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- 2021-05-13 发布
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等差数列与等比数列综合题
例 已知等差数列满足:,,的前n项和为.
(Ⅰ)求及;
(Ⅱ)令bn=(nN*),求数列的前n项和.
【解析】(Ⅰ)设等差数列的公差为d,因为,,所以有
,解得,
所以;==。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,所以bn===,
所以==,
即数列的前n项和=。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
例 设为数列的前项和,,,其中是常数.
(I) 求及;
(II)若对于任意的,,,成等比数列,求的值.
解(Ⅰ)当,
()
经验,()式成立,
(Ⅱ)成等比数列,,
即,整理得:,
对任意的成立,
例 等比数列{}的前n 项和为,已知,,成等差数列
(1)求{}的公比q;
(2)求-=3,求
解:(Ⅰ)依题意有
由于 ,故
又,从而 5分
(Ⅱ)由已知可得
故
从而 10分
例 已知数列满足, .
令,证明:是等比数列;
(Ⅱ)求的通项公式。
(1)证
当时,
所以是以1为首项,为公比的等比数列。
(2)解由(1)知
当时,
当时,。
所以。
例 设数列的前项和为,已知
(Ⅰ)证明:当时,是等比数列;
(Ⅱ)求的通项公式
解 由题意知,且
两式相减得
即 ①
(Ⅰ)当时,由①知
于是
又,所以是首项为1,公比为2的等比数列。
(Ⅱ)当时,由(Ⅰ)知,即
当时,由由①得
因此
得
例 在数列中,,
(I)设,求数列的通项公式;
(II)求数列的前项和
解:(I)由已知有
利用累差迭加即可求出数列的通项公式: ()
(II)由(I)知,
=
而,又是一个典型的错位相减法模型,
易得 =
例 已知数列的前项和为,,且(为正整数)
(Ⅰ)求出数列的通项公式;
(Ⅱ)若对任意正整数,恒成立,求实数的最大值.
解:(Ⅰ), ① 当时,. ②
由 ① - ②,得. .
又 ,,解得 .
数列是首项为1,公比为的等比数列.
(为正整数)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
由题意可知,对于任意的正整数,恒有,.
数列单调递增, 当时,数列中的最小项为,
必有,即实数的最大值为1
例 各项均为正数的数列中,是数列的前项和,对任意,有 ;
⑴求常数的值; ⑵求数列的通项公式;
⑶记,求数列的前项和。
解:(1)由及,得:
(2)由 ①
得 ②
由②—①,得
即:
由于数列各项均为正数, 即
数列是首项为,公差为的等差数列,
数列的通项公式是
(3)由,得:
例 在数列
(1)
(2)设
(3)求数列
解(1)
(2)对于任意
=,
数列是首项为,公差为1的等差数列.
(3)由(2)得,
,
即
设
则
两式相减得,
整理得,
从而
例 已知数列的首项,前n项和.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)记,为的前n项和,求的值.
解:(1)由①,得②,
②-①得:.
(2)由求得.
∴,
∴.
例 等比数列{}的前n 项和为,已知,,成等差数列
(1)求{}的公比q;
(2)求-=3,求
解:(Ⅰ)依题意有
由于 ,故
又,从而
(Ⅱ)由已知可得 故
从而
例 已知{}是公比为q的等比数列,且成等差数列.
(1)求q的值;
(2)设数列的前项和为,试判断是否成等差数列?说明理由.
解:(1)依题意,得2am+2 = am+1 + am
∴2a1qm+1 = a1qm + a1qm – 1
在等比数列{an}中,a1≠0,q≠0,
∴2q2 = q +1,解得q = 1或.
(2)若q = 1, Sm + Sm+1 = ma1 + (m+1) a1=(2m+1) a1,Sm + 2 = (m+2) a1
∵a1≠0,∴2Sm+2≠S m + Sm+1
若q =,Sm + 1 =
Sm + Sm+1 = =
∴2 Sm+2 = S m + Sm+1
故当q = 1时,Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差数列;
当q =时,Sm , Sm+2 , Sm+1成等差数列.
例6 已知数列中,,且对时
有.
