高邮中学高三月高考模拟最后一卷数学 20页

江苏省高邮中学高考模拟卷（数学）‎ 必做部分 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ 1. 已知集合，，则集合M∩P= ▲ ． ‎ 2. 设为实数，若复数，则a＋b＝▲．‎ 3. 抛掷两个骰子,则两个骰子点数之和不大于4的概率为 ▲ . ‎ 4. 运行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为 ▲ ． ‎ 5. 若点在函数的图象上，则的值为　▲　． ‎ 6. 以轴为对称轴，以坐标原点为顶点，焦点在直线上的抛物线的方程是　　▲　． ‎ 7. 在一次课内比教学活动中9位评委给某参赛教师的分数如下图所示，记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算出平均分为92分，复核员在复核时发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清，若记分员计算无误，则数字应该是 ▲ ．‎ 8. 设m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题 ①若 ② ③若 ④若 其中正确的命题是 ▲ . ‎ 9. 设函数（），将图像向左平移单位后所得函数图像对称轴与原函数图像对称轴重合，则 ▲ ． ‎ 10. 设等比数列{}的公比为q ，前n项和为Sn ,若成等差数列，则q＝　▲．‎ 11. 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，……，若按此规律继续下去，若　　▲　　． ‎ ‎　　‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎1‎ ‎22‎ 1. 已知P（x，y）满足，A（－1,2），O为坐标原点，则的取值范围是　　▲　　．‎ 2. 已知，⊙：与⊙： 交于不同两点，且，则实数的值为 ▲ . ‎ 3. 设集合，函数 若当时，B， 则的取值范围是　　▲　　． ‎ 二、解答题（本大题共6小题，共90分）‎ ‎15．（本题满分14分）已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期和值域；‎ ‎（2）若为第二象限角，且，求的值．‎ ‎16．（本题满分14分）‎ 如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O，沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABEFD．‎ ‎　（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；‎ ‎　（Ⅱ）记三棱锥P－ABD体积为V1，四棱锥P－BDEF体积为V2，且，求此时线段PO的长．‎ ‎17．(本小题满分14分)‎ ‎ 近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为10万件，每件小挂件的销售价格平均为100元，生产成本为80元，从今年起工厂投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量每年递增1‎ 万件，设第年每件小挂件的生产成本元，若玉制产品的销售价不变，第年的年利涧为万元（今年为第1年）‎ ‎（I）求的表达式；‎ ‎（II）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？‎ ‎18、（本题满分15分）‎ 若椭圆:和椭圆:满足,则称这两个椭圆相似.‎ ‎(Ⅰ)求过(且与椭圆相似的椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)设过原点的一条射线分别与(Ⅰ)中的两椭圆交于A、B两点（点A在线段OB上）.‎ ‎①若P是线段AB上的一点，若|OA|、｜OP｜、｜OB｜成等比数列，证明点P在一椭圆上; ‎ ‎②求的最大值和最小值.‎ ‎19．(本小题满分16分)‎ 设函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求的极值；‎ ‎（Ⅱ）当时，求的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）当时，对任意的正整数，在区间上总有个数使得 成立，试问：正整数是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由.‎ ‎20．（本题满分16分）‎ 设奇函数对任意都有 求和的值；‎ 数列满足：=+，数列是等差数列吗？请给予证明；‎ 设与为两个给定的不同的正整数，是满足（2）中条件的数列，‎ 证明：.‎ ‎1.设M＝，N＝，试求曲线y＝sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．‎ ‎ ‎ ‎3. 