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  • 2021-05-13 发布

2010高考数学一轮复习数列

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考纲导读 数列 ‎1、理解数列的概念,了解数列通项公式的意义.了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项. ‎2、理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n项和的公式,并能解决简单的实际问题. ‎3、理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n项和公式,并能解决简单的实际问题. 知识网络 高考导航 纵观近几年高考试题,对数列的考查已从最低谷走出,估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小,等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式的应用是必考内容,数列与函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点. 从解题思想方法的规律着眼,主要有:① 方程思想的应用,利用公式列方程(组),例如等差、等比数列中的“知三求二”问题;② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题;③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用. 第1课时 数列的概念 基础过关 ‎1.数列的概念:数列是按一定的顺序排列的一列数,在函数意义下,数列是定义域为正整数N*或其子集{1,2,3,……n}的函数f(n).数列的一般形式为a1,a2,…,an…,简记为{an},其中an是数列{an}的第 项. ‎2.数列的通项公式 一个数列{an}的 与 之间的函数关系,如果可用一个公式an=f(n)‎ 来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式. ‎3.在数列{an}中,前n项和Sn与通项an的关系为: ‎ ‎4.求数列的通项公式的其它方法 ‎⑴ 公式法:等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法. ‎⑵ 观察归纳法:先观察哪些因素随项数n的变化而变化,哪些因素不变;初步归纳出公式,再取n的特珠值进行检验,最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明. ‎⑶ 递推关系法:先观察数列相邻项间的递推关系,将它们一般化,得到的数列普遍的递推关系,再通过代数方法由递推关系求出通项公式. 典型例题 例1. 根据下面各数列的前n项的值,写出数列的一个通项公式. ‎⑴ -,,-,…; ‎⑵ 1,2,6,13,23,36,…; ‎⑶ 1,1,2,2,3,3, 解: ⑴ an=(-1)n ‎⑵ an= ‎(提示:a2-a1=1,a3-a2=4,a4-a3=7,a5-a4=10,…,an-an-1=1+3(n-2)=3n-5.各式相加得 ‎⑶ 将1,1,2,2,3,3,…变形为 ‎∴ 变式训练1.某数列{an}的前四项为0,,0,,则以下各式: ‎① an=[1+(-1)n] ② an= ‎③ an= 其中可作为{an}的通项公式的是 ( ) A.① B.①② C.②③ D.①②③ 解:D 例2. 已知数列{an}的前n项和Sn,求通项. ‎⑴ Sn=3n-2 ‎⑵ Sn=n2+3n+1 解 ⑴ an=Sn-Sn-1 (n≥2) a1=S1 ‎ 解得:an= ‎ ⑵ an= 变式训练2:已知数列{an}的前n项的和Sn满足关系式lg(Sn-1)=n,(n∈N*),则数列{an}的通项公式为 . 解:当n=1时,a1=S1=11;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=10n-10n-1=9·10 n-1.