2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解) 14页

‎ 2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）‎ 数 学（理）‎ 第I卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.‎ ‎1．复数的模为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】复数代数形式的四则运算.‎ ‎【考查方式】直接给出复数，利用对复数进行化简，然后再求模.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】.‎ ‎2．已知集合，，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【测量目标】集合的基本运算.‎ ‎【考查方式】考查了对数不等式及交集运算.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】，，‎ ‎.‎ ‎3．已知点，，则与向量同方向的单位向量为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】向量的基本概念.‎ ‎【考查方式】给出两点坐标及方向，求同方向的单位向量.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】，则与其同方向的单位向量.‎ ‎4．下面是关于公差的等差数列的四个命题：‎ ‎：数列是递增数列； ：数列是递增数列；‎ ‎：数列是递增数列； ：数列是递增数列；‎ 其中的真命题为 （ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】等差数列的性质.‎ ‎【考查方式】给出的等差数列，求数列的增减性.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】根据等差数列的性质判定.,,是真命题， （步骤1）‎ ‎,但是的符号不知道，是假命题. （步骤2）‎ 同理是假命题.,是真命题. （步骤3）‎ ‎5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为，‎ ‎，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是 （ ）‎ A. B. C. D.‎ 第题图 ‎ ‎【测量目标】频率分布直方图. ‎ ‎【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数，求总体频数.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】根据频率分布直方图的特点可知，低于分的频率是，所以该班的学生人数是. ‎ ‎6．在上，内角所对的边长分别为且则 ( )‎ A． B． C． D． ‎ ‎【测量目标】正弦定理，两角和的正弦，诱导公式.‎ ‎【考查方式】给出三角形各边长及内角和边长的公式，求角.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】根据正弦定理与和角公式求解.由正弦定理可得, （步骤1）‎ 又, ,.（步骤2）‎ ‎,. （步骤3）‎ ‎7．使得 的展开式中含有常数项的最小的为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【测量目标】二项式定理.‎ ‎【考查方式】考查了二项展开式的通项公式.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】根据二项展开式的通项公式求解.，当是 常数项时，，当，时成立.‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第题图 ‎ ‎【测量目标】循环结构的程序框图. ‎ ‎【考查方式】给出输入值，求输出值.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】，， ，，（步骤1），‎ ‎，，，，，输出.‎ ‎（步骤2）‎ ‎9．已知点若为直角三角形，则必有 （ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【测量目标】直线的倾斜角与斜率.‎ ‎【考查方式】给出三点坐标，由三角形的边的性质，求出之间的关系.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】根据直角三角形的直角的位置求解.若以为直角顶点，则在轴上，则必为，此 时，重合，不符合题意；（步骤1）若，则，若，根据斜率关系可知 ‎，，即.以上两种情况皆有可能，故只有满足条件.‎ ‎（步骤2）‎ ‎10．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，‎ ‎，则球的半径为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【测量目标】立体几何的综合问题.‎ ‎【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系，求三棱柱外接球的半径.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】根据球的内接三棱柱的性质求解.直三棱柱中,‎ ‎,且为过底面是截面圆的直径，取中点，则⊥底面，则在侧面内，矩形的对角线长即为球直径，,即. ‎ ‎11．已知函数，.设 ‎，，表示中的较大值，‎ 表示中的较小值，记的最小值为，的最小值为，则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】二次函数的图象与性质.‎ ‎【考查方式】给出两函数解析式，设出较大值、较小值、最大值、最小值，求最值.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】根据二次函数图象的特征解决.由，得 ， （步骤1）‎ 当和时，两函数值相等.图象为开口向上的抛物线，图象为开口向下 的抛物线，两图象在和处相交，则 ‎ （步骤2）‎ ‎，，‎ ‎（步骤3）‎ ‎12．