已知抛物线：，直线截抛物线所得弦.‎ ‎(1) 求的值；‎ ‎(2) 抛物线上是否存在异于点、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线.若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎2. 已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，曲线，相交于A、B两点．‎ ‎ （1）把曲线，的极坐标方程转化为直角坐标方程；‎ ‎ （2）求弦的长度．‎ ‎4.在各项均为正数的数列中,数列的前项和为满足.‎ ‎(1) 求,的值；‎ ‎(2) 由(1)猜想出数列的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想.‎ 江苏省高邮中学高考模拟卷（数学）必做部分答案 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）‎ ‎1、　2、 2　　3、　　4、11　　5、　6、　　7、5‎ ‎8、②④　9、　10、－2　11、　12、[-2,2]　13、　14、‎ 二、解答题（本大题共6小题，共90分）‎ ‎15．解: （1）∵ ， ‎ ‎∴函数的周期为，值域为． ‎ ‎（2）∵，∴，即 ‎∵， ‎ 又∵为第二象限角， 所以 ． ‎ ‎∴原式 ‎ ‎16．‎ ‎17．解（I）据题意，第年产量为（万件），销售额为100（万元），科技成本为100万元． ‎ ‎ ，‎ ‎（II）令，得 ‎ 当且仅当即，亦即时，取等号 故从今年起，第6年的利润最高，且最高利润为360（万元）‎ ‎18、解:(Ⅰ)设与相似的椭圆的方程.‎ 则有解得,所求方程是. ‎ ‎(Ⅱ) ① 当射线的斜率不存在时,‎ 设点P坐标P(0,,则,.即P(0,). ‎ 当射线的斜率存在时，设其方程,P(‎ 由,则　得 ‎ ‎ 同理 ‎ 又点P在上，则，且由,‎ 即所求方程是.‎ 又(0,)适合方程,故所求椭圆的方程是. ‎ ‎②由①可知,当的斜率不存在时，,‎ 当的斜率存在时, ,∴‎ 综上的最大值是8,最小值是4. ‎ ‎19．解:(I)函数的定义域为.　　 ‎ 当时，，∴.‎ 由得.‎ 减 ‎0‎ 增 ‎-‎ 极小值 ‎+‎ 由上表可知，，没有极大值. ‎ ‎（II）由题意，.令得，.　　　‎ 若，由得；由得.　‎ 若，‎ ‎①当时，或，；，.‎ ‎②当时，.‎ ‎③当时，或，；，.‎ 综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ 当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为；‎ 当时，函数的单调减区间是,‎ 当时，函数的单调递减区间为，，单调递增区间为.‎ ‎ (Ⅲ) 当时，，.‎ ‎∵，∴.∴，.　‎ 由题意，恒成立.‎ 令，且在上单调递增，‎ ‎，因此，而是正整数，故，‎ 所以时，存在，时，对所有满足题意.∴.　‎ ‎20．解：（1），且是奇函数 ‎，故 ‎ 因为所以 令，得，即． ‎ ‎（2）设 又 两式相加．‎ 所以 ‎ 故 ‎ 又．故数列是等差数列． ‎ ‎（3）‎ ‎ ‎ 要证：‎ 即 ‎ ‎∵‎ ‎ 即，从而 ‎ 又恒成立， ‎ 所以有恒成立 即 ‎ ‎22.设圆过点(0,2), 且在轴上截得的弦的长为4.‎ ‎(Ⅰ)求圆心的轨迹的方程； ‎ ‎(Ⅱ)过点(０，１)，作轨迹的两条互相垂直的弦、，设、 的中点分别为、，试判断直线是否过定点？并说明理由．‎ ‎21．解：(I)设圆心的坐标为，如图过圆心作轴于H,‎ 则H为RG的中点，在中，（2分）‎ ‎∵∴‎ 即 （5分）‎ ‎ (2) 设，‎ 直线AB的方程为，联立有：‎ ‎∴，‎ ‎∴点Ｍ的坐标为． （8分）‎ 同理可得：点的坐标为． （10分）‎ 直线的斜率为，‎ 其方程为，整理得，‎ 显然，不论为何值，点均满足方程，‎ ‎∴直线恒过定点． （14分）‎ 命题意图：文科卷必须有一道函数题，但数列又如何考，本题将两者结合起来，主要考查数列、函数、导数、均值不等式以及实际应用题的建模、用模能力，对文科生有一定难度．‎ 讲评建议：1）求解的表达式是一个难点，引导学生先建构一个文字模型，即 第n年利润=第n年销售额—第n年成本 成本=生产成本+科技成本 ‎2）引导学生用函数观点看待数列 由数列的特殊情形，到一般的函数、方法再回到数列中，这就是用函数方法处理数列问题的一般思维．‎ ‎3）要扩大学生思路，用换元法换元之后，将化为钓勾函数模型，用均值不等式求解也不失为一种好方法．‎ ‎22、（本题满分14分）‎ 已知P是圆F1：上的动点，点F2（1，0），线段PF2的垂直平分线与半径F1P交于点Q．‎ ‎（I）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹C的方程．‎ ‎（II）已知点M（1，），A、B在（I）中所求的曲线C上，且，（i）求直线AB的斜率；‎ ‎（ii）求证：当的面积取得最大值时，O是的重心．