2015高考数学一轮方法测评练方法强化练——计数原理 6页

方法强化练——计数原理 ‎ (建议用时：60分钟)‎ 一、填空题 ‎1．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有________．‎ 解析　可先排C，D，E三人，共A种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步乘法计数原理满足条件的排法共A＝60种．‎ 答案　60种 ‎2．(2014·重庆质检)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n等于________．‎ 解析　(1＋3x)n的展开式中含x5的项为C(3x)5＝C35x5，展开式中含x6的项为C36x6.‎ 由两项的系数相等得C·35＝C·36，解得n＝7.‎ 答案　7‎ ‎3．(2014·济南调研)只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，则这样的四位数有________．‎ 解析　由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次，第一步确定谁被使用2次，有3种方法；第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法；第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法．故共可组成3×3×2＝18个不同的四位数．‎ 答案　18个 ‎4．组合式C－2C＋4C－8C＋…＋(－2)nC的值等于________．‎ 解析　在(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn中，令x＝－2，得原式＝(1－2)n＝(－1)n.‎ 答案　(－1)n ‎5．若n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为________．‎ 解析　由题意知C＝＝15，所以n＝6，则n＝6，令x＝1得所有项系数之和为6＝.‎ 答案　 ‎6．(2014·杭州检测)甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有________．‎ 解析　甲、乙各选两个景点有CC＝9种方法，其中，入选景点完全相同的有3种．∴满足条件要求的选法共有9－3＝6(种)．‎ 答案　6种 ‎7．若(x－1)8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8，则a6＝________.‎ 解析　(x－1)8＝[(x＋1)－2]8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8，∴a6＝C(－2)2＝4C＝112.‎ 答案　112‎ ‎8．(2014·长沙模拟)已知x，y满足(x∈Z，y∈Z)，每一对整数(x，y)对应平面上一个点，则过这些点中的其中3个点可作不同的圆的个数为________．‎ 解析　如图所示，阴影中的整点部分为x，y满足的区域，‎ 其中整数点(x，y)共有8个，从中任取3个有C＝56种取法．‎ 其中三点共线的有1＋C＝11(种)．‎ 故可作不同的圆的个数为45.‎ 答案　45‎ ‎9．(2014·广州调研)已知a＝2cosdx，则二项式5的展开式中x的系数为________．‎ 解析　a＝2cosdx＝2sin＝－2，则5＝5，∴Tr＋1＝Cx2(5－r)r＝(－2)rCx10－3r.‎ 令10－3r＝1，得r＝3.‎ ‎∴展开式中x的系数为(－2)3C＝－80.‎ 答案　－80‎ ‎10．(2014·衡水中学模拟)用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．‎ 解析　先将3,5排列，有A种排法；再将4,6插空排列，有2A种排法；最后将1,2插入3,4,5,6形成的空中，有C种排法．由分步乘法计数原理知，共有A·2A·C＝40种．‎ 答案　40‎ ‎11.n的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中二项式系数最大的项等于________．‎ 解析　依题意，令x＝1，有3n＝729，则n＝6，∴展开式第4项的二项式系数最大，则T4＝C(2x)33＝160x2.‎ 答案　160x2‎ ‎12．(2014·郑州调研)某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有________种．‎ 解析　甲、乙作为元素集团，内部有A种排法，“甲乙”元素集团与“戊”全排列有A种排法．将丙、丁插在3个空档中有A种方法．∴由分步计数原理，共有AAA＝24种排法．‎ 答案　24‎ ‎13．(2013·新课标全国Ⅰ卷)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a＝7b，则m＝________.‎ 解析　由二项式系数的性质，得a＝C，b＝C＝C，又13a＝7b，因此13C＝7C，解得m＝6.‎ 答案　6‎ ‎14．甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________(用数字作答)．‎ 解析　当每个台阶上各站1人时有AC种站法，当两个人站在同一个台阶上时有CCC种站法，因此不同的站法种数有AC＋CCC＝210＋126＝336(种)．‎ 答案　336‎ ‎15．(2014·无锡质检)(x2＋2)5的展开式的常数项是________．‎ 解析　二项式5展开式的通项为：‎ Tr＋1＝C5－r·(－1)r＝C·x2r－10·(－1)r.‎ 当2r－10＝－2，即r＝4时，‎ 有x2·Cx－2·(－1)4＝C×(－1)4＝5；‎ 当2r－10＝0，即r＝5时，有2·Cx0·(－1)5＝－2.‎ ‎∴展开式中的常数项为5－2＝3.‎ 答案　3‎ ‎16．将6位志愿者分成4个组，其中两个组各2人，另两个组各1人．分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案种数有________．‎ 解析　将6位志愿者分为2名，2名，1名，1名四组，有＝×15×6＝45种分组方法．‎ 将四组分赴四个不同场馆有A种方法．‎ ‎∴根据分步乘法计数原理，不同的分配方案有45·A＝1 080种方法．‎ 答案　1 080‎ 二、解答题 ‎17．已知n，‎ ‎(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；‎ ‎(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．‎ 解　(1)∵C＋C＝2C，∴n2－21n＋98＝0.‎ ‎∴n＝7或n＝14，‎ 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.‎ ‎∴T4的系数为C423＝，‎ T5的系数为C324＝70，‎ 当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.‎ ‎∴T8的系数为C727＝3 432.‎ ‎(2)∵C＋C＋C＝79，∴n2＋n－156＝0.‎ ‎∴n＝12或n＝－13(舍去)．设Tk＋1项的系数最大，‎ ‎∵12＝12(1＋4x)12，‎ ‎∴ ‎∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.‎ ‎∴展开式中系数最大的项为T11，‎ T11＝C·2·210·x10＝16 896x10.‎ ‎18．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为多少？‎ ‎(2)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，问名额分配的方法共有多少种？‎ 解　(1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插．‎ 由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A＝24种．‎ ‎(2)法一　每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数．‎ 分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；‎ 若分配到2所学校有C×2＝42种；‎ 若分配到3所学校有C＝35种．‎ ‎∴共有7＋42＋35＝84种方法．‎ 法二　10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C＝84种不同方法．所以名额分配的方法共有84种.‎