新课标高考重点知识模块点拨 18页

‎2008年新课标高考重点知识模块点拨 常用逻辑用语：‎ 四种命题及其关系，简单逻辑联结词，全称量词与特称量词，命题的否定与命题的否命题。常以客观题形式出现。‎ 例1．已知圆M：，直线l：，下面四个命题：‎ A.对任意实数k与q，直线l和圆M相切；‎ B.对任意实数k与q，直线l和圆M有公共点；‎ C.对任意实数q，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切 D.对任意实数k，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）‎ 分析：本题是以直线与圆的位置关系为背景，涉及全称量词“任意”与特称量词“存在”。本题重点考查直线与圆的位置关系，弄清全称量词与特称量词的实质，灵活运用解决直线与圆的位置关系的方法处理问题的能力。处理直线与圆的位置关系通常有两种方法：一是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断；二是联立直线与圆的方程组成方程组，利用解的个数来判断。‎ 解析：圆心坐标为（－cosq，sinq）， ，说明对任意实数k与q，直线l与圆M相交或相切，故命题A、C不是真命题，命题B、D是真命题，答案选B、D。‎ 另解：直线与圆均过原点，因此不论为何值，直线与圆均有公共点。于是对任意的与，直线与圆相交或相切，故命题A不是真命题，命题B是真命题；当时，圆M与轴相切，而不存在，故命题C不是真命题；而对任意实数k来说，必存在实数q，使得直线l与和圆M相切，故命题D是真命题。故选B、D。‎ 集合与函数：‎ 集合与元素间的基本关系与基本运算（交、并、补），常以客观题出现；函数的性质（奇偶性、单调性、对称、最值），指数函数、对数函数、（五个基本）幂函数的图像与性质，函数与方程、零点性质应引起重视，小题年年有，出大题的可能性也不小，函数模型及其应用是应用题最好的载体。‎ 例2．已知函数，，且集合A，集合B，则集合AB所含元素的个数是：‎ A.0 B‎.1 ‎‎ C.0或1 D.0，1或2‎ 分析：本题是以集合为背景，考查集合的运算AB的元素个数，实际上确定两个函数图象的交点个数。‎ 解析：因为在函数的定义域内每一个自变量都有唯一确定的函数值与之相对应，故当时，AB含有一个元素；当时，AB不含有元素。答案选C.‎ 例3．已知函数，.是否存在实数，使得函数在其定义域内有且只有三个不同的零点？若存在,求的取值范围；若不存在,说明理由.‎ 分析：函数的零点可以转化为方程解的问题，借助函数导数判断函数的单调性，借助最值来确定；转化为方程对应函数图象与轴的交点问题，也可以转化为两函数图象的交点问题，借助数形结合思想进行求解。‎ 解析1：根据函数零点的概念可知函数可知在其定义域内有且只有三个不同的零点等价于函数与的图象在公共定义域内有且只有三个不同的交点，即函数的图象与轴的正半轴有且只有三个不同的交点，‎ 其中， 则，‎ 令，可得.于是 当时，；当时，；当时，.‎ 则在区间为增函数，为减函数，为增函数. 于是， ‎∵当充分接近0时，，当充分大时，.‎ ‎∴要使j(x)的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只需 则.‎ 所以存在实数，使得函数在其定义域内有且只有三个不同的零点，其中实数的取值范围为. m 简解2：‎ 由解析1可知只需方程 x 有三个正实数根即可， ‎ 设（） ‎ 由上述解法可知函数 ‎ 在区间为减函数，为增函数，为减函数，且， 如图可知要使函数与的图象有且只有三个不同的交点，‎ 只需，即.