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- 2021-05-13 发布
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高考热点解析几何设而不求的解题策略(无版本)
本文通过全国卷旧题新解,来分析高考解析几何的热点问题,设而不求的解题策略.
2000年全国卷(理工)试题(22)(本小题满分14分)如图,已知梯形ABCD中,点E分有向线段所成的比为,双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点当时,求双曲线离心率的取值范围
分析:解析几何设而不求的解题策略。本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力
建立直角坐标系,如图,若设C,代入,求得,进而求得再代入,建立目标函数,整理
,此运算量可见是难上加难.我们对可采取设而不求的解题策略,
建立目标函数,整理,化繁为简.
原解法一:如图,以AB为垂直平分线为轴,直线AB为轴,建立直角坐标系,则CD⊥轴因为双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于轴对称 ——2分
依题意,记A,C,E,其中为双曲线的半焦距,是梯形的高
由定比分点坐标公式得
,
设双曲线的方程为,则离心率
由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和代入双曲线方程得
, ①
② ——7分
由①式得 , ③
将③式代入②式,整理得
,
故 ——10分
由题设得,
解得
所以双曲线的离心率的取值范围为 ——14分
分析:考虑为焦半径,可用焦半径公式, 用的横坐标表示,回避的计算, 达到设而不求的解题策略.
(原创) 解法二:建系同解法一,,
,又,代入整理,以下同解法一.