故an= 例3. 根据下面数列{an}的首项和递推关系,探求其通项公式. ‎⑴ a1=1,an=2an-1+1 (n≥2) ‎⑵ a1=1,an= (n≥2) ‎⑶ a1=1,an= (n≥2) 解:⑴ an=2an-1+1(an+1)=2(an-1+1)(n≥2),a1+1=2.故:a1+1=2n,∴an=2n-1. ‎⑵an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+…+33+3+1=. ‎(3)∵ ‎∴an= 变式训练3.已知数列{an}中,a1=1,an+1=(n∈N*),求该数列的通项公式. 解:方法一:由an+1=得 ‎,∴{}是以为首项,为公差的等差数列. ‎∴=1+(n-1)·,即an= 方法二:求出前5项,归纳猜想出an=,然后用数学归纳证明. 例4. 已知函数=2x-2-x,数列{an}满足=-2n,求数列{an}通项公式. 解: 得 变式训练4.知数列{an}的首项a1=5.前n项和为Sn且Sn+1=2Sn+n+5(n∈N*). ‎(1) 证明数列{an+1}是等比数列; ‎(2) 令f (x)=a1x+a2x2+…+anxn,求函数f (x)在点x=1处导数f 1 (1). 解:(1) 由已知Sn+1=2Sn+n+5,∴ n≥2时,Sn=2Sn-1+n+4,两式相减,得: Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1,即an+1=2an+1 从而an+1+1=2(an+1) 当n=1时,S2=2S1+1+5,∴ a1+a2=‎2a1+6, 又a1=5,∴ a2=11 ‎∴ =2,即{an+1}是以a1+1=6为首项,2为公比的等比数列. ‎(2) 由(1)知an=3×2n-1 ‎∵ =a1x+a2x2+…+anxn ‎∴ =a1+‎2a2x+…+nanxn-1 从而=a1+‎2a2+…+nan ‎=(3×2-1)+2(3×22-1)+…+n(3×2n-1) ‎=3(2+2×22+…+n×2n)-(1+2+…+n) ‎=3[n×2n+1-(2+…+2n)]- ‎=3(n-1)·2n+1-+6 归纳小结 ‎1.根据数列的前几项,写出它的一个通项公式,关键在于找出这些项与项数之间的关系,常用的方法有观察法、通项法,转化为特殊数列法等. ‎2.由Sn求an时,用公式an=Sn-Sn-1要注意n≥2这个条件,a1应由a1=S1来确定,最后看二者能否统一. ‎3.由递推公式求通项公式的常见形式有:an+1-an=f(n),=f(n),an+1=pan+q,分别用累加法、累乘法、迭代法(或换元法). 第2课时 等差数列 基础过关 ‎1.等差数列的定义: - =d(d为常数). ‎2.等差数列的通项公式: ‎⑴ an=a1+ ×d ‎⑵ an=am+ ×d ‎3.等差数列的前n项和公式: Sn= = . ‎4.等差中项:如果a、b、c成等差数列,则b叫做a与c的等差中项,即b= . ‎5.数列{an}是等差数列的两个充要条件是: ‎⑴ 数列{an}的通项公式可写成an=pn+q(p, q∈R) ‎⑵ 数列{an}的前n项和公式可写成Sn=an2+bn ‎(a, b∈R) ‎6.等差数列{an}的两个重要性质: ‎⑴ m, n, p, q∈N*,若m+n=p+q,则 . ‎⑵ 数列{an}的前n项和为Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成 数列. 典型例题 例1. 在等差数列{an}中,‎ ‎(1)已知a15=10,a45=90,求a60;‎ ‎(2)已知S12=84,S20=460,求S28;‎ ‎(3)已知a6=10,S5=5,求a8和S8.‎ 解:(1)方法一:‎ ‎∴a60=a1+59d=130.‎ 方法二:,由an=am+(n-m)da60=a45+(60-45)d=90+15×=130.‎ ‎(2)不妨设Sn=An2+Bn,‎ ‎∴‎ ‎∴Sn=2n2-17n ‎∴S28=2×282-17×28=1092‎ ‎(3)∵S6=S5+a6=5+10=15,‎ 又S6=‎ ‎∴15=即a1=-5‎ 而d=‎ ‎∴a8=a6+2 d=16‎ S8=‎ 变式训练1.在等差数列{an}中,a5=3,a6=-2,则a4+a5+…+a10= .