(Ⅰ)设数列满足,证明数列为等比数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)记,求数列的前n项和
(Ⅰ) 证明:由条件,得,
则.
即,所以,.
所以是首项为2,公比为2的等比数列.
,所以.
两边同除以,可得.
于是为以首项,-为公差的等差数列.
所以.
(Ⅱ),令,则.
而.
∴.
,
∴.
令Tn=, ①
则2Tn=. ②
①-②,得Tn=,Tn=.
∴.
例7 已知数列满足,且当,时,有
(1)求证:数列为等差数列;
(2)试问是否为数列中的项?如果是,是第几项;如果不是,请说明理由.
证明:(1)由得
即
上式两边同时除以得
又,是首项为5,公差为4的等差数列
(2)又(1)知 ,即
,
令, 解得
所以 是数列的第11项
例8 设数列满足且
(Ⅰ)求的值,使得数列为等比数列;
(Ⅱ)求数列和的通项公式;
(Ⅲ)令数列和的前项和分别为和,求极限的值.
(Ⅰ)令,其中为常数,若为等比数列,则存在使得
.
又.
所以.
由此得
由及已知递推式可求得,把它们代入上式后得方程组
消去解得.
下面验证当时,数列为等比数列.
,
,从而是公比为的等比数列.
同理可知是公比为的等比数列,于是为所求.
(Ⅱ)由(Ⅰ)的结果得,,解得
,.
(Ⅲ)令数列的通项公式为,它是公比为的等比数列,令其前项和为;
令数列的通项公式为,它是公比为的等比数列,令其前项和为.
由第(Ⅱ)问得,.
.
由于数列的公比,则.
,由于,则,
于是,所以
例9 数列的各项均为正数,为其前项和,对于任意,总有成等差数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)设数列的前项和为 ,且,求证:对任意实数(是常数,=2.71828)和任意正整数,总有 2;
(Ⅲ) 正数数列中,.求数列中的最大项.
(Ⅰ)解:由已知:对于,总有 ①成立
∴ (n ≥ 2)②
①--②得
∴
∵均为正数,∴ (n ≥ 2)
∴数列是公差为1的等差数列
又n=1时,, 解得=1
∴.()
(Ⅱ)证明:∵对任意实数和任意正整数n,总有≤.
∴
(Ⅲ)解:由已知 ,
易得
猜想 n≥2 时,是递减数列.
令
∵当
∴在内为单调递减函数.
由.
∴n≥2 时, 是递减数列.即是递减数列.
又 , ∴数列中的最大项为.
例10 设是公差不为零的等差数列,为其前项和,满足。
(1)求数列的通项公式及前项和;
(2)试求所有的正整数,使得为数列中的项。
解:(1)设公差为,则,由性质得,因为,所以,即,又由得,解得,,
(2) (方法一)=,设,
则=, 所以为8的约数
(方法二)因为为数列中的项,
故为整数,又由(1)知:为奇数,所以
经检验,符合题意的正整数只有。
例12 数列中,,(是常数,),且成公比不为的等比数列。
(I)求的值;
(II)求的通项公式。
解:(I),,,因为,,成等比数列,
所以,解得或.
当时,,不符合题意舍去,故.
(II)当时,由于,,
,所以。
又,,故.当n=1时,上式也成立,所以
例13 已知数列的前项和为,对一切正整数,点都在函数的图像上,且过点的切线的斜率为.
(1)求数列的通项公式.
(2)若,求数列的前项和.
(3)设,等差数列的任一项,其中是中的最小数,,求的通项公式.
解:(1)点都在函数的图像上,,
当时,
当n=1时,满足上式,所以数列的通项公式为
(2)由求导可得
过点的切线的斜率为,.
.
①
由①×4,得
②
①-②得:
(3),.
又,其中是中的最小数,.
是公差是4的倍数,.
又,,解得m=27.
所以,
设等差数列的公差为,则
,所以的通项公式为
例14 已知是数列的前项和,,且,其中.
(1)求数列的通项公式;
(2)求 .
解:①
又也满足上式,()
数列是公比为2,首项为的等比数列
②
②