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  • 2021-05-13 发布

高考数学数列题型之等差数列与等比数列综合题

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等差数列与等比数列综合题 例 已知等差数列满足:,,的前n项和为.‎ ‎(Ⅰ)求及;‎ ‎(Ⅱ)令bn=(nN*),求数列的前n项和.‎ ‎【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为d,因为,,所以有 ‎,解得,‎ 所以;==。‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以bn===,‎ 所以==,‎ 即数列的前n项和=。‎ ‎【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。‎ 例 设为数列的前项和,,,其中是常数.‎ ‎ (I) 求及;‎ ‎ (II)若对于任意的,,,成等比数列,求的值.‎ 解(Ⅰ)当,‎ ‎()‎ ‎ 经验,()式成立, ‎ ‎(Ⅱ)成等比数列,,‎ 即,整理得:,‎ 对任意的成立, ‎ 例 等比数列{}的前n 项和为,已知,,成等差数列 ‎(1)求{}的公比q;‎ ‎(2)求-=3,求 ‎ 解:(Ⅰ)依题意有 ‎ ‎ 由于 ,故 ‎ ‎ ‎ 又,从而 5分 ‎ (Ⅱ)由已知可得 ‎ 故 ‎ 从而 10分 例 已知数列满足, .‎ 令,证明:是等比数列;‎ ‎ (Ⅱ)求的通项公式。‎ ‎(1)证 当时,‎ 所以是以1为首项,为公比的等比数列。‎ ‎(2)解由(1)知 当时,‎ 当时,。‎ 所以。‎ 例 设数列的前项和为,已知 ‎(Ⅰ)证明:当时,是等比数列;‎ ‎(Ⅱ)求的通项公式 解 由题意知,且 两式相减得 即 ①‎ ‎(Ⅰ)当时,由①知 于是 ‎ ‎ 又,所以是首项为1,公比为2的等比数列。‎ ‎(Ⅱ)当时,由(Ⅰ)知,即 ‎ 当时,由由①得 因此 得 例 在数列中,, ‎ ‎(I)设,求数列的通项公式; ‎ ‎(II)求数列的前项和 解:(I)由已知有 ‎ 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()‎ ‎(II)由(I)知,‎ ‎=‎ 而,又是一个典型的错位相减法模型,‎ 易得 =‎ 例 已知数列的前项和为,,且(为正整数)‎ ‎(Ⅰ)求出数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若对任意正整数,恒成立,求实数的最大值.‎ 解:(Ⅰ), ① 当时,. ② ‎ ‎ 由 ① - ②,得. . ‎ ‎ 又 ,,解得 . ‎ ‎ 数列是首项为1,公比为的等比数列.‎ ‎ (为正整数) ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知 ‎ ‎ 由题意可知,对于任意的正整数,恒有,.‎ ‎ 数列单调递增, 当时,数列中的最小项为, ‎ ‎ 必有,即实数的最大值为1 ‎ 例 各项均为正数的数列中,是数列的前项和,对任意,有 ;‎ ‎⑴求常数的值; ⑵求数列的通项公式;‎ ‎⑶记,求数列的前项和。‎ 解:(1)由及,得: ‎ ‎ (2)由 ①‎ ‎ 得 ②‎ ‎ 由②—①,得 ‎ ‎ 即:‎ ‎ ‎ ‎ 由于数列各项均为正数, 即 ‎ ‎ 数列是首项为,公差为的等差数列,‎ ‎ 数列的通项公式是 ‎ ‎ (3)由,得: ‎ ‎ ‎ 例 在数列 ‎(1)‎ ‎(2)设 ‎(3)求数列 解(1)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ (2)对于任意 ‎ ‎ ‎ =,‎ ‎ 数列是首项为,公差为1的等差数列.‎ ‎ (3)由(2)得,‎ ‎ ‎ ‎ ,‎ ‎ 即 ‎ 设 ‎ 则 ‎ 两式相减得,‎ ‎ ‎ ‎ 整理得, ‎ ‎ 从而 例 已知数列的首项,前n项和.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)记,为的前n项和,求的值.‎ 解:(1)由①,得②,‎ ‎②-①得:. ‎ ‎(2)由求得. ‎ ‎∴, ‎ ‎∴. ‎ 例 等比数列{}的前n 项和为,已知,,成等差数列 ‎(1)求{}的公比q;‎ ‎(2)求-=3,求 ‎ 解:(Ⅰ)依题意有 ‎ ‎ 由于 ,故 ‎ 又,从而 ‎ ‎ (Ⅱ)由已知可得 故 ‎ 从而 ‎ 例 已知{}是公比为q的等比数列,且成等差数列.‎ ‎(1)求q的值;‎ ‎(2)设数列的前项和为,试判断是否成等差数列?说明理由.‎ ‎ ‎ 解:(1)依题意,得2am+2 = am+1 + am ‎∴2a1qm+1 = a1qm + a1qm – 1‎ 在等比数列{an}中,a1≠0,q≠0,‎ ‎∴2q2 = q +1,解得q = 1或. ‎ ‎ (2)若q = 1, Sm + Sm+1 = ma1 + (m+1) a1=(‎2m+1) a1,Sm + 2 = (m+2) a1 ‎ ‎∵a1≠0,∴2Sm+2≠S m + Sm+1 ‎ 若q =,Sm + 1 =‎ Sm + Sm+1 = =‎ ‎∴2 Sm+2 = S m + Sm+1 ‎ 故当q = 1时,Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差数列;‎ 当q =时,Sm , Sm+2 , Sm+1成等差数列. ‎ 例6 已知数列中,,且对时 有.