• 2.13 MB
  • 2021-05-13 发布

2013年辽宁高考数学理科试卷(带详解)

  • 14页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎ 2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)‎ 数 学(理)‎ 第I卷 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.‎ ‎1.复数的模为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】复数代数形式的四则运算.‎ ‎【考查方式】直接给出复数,利用对复数进行化简,然后再求模.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】.‎ ‎2.已知集合,,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【测量目标】集合的基本运算.‎ ‎【考查方式】考查了对数不等式及交集运算.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】,,‎ ‎.‎ ‎3.已知点,,则与向量同方向的单位向量为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】向量的基本概念.‎ ‎【考查方式】给出两点坐标及方向,求同方向的单位向量.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】,则与其同方向的单位向量.‎ ‎4.下面是关于公差的等差数列的四个命题:‎ ‎:数列是递增数列; :数列是递增数列;‎ ‎:数列是递增数列; :数列是递增数列;‎ 其中的真命题为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】等差数列的性质.‎ ‎【考查方式】给出的等差数列,求数列的增减性.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】根据等差数列的性质判定.,,是真命题, (步骤1)‎ ‎,但是的符号不知道,是假命题. (步骤2)‎ 同理是假命题.,是真命题. (步骤3)‎ ‎5.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为,‎ ‎,若低于60分的人数是15人,则该班的学生人数是 ( )‎ A. B. C. D.‎ 第题图 ‎ ‎【测量目标】频率分布直方图. ‎ ‎【考查方式】给出频率分布直方图及某一频数,求总体频数.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】根据频率分布直方图的特点可知,低于分的频率是,所以该班的学生人数是. ‎ ‎6.在上,内角所对的边长分别为且则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【测量目标】正弦定理,两角和的正弦,诱导公式.‎ ‎【考查方式】给出三角形各边长及内角和边长的公式,求角.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】根据正弦定理与和角公式求解.由正弦定理可得, (步骤1)‎ 又, ,.(步骤2)‎ ‎,. (步骤3)‎ ‎7.使得 的展开式中含有常数项的最小的为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【测量目标】二项式定理.‎ ‎【考查方式】考查了二项展开式的通项公式.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】B ‎【试题解析】根据二项展开式的通项公式求解.,当是 常数项时,,当,时成立.‎ ‎8.执行如图所示的程序框图,若输入,则输出的 ( )‎ A. B. C. D. ‎ 第题图 ‎ ‎【测量目标】循环结构的程序框图. ‎ ‎【考查方式】给出输入值,求输出值.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】A ‎【试题解析】,, ,,(步骤1),‎ ‎,,,,,输出.‎ ‎(步骤2)‎ ‎9.已知点若为直角三角形,则必有 ( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎【测量目标】直线的倾斜角与斜率.‎ ‎【考查方式】给出三点坐标,由三角形的边的性质,求出之间的关系.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】根据直角三角形的直角的位置求解.