浙江省名校新高考研究联盟高三第一次联考数学文试题 9页

浙江省名校新高考研究联盟2013届第一次联考 数学（文科）试题卷 命 题：平湖中学 盛寿林　陆良华 高玉良 ‎ 审 题：元济高级中学 卜利群 德清高级中学 沈连华 新昌中学 胡乐斌 校 稿：庄桂玲 本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟 参考公式：‎ 球的表面积公式：　　　　　　　 棱柱的体积公式： ‎ 球的体积公式：　　　　　　　　 其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高 ‎ 其中R表示球的半径　　　　　　　　　 台体的体积公式：‎ 锥体体积公式：　　　　　　　　　 其中分别表示棱台的上、下底面积，h表示 其中S表示锥体的底面积，h表示棱台的高 台体的高　　 ‎ 第I卷(选择题 共50分)‎ 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．设，，则 ( )‎ A．　 B． 　 C． D． ‎ ‎2．是虚数单位， （ ）‎ A．　　 B． C． 　 D． ‎ 俯视图 ‎（第3题）‎ 正视图 ‎3．已知，为两个非零向量，则 “”是“”成立的 ( ) ‎ A．充分不必要条件　 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎4．一个简单几何体的主视图、俯视图如图所示，则其左视图不可能为（ ）‎ A．正方形 B．圆 ‎ C．等腰三角形 　 D．直角梯形 ‎ ‎5．已知函数，若，则 ( )‎ A．　　 B． 　 C． 　 D． ‎ ‎6．某地区高中分三类，类学校共有学生2000人，类学校共有学生3000人，类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则类学校中的学生甲被抽到的概率为 （ ）‎ A．　　 B． C． 　 D． ‎ ‎7．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域上恰有两个点在圆 ‎（）上，则 ( )‎ A．，　 B．， C．， D．，‎ ‎（第8题）‎ ‎8．函数的部分图象如图所示．若函数在区间上的值域为，则的最小值是 （ ）‎ A．　　 B．‎ C． 　 D．‎ ‎9．已知双曲线的右焦点为,过点作一条渐近线的垂线，垂足为，的面积为（为原点），则此双曲线的离心率是 （ ）‎ A．　　 B． 　 C． 　 D．‎ ‎10．设在上是单调递增函数，当时，，且，则（ ）‎ A．　　 B．‎ C． 　 D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）‎ 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）‎ ‎11．已知，则 ． ‎ 输出 开始 否 是 结束 ‎（第12题）‎ ‎12．阅读右面的程序框图，则输出的等于 ．‎ ‎13．、是椭圆的两个焦点，过点作轴的垂线交椭圆于、两点，则的周长为 ．‎ ‎14．中，已知,，且，则 ‎ ． ‎ ‎15．若数列满足（，为非零常数），‎ 且，，则 ．‎ ‎16．一个袋子中装有个大小形状完全相同的小球，其中一个 ‎（第17题）‎ 球编号为1，两个球编号为2，三个球编号为3，现从中任取 一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号 之和等于的概率是 ． ‎ ‎17．已知正方形，平面，,，‎ 当变化时，直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 ‎ ． ‎ 三、解答题（本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎18．（本题14分）在中，角所对的边分别为．已知．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）求的最大值．‎ ‎19．（本题14分）已知等比数列满足，．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数 的取值范围．‎ ‎20．（本题14分）如图，在三棱锥中，． ‎ ‎（第20题）‎ ‎（Ⅰ）求证：； ‎ ‎（Ⅱ）求二面角所成角的余弦值．‎ ‎21．（本题15分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：．‎ ‎22．（本题15分）在直角坐标系中，点，点为抛物线的焦点，‎ 线段恰被抛物线平分．