‎ ‎22、解（I）根据题设有 又 根据椭圆的定义可知 的轨迹为以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点中心在原点半长轴为2，半焦距为1，半短轴为的椭圆，其方程为 （（4分）‎ ‎（II）（i）设，由 由 两式相减设 （6分）‎ ‎(ii)设AB的直线方程为 ，代入椭圆C的方程，整理得 ‎    ‎ 是P到直线AB的距离 ‎ （8分）‎ ‎ ‎ ‎ 当且仅当（12分）‎ 根据韦达定理得 ‎ 故O是的重心．（14分 ‎(Ⅰ)证明：……………………2分 ‎，………………………………4分 ‎，是以1为首项，1为公差的等差数列. ……………………………6分 ‎(Ⅱ)解：由(I)知 ‎（适合此式）……………………8分 ‎. ………………………………12分 ‎. ………………………………14分 已知，设数列的前项和为，若(n∈N*).‎ ‎（1）当时，比较和的大小；‎ ‎（2）求数列的通项公式； ‎ ‎（3）令，数列的前项和为，求证：当n∈N*且n≥2时，.‎ ‎【答案】解：（1）令，则，‎ ‎∴在时单调递增，，即当时，‎ 即当时，……………………………………………4分 ‎（2）由，得(n≥2).‎ 两式相减，得，即(n≥2). ‎ 于是，所以数列是公差为1的等差数列. …………6分 又，所以. ‎ 所以，故. ……………8分 ‎（3）因为，则当n≥2时，‎ ‎. ……………10分 ‎21.设函数 ‎(Ⅰ) 当时，讨论函数的单调性.‎ ‎（Ⅱ）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围.‎ ‎21. 解：(Ⅰ) ‎ ‎ 5分 ‎ 当，即时， 在上是减函数；‎ ‎ 当，即时，令得或 ‎ 令得 ‎ 当，即时，令得或 ‎ 令得 7分 ‎ ‎ 综上，当时，在定义域上是减函数；‎ ‎ 当时，在和单调递减，在上单调递增；‎ 当时，在和单调递减，在上单调递8分 ‎（Ⅱ）由（Ⅱ）知，当时，在上单调递减，‎ ‎ 当时，有最大值，当时，有最小值.‎ ‎ 10分 而经整理得 由得，所以 12分 第16题图 如图，四棱柱的底面是平行四边形，分别在棱上，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若平面，四边形是边长为的正方形，且，，求线段的长, 并证明：‎ 证明：（1）四棱柱的底面是平行四边形，‎ ‎ 1分 平面平面 平面 平面 3分 平面，‎ 平面平面 4分 ‎，‎ 四点共面. 5分 平面平面,平面平面,‎ ‎ 7分 ‎（2） 设 ‎ 四边形,四边形都是平行四边形，‎ 为，的中点，为，的中点. 8分 连结由(1)知,从而.‎ ‎，，‎ ‎ 10分 平面,四边形是正方形,‎ ‎，，均为直角三角形,得 ‎,‎ ‎ ‎ ‎，即. 12分 平面平面 ‎. ‎ 平面 平面 13分 平面 ‎ ‎ 14分 已知双曲线的左右焦点是，设是双曲线右支上一点，在上的投影的大小恰好为，且它们的夹角为，则双曲线的离心率是 .‎ 附加题答案 ‎1.解析：：MN=, 设是曲线上的任意一点，在矩阵MN 变换下对应的点为．则，所以即 ‎ 代入得：，即．即曲线在矩阵MN变换下的曲线方程为．‎ ‎2.解析：(1)由得:由得:y=x ‎(2)圆的圆心(3,0),半径=3,圆心到直线的距离 ‎=‎ ‎3. 解析：(1) 由解得,‎ 所以，所以.---------------------------------4分 ‎(2) 由(1)得，,‎ 假设抛物线上存在异于点、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线.‎ 令圆的圆心为，则由得 得，--------------------------------------------6分 因为抛物线在点处的切线斜率，‎ 又该切线与垂直，所以 所以 因为，所以.‎ 故存在点且坐标为.--------------------------------------------------------------10分 ‎4.解析：(1)由得, ,而,所以.由得, ,所以.又由得,,‎ 所以.-----------------------------------------------------------------------------------3分 ‎(2)猜想.----------------------------------------------------------------4分 ‎①当时,,猜想成立；‎ ‎②假设时猜想成立,即,-----------------------------------------6分 则当时, .‎ 即 化简得,解得,‎ 即时猜想成立,-----------------------------------------------------------------------------9分 综上，由①、②知.------------------------------------------------10分