‎ ‎ 解:∵d=a6-a5=-5,‎ ‎∴a4+a5+…+a10=‎ 例2. 已知数列{an}满足a1=‎2a,an=‎2a-(n≥2).其中a是不为0的常数,令bn=‎ ‎.‎ ‎⑴ 求证:数列{bn}是等差数列.‎ ‎⑵ 求数列{an}的通项公式.‎ 解:∵ ⑴ an=‎2a- (n≥2)‎ ‎∴ bn= (n≥2)‎ ‎∴ bn-bn-1= (n≥2)‎ ‎∴ 数列{bn}是公差为的等差数列.‎ ‎⑵ ∵ b1==‎ 故由⑴得:bn=+(n-1)×=‎ 即:= 得:an=a(1+)‎ 变式训练2.已知公比为3的等比数列与数列满足,且,‎ ‎(1)判断是何种数列,并给出证明;‎ ‎(2)若,求数列的前n项和 解:1),即 为等差数列。‎ ‎(2)。‎ 例3. 已知{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列{}前n项和。求Tn.‎ 解:设{an}首项为a1公差为d,由 ‎∴ Sn= ‎ ‎∴ ∴Tn=‎ 变式训练3.两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比,则的值是 ( )‎ A. B. C. D.‎ 解:B 解析:。‎ 例4. 美国某公司给员工加工资有两个方案:一是每年年末加1000美元;二是每半年结束时加300美元.问:‎ ‎⑴ 从第几年开始,第二种方案比第一种方案总共加的工资多?‎ ‎⑵ 如果在该公司干10年,问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元?‎ ‎⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元.‎ 问a取何值时,总是选择第二种方案比第一种方案多加工资?‎ 解:⑴ 设工作年数为n(n∈N*),第一种方案总共加的工资为S1,第二种方案总共加的工资为S2.则:‎ S1=1000×1+1000×2+1000×3+…+1000n ‎ =500(n+1)n S2=300×1+300×2+300×3+…+300×2n ‎ =300(2n+1)n 由S2>S1,即:300(2n+1)n>500(n+1)n 解得:n>2‎ ‎∴ 从第3年开始,第二种方案比第一种方案总共加的工资多.‎ ‎⑵ 当n=10时,由⑴得:S1=500×10×11=55000‎ S2=300×10×21=63000‎ ‎∴ S2-S1=8000‎ ‎∴ 在该公司干10年,选第二种方案比选第一种方案多加工资8000美元.‎ ‎⑶ 若第二种方案中的300美元改成a美元.‎ 则=an(2n+1) n∈N*‎ ‎∴ a>=250+≥250+‎ ‎=‎ 变式训练4.假设某市2004年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,‎ ‎(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米?‎ ‎(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?‎ 解:(1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,‎ ‎ 其中a1=250,d=50,则Sn=250n+=25n2+225n,‎ ‎ 令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, ∴n≥10.‎ 到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.‎ ‎(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,‎ 其中b1=400,q=1.08,则bn=400·(1.08)n-1·0.85.‎ ‎ 由题意可知an>0.85 bn,有250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.‎ ‎ 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=6.