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）过点作直线交抛物线于两点，设直线、、的斜率分别为、、，问能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线的方程；若不能，请说明理由．‎ 浙江省名校新高考研究联盟2013届第一次联考 数学（文科）参考答案 一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 选项 A B D D C A D C B B 二、填空题(本大题共7个小题，每小题4分，共28分)‎ ‎11． 12． 13． 14． 15． 16． 17． ‎ 部分解析：‎ ‎10. 解析：由，令，得：，．∵当时，，若，则由得：，与单调递增矛盾,故选项A错；若，则，与矛盾,故选项C错；若，则由得，故选项D错；故选项B正确．事实上，若，则由得：，矛盾；若，，则，于是，这与在上单调递增矛盾，∴必有，故．‎ ‎16. 解析：列举阵图，知：等可能事件共有种，‎ 和为的有种，所以概率.‎ ‎17. 解析：作，垂足为．∵平面，‎ ‎∴，∴平面，点到平面的距离为：‎ ‎.‎ ‎∵平面，∴点到平面的距离等于 点到平面的距离．‎ 又，设直线与平面所成角大小为，‎ 则，故.‎ 三、解答题(本大题共5个小题，共72分)‎ ‎18．（本题14分）‎ ‎（Ⅰ）解：∵,∴由正弦定理可得：， ‎ ‎,, ……3分 ‎∴, ∴,……5分 ．…………7分 ‎（Ⅱ）【解法一】由余弦定理得：． ①‎ 由正弦定理得：，∴，．‎ ‎∴， ② ………………………………………………………11分 ‎①代人②，‎ 当且仅当时，取最大值． …………………………………………14分 ‎【解法二】‎ ‎……9分 …11分 ，‎ ‎ ∵，∴，‎ ‎∴当时，即时，，取最大值． ………14分 ‎ 【解法三】令,,,则 ‎ ………………………………………………………9分 ‎ …………11分 当时，即时，，取最大值． ………………14分 ‎19．（本题14分）‎ ‎（Ⅰ）解：设等比数列的公比为，‎ ‎∵，，∴，， ………………2分 ‎∴，……4分 又，∴．‎ ‎ ∴ ． ……………………………………………………………7分 ‎（Ⅱ）解：， ………………………………………9分 ‎∴，∴． …………………………………11分 令，随的增大而增大，∴．∴．‎ ‎∴实数的取值范围为． ………………………………………………………14分 ‎20．（本题14分）‎ ‎（Ⅰ）【解法一】如图，取中点，连接、．‎ ‎ ∵，，∴,, ……3分 又,∴平面，平面,‎ ‎∴． ……………………………………………6分 ‎【解法二】由知，‎ ‎、、都是等腰直角三角形，、、两两垂直， …………3分 ‎∴平面,平面,∴． ………………………………………6分 ‎（Ⅱ）解：取中点，连接、．‎ ‎ ∵，，∴,, ‎ ‎∴就是二面角的平面角 ………………………………………………9分 ‎∵，∴，‎ ‎∴,∴是等腰直角三角形．‎ 设，则在中，‎ ‎，，，……………12分 ‎∴,．在中,．‎ ‎∴二面角所成角的余弦值为．……………………………………………14分 ‎【注：考生若根据两两垂直，突出本质，把图改画成“标准”位置，思考就易行】‎ ‎21．（本题15分）‎ ‎ （Ⅰ）解：当时，．‎ ‎， …………………………………………2分 ‎ 当时，；当时，，‎ ‎ ∴函数的单调递增区间为，递减区间为．………………6分 ‎（Ⅱ）【解法一】令 ‎（1） 当时，，∴成立； ………………………………8分 ‎（2） 当时，，‎ 当时，；当时，， ‎ ‎∴在上递减，在上递增，……………………11分 ‎∴‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴，即成立．‎ ‎ 综上，当时，有． ……………………………………………15分 ‎ ‎ ‎【解法二】变更主元 ‎ 令，只要证明当时恒成立……8分 ‎ ∵，①…………………………………………………10分 ‎ ‎ ‎ 设，，当时，；当时，，‎ ‎ ∴在上递减，在上递增， ……………………………………12分 ‎ ∴，即．②‎ ‎ 由①、②知，当时恒成立．‎ ‎ 所以当时，有． ……………………………………………15分 ‎22．（本题15分）‎ ‎（Ⅰ）解：焦点的坐标为，线段的中点在抛物线上，‎ ‎∴，，∴(舍) ． ………………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知：抛物线：，．‎ 设方程为：，、，则 由得：，‎ ‎，∴或． ， ………8分 假设，，能成公差不为零的等差数列，则．‎ 而 ‎ ， ………………………11分 ‎，∴，，解得：（符合题意），‎ ‎（此时直线经过焦点，，不合题意，舍去）， ……………14分 直线的方程为，即． ‎ 故，，能成公差不为零的等差数列，直线的方程为：． …15分 ‎（ 平湖中学 盛寿林 13656618801 ）‎