‎ 简解3：由解析1可知方程有三个正实数根即可，‎ 设 y y2 ‎ 如图： y1‎ 令可得 O x 由图及导数知识可知当或时与的图象相切且都有两个交点，由于的图象随的变化而变化，增大图象向上移，减小图象下移.故当且仅当时与的图象有三个交点，又，也就是当，即为所求.‎ 导数及其应用：‎ 导数定义、导数几何意义、导数在研究函数的应用（单调性、切线、极值最值）、生活中的最优化问题（实际应用）、定积分与微积分基本定理（理科）。文科应注意导数在实际应用问题中的最优化问题有可能出解答题；理科不要忽视定积分的几何意义（求曲线围成的封闭图形的面积）。另外导数是综合题的主要载体，其中与“三个二次”有关的三次函数问题，函数与方程、分类与整合、数形结合的数学思想等应得到重视．要注意在综合问题上培养解决问题的能力。‎ 例4．已知函数，，是函数的导数．‎ （1） 试判断函数的单调性；‎ （2） 若，，求方程有实数根的概率．‎ 分析：本题是一道微积分与函数、概率相结合的综合性问题，利用导数研究函数的单调性，利用定积分求解曲线所围平面图形面积，借助几何概型的概率公式求所要解决的问题，主要考查学生根据所学知识解决相应问题的能力。本题第一问涉及利用函数的导数判断函数的单调性，由于涉及参数，导致函数的导数的正负难于确定，造成讨论，致使判断函数的单调性也相应地进行讨论；本题第二问涉及函数方程与概率相结合的典型的几何概型问题，这是新课标高考体现，为近几年高考在知识点交汇处命题趋势，相信在今后的高考中又是一亮点，值得大家留意与关注。‎ 解析：（１）由得，‎ ‎①若，即，当时，恒成立，在上单调递增；‎ ‎②若，即，当时，恒成立，当且仅当时，当时，恒成立，函数在为增函数，在也为增函数，而函数在处连续，则在上单调递增；‎ ‎③若，即，令，即 解得，，．当时，，当时，，当时，．‎ 则函数在单调递增，单调递减，单调递增．‎ 故若时，函数在上单调递增；‎ 若时，函数在单调递增，单调递减，单调递增，其中，．‎ ‎（2）方程，即有实数根，则，即，‎ 若，，方程有实数根的条件是，（※）‎ 如图：条件（※）的面积为 而条件，的面积为， y ‎ 根据几何概型的概率公式可知 方程有实数根的概率为。 1 ‎ ‎ -1 O 1 x 三角函数、平面向量与复数：‎ 平面向量基本概念、线性运算、数量积、基本定理及坐标表式，注意平行垂直的条件、数量积的应用。三角问题变化不大，注意基本三角函数关系、函数图像的变换和性质以及正弦、余弦定理的实际应用．应注意平面向量与三角的交汇命题，往往借助向量的数量积、向量的摸、向量的坐标运算等设置综合问题的背景。复数概念、基本运算、几何意义，要注意复数的模的几何意义与应用，多数以小题形式出现。‎ 例5．如图，函数，（其中）的图象与轴交于点（0，1）. (Ⅰ)求的值；(Ⅱ)设点是图象上的最高点，是图象与x轴的交点，求 ‎ ‎ 分析：本题是与函数图象相结合问题，借助图象的特点得出具体函数，根据函数进一步研究几何问题，体现了数形结合思想，真正触动了形数的密切关系：形是数的外观、数是形的内涵（实质）。本题巧妙地体现了知识点的交汇，题小新颖，是近几年高考命题的热点。‎ 解析：(Ⅰ)由函数的图象可知函数图象过点，‎ 则，即，则。‎ 而，故；‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得，则，‎ 于是，‎ 则，‎ 则 例6．已知 ‎(A) (B) (C) (D) 分析：利用复数的运算将等式左边进行化简，然后根据复数相等，建立等式关系解方程求出实数；或者先将已知变形再进行复数的运算，根据复数相等建立等式关系求出实数。