设函数满足，，则时， （ ）‎ A.有极大值，无极小值 B.有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 ‎【测量目标】利用导数求函数的极值.‎ ‎【考查方式】通过构造函数，将问题转化，考查转化能力.通过导数判断函数单调性，考查知识的 灵活应用能力.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】由题意知.（步骤1）‎ 令，则 ‎.‎ ‎（步骤2）‎ 由得，当时，，即，则当时，，（步骤3）‎ 故在上单调递增，既无极大值也无极小值.（步骤4）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . ‎ 第题图 ‎ ‎【测量目标】由三视图求几何体的体积. ‎ ‎【考查方式】给出三视图，求体积.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为 ‎4，故体积为；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为 ‎14.已知等比数列是递增数列，是的前项和，若是方程的两个根，‎ 则 .‎ ‎【测量目标】等比数列及其性质，等比数列的前项和.‎ ‎【考查方式】给出方程，已知等比数列为递增数列，先求等比数列中两项值，即方程的两根，再由数 列为递增数列求出数列的前项和. ‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】63‎ ‎【试题分析】是方程的两个根，且数列｛是递增的等比数列，‎ ‎15．已知椭圆的左焦点为椭圆C与过原点的直线相交于两点，连接，若，则的离心率 .‎ ‎【测量目标】余弦定理，椭圆的简单几何性质.‎ ‎【考查方式】画图表示椭圆及直线位置，通过数量关系确定三角形形状以及椭圆系数，考查数形结合的能力.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】根据椭圆的定义及性质和余弦定理求解.设椭圆的右焦点为，直线过原点，‎ ‎,.（步骤1）‎ 在中，设，由余弦定理得，（步骤2）‎ 解得，即.,是直角三角形，（步骤3）‎ ‎,即.（步骤4）‎ 又在中，，，即，（步骤5）‎ ‎.（步骤6）‎ ‎16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组 的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的 最大值为 .‎ ‎【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.‎ ‎【考查方式】给出样本平均数、样本方差样本组数，求样本数据中的最大值.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【参考答案】10‎ ‎【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为则由题意知 五个整数的平 方和为，则必为，由可得或，由可得或，由上可知参加的人数分别为4，6，7，8，10，故样本数据中的最大值为10.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. （本小题满分12分）设向量 ‎（I）若求的值； （Ⅱ）设函数，求的最大值.‎ ‎【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和与差的正弦和三角函数的最值.‎ ‎【考查方式】给出两向量坐标，两向量模的关系，函数与向量的关系，求的值，函数的最大值. ‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】（Ⅰ）‎ ‎ （步骤1）‎ 又∈，. （步骤2）‎ ‎（Ⅱ）‎ 当∈时，取最大值1. （步骤3）‎ 的最大值为. （步骤4）‎ ‎18．（本小题满分12分）如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.‎ ‎（I）求证：平面平面 ‎（II）若求证：二面角的余弦值.‎ 第18题图 ‎ ‎【测量目标】面面垂直的判定，二面角，空间直角坐标系和空间向量及其运算.‎ ‎【考查方式】面面垂直的判定及二面角的平面角的确定考查定理的灵活应用能力，空间直角坐标系的建立考查空间想象能力及运算求解能力.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】(Ⅰ)由是圆的直径,得,（步骤1）‎ 由平面,平面,得,‎ 又,平面,平面,平面 平面平面平面.（步骤2）‎ ‎(Ⅱ)解法一：如图（1），以点为坐标原点，分别以直线,,为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.‎ 在中,,,.‎ 又,,,.（步骤3）‎ 故,.‎ 设平面的法向量为，则 不妨令，则.（步骤4）‎ ‎,,‎ 设平面的法向量为,则（步骤5）‎ 不妨令，则.‎ 于是.‎ 由图（1）知二面角——为锐角，故二面角——的余弦值为.（步骤6）‎ 第18题图（1） ‎ 解法二：如图（2），过作于，‎ 平面,平面,.‎ 又,且平面,平面,平面.‎ 过作于,连接,由三垂线定理得 为二面角——的平面角.（步骤3）‎ 在中,由,,得,,.‎ 在中,由,,得.‎ ‎∽,,.（步骤4）‎ 在中,,,‎ 二面角——的余弦值为.（步骤5）‎ 第18题图（2） ‎ ‎19．（本小题满分12分）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答.‎ ‎（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；‎ ‎（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数，求的分布列和数学期望.‎ ‎【测量目标】古典概型，互斥事件与对立事件的概率，离散型随机变量的分布列及期望.‎ ‎【考查方式】至少类问题反面求解考查转化化归能力，分布列及数学期望的求解考查运算求解能力.