‎ ‎ 到2009年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.‎ 归纳小结 ‎1.欲证{an}为等差数列,最常见的做法是证明:an+1-an=d(d是一个与n无关的常数).‎ ‎2.a1,d是等差数列的最关键的基本量,通常是先求出a1,d,再求其他的量,但有时运算较繁.‎ ‎3.对等差数列{an}的最后若干项的求和,可以把数列各项的顺序颠倒,看成公差为-d的等差数列进行求和.‎ ‎4.遇到与等差数列有关的实际问题,须弄清是求项的问题还是求和的问题.‎ 基础过关 第3课时 等比数列 ‎1.等比数列的定义:=q(q为不等于零的常数).‎ ‎2.等比数列的通项公式:‎ ‎⑴ an=a1qn-1 ⑵ an=amqn-m ‎ ‎3.等比数列的前n项和公式:‎ ‎ Sn= ‎ ‎4.等比中项:如果a,b,c成等比数列,那么b叫做a与c的等比中项,即b2= (或b= ).‎ ‎5.等比数列{an}的几个重要性质:‎ ‎⑴ m,n,p,q∈N*,若m+n=p+q,则 .‎ ‎⑵ Sn是等比数列{an}的前n项和且Sn≠0,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成 数列.‎ ‎⑶ 若等比数列{an}的前n项和Sn满足{Sn}是等差数列,则{an}的公比q= .‎ 典型例题 例1. 已知等比数列{an}中,a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求项数n和公比q的值.‎ 解:∵{an}是等比数列,‎ ‎∴a1·an=a2·an-1,‎ ‎∴,解得或 若a1=2,an=64,则2·qn-1=64‎ ‎∴qn=32q 由Sn=,‎ 解得q=2,于是n=6‎ 若a1=64,an=2,则64·qn-1=2‎ ‎∴qn=‎ 由Sn=‎ 解得q=,n=6‎ 变式训练1.已知等比数列{an}中,a1·a9=64,a3+a7=20,则a11= .‎ 解:64或1 ‎ ‎ 由 或 ∴ q2=或q2=2,∴ a11=a7 q2,∴ a11=64或a11=1‎ 例2. 设等比数列{an}的公比为q(q>0),它的前n项和为40,前2n项和为3280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项.‎ 解:若q=1,则na1=40,2na1=3280矛盾,∴ q≠1.∴ ‎ 两式相除得:qn=81,q=1+‎2a1‎ 又∵q>0,∴ q>1,a1>0‎ ‎∴ {an}是递增数列.‎ ‎∴ an=27=a1qn-1=‎ 解得 a1=1,q=3,n=4‎ 变式训练2.已知等比数列{an}前n项和Sn=2n-1,{an2}前n项和为Tn,求Tn的表达式.‎ 解:(1) ∵a1+‎2a22=0,∴公比q=‎ 又∵S4-S2=,‎ 将q=-代入上式得a1=1,‎ ‎∴an=a1qn-1=(-) n-1 (n∈N*)‎ ‎(2) an≥(-) n-1≥()4‎ n≤5‎ ‎∴原不等式的解为n=1或n=3或n=5.‎ 例3. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这四个数.‎ 解:设这四个数为a-d,a,a+d, ‎ 依题意有: ‎ 解得: 或 ‎ ‎∴ 这四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.‎ 变式训练3.设是等差数列的前项和,,则等于( )‎ A. 15 B. ‎16 C. 17 D. 18‎ 答案: D。解析:由得,再由。‎ 例4. 已知函数f(x)=(x-1)2,数列{an}是公差为d的等差数列,数列{bn}是公比为q的等比数列(q≠1),若a1=f(d-1),a3=f(d+1),b1=f(q-1),b3=f(q+1),‎ ‎(1) 求数列{an},{bn}的通项公式;‎ ‎(2) 设数列{cn}对任意的自然数n均有:,求数列{cn}前n项和Sn.