若以为直角顶点,则在轴上,则必为,此 时,重合,不符合题意;(步骤1)若,则,若,根据斜率关系可知 ‎,,即.以上两种情况皆有可能,故只有满足条件.‎ ‎(步骤2)‎ ‎10.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,‎ ‎,则球的半径为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【测量目标】立体几何的综合问题.‎ ‎【考查方式】给出三条棱长及两棱垂直关系,求三棱柱外接球的半径.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】根据球的内接三棱柱的性质求解.直三棱柱中,‎ ‎,且为过底面是截面圆的直径,取中点,则⊥底面,则在侧面内,矩形的对角线长即为球直径,,即. ‎ ‎11.已知函数,.设 ‎,,表示中的较大值,‎ 表示中的较小值,记的最小值为,的最小值为,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【测量目标】二次函数的图象与性质.‎ ‎【考查方式】给出两函数解析式,设出较大值、较小值、最大值、最小值,求最值.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【参考答案】C ‎【试题解析】根据二次函数图象的特征解决.由,得 , (步骤1)‎ 当和时,两函数值相等.图象为开口向上的抛物线,图象为开口向下 的抛物线,两图象在和处相交,则 ‎ (步骤2)‎ ‎,,‎ ‎(步骤3)‎ ‎12.设函数满足,,则时, ( )‎ A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 ‎【测量目标】利用导数求函数的极值.‎ ‎【考查方式】通过构造函数,将问题转化,考查转化能力.通过导数判断函数单调性,考查知识的 灵活应用能力.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【参考答案】D ‎【试题解析】由题意知.(步骤1)‎ 令,则 ‎.‎ ‎(步骤2)‎ 由得,当时,,即,则当时,,(步骤3)‎ 故在上单调递增,既无极大值也无极小值.(步骤4)‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 . ‎ 第题图 ‎ ‎【测量目标】由三视图求几何体的体积. ‎ ‎【考查方式】给出三视图,求体积.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【参考答案】‎ ‎【试题分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱,圆柱底面圆半径为2,高为 ‎4,故体积为;正四棱柱底面边长为2,高为4,故体积为16,故题中几何体的体积为 ‎14.已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,‎ 则 .‎ ‎【测量目标】等比数列及其性质,等比数列的前项和.‎ ‎【考查方式】给出方程,已知等比数列为递增数列,先求等比数列中两项值,即方程的两根,再由数 列为递增数列求出数列的前项和. ‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】63‎ ‎【试题分析】是方程的两个根,且数列{是递增的等比数列,‎ ‎15.已知椭圆的左焦点为椭圆C与过原点的直线相交于两点,连接,若,则的离心率 .‎ ‎【测量目标】余弦定理,椭圆的简单几何性质.‎ ‎【考查方式】画图表示椭圆及直线位置,通过数量关系确定三角形形状以及椭圆系数,考查数形结合的能力.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【参考答案】‎ ‎【试题解析】根据椭圆的定义及性质和余弦定理求解.设椭圆的右焦点为,直线过原点,‎ ‎,.(步骤1)‎ 在中,设,由余弦定理得,(步骤2)‎ 解得,即.,是直角三角形,(步骤3)‎ ‎,即.(步骤4)‎ 又在中,,,即,(步骤5)‎ ‎.(步骤6)‎ ‎16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取5个班级,把每个班级参加该小组 的人数作为样本数据.已知样本平均数为7,样本方差为4,且样本数据互相不相同,则样本数据中的 最大值为 .‎ ‎【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.‎ ‎【考查方式】给出样本平均数、样本方差样本组数,求样本数据中的最大值.