二元一次不等式组与简单的线性规划问题高考数学总复习高中数学课时训 6页

二元一次不等式组与简单的线性规划问题 ‎1.已知点A（1，-1），B（5，-3），C（4，-5），则表示△ABC的边界及其内部的约束条件是 .‎ 答案 ‎ ‎2.（2008·天津理，2）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=5x+y的最大值为 .‎ 答案 5‎ ‎3.若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是 .‎ 答案 -5＜m＜10‎ ‎4.（2008·北京理）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是 .‎ 答案 1‎ ‎5.（2008·福建理）若实数x、y满足，则的取值范围是 .‎ 答案 （1，+∞）‎ 例1 画出不等式组表示的平面区域,并回答下列问题:‎ ‎(1)指出x,y的取值范围;‎ ‎(2)平面区域内有多少个整点?‎ 解 (1)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上及 右下方的点的集合.x+y≥0表示直线x+y=0上及 右上方的点的集合,x≤3表示直线x=3上及左方 的点的集合.‎ 所以,不等式组 表示的平面区域如图所示.‎ 结合图中可行域得x∈ ,y∈［-3,8］.‎ Z ‎(2)由图形及不等式组知 当x=3时,-3≤y≤8,有12个整点;‎ 当x=2时,-2≤y≤7,有10个整点;‎ 当x=1时,-1≤y≤6,有8个整点;‎ 当x=0时，0≤y≤5，有6个整点；‎ 当x=-1时,1≤y≤4,有4个整点;‎ 当x=-2时,2≤y≤3,有2个整点;‎ ‎∴平面区域内的整点共有 ‎2+4+6+8+10+12=42(个).‎ 例2 （2008·湖南理，3）已知变量x、y满足条件则x+y的最大值是 .‎ 答案 6‎ 例3 （14分）某工厂生产甲、乙两种产品，计划每天每种产品的生产量不少于15吨，已知生产甲产品1吨，需煤9吨，电力4千瓦时，劳力3个；生产乙产品1吨，需煤4吨，电力5千瓦时，劳力10个；甲产品每吨的利润为7万元，乙产品每吨的利润为12万元；但每天用煤不超过300吨，电力不超过200千瓦时，劳力只有300个.问每天生产甲、乙两种产品各多少吨，才能使利润总额达到最大？‎ 解 设每天生产甲、乙两种产品分别为x吨、y吨，利润总额为z万元， 1分 则线性约束条件为， 4分 目标函数为z=7x+12y, 8分 作出可行域如图， 10分 作出一组平行直线7x+12y=t,当直线经过直线4x+5y=200和直线3x+10y=300的交点A(20，24)时，‎ 利润最大. 12分 即生产甲、乙两种产品分别为20吨、24吨时，利润总额最大，zmax=7×20+12×24=428（万元）.‎ 答 每天生产甲产品20吨、乙产品24吨，才能使利润总额达到最大. 14分 ‎1.（2008·浙江理，17）若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax+by≤1，则以a，b为坐 ‎ 标的点P（a，b）所形成的平面区域的面积等于 .‎ 答案 1‎ ‎2.（2008·全国Ⅰ理，13）若x，y满足约束条件则z=2x-y的最大值为 .‎ 答案 9‎ ‎3.某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？‎ 解 依题意设每星期生产x把椅子，y张书桌，‎ 那么利润p=15x+20y.‎ N N 其中x,y满足限制条件.‎ 即点（x,y）的允许区域为图中阴影部分，它们的边界分别为4x+8y=8 000(即AB)，2x+y=1 300(即BC)，x=0(即OA)和y=0(即OC）.‎ 对于某一个确定的p=p0满足p0=15x+20y,且点（x,y)属于阴影部分的解x,y就是一个能获得p0元利润的生产方案.‎ 对于不同的p,p=15x+20y表示一组斜率为-的平行线，且p越大，相应的直线位置越高；p越小，相应的直线位置越低.按题意，要求p的最大值，需把直线p=15x＋20y尽量地往上平移，又考虑到x，y的允许范围，‎ 当直线通过B点时，处在这组平行线的最高位置，此时p取最大值.‎ 由,得B（200，900），‎ 当x=200,y=900时，p取最大值，‎ 即pmax=15×200+20×900=21 000,‎ 即生产200把椅子、900张书桌可获得最大利润21 000元.‎ 一、填空题 ‎1.（2008·全国Ⅱ理，5）设变量x,y满足约束条件:‎ 则z=x-3y的最小值为 .‎ 答案 -8‎ ‎2.