‎ 解析：由得，根据复数相等得，解得，答案选C.‎ 另解：由得，根据复数相等得，解得，答案选C.‎ 立体几何与空间向量（理科）：‎ 空间几何体的表面积、体积，三视图与几何体直观图，注意理解“四个画出”，提高“识图与画图”的能力． （理科）主要涉及空间向量基本运算，利用向量求空间中的夹角与距离，肯定得出一道解答题，应注意平时适当的加以训练。（文科）应注意研究空间中的点、线、面的（平行与垂直）位置关系，熟练利用几何语言描述，这一直是考生的弱点、不易得满分之处，常出现会儿得不到应有的分，应从最基础抓起，决不能松懈。‎ 例7．一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积。‎ ‎ ‎‎4cm ‎ cm 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图 分析：根据几何体的三视图，画出原几何体的直观图，，并且根据三视图确定原几何体中的一些量，然后求解即可。 A1‎ 解析：由三视图可知，该正三棱柱的形状如图： B‎1 C1‎ 其中AA1=BB1=CC1=‎4cm,正三角形ABC和A1B‎1C1的高为 cm,则正三角形的边长为cm, A 故该正三棱柱的表面积为 B C ‎ ‎ S（c㎡）‎ 体积为V=（㎝3）‎ 例8．如图，是正四棱锥,是正方体，‎ 其中．‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的大小；‎ ‎（Ⅲ）求到平面的距离．‎ 分析：本题主要涉及线线关系、面面所围成的二面角、‎ 点到面的距离问题，可以用几何法进行求解；对于理科生可以借助恰当的建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，读者不妨一试，可以体会空间向量解立体几何题的作用，充分体会出数学解题的灵活性。‎ 解：（Ⅰ）连结，交于点，连结，则⊥面，又∵，∴，∵，∴.‎ ‎（Ⅱ）∵， ，∴⊥面, 过点作于点,‎ 连结,则, ‎ ‎ ∴就是二面角的平面角, ‎ 又∵，, ∴,，, ‎ ‎∴ ,即二面角的大小为.‎ ‎（Ⅲ）∵⊥面,∴即为到面的距离，‎ ‎ 设到平面的距离为，∵， ‎ ‎∴，‎ 而， ‎ ‎∴．‎ 解析几何：‎ 直线与圆方程、位置关系，注意数形结合思想的应用，圆锥曲线整体要求降低，重点在椭圆和抛物线（文科只要求椭圆），应注意在解答题上重视（它很能体现考生的运算能力和技能），双曲线要求降低（要注意小题的出现），注意掌握直线与二次曲线常见问题的一般解法，强化定义解题，注重知识间的交汇（与平面向量、平面几何知识结合）．‎ 例9．已知点A、B的距离为2，以B为圆心作半径为2的圆，P为圆上一点，线段AP的垂直平分线l与直线PB交于点M，当P在圆周上运动时点M的轨迹记为曲线C．‎ ‎（Ⅰ）建立适当的坐标系，求曲线C的方程，并说明它是什么样的曲线；‎ ‎（Ⅱ）试判断l与曲线C的位置关系，并加以证明．‎ 分析：本题是以圆为背景，借助线段的垂直平分线性质构建轨迹问题，充分利用曲线定义就能巧妙解题。‎ 解析：（Ⅰ）以AB中点为坐标原点，直线AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（－1,0），B（1,0）设M（x,y）,由题意：|MP|=|MA|,|BP|=，所以 |MB|+|MA|=,故曲线C是以A、B为焦点，长轴长为的椭圆.‎ 其方程为。‎ ‎（Ⅱ）直线l与曲线C的位置关系是相切。