‎ 解:(1) a1=(d-2)2,a3=d2,a3-a1=2d 即d2-(d-2)2=2d,解之得d=2‎ ‎∴a1=0,an=2(n-1)‎ 又b1=(q-2)2,b3=q2,b3=b1q2‎ 即q2=(q-2)2 q2,解之得q=3‎ ‎∴b1=1,bn=3n-1‎ ‎(2) ‎ Sn=C1+C2+C3+…+Cn ‎=4(1×3°+2×31+3×32+…+n×3 n-1)‎ 设1×3°+2×3´+3×32+…+n×3 n-1‎ ‎31×31+2×32+3×33+…+n×3 n ‎-21+3+32+33+…+3 n-1-n×3 n=-3 n·n ‎∴Sn=2n·3n-3n+1‎ 变式训练4.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d>0,且第二项,第五项,第十四项分别是 等比数列{bn}的第二项,第三项,第四项.‎ ‎⑴求数列{an}与{bn}的通项公式;‎ ‎⑵设数列{cn}对任意正整数n,均有,求c1+c2+c3+…+c2007‎ 的值.‎ 解:⑴由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d>0) 解得d=2,∴an=2n-1,bn=3n-1.‎ ‎ ⑵当n=1时,c1=3 当n≥2时,∵∴ 故 ‎ ‎ 归纳小结 ‎1.在等比数列的求和公式中,当公比q≠1时,适用公式Sn=,且要注意n表示项数;当q=1时,适用公式Sn=na1;若q的范围未确定时,应对q=1和q≠1讨论求和.‎ ‎2.在等比数列中,若公比q > 0且q≠1时,可以用指数函数的单调性确定数列的最大项或最小项.‎ ‎3.若有四个数构成的函数,前三个成等差数列,后三个成等比数列时,关键是如何巧妙地设这四个数,一般是设为x-d,x,x+d,再依题意列出方程求x、d即可.‎ ‎4.a1与q是等比数列{an}中最活跃的两个基本量.‎ 第4课时 等差数列和等比数列的综合应用 基础过关 ‎1.等差数列的常用性质:‎ ‎⑴ m,n,p,r∈N*,若m+n=p+r,则有 .‎ ‎⑵ {an}是等差数列, 则{akn} (k∈N*,k为常数)是 数列.‎ ‎⑶ Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成 数列.‎ ‎2.在等差数列中,求Sn的最大(小)值,关键是找出某一项,使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0,而它后面的各项皆取负(正)值.‎ ‎⑴ a1> 0,d <0时,解不等式组 可解得Sn达到最 值时n的值.‎ ‎⑵ a1<0,d>0时,解不等式组 可解得Sn达到最小值时n的值.‎ ‎3.等比数列的常用性质:‎ ‎⑴ m,n,p,r∈N*,若m+n=p+r,则有 .‎ ‎⑵ {an}是等比数列,则{a}、{}是 数列.‎ ‎⑶ 若Sn≠0,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成 数列.‎ 典型例题 例1. 是否存在互不相等的三个实数a、b、c,使它们同时满足以下三个条件:‎ ‎① a+b+c=6‎ ‎② a、b、c成等差数列.‎ ‎③ 将a、b、c适当排列后成等比数列.‎ 解:设存在这样的三位数a,b,c.‎ 由a+b+c=6,2b=a+c 得:b=2,a+c=4‎ ‎① 若b为等比中项,则ac=4,∴ a=c=2与题设a≠c相矛盾.‎ ‎② 若a为等比中项,则a2=‎2c,则a=c=2(舍去)或a=-4,c=8.‎ ‎③ 若c为等比中项,则c2=‎2a,解得c=a=2(舍去)或c=-4,a=8.‎ ‎∴存在着满足条件的三个数:-4,2,8或8,2,-4.‎ 变式训练1.若a、b、c成等差数列,b、c、d成等比数列,成等差数列,则a、c、e成( )‎ A.等差数列 B.等比数列 ‎ C.既成等差数列又成等比数列 D.以上答案都不是 答案:B。解析:由,由,由 ‎∴,即成等比数列。‎ 例2. 已知公差大于0的等差数列{}满足a‎2a4+a‎4a6+a‎6a2=1,a2,a4,a8依次成等比数列,求数列{an}的通项公式an.‎ 解:设{}的公差为d(d>0),由a2,a4,a8成等比数列可知,,也成等比数列,‎ ‎∴()2=·‎ ‎∴(+3d)2=(+d)(+7d)‎ 化简得d2=,∴=d 又a‎2a4+a‎4a6+a‎6a2=1化简为 ‎++=‎ ‎∴3·=·‎ ‎∴·=3,即(+d)(+5d)=3‎ ‎2d·6d=3 ∴d=,=‎ ‎∴=+(n-1)d=‎ ‎∴an=‎ 变式训练2.