高考数学广东卷文科含答案详解 12页

‎2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东B卷）‎ 数学（文科）‎ 本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。‎ 参考公式：锥体体积公式V=Sh,其中S为锥体的底面积，h为锥体的高。‎ 线性回归方程中系数计算公式 样本数据x1,x2,……，xa的标准差，‎ 其中表示样本均值。‎ N是正整数，则 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设复数满足，其中为虚数单位，则= （ A ）‎ A． B． C． D．‎ 解：i2=-1,所以，-i*i=1，即z=-i。‎ 点评：本题是概念题，也是送分题。‎ ‎2．已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为（ C ）‎ ‎ A．4 B．3 C．2 D．1 ‎ 解：A为圆，圆心为(0,0)；x+y=1，即为x+y-1=0，表示的是直线。圆心到直线的距离：‎ 即直线与圆相交。故选C。‎ ‎3．已知向量，若为实数，，则= （ B ）‎ A． B． C． D．‎ 解：，∵∥，∴。解得 ‎4 ．函数的定义域是 （ C ）‎ A． B． C． D．‎ 解： 1-x≠0‎ ‎ x+1>0 解得x∈(-1,1)∪(1,+∞)。‎ ‎5．不等式的解集是（ D ）‎ A． B C． D． ‎ 解:令y=2x2-x-1,当y=0,即2x2-x-1=0，(2x+1)(x-1)=0，解得x1=，x2=1。‎ 如图所示，当x<或x>1时y>0成立。‎ ‎6．已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定，若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为（ B ）‎ ‎ A．3 B．4 C． D． ‎ ‎ 如图所示，阴影部分即为区域D。=x+y。即有 ‎ x+y-Z=0，z可以看成是直线在y轴上的截距。当直线经过 ‎ 点H(,2)的时候Z最大。代入点H解之得Z=4。‎ ‎7．正 五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ D ）‎ ‎ A．20 B．15 C．12 D．10 ‎ 解：每一个顶点有两个不同在任何侧面且不同在任何底面的顶点，所以2条对角线，共有5个顶点。所以有10条对角线。‎ ‎8．设圆C与圆 x2+(y-3)2=1外切，与直线相切．则C的圆心轨迹为（ A ）‎ A． 抛物线 B． 双曲线 C． 椭圆 D． 圆 解法1:因为圆C与x2+(y-3)2=1外切，故与点(0,3)的距离为r+1。与直线y=0相切，所以与直线y=-1的距离是r+1。即到定点的距离等于到定直线的距离相等。即轨迹为抛物线。‎ 解法2：设C的圆心坐标为(x,y)，则=r+1,r=y(圆心在x轴上方)联立解得x2=8(y-1)。‎ ‎9．如图1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别为等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ C ）‎ ‎2‎ ‎2‎ 主视图 左视图 俯视图 A． B． 4 C． D． 2‎ 解：从三个视图可以看出几何体是四棱锥。‎ 从主视图可以解出高h==3。底面为菱形，对角线分别为和2，故底面积s=1/2**2=‎ V=1/3*s*h=‎ ‎10．设是R上的任意实值函数．如下定义两个函数和；对任意 ‎,；．则下列等式恒成立的是（ B ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D． ‎ 解：B：左边=‎ ‎ 右边=‎ 二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分． ‎ ‎（一）必做题（11～13题）‎ ‎11．已知是递增等比数列，，则此数列的公比 2 ．‎ 解：a4-a3=a2(q2-q)=2(q2-q)=4，所以q2-q-2=0解得q=2或q=-1(因为是递增数列，故舍去)‎ ‎12．设函数若，则-9 ．‎ 解：f(a)=a3cosa+1………………………………………… ‎ f(-a)=(-a)3cos(-a)+1=-a3cosa+1……………………… +得 f(-a)=2-f(a)=1-10=-9。‎ ‎13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打时间x（单位：小时）与当于投篮命中率y之间的关系：‎ 时间x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 命中率y ‎0．4‎ ‎0．5‎ ‎0．6‎ ‎0．6‎ ‎0．4‎ 小李这 5天的平均投篮命中率为0.5，用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53．‎ 解：（1）‎ ‎（2）‎ 设y=bx+a ‎=0.01‎ 即y=0.01x+0.47‎ y6=0.01x6+0.47=0.53。‎ ‎（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为（0≤q ＜p ＝和 ‎（t∈R），它们的交点坐标为(1, )．‎ 由第一组方程知y≥0,由第二组方程组知x≥0.‎ 化为直角坐标系下的方程则有：‎ ‎………… y2=………………………………………… 联立,且x≥0，y≥0解得x=1，y=‎ F E D C B A ‎15．（几何证明选讲选做题）如图4，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2，E、F分别为AD、BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为 ．‎ 易知EF是梯形的中位线。‎ SABFE=‎ SEFCD=‎ 即: SABFE: SEFCD=‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 已知函数，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设求的值．