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】 (1)设事件“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，‎ 则有 “张同学所取的3道题都是甲类题”．‎ ‎，.（步骤1）‎ ‎ (2)所有的可能取值为,,,.（步骤2）‎ ‎；（步骤3）‎ ‎；（步骤4）‎ ‎；（步骤5）‎ ‎.（步骤6）‎ 的分布列为：‎ ‎（步骤7）‎ ‎.（步骤8）‎ ‎20．（本小题满分12分）如图，抛物线，点在抛物线 上，过作的切线，切点为（为原点时，重合于），，切线 的斜率为.‎ ‎（I）求的值；‎ ‎（II）当在上运动时，求线段中点的轨迹方程. ‎ 第题图 ‎ ‎【测量目标】导数的几何意义，圆锥曲线的轨迹方程.‎ ‎【考查方式】给出两抛物线方程，利用导数的几何意义及坐标中点与直线的关系求解；利用椭圆与直 线的位置关系及待定系数法求解.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】（Ⅰ）抛物线上任意一点（的切线斜率为，且切线的斜率 为，点坐标为（，）， （步骤1） ‎ 切线的方程为. (步骤2) ‎ ‎.点（在切线及抛物线上， ‎ ‎①② （步骤3）‎ 由①②得. （步骤4）‎ ‎（Ⅱ）设 为线段中点，③.④ （步骤5）‎ 切线的方程为，⑤.⑥ （步骤6）‎ 由⑤⑥得的交点（的坐标为 （步骤7）‎ 点（在上，即⑦ （步骤8）‎ 由③④⑦得 （步骤9）‎ 当时，重合于原点中点为，坐标满足 中点的轨迹方程为 （步骤10）‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数，.当时，‎ ‎（I）求证： ；‎ ‎（II）若恒成立，求实数取值范围.‎ ‎【测量目标】利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题.‎ ‎【考查方式】第一问不等式的证明利用构造函数法，通过导数证明，考查简单的转化化归能力；第二问的两种解法都对转化化归能力进一步升级考查，解法一利用第一问的结论进行转化，解法二通过构造函数，两次利用导数转化.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】(Ⅰ)证明：要证时，，只需证明.‎ ‎（步骤1）‎ 记，则，（步骤2）‎ 当时，，因此在上是增函数，（步骤3）‎ 故.所以．（步骤4）‎ 要证时，，只需证明.（步骤5）‎ 记，则，（步骤6）‎ 当时，，因此在上是增函数，（步骤7）‎ 故.所以，．（步骤8）‎ 综上，，．（步骤9）‎ ‎(Ⅱ)解法一： ‎ ‎．（步骤10）‎ 设，则.（步骤11）‎ 记，则，（步骤12）‎ 当时，，于是在上是减函数，（步骤13）‎ 从而当时，，故在上是减函数．（步骤14）‎ 于是，从而.（步骤15）‎ 所以，当时，在上恒成立．（步骤16）‎ 下面证明当时，在上不恒成立．‎ ‎ ‎ ‎，（步骤17）‎ 记，‎ 则，（步骤18）‎ 当时，，故在上是减函数，（步骤19）‎ 于是在上的值域为．（步骤20）‎ 因为当时，，，使得，（步骤21）‎ 此时，即在上不恒成立．（步骤22）‎ 综上，实数的取值范围是．（步骤23）‎ 解法二：先证当时，.（步骤10）‎ 记，则.（步骤11）‎ 记，则，（步骤12）‎ 当时，，于是在上是增函数，（步骤13）‎ 因此当时，，从而在上是增函数．（步骤14）‎ 因此，所以当时，.（步骤15）‎ 同理可证，当时，.（步骤16）‎ 综上，当时，.（步骤17）‎ 当时，‎ ‎.（步骤18）‎ 所以当时，在上恒成立．（步骤19）‎ 下面证明当时，在上不恒成立．‎ ‎，（步骤20）‎ ‎ (例如取和中的较小值)满足．（步骤21）‎ 即在上不恒成立．（步骤22）‎ 综上，实数的取值范围是．（步骤23）‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，为半圆的直径，直线与半圆相切于，垂直于，垂直于，‎ 垂直与，连接.证明：‎ ‎（I）； （II） ‎ 第题图 ‎ ‎【测量目标】几何证明选讲. ‎ ‎【考查方式】给出点、线、面之间的各种关系，根据圆中直线的垂直等角关系证明；根据圆中三角形 的全等和线段间的关系求解.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】(Ⅰ)直线与⊙相切， （步骤1）‎ 为⊙的直径，,； （步骤2）‎ 又,. （步骤3）‎ ‎. （步骤4）‎ ‎（Ⅱ）,,是公共边，‎ ‎≌,. （步骤5）‎ 类似可证≌,得. （步骤6）‎ 又在中，,，. （步骤7）‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为 ‎（I）求与交点的极坐标；‎ ‎（II）设为的圆心，为与交点连线的中点.已知直线的参数方程为 ‎（为参数），求的值.‎ ‎【测量目标】极坐标与参数方程.‎ ‎【考查方式】给出各直线的极坐标方程或参数方程，联立与方程求交点；由参数方程的性质求 解.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】(Ⅰ)圆的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为.‎ 解得 (步骤1)‎ 与交点的极坐标为. （步骤2）‎ 注：极坐标系下点的表示不是唯一的.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，点与点的直角坐标分别为.‎ 直线的直角坐标方程为， (步骤3)‎ 由参数方程可得1. （步骤4）‎ 解得 （步骤5）‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数，其中.‎ ‎（I）当时，求不等式的解集； ‎ ‎（II）已知关于的不等式的解集为，求的值.‎ ‎【测量目标】绝对值不等式的解法，含参不等式的解法.‎ ‎【考查方式】给出函数方程，求不等式的解集.再给出不等式的解集，求未知数的值.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】（1）当时， (步骤1)‎ 当时，由得，解得； （步骤2）‎ 当2时，无解； （步骤3）‎ 当时，由得，解得. （步骤4）‎ ‎ 的解集为或. （步骤5）‎ ‎（2）记则 （步骤6）‎ 由，解得. （步骤7）‎ 又的解集为，‎ ‎ . （步骤8） ‎