CD ,AD与平面 BCD所成的角为 30°,且 2AB BC  ; (1)求三棱锥 A BCD 的体积; (2)设M 为 BD的中点,求异面直线 AD与CM 所成角的大小(结果用反三角函数值表示); 18. 在 ABC 中, a、b、 c分别是角 A、 B、C的对边,且 28sin 2cos 2 7 2 B C A   ; (1)求角 A的大小; (2)若 3a  , 3b c  ,求b和 c的值; 19. 某地要建造一个边长为 2(单位: km)的正方形市民休闲公园OABC,将其中的区域 ODC开挖成一个池塘,如图建立平面直角坐标系后,点D的坐标为 (1, 2),曲线OD是函 数 2y ax 图像的一部分,过边OA上一点M 在区域OABD内作一次函数 y kx b  ( 0k  )的图像,与线段DB交于点 N (点 N 不与点D重合),且线段MN与曲线OD有 且只有一个公共点 P,四边形MABN 为绿化风景区; (1)求证: 2 8 kb   ; (2)设点 P的横坐标为 t, ① 用 t表示M 、 N 两点坐标; ② 将四边形MABN 的面积 S表示成关于 t的函数 ( )S S t ,并求 S的最大值; 20. 已知函数 ( ) 9 2 3 3x xf x a    ; (1)若 1a  , [0,1]x ,求 ( )f x 的值域; (2)当 [ 1,1]x  时,求 ( )f x 的最小值 ( )h a ; (3)是否存在实数m、 n,同时满足下列条件:① 3n m  ;②当 ( )h a 的定义域为[ , ]m n 时,其值域为 2 2[ , ]m n ,若存在,求出m、 n的值,若不存在,请说明理由; 21. 已知无穷数列{ }na 的各项都是正数,其前 n项和为 nS ,且满足: 1a a , 1 1n n nrS a a   ,其中 1a  ,常数 r N ; (1)求证: 2n na a  是一个定值; (2)若数列{ }na 是一个周期数列(存在正整数T ,使得对任意 *n N ,都有 n T na a  成立,则称{ }na 为周期数列,T 为它的一个周期),求该数列的最小周期; (3)若数列{ }na 是各项均为有理数的等差数列, 12 3nnc   ( *n N ),问:数列{ }nc 中的所有项 是否都是数列{ }na 中的项?若是,请说明理由,若不是,请举出反例; 参考答案 一. 填空题 1. {2} 2. 2 3. 3 5 4. 3 5. 6 6. 60 7. 3 7 8  8. 2 9. 5 6 2 10. ①② 11. 8 12. 13 二. 选择题 13. B 14. C 15. B 16. D 三. 解答题 17.(1) 4 2 3 ;(2) 3arccos 6 ; 18.(1) 3  ;(2) 1b  , 2c  ;或 2b  , 1c  ; 19.(1) 2 8 kb   ;(2)① ( ,0) 2 tM , 1( , 2) 2 2 tN t  ;② 14 ( ) 4 2 2 S t t      ; 20.(1)[2,6];(2)当 1 3 a  , 28 2( ) 9 3 h a a  ;当 1 3 3 a  , 2( ) 3h a a  ; 当 3a  , ( ) 12 6h a a  ;(3)不存在; 21.(1) 2n na a r   ;(2) 2T  ;(3)不是; 上海市普陀区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 若集合 2{ | , }A x y x y R   , { | sin , }B y y x x R   ,则 A B  2. 若 2 2     , 3sin 5   ,则 cot 2  3. 函数 2( ) 1 logf x x  ( 1x  )的反函数 1( )f x  4. 若 5 5 0 1 2 5(1 )x a a x a x a x      ,则 1 2 5a a a    5. 设 k R , 2 2 1 2 y x k k    表示焦点在 y轴上的双曲线,则半焦距的取值范围是 6. 设m R ,若 2 3( ) ( 1) 1f x m x mx    是偶函数,则 ( )f x 的单调递增区间是 7. 方程 2 2log (9 5) 2 log (3 2)x x    的解 x  8. 已知圆 2 2 2: 2 2 0C x y kx y k     ( k R )和定点 (1, 1)P  ,若过 P可以作两条直 线与圆C相切,则 k的取值范围是 9. 如图,在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中, 90ABC  , 1AB BC  ,若 1AC与平面 1 1B BCC 所成的角为 6  , 则三棱锥 1A ABC 的体积为 10. 掷两颗骰子得两个数,若两数的差为 d ,则 { 2, 1,0,1,2}d    出现的概率的最大值 为 (结果用最简分数表示) 11. 设地球半径为 R,若 A、 B两地均位于北纬 45°,且两地所在纬度圈上的弧长为 2 4 R ,则 A、 B之间的球面距离是 (结果用含有 R的代数式表示) 12. 已知定义域为 R的函数 ( )y f x 满足 ( 2) ( )f x f x  ,且 1 1x   时, 2( ) 1f x x  ,函数 lg | |, 0 ( ) 1, 0 x x g x x     ,若 ( ) ( ) ( )F x f x g x  ,则 [ 5,10]x  ,函 数 ( )F x 零点的个数是 二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. 