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- 2021-05-13 发布
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全国卷高考文科数学模拟题
本试卷共23小题, 满分150分. 考试用时120分钟.
参考公式:锥体的体积公式,其中为锥体的底面积,为高.
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
1. ,则集合=( )
A. B. C. D.
2.下列函数中,在其定义域内是减函数的是( )
A . B.
C. D.
3.已知函数,则函数的零点个数为( )
A、1 B、2 C、3 D、4
4.等差数列中,若,则等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
5.已知,则为( )
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.奇偶性与有关
6.已知向量,,若向量,则( )
A.2 B. C. 8 D.
7.设数列是等差数列,且,是数列的前项和,则 ( )
A. B. C. D.
8.已知直线、,平面,则下列命题中:
①.若,,则 ②.若,,则
③.若,,则 ④.若,, ,则. 其中,真命题有( )
10题
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
9.已知离心率为的曲线,其右焦点
与抛物线的焦点重合,则的值为( )
A. B. C. D.
10.给出计算 的值的一个
程序框图如右图,其中判断框内应填入的条件是( ).
A. B. C. D.
11.成等差数列是成立的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12.规定记号“”表示一种运算,即,若,则=( )
A. B.1 C. 或1 D.2
二、填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分。
(一)必做题(1315题)
13.在约束条件下,函数=的最大值为 .
14.如右图,一个空间几何体的主视图和左视图
都是边长为1的正三角形,俯视图是一个圆,
那么这个几何体的体积为 .
15.一个容量为的样本,数据的分组及各组的频数如下表:(其中x,y∈N*)
分/组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频 数
2
x
3
y
2
4
则样本在区间 [10,50 ) 上的频率为 .
(二)选做题(16、17题,考生只能从中选做一题)
A
B
D
C
O
M
N
16.(几何证明选讲选做题)四边形内接于⊙,是直径,
切⊙于,,则 .
17.(坐标系与参数方程选做题)以极坐标系中的点为
圆心,为半径的圆的方程是
三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文
字说明、证明过程和演算步骤.
18. (本小题满分10分)已知,(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值.
19.(本小题满分12分)从某学校高三年级
名学生中随机抽取名测量身高,据
测量被抽取的学生的身高全部介于
和之间,将测量结果按如下方式分成
八组:第一组.第二组;…第八组,右图是按上述分组方法得到的条形图. (1)根据已知条件填写下面表格:
组 别
1
2
3
4
5
6
7
8
样本数
(2)估计这所学校高三年级名学生中身高在以上(含)的人数;
(3)在样本中,若第二组有人为男生,其余为女生,第七组有人为女生,其余为男生,在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组,问:实验小组中恰为一男一女的概率是多少?
20.(本小题满分12分)如图,在正方体
中,E、F分别是的中点.
(1)证明:;(2)证明:面;
(3)设
21.(本小题满分12分)
已知三次函数在和时取极值,且.(Ⅰ) 求函数的表达式;(Ⅱ)求函数的单调区间和极值;(Ⅲ)若函数在区间上的值域为,试求、应满足的条件。
22.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率
,左、右焦点分别为、,点满足在线段的中垂线上.(1)求椭圆的方程; (2)如果圆E:被椭圆所覆盖,求圆的半径r的最大值
23.(本小题满分12分)
设数列的前项和为,,且对任意正整数,点在直线上.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,求出的值;若不存在,则说明理由.
(Ⅲ)求证:.
全国卷高考文科数学模拟试题(1)答案
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共12小题,每小题5分,满分60分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
C
C
B
A
B
C
C
A
A
B
选择题参考答案:
1. ,则集合,化简,选D
2.A选项中二次函数增减区间均存在,B选项中该函数不是在整个定义域上单调递减,D选项中恒为单调递增函数,故选C
3. 当;
当,共3个零点,选C
4. 由,根据等差数列的下脚标公式,则,选 C
5.根据奇偶性的判定:显然,偶函数且与参数取值无关,故选B
6 ,,且向量,则 选A
7. ,故,则,
选B
8. ①②正确, ③④错误 故选C
9.由题意:,则离心率为,选C
10.根据框图,当加到时,总共经过了10次运算,则不能超过10次,故选A
11.因为 ,但是可能同时为负数,所以必要性不成立,选A
12.由 ,若,则,解得
,但根据定义域舍去,选B
二、填空题:本大题查基本知识和基本运算,体现选择性.共5小题,每小题5分,满分20分.其中16~17题是选做题,考生只能选做一题.
13.
14.
15.
16.
17.