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【参考答案】10‎ ‎【试题解析】设5个班级中参加的人数分别为则由题意知 五个整数的平 方和为,则必为,由可得或,由可得或,由上可知参加的人数分别为4,6,7,8,10,故样本数据中的最大值为10.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分12分)设向量 ‎(I)若求的值; (Ⅱ)设函数,求的最大值.‎ ‎【测量目标】平面向量的基本概念、向量的数量积运算、两角和与差的正弦和三角函数的最值.‎ ‎【考查方式】给出两向量坐标,两向量模的关系,函数与向量的关系,求的值,函数的最大值. ‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】(Ⅰ)‎ ‎ (步骤1)‎ 又∈,. (步骤2)‎ ‎(Ⅱ)‎ 当∈时,取最大值1. (步骤3)‎ 的最大值为. (步骤4)‎ ‎18.(本小题满分12分)如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.‎ ‎(I)求证:平面平面 ‎(II)若求证:二面角的余弦值.‎ 第18题图 ‎ ‎【测量目标】面面垂直的判定,二面角,空间直角坐标系和空间向量及其运算.‎ ‎【考查方式】面面垂直的判定及二面角的平面角的确定考查定理的灵活应用能力,空间直角坐标系的建立考查空间想象能力及运算求解能力.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】(Ⅰ)由是圆的直径,得,(步骤1)‎ 由平面,平面,得,‎ 又,平面,平面,平面 平面平面平面.(步骤2)‎ ‎(Ⅱ)解法一:如图(1),以点为坐标原点,分别以直线,,为轴,轴,轴建立空间直角坐标系.‎ 在中,,,.‎ 又,,,.(步骤3)‎ 故,.‎ 设平面的法向量为,则 不妨令,则.(步骤4)‎ ‎,,‎ 设平面的法向量为,则(步骤5)‎ 不妨令,则.‎ 于是.‎ 由图(1)知二面角——为锐角,故二面角——的余弦值为.(步骤6)‎ 第18题图(1) ‎ 解法二:如图(2),过作于,‎ 平面,平面,.‎ 又,且平面,平面,平面.‎ 过作于,连接,由三垂线定理得 为二面角——的平面角.(步骤3)‎ 在中,由,,得,,.‎ 在中,由,,得.‎ ‎∽,,.(步骤4)‎ 在中,,,‎ 二面角——的余弦值为.(步骤5)‎ 第18题图(2) ‎ ‎19.(本小题满分12分)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.‎ ‎(I)求张同学至少取到1道乙类题的概率;‎ ‎(II)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题的概率都是,答对每道乙类题的概率都是,且各题答对与否相互独立.用表示张同学答对题的个数,求的分布列和数学期望.‎ ‎【测量目标】古典概型,互斥事件与对立事件的概率,离散型随机变量的分布列及期望.‎ ‎【考查方式】至少类问题反面求解考查转化化归能力,分布列及数学期望的求解考查运算求解能力.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】 (1)设事件“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,‎ 则有 “张同学所取的3道题都是甲类题”.‎ ‎,.(步骤1)‎ ‎ (2)所有的可能取值为,,,.(步骤2)‎ ‎;(步骤3)‎ ‎;(步骤4)‎ ‎;(步骤5)‎ ‎.(步骤6)‎ 的分布列为:‎ ‎(步骤7)‎ ‎.(步骤8)‎ ‎20.(本小题满分12分)如图,抛物线,点在抛物线 上,过作的切线,切点为(为原点时,重合于),,切线 的斜率为.‎ ‎(I)求的值;‎ ‎(II)当在上运动时,求线段中点的轨迹方程. ‎ 第题图 ‎ ‎【测量目标】导数的几何意义,圆锥曲线的轨迹方程.‎ ‎【考查方式】给出两抛物线方程,利用导数的几何意义及坐标中点与直线的关系求解;利用椭圆与直 线的位置关系及待定系数法求解.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】(Ⅰ)抛物线上任意一点(的切线斜率为,且切线的斜率 为,点坐标为(,), (步骤1) ‎ 切线的方程为. (步骤2) ‎ ‎.点(在切线及抛物线上, ‎ ‎①② (步骤3)‎ 由①②得. (步骤4)‎ ‎(Ⅱ)设 为线段中点,③.④ (步骤5)‎ 切线的方程为,⑤.