若 0a b  ,则下列不等关系中,不能成立的是( ) A. 1 1 a b  B. 1 1 a b a   C. 1 1 3 3a b D. 2 2a b 14. 设无穷等比数列{ }na 的首项为 1a ,公比为 q,前 n项和为 nS ,则“ 1 1a q  ”是 “ lim 1nn S   ”成立的( )条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 15. 设 l   是直二面角,直线 a在平面 内,直线b在平面  内,且 a、b与 l均不垂 直,则( ) A. a与b可能垂直,但不可能平行 B. a与b可能垂直,也可能平行 C. a与b不可能垂直,但可能平行 D. a与b不可能垂直,也不可能平行 16. 设 是两个非零向量 a  、b  的夹角,若对任意实数 t, | |a tb   的最小值为 1,则下列判 断正确的是( ) A. 若 | |a  确定,则 唯一确定 B. 若 | |b  确定,则 唯一确定 C. 若 确定,则 | |b  唯一确定 D. 若 确定,则 | |a  唯一确定 三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 已知 a R ,函数 1( ) | | f x a x   ; (1)当 1a  时,解不等式 ( ) 2f x x ; (2)若关于 x的方程 ( ) 2 0f x x  在区间[ 2, 1]  上有解,求实数 a的取值范围; 18. 已知椭圆 2 2 2 2: 1x y a b    ( 0a b  )的左、右两个焦点分别为 1F 、 2F , P是椭圆上 位于第一象限内的点, PQ x 轴,垂足为Q,且 1 2| | 6F F  , 1 2 5 3arccos 9 PF F  , 1 2PF F 的面积为3 2; (1)求椭圆的方程; (2)若M 是椭圆上的动点,求 | |MQ 的最大值, 并求出 | |MQ 取得最大值时M 的坐标; 19. 现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯,经测定其密度为 7.8 3/g cm ,总重量为 5.8 kg,其中一个螺帽的三视图如下图所示(单位:毫米); (1)这堆螺帽至少有多少个; (2)对上述螺帽作防腐处理,每平方米需要 耗材 0.11 千克,共需要多少千克防腐材料? (结果精确到 0.01) 20. 已知数列{ }na 的各项均为正数,且 1 1a  ,对任意的 *n N ,均有 2 1 1 4 ( 1)n n na a a     , 22log (1 ) 1n nb a   ; (1)求证:{1 }na 是等比数列,并求出{ }na 的通项公式; (2)若数列{ }nb 中去掉{ }na 的项后,余下的项组成数列{ }nc ,求 1 2 100c c c   ; (3)设 1 1 n n n d b b    ,数列{ }nd 的前 n项和为 nT ,是否存在正整数m(1 m n  ),使得 1T 、 mT 、 nT 成等比数列,若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由; 21. 已知函数 ( )y f x ,若存在实数m、 k( 0m  ),使得对于定义域内的任意实数 x, 均有 ( ) ( ) ( )m f x f x k f x k     成立,则称函数 ( )f x 为“可平衡”函数,有序数对 ( , )m k 称为函数 ( )f x 的“平衡”数对; (1)若 1m  ,判断 ( ) sinf x x 是否为“可平衡”函数,并说明理由; (2)若 a R , 0a  ,当 a变化,求证: 2( )f x x 与 ( ) 2 xg x a  的“平衡”数对相同; (3)若 1m 、 2m R ,且 1( , ) 2 m  、 2( , ) 4 m  均为函数 2( ) cosf x x (0 4 x    )的“平 衡”数对,求 2 2 1 2m m 的取值范围; 参考答案 一. 填空题 1. [0,1] 2. 7 24 3. 12x ( 1)x  4. 31 5. ( 2, ) 6. [0, ) 7. 1x  8. 2k   或 0k  9. 2 6 10. 2 3 11. 3 R 12. 15 二. 选择题 13. B 14. B 15. C 16. D 三. 解答题 17.(1)[1, ) ;(2) 9[ , 3] 2   ; 18.(1) 2 2 1 12 3 x y   ;(2) ( 2 3,0)M  , max| | 2 2 3MQ   ; 19.(1) 252个;(2)0.05千克; 20.(1) 2 1n na   ;(2)11202;(3) 2m  , 12n  ; 21.(1)是;(2)平衡数对 (2,0);(3) (1,8] 上海市徐汇区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12.21 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 2 5lim 1n n n    2. 已知抛物线C的顶点在平面直角坐标系原点,焦点在 x轴上,若C经过点 (1,3)M ,则 其焦点到准线的距离为 3. 若线性方程组的增广矩阵为 0 2 0 1 a b       ,解为 2 1 x y    ,则 a b  4. 若复数 z满足: 3i z i   ( i是虚数单位),则 | |z  5. 在 6 2 2( )x x  的二项展开式中第四项的系数是 (结果用数值表示) 6. 在长方体 1 1 1 1ABCD ABC D 中,若 1AB BC  , 1 2AA  ,则异面直线 1BD 与 1CC 所成角的大小为 7. 