已知成等差数列,求证:也成等差数列。‎ 解析:由成等差数列,则 ‎∴‎ 即成等差数列。‎ 例3. 已知△ABC中,三内角A、B、C的度数成等差数列,边a、b、c依次成等比数列.求证:△ABC是等边三角形.‎ 解:由2B=A+C,且A+B+C=180°,B=60°,由a、b、c成等比数列,有b2=ac cosB===‎ 得(a-c)2=0,∴ a=c ∴△ABC为等边三角形.‎ 变式训练3.若互不相等的实数、、成等差数列,、、成等比数列,且,则= ( )‎ ‎ A.4 B‎.2 C.-2 D.-4‎ 答案: D.解析:依题意有 例4. 数列{an}的前n项和Sn,且a1=1,an+1=Sn,n=1,2,3……‎ 求:⑴ a2、a3、a4的值及{an}的通项公式;‎ ‎⑵ a2+a4+a6+…+a2n的值.‎ 解析:(1)由a1=1,an+1=Sn,n=1,2,3,…得a2=S1=a1=,a3=S2=(a1+a2)=,a4=S3=(a1+a2+a3)=‎ 由an+1-an=(Sn-Sn-1)=an(n≥2),得an+1=an(n≥2),又a2=,∴an=·()n-2(n≥2)‎ ‎∴ {an}通项公式为an=‎ ‎(2) 由(1)可知a2、a4、…a2n是首项为,公比为()2,项数为n的等比数列.‎ ‎∴ a2+a4+a6+…+a2n=×‎ ‎=[()2n-1]‎ 变式训练4.设数列的前项的和, ‎ 求首项与通项。‎ 解析:(I),解得:‎ 所以数列是公比为4的等比数列 所以:‎ 得: (其中n为正整数)‎ 归纳小结 归纳小结 ‎1.在三个数成等差(或等比)时,可用等差(或等比)中项公式;在三个以上的数成等差(或等比)时,可用性质:m、n、p、r∈N*,若m+n=p+r,则am+an=ap+ar(或am·an=ap·ar)进行解答.‎ ‎2.若a、b、c成等差(或等比)数列,则有2b=a+c(或b2=ac).‎ ‎3.遇到与三角形相关的问题时,一般要注意运用正弦定理(或余弦定理)及三角形内角和等于180°这一性质.‎ ‎4.在涉及an与Sn相关式子中用Sn-1和Sn的关系表示an时应该注意“n≥‎2”‎这个特点.‎ 第5课时 数列求和 基础过关 求数列的前n项和,一般有下列几种方法:‎ ‎1.等差数列的前n项和公式:‎ Sn= = .‎ ‎2.等比数列的前n项和公式:‎ ‎① 当q=1时,Sn= .‎ ‎② 当q≠1时,Sn= .‎ ‎3.倒序相加法:将一个数列倒过来排列与原数列相加.主要用于倒序相加后对应项之和有公因子可提的数列求和.‎ ‎4.错位相减法:适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.‎ ‎5.裂项求和法:把一个数列分成几个可直接求和的数列.‎ 典型例题 例1. 已知数列:1,,,,…,,求它的前n项的和Sn.‎ 解:∵ an=1+++……+‎ ‎= ∴an=2-‎ 则原数列可以表示为:‎ ‎(2-1),,,,…‎ 前n项和Sn=(2-1)+++…+‎ ‎=2n-‎ ‎=2n-=2n-2‎ ‎=+2n-2‎ 变式训练1.数列前n项的和为 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 答案:B。解析:‎ 例2. 求Sn=1+++…+.‎ 解:∵ an==‎ ‎=2(-)‎ ‎∴ Sn=2(1-+-+…+-)=‎ 变式训练2:数列{an}的通项公式是an=,若前n项之和为10,则项数n为( )‎ ‎ A.11 B.99 ‎ C.120 D.121‎ 解:C .an==,‎ ‎∴Sn=,由=10,∴=11,‎ ‎∴n=11‎ 例3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,bn=an·2n,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解:取n=1,则a1=a1=1‎ 又Sn=可得:=‎ ‎∵an≠-1(n∈N*) ∴an=2n-1‎ ‎∴Tn=1·2+3·22+5·23+……+(2n-1)·2n ①‎ ‎2Tn=1·22+3·23+5·24+……+(2n-1)·2n+1②‎ ‎①-②得:‎ ‎∴-Tn=2+23+24+25+……+2n+1-(2n-1)·2n+1‎ ‎=2+-(2n-1)·2n+1=-6+(1-n)·2n+2‎ ‎∴Tn=6+(n-1)·2n+2‎ 变式训练3.