填空题参考答案:
13.根据线性规划知识作出平面区域,代入点计算可得
14.圆锥体积为
15.频率为
16.连接,根据弦切角定理
故所求角度为
17.略
三、解答题:本大题共6小题,满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
18、(本小题满分10分)已知,(Ⅰ)求的值;
解:(Ⅰ)由, ,----------3分
.-----------------------6分
(Ⅱ)求的值.
解: 原式=
----------9分
.-----------------------12分
19. (本小题满分12分)
从某学校高三年级名学生中随机抽取
名测量身高,据测量被抽取的学生的身高
全部介于和之间,将测量结果
按如下方式分成八组:第一组.第二
组;…第八组,右图是按上述分组方法得到的条形图. (1)根据已知条件填写下面表格:
解:(1)由条形图得第七组频率为.
∴第七组的人数为3人. --------1分
组别
1
2
3
4
5
6
7
8
样本中人数
2
4
10
10
15
4
3
2
---------4分
(2)估计这所学校高三年级名学生中身高在以上(含)的人数;
解:由条形图得前五组频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82,后三组频率为1-0.82=0.18.估计这所学校高三年级身高在180cm以上(含180cm)的人数800×0.18=144(人). ---------8分
(3)在样本中,若第二组有人为男生,其余为女生,第七组有人为女生,其余为男生,在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组,问:实验小组中恰为一男一女的概率是多少?
解: 第二组四人记为、、、,其中a为男生,b、c、d为女生,第七组三人记为1、2、3,其中1、2为男生,3为女生,基本事件列表如下:
a
b
c
d
1
1a
1b
1c
1d
2
2a
2b
2c
2d
3
3a
3b
3c
3d
所以基本事件有12个,恰为一男一女的事件有1b,1c,1d,2b,2c,2d,3a共7个,因此实验小组中,恰为一男一女的概率是. ---------12分
20、(本小题满分12分)
如图,在正方体
中,E、F分别是的中点.
(1)证明:;(
证明: ∵是正方体 ∴
又
∴ ………………4分
(2)求证:面;
证明:由(1)知
∴
∴面 ……………9分
(3)设
解:连结
∵体积 ……………10分
又 FG⊥面 ,三棱锥F-的高FG=
∴面积□ ……………12分
∴……………14分
21. (本小题满分12分)
已知三次函数在和时取极值,且.(Ⅰ) 求函数的表达式;
解:(Ⅰ),
由题意得:是的两个根,
解得,.
再由可得. -----------------2分
∴. ------------------4分
(Ⅱ)求函数的单调区间和极值;
解:,
当时,;当时,;------------------5分
当时,;当时,;------------------6分
当时,.∴函数在区间上是增函数; ------------------7分
在区间上是减函数;在区间上是增函数.
函数的极大值是,极小值是. ------------------9分
(Ⅲ)若函数在区间上的值域为,试求、应满足的条件。
解:函数的图象是由的图象向右平移个单位,向上平移4个单位得到,
所以,函数在区间上的值域为
(). -------------10分
而,∴,
即.
则函数在区间上的值域为.------------------12分
令得或.
由的单调性知,,即.
综上所述,、应满足的条件是:,且------------------14分
22. (本小题满分12分)
已知椭圆的离心率,左、右焦点分别为、
,点满足在线段的中垂线上.(1)求椭圆的方程;
解(1):椭圆的离心率,得:
,……1分
其中,椭圆的左、右焦点分别为,
又点在线段的中垂线上,
,,……3分
解得,
椭圆的方程为. ……6分
(2)如果圆E:被椭圆所覆盖,求圆的半径r的最大值
解:设P是椭圆上任意一点,
则,,
, …………8分
() . …12分
当时,
,半径r的最大值为.…14分
23. (本小题满分12分)
设数列的前项和为,,且对任意正整数,点在直线上.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
解:(Ⅰ)由题意可得:
①
时, ② ……………… 1分
①─②得, …………………… 3分
是首项为,公比为的等比数列, ……………… 4分
(Ⅱ)是否存在实数,使得数列为等差数列?若存在,求出的值;若不存在,则说明理由.
(Ⅱ)解法一: ……………… 5分
若为等差数列,
则成等差数列, ……… 6分
得 ……………… 8分
又时,,显然成等差数列,
故存在实数,使得数列成等差数列.…… 9分
解法二: ………… 5分
… ………… 7分
欲使成等差数列,
只须即便可.…8分
故存在实数,使得数列成等差数列.……… 9分
(Ⅲ)求证:.
解:
=
……… 10分
…… 11分
………… 12分
又函数在上为增函数,
, ………… 13分
,. ……… 14分