⑥ (步骤6)‎ 由⑤⑥得的交点(的坐标为 (步骤7)‎ 点(在上,即⑦ (步骤8)‎ 由③④⑦得 (步骤9)‎ 当时,重合于原点中点为,坐标满足 中点的轨迹方程为 (步骤10)‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知函数,.当时,‎ ‎(I)求证: ;‎ ‎(II)若恒成立,求实数取值范围.‎ ‎【测量目标】利用导数求函数的单调区间,不等式恒成立问题.‎ ‎【考查方式】第一问不等式的证明利用构造函数法,通过导数证明,考查简单的转化化归能力;第二问的两种解法都对转化化归能力进一步升级考查,解法一利用第一问的结论进行转化,解法二通过构造函数,两次利用导数转化.‎ ‎【难易程度】较难 ‎【试题解析】(Ⅰ)证明:要证时,,只需证明.‎ ‎(步骤1)‎ 记,则,(步骤2)‎ 当时,,因此在上是增函数,(步骤3)‎ 故.所以.(步骤4)‎ 要证时,,只需证明.(步骤5)‎ 记,则,(步骤6)‎ 当时,,因此在上是增函数,(步骤7)‎ 故.所以,.(步骤8)‎ 综上,,.(步骤9)‎ ‎(Ⅱ)解法一: ‎ ‎.(步骤10)‎ 设,则.(步骤11)‎ 记,则,(步骤12)‎ 当时,,于是在上是减函数,(步骤13)‎ 从而当时,,故在上是减函数.(步骤14)‎ 于是,从而.(步骤15)‎ 所以,当时,在上恒成立.(步骤16)‎ 下面证明当时,在上不恒成立.‎ ‎ ‎ ‎,(步骤17)‎ 记,‎ 则,(步骤18)‎ 当时,,故在上是减函数,(步骤19)‎ 于是在上的值域为.(步骤20)‎ 因为当时,,,使得,(步骤21)‎ 此时,即在上不恒成立.(步骤22)‎ 综上,实数的取值范围是.(步骤23)‎ 解法二:先证当时,.(步骤10)‎ 记,则.(步骤11)‎ 记,则,(步骤12)‎ 当时,,于是在上是增函数,(步骤13)‎ 因此当时,,从而在上是增函数.(步骤14)‎ 因此,所以当时,.(步骤15)‎ 同理可证,当时,.(步骤16)‎ 综上,当时,.(步骤17)‎ 当时,‎ ‎.(步骤18)‎ 所以当时,在上恒成立.(步骤19)‎ 下面证明当时,在上不恒成立.‎ ‎,(步骤20)‎ ‎ (例如取和中的较小值)满足.(步骤21)‎ 即在上不恒成立.(步骤22)‎ 综上,实数的取值范围是.(步骤23)‎ 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,为半圆的直径,直线与半圆相切于,垂直于,垂直于,‎ 垂直与,连接.证明:‎ ‎(I); (II) ‎ 第题图 ‎ ‎【测量目标】几何证明选讲. ‎ ‎【考查方式】给出点、线、面之间的各种关系,根据圆中直线的垂直等角关系证明;根据圆中三角形 的全等和线段间的关系求解.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】(Ⅰ)直线与⊙相切, (步骤1)‎ 为⊙的直径,,; (步骤2)‎ 又,. (步骤3)‎ ‎. (步骤4)‎ ‎(Ⅱ),,是公共边,‎ ‎≌,. (步骤5)‎ 类似可证≌,得. (步骤6)‎ 又在中,,,. (步骤7)‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中以为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系.圆,直线的极坐标方程分别为 ‎(I)求与交点的极坐标;‎ ‎(II)设为的圆心,为与交点连线的中点.已知直线的参数方程为 ‎(为参数),求的值.‎ ‎【测量目标】极坐标与参数方程.‎ ‎【考查方式】给出各直线的极坐标方程或参数方程,联立与方程求交点;由参数方程的性质求 解.‎ ‎【难易程度】容易 ‎【试题解析】(Ⅰ)圆的直角坐标方程为,直线的直角坐标方程为.‎ 解得 (步骤1)‎ 与交点的极坐标为. (步骤2)‎ 注:极坐标系下点的表示不是唯一的.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,点与点的直角坐标分别为.‎ 直线的直角坐标方程为, (步骤3)‎ 由参数方程可得1. (步骤4)‎ 解得 (步骤5)‎ ‎24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数,其中.‎ ‎(I)当时,求不等式的解集; ‎ ‎(II)已知关于的不等式的解集为,求的值.‎ ‎【测量目标】绝对值不等式的解法,含参不等式的解法.‎ ‎【考查方式】给出函数方程,求不等式的解集.再给出不等式的解集,求未知数的值.‎ ‎【难易程度】中等 ‎【试题解析】(1)当时, (步骤1)‎ 当时,由得,解得; (步骤2)‎ 当2时,无解; (步骤3)‎ 当时,由得,解得. (步骤4)‎ ‎ 的解集为或. (步骤5)‎ ‎(2)记则 (步骤6)‎ 由,解得. (步骤7)‎ 又的解集为,‎ ‎ . (步骤8) ‎