设数列{an}的前n项和为Sn=2n2,{bn}为等比数列,且a1=b1,b2(a2-a1)=b1.‎ ‎⑴ 求数列{an}和{bn}通项公式.‎ ‎⑵ 设Cn=,求数列{Cn}前n项和Tn .‎ 解:(1)当n=1时a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-2,故{an}通项公式为an=4n-2,即{an}是a1=2,d=4的等差数列,设{bn}的公比为q,则b1qd=b1,d=4,∴ q=,故bn=b1qn-1=‎ ‎(2)∵Cn==‎ ‎∴Tn=C1+C2+…+Cn=1+3×4+5×42+…+(2n-1)4n-1‎ ‎∴4Tn=1×4+3×42+5×43+…+(2n-3)4n-n+(2n-1)4n 两式相减 3Tn=‎ ‎∴ Tn=.‎ 例4. 求Sn=1!+2·2!+3·3!+…+n·n!.‎ 解: an=n·n!=(n+1)!-n!‎ ‎∴ Sn=(n+1)!-1!=(n+1)!-1‎ 变式训练4.以数列{an}的任意相邻两项为坐标的点Pn(an、an+1)均在一次函数y=2x+k的图象上,数列{bn}满足条件:bn=an+1-an,且b1≠0.‎ ‎ ⑴ 求证:数列{bn}为等比数列.‎ ‎⑵ 设数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,若S6=T4,S5=-9,求k的值.‎ 解:⑴由题意,an+1=2an+k ‎∴ bn=an+1-an=2an+k-an=an+k bn+1=an+1+k=2an+2k=2bn ‎∵ b1≠0,∴ =2‎ ‎∴ {bn}是公比为2的等比数列.‎ ‎⑵ 由⑴知an=bn-k ‎ ∵ bn=b1·2n-1 ∴ Tn=‎ ‎ Sn=a1+a2+…+an=(b1+b2+…+bn)-nk ‎ =Tn-nk=b1(2n-1)-nk ‎∵ ∴ ‎ 解得:k=8‎ 归纳小结 ‎1.求和的基本思想是“转化”.其一是转化为等差、等比数列的求和,或者转化为求自然数的方幂和,从而可用基本求和公式;其二是消项,把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和.‎ ‎2.对通项中含有(-1)n的数列,求前n项和时,应注意讨论n的奇偶性.‎ ‎3.倒序相加和错位相减法是课本中分别推导等差、等比数列前n项和用到的方法,在复习中应给予重视.‎ 数列章节测试题 一、选择题:‎ ‎1.数列则是该数列的( )‎ A.第6项 B.第7项 C.第10项 D.第11项 ‎2.方程的两根的等比中项是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知等差数列满足,,则它的前10项的和( )‎ A.138 B.‎135 ‎ C.95 D.23‎ ‎4、已知等比数列的前三项依次为,,,则 A. B. C. D.‎ ‎5.一个有限项的等差数列,前4项之和为40,最后4项之和是80,所有项之和是210,则此数列的项数为( )‎ A.12 B. C.16 D.18‎ ‎6、若等差数列的前5项和,且,则(  )‎ ‎(A)12     (B)13      (C)14     (D)15‎ ‎7、在数列中,, ,则 (  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比,则的值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.{an}是等差数列,,则使的最小的n值是( )‎ A.5 B. C.7 D.8‎ ‎10、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案 第1个 第2个 第3个 则第个图案中有白色地面砖的块数是(  )‎ A. B.‎ C. D. ‎ ‎11.若数列前100项之和为0,则的值为( )‎ ‎ A. B. C. D.以上的答案均不对 ‎12.设‎2a=3,2b=6,‎2c=12,则数列a,b,c成 ‎ A.等差 B.等比 C.