若函数 2 2 , 0 ( ) , 0 x x f x x m x       的值域为 ( ,1] ,则实数m的取值范围是 8. 如图,在△ ABC中,若 3AB AC  , 1cos 2 BAC  , 2DC BD   ,则 AD BC    9. 定义在 R上的偶函数 ( )y f x ,当 0x  时, 2( ) lg( 3 3)f x xx   ,则 ( )f x 在 R上 的零点个数为 个 10. 将 6 辆不同的小汽车和 2 辆不同的卡车驶入如图所示的 10 个车位中的某 8 个内,其中 2 辆卡车必须停在 A与 B的位置,那么不同的停车位置安排共有 种(结果用数值 表示) 11. 已知数列{ }na 是首项为 1,公差为 2m的等差数列,前 n项和为 nS ,设 2 n n n Sb n   *( )n N ,若数列{ }nb 是递减数列,则实数m的取值范围是 12. 若使集合 2{ | ( 6)( 4) 0, }A x kx k x x Z      中的元素个数最少,则实数 k的取值 范围是 二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. “ 4 x k   ( )k Z ”是“ tan 1x  ”的( )条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要 14. 若1 2i ( i是虚数单位)是关于 x的方程 2 0x bx c   的一个复数根,则( ) A. 2b  , 3c  B. 2b  , 1c   C. 2b   , 1c   D. 2b   , 3c  15. 已知函数 f (x)为 R上的单调函数, f 1(x)是它的反函数,点 A(1,3)和点B(1,1)均在 函数 f (x)的图像上,则不等式 1| (2 ) | 1xf   的解集为( ) A. ( 1,1) B. (1,3) C. 2(0, log 3) D. 2(1, log 3) 16. 如图,两个椭圆 22 1 25 9 yx   、 2 2 1 25 9 y x  内部重叠区域的边界记为曲线C, P是曲线 C上的任意一点,给出下列三个判断: (1) P到 1( 4,0)F  、 2 (4,0)F 、 1(0, 4)E  、 2 (0, 4)E 四点的距离之和为定值 (2)曲线C关于直线 y x 、 y x  均对称 (3)曲线C所围区域面积必小于 36 上述判断中正确命题的个数为( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 已知 PA 平面 ABC, AC AB , 2AP BC  , 30CBA   ,D是 AB的中点; (1)求 PD与平面 PAC 所成角的大小;(结果用反三角函数值表示) (2)求△ PDB绕直线 PA旋转一周所构成的旋转体的体积;(结果保留 ) 18. 已知函数 23 cos sin( ) cos 1 x xf x x   ; (1)当 [0, ] 2 x   时,求 ( )f x 的值域; (2)已知△ ABC的内角 , ,A B C的对边分别为 , ,a b c,若 ( ) 3 2 Af  , 4a  , 5b c  , 求△ ABC的面积; 19. 某创业团队拟生产 A、 B两种产品,根据市场预测, A产品的利润与投资额成正比 (如图 1), B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图 2); (注:利润与投资额的单位均为万元) (1)分别将 A、 B两种产品的利润 f (x)、g(x)表示为投资额 x的函数; (2)该团队已筹集到 10 万元资金,并打算全部投入 A、 B两种产品生产,问:当 B产品 的投资额为多少万元时,生产 A、 B两种产品能获得最大利润,最大利润为多少? 20. 如图,双曲线 2 2: 1 3 x y   的左、右焦点 1F 、 2F ,过 2F 作直线 l交 y轴于点Q; (1)当直线 l平行于的一条渐近线时,求点 1F 到直线 l的距离; (2)当直线 l的斜率为 1 时,在的右支上是否存在点 P,满足 1 1 0F P FQ    ?,若存在, 求点 P的坐标,若不存在,说明理由; (3)若直线 l与交于不同两点 A、 B,且上存在一点M ,满足 4 0OA OB OM       (其中O为坐标原点),求直线 l的方程; 21. 正数数列{ }na 、{ }nb 满足: 1 1a b ,且对一切 2k  , k N  , ka 是 1ka  与 1kb  的等 差中项, kb 是 1ka  与 1kb  的等比中项; (1)若 2 2a  , 2 1b  ,求 1a 、 1b 的值; (2)求证:{ }na 是等差数列的充要条件是 na 为常数数列; (3)记 | |n n nc a b  ,当 2n  , n N  ,指出 2 nc c  与 1c 的大小关系并说明理由; 参考答案 一. 填空题 1. 2 2. 9 2 3. 2 4. 2 5. 160 6. 4  7. 0 1m  8. 3 2  9. 4 10. 40320 11. [0,1) 12. [ 3, 2]  二. 选择题 13. C 14. D 15. C 16. C 三. 解答题 17.(1) 3arctan 4 ;(2) 3 2  ; 18.(1) 3 2[0, ] 2  ;(2) 3 3 4 ; 19.(1) 1( ) 4 f x x , 5( ) 4 g x x ; (2)对 A投资 3.75 万元,对 B投资 6.25 万元,可获得最大利润 65 16 万元; 20.(1) 2;(2)不存在;(3) 2 2x y   ; 21.(1) 1 2 3a   , 1 2 3b   ;(2)略;(3) 2 1nc c c   ;