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  • 2021-05-13 发布

新课标1卷理科数学高考真题及答案

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掌门1对1教育 高考真题 ‎2014年高招全国课标1(理科数学word解析版)‎ ‎ 第Ⅰ卷 一.选择题:共12小题,每小题5分,共60分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。‎ ‎1.已知集合A={|},B=,则=‎ ‎.[-2,-1] .[-1,2) .[-1,1] .[1,2)‎ ‎【答案】:A ‎【解析】:∵A={|}=,B=,‎ ‎∴=,选A..‎ ‎2.=‎ ‎. . . .‎ ‎【答案】:D ‎【解析】:∵=,选D..‎ ‎3.设函数,的定义域都为R,且是奇函数,是偶函数,则下列结论正确的是 ‎.是偶函数 .||是奇函数 ‎.||是奇函数 .||是奇函数 ‎【答案】:C ‎【解析】:设,则,∵是奇函数,是偶函数,∴,为奇函数,选C.‎ ‎4.已知是双曲线:的一个焦点,则点到的一条渐近线的距离为 ‎. .3 . .‎ ‎【答案】:A ‎【解析】:由:,得,‎ 设,一条渐近线,即,则点到的一条渐近线的距离=,选A. .‎ ‎5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 ‎. . . .‎ ‎【答案】:D ‎【解析】:4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有种,‎ 周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况:①一天一人一天三人有种;②每天2人有种,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为;或间接解法:4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为;选D. ‎ ‎6.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角的始边为射线,终边为射线,过点作直线的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示为的函数,则=在[0,]上的图像大致为 ‎【答案】:B ‎【解析】:如图:过M作MD⊥OP于D,则 PM=,OM=,在中,MD=‎ ‎,∴,选B. .‎ ‎7.执行下图的程序框图,若输入的分别为1,2,3,则输出的=‎ ‎. . . .‎ ‎【答案】:D ‎【解析】:输入;时:;‎ 时:;时:;‎ 时:输出 . 选D.‎ ‎8.设,,且,则 ‎. . . .‎ ‎【答案】:B ‎【解析】:∵,∴‎ ‎,‎ ‎∴,即,选B ‎9.不等式组的解集记为.有下面四个命题:‎ ‎:,:,‎ ‎:,:.‎ 其中真命题是 ‎ ., ., ., .,‎ ‎【答案】:C ‎【解析】:作出可行域如图:设,即,当直线过时,‎ ‎,∴,∴命题、真命题,选C.‎ ‎ 10.已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个交点,若,则=‎ ‎. . .3 .2‎ ‎【答案】:C ‎【解析】:过Q作QM⊥直线L于M,∵‎ ‎∴,又,∴,由抛物线定义知 选C ‎11.已知函数=,若存在唯一的零点,且>0,则的取值范围为 ‎.(2,+∞) .(-∞,-2) .(1,+∞) .(-∞,-1)‎ ‎【答案】:B ‎【解析1】:由已知,,令,得或,‎ 当时,;‎ 且,有小于零的零点,不符合题意。‎ 当时,‎ 要使有唯一的零点且>0,只需,即,.选B ‎【解析2】:由已知,=有唯一的正零点,等价于 有唯一的正零根,令,则问题又等价于有唯一的正零根,即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记,,由,,,‎ ‎,要使有唯一的正零根,只需,选B ‎12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为 ‎. . .6 .4‎ ‎【答案】:C ‎【解析】:如图所示,原几何体为三棱锥,‎ 其中,,故最长的棱的长度为,选C 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题-第(21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22)题-第(24)题为选考题,考生根据要求作答。‎ 二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。‎ ‎13.的展开式中的系数为 .(用数字填写答案)‎ ‎【答案】:20‎ ‎【解析】:展开式的通项为,‎ ‎∴,‎ ‎∴的展开式中的项为,故系数为20。‎ ‎14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,‎ 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;‎ 乙说:我没去过C城市;‎ 丙说:我们三人去过同一个城市.‎ 由此可判断乙去过的城市为 .‎ ‎【答案】:A ‎【解析】:∵丙说:三人同去过同一个城市,甲说没去过B城市,乙说:我没去过C城市 ‎∴三人同去过同一个城市应为A,∴乙至少去过A,若乙再去城市B,甲去过的城市至多两个,不可能比乙多,∴可判断乙去过的城市为A.‎ ‎15.已知A,B,C是圆O上的三点,若,则与的夹角为 .‎ ‎【答案】:‎ ‎【解析】:∵,∴O为线段BC中点,故BC为的直径,‎ ‎∴,∴与的夹角为。‎ ‎16.已知分别为的三个内角的对边,=2,且,则面积的最大值为 .‎ ‎【答案】:‎ ‎【解析】:由且 ,‎ 即,由及正弦定理得:‎ ‎∴,故,∴,∴‎ ‎,∴,‎ 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。