‎ 解:(1) ‎ ‎(2) ,所以 同理，所以。‎ 因为,所以：‎ ‎，‎ 同理。‎ ‎17．（本小题满分13分）‎ 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用表示编号为的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：‎ 编号n ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 成绩 ‎70‎ ‎76‎ ‎72‎ ‎70‎ ‎72‎ ‎（1）求第6位同学成绩，及这6位同学成绩的标准差；‎ ‎（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间中的概率．‎ 解：(1)，所以 ‎（2）前5位同学中，成绩没有落在区间[68,75]的只有第2位同学 故恰有一位同学的成绩落在区间[68,75]的概率P=‎ ‎18.（本小题满分13分）‎ ‎ 图5所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的. A，A′，B，B′分别为,,,的中点，分别为的中点. ‎ ‎（1）证明：四点共面；‎ ‎（2）设G为A A′中点，延长到H′，使得.证明：‎ ‎（1）证明：‎ ‎∵A′是的中点 ‎ ‎∴⊥C’D’。同理，BO2⊥DE.‎ ‎ 又∵C’D’∥DE。‎ ‎∴BO2∥‎ 又=BO2=1‎ ‎∴是平行四边形。所以，四点共面。证毕。‎ ‎（2）证明：‎ 延长AO1至H，令HO1=AO1，连结H’H,则四边形A’H’HA是原直圆柱的轴截面。又AH=AA’。所以A’H’HA是正方形。‎ 连结，在正方形A’H’HA中m ‎∵是AH‘的中点，G是AA’的中点 Rt△H’A’G≌Rt△HH’O’1‎ ‎∴∠A’H’G=∠H’HO1’‎ ‎ ∴⊥H’G……………………………………………………………………………… ‎ 又H’B’ ⊥B’B……………………………………………………………………………… 由得：‎ HO1’ ⊥面H’B’G…………………………………………………………………………… ‎ 又O1’O2’∥HB,且O1’O2’=HB ‎∴O1’O2’ BH是平行四边形，即HO1’ ∥BO2’ ………………………………………… ‎ 由得 HO1’⊥面H’B’G ‎ 证毕。‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ ‎ 设,讨论函数 的单调性．‎ 解：函数f(x)的定义域为（0,+∞）‎ ‎(1)若1-a=0，即a=1时，‎ 即此时f(x)在区间（0,+∞）上增函数。‎ ‎（2）00，所以>0‎ 即此时f(x)在区间（0,+∞）上递增。‎ ‎（3）a>1时 解不等式组 ‎ ‎ ‎ x>0‎ 解得:‎ ‎00，此时f(x)递增。‎ 而在区间(,+∞), <0，此时f(x)递减。‎ 综上所述 当01时，f(x)在区间(0, )上递增，在区间(,+∞)上递减。‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ ‎ 设b>0,数列满足,．‎ （1） 求数列的通项公式；‎ （2） 证明：对于一切正整数,．‎ 解：(1)‎ ‎∵，>0，所以an>0。‎ 整理得 设，则=‎ 当b=1时,=‎ 即数列{Cn}是公差为1的等差数列。C1=‎ Cn=C1+(n-1)=n， ‎ 当b≠1时 令, ‎ 令，解得 即=‎ 设Dn=‎ D1==‎ 即Dn是以为公比，首项为的等比数列 故Dn=()n-1=‎ Cn=Dn-=-=‎ 综上所述 ‎ 1 b=1‎ an=‎ ‎ b≠1‎ ‎(2)证明：‎ b=1时，an=1。2an=2,bn+1+1=1+1=2。‎ 不等式成立。‎ 当b≠1时 设n=1时，当 b1+1+1=b2+1‎ b2+1-2b=(b-1)2≥0‎ 即2a1≤b1+1+1‎ 设n=m时，2am=≤bm+1+1成立 即≤bm+1+1成立 则有 ‎≤bm+1b+1=bm+1+1+1‎ 即n=m+1时也成立 故不等式对一切正整数都成立。证毕。‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设P是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足．‎ （1） 当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；‎ （2） 已知．设H是E上动点，求的最小值，并给出此时点H的坐标；‎ （3） 过点且不平行于轴的直线与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率的取值范围．‎ 解：‎ ‎（1）如图所示。∵∠MPO=∠AOP ‎∴PM∥AO 设M(x,y)‎ 则P(-2,y)‎ M是PO的垂直平分线 ‎∴|MP|=|MO|‎ ‎，化简并整理得 y2=4(x+1)‎ 即M的轨迹E的方程为y2=4(x+1) (x≥-1)‎ ‎(2) ‎ 如图，TR⊥直线l,交E于H，H’是E上的异于H的任意一点。‎ H’R’⊥直线l.‎ 又|H’R’|=|H‘O|，‎ 在三角形中，|H’R’|+|H‘T|＞|R’T|>|RT|,即|H’O|+|H’T|＞|RT|‎ ‎|HO|+|HT|=|RT|最小 ‎|RT|=|1-(-2)|=3‎ 即|HO|+|HT|的最小值为3.‎ 此时H的纵坐标为y=-1，代入E的方程解得x=‎ 即H的坐标为（，-1）。‎ ‎(3)直线l1的方程为：y=k(x-1)-1，‎ 联立方程得 ‎ y=k(x-1)-1‎ ‎ y2=4(x+1)‎ 整理得k2x2-(2k2+2k+4)x+k2+2k-3=0。‎ 当k=0时，x=，此时直线与抛物线只有一个交点。‎ 当k≠0时，令(2k2+2k+4)2-4 k2(k2+2k-3)>0，解得k∈R,且k≠0。‎ 即l1的斜率的取值范为：（-∞，0）∪(0,+ ∞)。‎ QQ:2816878. 水平有限，有宝贵意见欢迎指点。‎ 博客：http://blog.sina.com.cn/kukialee