‎ ‎(Ⅰ)设数列满足,证明数列为等比数列,并求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)记,求数列的前n项和 ‎(Ⅰ) 证明:由条件,得,‎ 则.‎ 即,所以,.‎ 所以是首项为2,公比为2的等比数列. ‎ ‎,所以.‎ 两边同除以,可得.‎ 于是为以首项,-为公差的等差数列.‎ 所以.‎ ‎(Ⅱ),令,则.‎ 而.‎ ‎∴. ‎ ‎,‎ ‎∴.‎ 令Tn=, ①‎ 则2Tn=. ②‎ ‎①-②,得Tn=,Tn=.‎ ‎∴.‎ 例7 已知数列满足,且当,时,有 ‎(1)求证:数列为等差数列;‎ ‎(2)试问是否为数列中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由. ‎ 证明:(1)由得 即 ‎ 上式两边同时除以得 ‎ ‎ ‎ 又,是首项为5,公差为4的等差数列 ‎ ‎(2)又(1)知 ,即 ‎ , ‎ 令, 解得 ‎ 所以 是数列的第11项 ‎ 例8 设数列满足且 ‎(Ⅰ)求的值,使得数列为等比数列;‎ ‎(Ⅱ)求数列和的通项公式;‎ ‎(Ⅲ)令数列和的前项和分别为和,求极限的值.‎ ‎(Ⅰ)令,其中为常数,若为等比数列,则存在使得 ‎.‎ 又.‎ 所以.‎ 由此得 由及已知递推式可求得,把它们代入上式后得方程组 ‎ 消去解得. ‎ 下面验证当时,数列为等比数列.‎ ‎ ,‎ ‎,从而是公比为的等比数列.‎ 同理可知是公比为的等比数列,于是为所求.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)的结果得,,解得 ‎,.‎ ‎(Ⅲ)令数列的通项公式为,它是公比为的等比数列,令其前项和为;‎ ‎ 令数列的通项公式为,它是公比为的等比数列,令其前项和为.‎ ‎ 由第(Ⅱ)问得,.‎ ‎ .‎ ‎ 由于数列的公比,则.‎ ‎ ,由于,则,‎ 于是,所以 例9 数列的各项均为正数,为其前项和,对于任意,总有成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设数列的前项和为 ,且,求证:对任意实数(是常数,=2.71828)和任意正整数,总有 2;‎ ‎(Ⅲ) 正数数列中,.求数列中的最大项. ‎ ‎(Ⅰ)解:由已知:对于,总有 ①成立 ‎∴ (n ≥ 2)② ‎ ‎①--②得 ‎∴‎ ‎∵均为正数,∴ (n ≥ 2) ‎ ‎∴数列是公差为1的等差数列 ‎ 又n=1时,, 解得=1‎ ‎∴.() ‎ ‎(Ⅱ)证明:∵对任意实数和任意正整数n,总有≤. ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)解:由已知 , ‎ ‎ ‎ ‎ 易得 ‎ ‎ 猜想 n≥2 时,是递减数列. ‎ 令 ‎∵当 ‎∴在内为单调递减函数.‎ 由.‎ ‎∴n≥2 时, 是递减数列.即是递减数列.‎ 又 , ∴数列中的最大项为. ‎ 例10 设是公差不为零的等差数列,为其前项和,满足。‎ ‎(1)求数列的通项公式及前项和; ‎ ‎(2)试求所有的正整数,使得为数列中的项。 ‎ 解:(1)设公差为,则,由性质得,因为,所以,即,又由得,解得,,‎ ‎(2) (方法一)=,设, ‎ 则=, 所以为8的约数 ‎(方法二)因为为数列中的项,‎ 故为整数,又由(1)知:为奇数,所以 经检验,符合题意的正整数只有。 ‎ 例12 数列中,,(是常数,),且成公比不为的等比数列。‎ ‎(I)求的值;‎ ‎(II)求的通项公式。‎ 解:(I),,,因为,,成等比数列,‎ 所以,解得或.‎ 当时,,不符合题意舍去,故.‎ ‎(II)当时,由于,,‎ ,所以。‎ 又,,故.当n=1时,上式也成立,所以 例13 已知数列的前项和为,对一切正整数,点都在函数的图像上,且过点的切线的斜率为.‎ ‎ (1)求数列的通项公式.‎ ‎ (2)若,求数列的前项和.‎ ‎ (3)设,等差数列的任一项,其中是中的最小数,,求的通项公式.‎ 解:(1)点都在函数的图像上,,‎ 当时, 当n=1时,满足上式,所以数列的通项公式为 ‎ (2)由求导可得 过点的切线的斜率为,.‎ .‎ ①‎ 由①×4,得 ②‎ ‎①-②得: ‎ ‎ (3),.‎ 又,其中是中的最小数,.‎ 是公差是4的倍数,.‎ 又,,解得m=27.‎ 所以,‎ 设等差数列的公差为,则 ,所以的通项公式为 例14 已知是数列的前项和,,且,其中. ‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)求 .‎ 解:① ‎      ‎ 又也满足上式,()‎ 数列是公比为2,首项为的等比数列 ‎ ‎ ‎② ‎② ‎  ‎   ‎