‎ ‎17.(本小题满分12分)已知数列{}的前项和为,=1,,,其中为常数.‎ ‎(Ⅰ)证明:;‎ ‎(Ⅱ)是否存在,使得{}为等差数列?并说明理由.‎ ‎【解析】:(Ⅰ)由题设,,两式相减 ‎,由于,所以 …………6分 ‎(Ⅱ)由题设=1,,可得,由(Ⅰ)知 假设{}为等差数列,则成等差数列,∴,解得;‎ 证明时,{}为等差数列:由知 数列奇数项构成的数列是首项为1,公差为4的等差数列 令则,∴‎ 数列偶数项构成的数列是首项为3,公差为4的等差数列 令则,∴‎ ‎∴(),‎ 因此,存在存在,使得{}为等差数列. ………12分 ‎18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:‎ ‎(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表);‎ ‎(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差.‎ ‎(i)利用该正态分布,求;‎ ‎(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求.‎ 附:≈12.2.‎ 若~,则=0.6826,=0.9544.‎ ‎【解析】:(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为 ‎ …………6分 ‎(Ⅱ)(ⅰ)由(Ⅰ)知~,从而 ‎ ………………9分 ‎(ⅱ)由(ⅰ)知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826‎ 依题意知,所以 ………12分 ‎19. (本小题满分12分)如图三棱柱中,侧面为菱形,.‎ ‎(Ⅰ) 证明:;‎ ‎(Ⅱ)若,,AB=BC 求二面角的余弦值.‎ ‎【解析】:(Ⅰ)连结,交于O,连结AO.因为侧面为菱形,所以^,且O为与的中点.又,所以平面,故=又 ,故 ………6分 ‎(Ⅱ)因为且O为的中点,所以AO=CO= 又因为AB=BC=,所以 故OA⊥OB^,从而OA,OB,两两互相垂直. ‎ 以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向,OB为单位长,建立如图所示空间直角坐标系O-. 因为,所以为等边三角形.又AB=BC=,则 ‎,,,‎ ‎,‎ 设是平面的法向量,则 ‎,即 所以可取 设是平面的法向量,则,同理可取 则,所以二面角的余弦值为.‎ ‎20. (本小题满分12分) 已知点(0,-2),椭圆:的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为,为坐标原点.‎ ‎(Ⅰ)求的方程;‎ ‎(Ⅱ)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程.‎ ‎【解析】:(Ⅰ) 设(),由条件知,得= 又,‎ 所以a=2=, ,故的方程. ……….6分 ‎(Ⅱ)依题意当轴不合题意,故设直线l:,设 ‎ 将代入,得,‎ 当,即时,‎ 从而= + 又点O到直线PQ的距离,所以OPQ的面积 ‎ ,‎ 设,则,,‎ 当且仅当,等号成立,且满足,所以当OPQ的面积最大时,的方程为: 或. …………………………12分 ‎21. (本小题满分12分)设函数,曲线在点(1,处的切线为. (Ⅰ)求; (Ⅱ)证明:.‎ ‎【解析】:(Ⅰ) 函数的定义域为,‎ 由题意可得(),故 ……………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,(,从而等价于 设函数(),则,所以当()时,(),当()时,(),故()在()单调递减,在()单调递增,从而()在()¥的最小值为(. ……………8分 设函数(),则,所以当()时,(),当()时,(),故()在()单调递增,在()单调递减,从而()在()¥的最小值为(. ‎ 综上:当时,,即. ……………12分 请考生从第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE ‎.(Ⅰ)证明:∠D=∠E; ‎ ‎(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.‎ ‎【解析】:.(Ⅰ) 由题设知得A、B、C、D四点共圆,所以D=CBE,由已知得,CBE=E ,‎ 所以D=EÐ ……………5分 ‎(Ⅱ)设BCN中点为,连接MN,则由MB=MC=,知MN⊥BC^ 所以O在MN上,又AD不是O的直径,M为AD中点,故OM⊥AD, 即MN⊥AD,所以AD//BC,故A=CBE, 又CBE=E,故A=EÐ=Ð由(Ⅰ)(1)知D=E, 所以△ADE为等边三角形. ……………10分 ‎23. (本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程 已知曲线:,直线:(为参数).‎ ‎(Ⅰ)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;‎ ‎(Ⅱ)过曲线上任一点作与夹角为的直线,交于点,求的最大值与最小值.‎ ‎【解析】:.(Ⅰ) 曲线C的参数方程为: (为参数), ‎ 直线l的普通方程为: ………5分 ‎ ‎(Ⅱ)(2)在曲线C上任意取一点P (2cos,3sin)到l的距离为 ‎,‎ 则+-,其中为锐角.且.‎ 当时,取得最大值,最大值为;‎ 当时,取得最小值,最小值为. …………10分 ‎24. (本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 若,且.‎ ‎(Ⅰ) 求的最小值;‎ ‎(Ⅱ)是否存在,使得?并说明理由.‎ ‎【解析】:(Ⅰ) 由,得,且当时等号成立,‎ 故,且当时等号成立,‎ ‎∴的最小值为. ………5分 ‎(Ⅱ)由,得,又由(Ⅰ)知,二者矛盾,‎ 所以不存在,使得成立. ……………10分