高考文科数学上海卷 8页

‎2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）‎ ‎ 数学试卷(文史类) ‎ 考生注意：‎ ‎ 1．答卷前，考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚．‎ ‎ 2．本试卷共有21道试题，满分150分．考试时间120分钟．请考生用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．‎ 一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1．方程的解是 ． ‎ ‎2．函数的反函数 ． ‎ ‎3．直线的倾斜角 ． ‎ ‎4．函数的最小正周期 ． ‎ ‎5．以双曲线的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ．‎ ‎6．若向量的夹角为，，则 ．‎ ‎7．如图，在直三棱柱中，，‎ ‎ ，，则异面直线与所成角的 ‎ 大小是 （结果用反三角函数值表示）．‎ ‎8．某工程由四道工序组成，完成它们需用时间依次为天．四道工 ‎ 序的先后顺序及相互关系是：可以同时开工；完成后，可以开工；‎ ‎ 完成后，可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序需要的天数最大是　　．‎ ‎9．在五个数字中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 ‎ （结果用数值表示）． ‎ ‎10．对于非零实数，以下四个命题都成立：‎ ‎ ① ； ② ；‎ ‎ ③ 若，则； ④ 若，则．‎ ‎ 那么，对于非零复数，仍然成立的命题的所有序号是 ．‎ ‎11．如图，是直线上的两点，且．两个半径相等的动圆分别与相切于 点，是这两个圆的公共点，则圆弧，与 线段围成图形面积的取值范围是 ． ‎ 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A，B，C，D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．‎ ‎12．已知，且（是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两 ‎ 个根，那么的值分别是（　　）‎ ‎ Ａ． Ｂ．‎ ‎ Ｃ． Ｄ．‎ ‎13．圆关于直线对称的圆的方程是（　　）‎ ‎ Ａ． Ｂ．‎ ‎ Ｃ． Ｄ．‎ ‎14．数列中， 则数列的极限值（　　）‎ ‎ Ａ．等于 Ｂ．等于 Ｃ．等于或 Ｄ．不存在 ‎15．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推 ‎ 出成立”． 那么，下列命题总成立的是（　　）‎ ‎ Ａ．若成立，则成立 ‎ Ｂ．若成立，则成立 ‎ Ｃ．若成立，则当时，均有成立 ‎ Ｄ．若成立，则当时，均有成立 三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．‎ ‎16．（本题满分12分）‎ 在正四棱锥中，，直线与平面所成的角为，求 正四棱锥的体积．‎ ‎17．（本题满分14分）‎ ‎ 在中，分别是三个内角的对边．若，，求的面积．‎ ‎18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ 近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．‎ ‎ （1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；‎ ‎ （2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？‎ ‎19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．‎ ‎ 已知函数，常数．‎ ‎ （1）当时，解不等式；‎ ‎ （2）讨论函数的奇偶性，并说明理由．‎ ‎ ‎ ‎20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．‎ 如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”． ‎ 例如，数列与数列都是“对称数列”． ‎ ‎（1）设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；‎ ‎ （2）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；‎ ‎ （3）设是项的“对称数列”，其中是首项为，公差为的等差数列．求前项的和． ‎ ‎21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．‎ 我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，． ‎ y O ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ M x ‎.‎ 如图，设点，，是相应椭圆的焦点，，和，是“果圆” 与，轴的交点，是线段的中点．‎ ‎（1）若是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程； ‎ ‎（2）设是“果圆”的半椭圆上任意一点．‎ 求证：当取得最小值时，在点或处；‎ ‎（3）若是“果圆”上任意一点，求取得最小值时点的横坐标．‎ 参考答案 ‎ 一、填空题（第1题至第11题）‎ ‎1． 2． 3． 4． ‎ ‎5． 6． 7． 8． 3 ‎ ‎9． 10． ② ④ 11． ‎ 二、选择题（第12题至第15题）‎ 题 号 ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ 答　案 A C B ‎ D ‎ 三、解答题（第16题至第21题）‎ ‎16．解：作平面，垂足为．连接，是 ‎ 正方形的中心，是直线与平面 ‎ 所成的角． ‎ ‎＝，． ．‎ ‎ ，， ‎ ‎ ． ‎ ‎17．解： 由题意，得为锐角，， ‎ ‎ ， ‎ ‎ 由正弦定理得 ， ‎ ‎ ． ‎ ‎18．解：（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为 ‎ ，，，． 则2006年全球太阳电池的年生产量为 ‎ ‎(兆瓦)． ‎ ‎ （2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为，则．‎ 解得． ‎ ‎ 因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到． ‎ ‎19．解： （1），‎ ‎ ， ‎ ‎ ． ‎ ‎ 原不等式的解为． ‎ ‎ （2）当时，，‎ ‎ 对任意，， ‎ ‎ 为偶函数． ‎ ‎ 当时，，‎ ‎ 取，得 ， ‎ ‎ ， ‎ ‎ 函数既不是奇函数，也不是偶函数． ‎ ‎ 20．解：（1）设数列的公差为，则，解得 ，‎ ‎ 数列为． ‎ ‎ （2） ‎ ‎ 67108861． ‎ ‎ （3）． ‎ ‎ 由题意得 是首项为，公差为的等差数列． ‎ ‎ 当时，‎ ‎ ． ‎ ‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎ 综上所述， ‎ ‎21．解：（1） ，‎ ‎，‎ 于是，‎ 所求“果圆”方程为，． ‎ ‎（2）设，则 ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎ ， 的最小值只能在或处取到．‎ ‎ 即当取得最小值时，在点或处． ‎ ‎ （3），且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可． ‎ ‎ ‎ ‎ ．‎ ‎ 当，即时，的最小值在时取到，‎ 此时的横坐标是． ‎ ‎ 当，即时，由于在时是递减的，的最小值在时取到，此时的横坐标是． ‎ ‎ 综上所述，若，当取得最小值时，点的横坐标是；若，当取得最小值时，点的横坐标是或．‎