非等差也非等比 D.既等差也等比 二、填空题 ‎13、设Sn是等差数列{an}的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16= .‎ ‎14、由正数构成的等比数列{an},若,则 .‎ ‎15.已知数列的前项和为某三角形三边之比为,则该三角形最大角为 . ‎ ‎16、给定(n∈N*),定义乘积为整数的k(k∈N*)叫做“理想数”,则区间[1,2008]内的所有理想数的和为 .‎ 三、解答题 ‎17、已知函数是一次函数,且成等比数列,设,()(1)求;(2)设,求数列的前n项和。‎ ‎18、数列{an}的前n项和记为Sn,‎ ‎(1)求{an}的通项公式;‎ ‎(2)等差数列{bn}的各项为正,其前n项和为Tn,且,又成等比数列,求Tn ‎19、假设某市2004年新建住房400万,其中有250万是中低价房。预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长。另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万。那么,到哪一年底,‎ ‎(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万?‎ ‎(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于?‎ ‎20、已知数列中,,,其前项和满足(,).(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设为非零整数,),试确定的值,使得对任意,都有成立.‎ ‎21、已知直线与圆交于不同点An、Bn,其中数列满足:.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)设求数列的前n项和.‎ ‎22、已知是公差为的等差数列,它的前项和为,,.‎ ‎(1)求公差的值;‎ ‎(2)若,求数列中的最大项和最小项的值;‎ ‎(3)若对任意的,都有成立,求的取值范围.‎ 数列章节测试题参考答案 一、选择题 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ B B C C B B A D B D C A 二、填空题 ‎13、-72  14、7  15、 ‎ ‎16、2026.‎ ‎ 解:换底公式:.为整数,,m∈N*.k分别可取,最大值≤2008,m最大可取10,故和为22+23+…+210-18=2026.‎ 三、解答题 ‎17、解:(1)设,()由成等比数列得 ‎,----------------①, 得 ‎∵ ∴---------------②  由①②得, ∴ ‎ ‎∴,显然数列是首项公差的等差数列 ‎∴= ‎ ‎(2)∵‎ ‎∴=‎ ‎2=‎ ‎-== ‎ ‎∴=。‎ ‎18、(I)由可得,两式相减得 ‎ 又 ∴,故{an}是首项为1,公比为3得等比数列 ∴.‎ ‎(II)设{bn}的公差为d,由得,可得,可得, ‎ 故可设 又由题意可得 解得 ‎ ‎∵等差数列{bn}的各项为正,∴,∴ ∴‎ ‎19.(1)到2013年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750‎ ‎(2)到2009年底,当年建造的中低房的面积占该年建造住房面积的比例将首次大于 ‎20、解:(1)由已知,(,), ‎ 即(,),且.‎ ‎∴数列是以为首项,公差为1的等差数列.∴.‎ ‎(2)∵,∴,要使恒成立,‎ ‎∴恒成立,‎ ‎∴恒成立,‎ ‎∴恒成立. ‎ ‎(ⅰ)当为奇数时,即恒成立,‎ 当且仅当时,有最小值为1,‎ ‎∴. ‎ ‎(ⅱ)当为偶数时,即恒成立,‎ 当且仅当时,有最大值,‎ ‎∴. ‎ 即,又为非零整数,则.‎ 综上所述,存在,使得对任意,都有 ‎21.(1)圆心到直线的距离,‎ ‎(2) ‎ 相减得 ‎22.解:(1)∵,∴‎ 解得 ‎(2)∵,∴数列的通项公式为 ‎∴‎ ‎∵函数在和上分别是单调减函数,‎ ‎∴当时,‎ ‎∴数列中的最大项是,最小项是 ‎(2)由得 又函数在和上分别是单调减函数,‎ 且时;时.‎ ‎∵对任意的,都有,∴ ∴‎ ‎∴的取值范围是