若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是 .‎ 答案 0＜a≤1或a≥‎ ‎3.已知平面区域D由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my取得最小值，则m= .‎ 答案 1‎ ‎4.（2008·山东理）设二元一次不等式组，所表示的平面区域为M,使函数y=ax ‎ ‎（a＞0,a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是 .‎ 答案 ［2,9］‎ ‎5.如果实数x，y满足,目标函数z=kx+y的最大值为12， ‎ 答案 2‎ ‎6.（2007·江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={(x,y)|x+y≤1,且x≥0,‎ y≥0},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,y)∈A}的面积为 .‎ 答案 1‎ ‎7.（2008·安徽理，15）若A为不等式组表示的平面区域，则当a从-2连续变化 到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为 .‎ 答案 ‎ ‎8.设集合A={(x,y)|y≥|x-2|,x≥0},B={(x,y)|y≤-x+b},A∩B≠.‎ ‎(1)b的取值范围是 ；‎ ‎（2）若(x,y)∈A∩B,且x+2y的最大值为9,则b的值是 .‎ 答案 （1）［2,+∞)（2）‎ 二、解答题 ‎9.已知实数x、y满足，试求z=的最大值和最小值.‎ 解 由于z==，‎ 所以z的几何意义是点（x,y）与点M（-1，-1）连线的斜率，因此的最值就是点 ‎（x，y）与点M（-1，-1）连线的斜率的最值，‎ 结合图可知：直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，即zmax=kMB=3，此时x=0，y=2；‎ zmin=kMC=，此时x=1，y=0.‎ ‎10.已知变量x,y满足的约束条件为.若目标函数z=ax+y(其中a＞0)仅在点 ‎（3，0）处取得最大值，求a的取值范围.‎ 解 依据约束条件，画出可行域.‎ ‎∵直线x+2y-3=0的斜率k1=-,目标函数 z=ax+y(a＞0)对应直线的斜率k2=-a,若符 合题意，则须k1＞k2,即-＞-a,得a＞.‎ ‎11.两种大小不同的钢板可按下表截成A,B,C三种规格成品:‎ ‎ ‎ ‎ 某建筑工地需A，B，C三种规格的成品分别为15，18，27块，问怎样截这两种钢板，可 ‎ 得所需三种规格成品，且所用钢板张数最小.‎ 解 设需要第一种钢板x张，第二种钢板y张，钢板总数为z张，z=x+y ‎ 约束条件为：‎ 作出可行域如图所示：‎ ‎ 令z=0，作出基准直线l:y=-x,平行移动直线l发现在可行域内，经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A可使 ‎ z取最小，由于都不是整数，而最优解（x,y）中，x,y必须都是整数，可行域内点A不是最优解；‎ 通过在可行域内画网格发现，经过可行域内的整点且与A点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和 C（4，8），它们都是最优解.‎ 答 要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种：‎ 第一种截法是截第一种钢板3张，第二种钢板9张；‎ 第二种截法是截第一种钢板4张，第二种钢板8张；‎ 两种方法都最少要截两种钢板共12张.‎ ‎12.在R上可导的函数f(x)= x3+ax2+2bx+c,当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时取得极小值,求点(a,b)对应的区域 ‎ 的面积以及的取值范围.‎ ‎ 解 函数f(x)的导数为f′(x)=x2+ax+2b,当x∈(0,1)时,f(x)取得极大值,当x∈(1,2)时,f(x)取得极小值,则方程x2+ax+2b=0有两个根,一个根在区间(0,1)内,另一个根在区间(1,2)内,由二次函数f′(x)=x2+ax+2b的图象与方程x2+ax+2b=0根的分布之间的关系可以得到,‎ 在aOb平面内作出满足约束条件的点(a,b)对应的区域为 ‎△ABD(不包括边界),如图阴影部分,其中点A(-3,1),B(-1,0),D(-2,0),‎ ‎△ABD的面积为 S△ABD=|BD|×h=(h为点A到a轴的距离).‎ 点C(1,2)与点(a,b)连线的斜率为,‎ 显然∈(kCA,kCB),即∈.‎