‎ 证明如下:　由（Ⅰ）知曲线C方程为x2+2y2=2，‎ 设P(m,n)，则P在⊙B上，故(m-1)2+n2=8，即m2+n2=7+‎‎2m 当P、A、B共线时，直线l的方程为x=±，显然结论成立 当P、A、B 不共线时，直线l的方程为：y-=-(x-)‎ 整理得，y=－(x-)＋＝－x＋=－x＋ ‎ 把直线l的方程代入曲线C方程得：x2+2（－x＋）2＝2‎ 整理得，[n2+2(m+1)2]x2-4(m+1)(m+3)x+2(m+3)2-2n2=0 ‎ 判别式△＝[4(m+1)(m+3)]2-4[n2+2(m+1)2] [2(m+3)2-2n2]= -8n2[(m+3)2-n2-2(m+1)2]=-8n2[-m2-n2+‎2m+7]=0 ‎ ‎∴直线l与曲线C相切 另证：在直线l上任取一点M’，连结M’A、M’B、MA，‎ 由垂直平分线的性质得　|M’A|=|M’P|，‎ ‎∴|M’A|+|M’B|＝|M’P|+|M’B|≥｜PB｜＝2 ‎（当且仅当M、M’重合时取”=”号）‎ ‎∴直线l与椭圆C有且仅有一个公共点M　结论得证.　‎ 另证（反证法）：由点是直线l与椭圆C的公共点，可知直线l与椭圆C相交或相切，假设直线l与椭圆C相交，‎ 则直线l与椭圆C还有一公共点设为（异于点），则 于是，而，矛盾。‎ 故假设错误，直线l与椭圆C相切。‎ 数列与不等式：‎ 数列基本概念、等差等比数列及其应用，注意数列自身的函数关系，重点仍是两个基本数列和数列的两个基本问题，侧重转化与化归的数学思想，注意等差等比数列中体现的基本解题方法（比如累加、累乘、倒序相加、错位相减等）．数列是高等数学的基础桥梁，极能体现考生抽象思维、逻辑思维、推理论证能力，作为命题者绝不会放过利用数列知识模块对考生能力的考查，尤其是理科生不要忽落归纳猜想、数学归纳法在解题中的作用。递推公式虽然淡出《考纲》,但等差（等比）数列的定义还是递推公式的很好体现，不容大意。不等式主要涉及一元二次、二元一次不等式组与线性规划问题、基本不等式（）的应用，不等式的整体要求降低，单独出大题的可能性很小，以小题形式出现或融合其它知识呈现。‎ 例10．已知函数， ‎ ‎（1）求证：为定值；‎ ‎（2）记，求；‎ ‎（3）若函数的图象与直线以及轴所围成的封闭图形面积为，试探究与的大小关系。‎ 分析：本题是一道函数、数列、定积分的综合性数学问题，涉及求函数定值、数列求和、利用定积分求解平面图形面积等问题，考查学生利用所学知识综合解决问题的能力。通常数学问题的几问是层层递进式的，后者往往借助前者的结论，进一步推理得到。本题也是如此，第二问在第一问的基础上，利用倒序相加法，实现求和目的；乍看第三问是直接利用求函数在给定区间内的定积分来确定平面图形的面积的，当然可以求出，但求解上并不很容易，如若联想到定积分的定义，结合第二问结论便会很容易得到定积分值（即所求平面图形的面积），告诫我们在什么时候都不能忘灵活利用定义解题，否则会走弯路、走错路。‎ 解析：（1）由，得 为定值；‎ ‎（2） ‎ 由（1）得，即；‎ ‎（3）由定积分的几何意义知 由于函数与在区间上的图象关于直线对称，再根据定积分的几何意义知，而，则．‎ 于是，即．‎ 另解：由及定积分的定义可得 于是，即．‎ 例11．已知函数的图象与轴分别相交于点A、B，（分别是与轴正半轴同方向的单位向量），函数.‎ ‎（1）求的值；（2）当满足时，求函数的最小值.‎ ‎ ‎ 分析：本题是以向量为背景，解析法为手段，考查解析思想的运用和处理函数性质的方法，考查运算能力和运用数学模型的能力. 要熟悉在其函数的定义域内，常见模型函数求最值的常规方法.如型，可灵活利用基本不等式求最值.‎ 解析： (1)由已知得A(,0),B(0,b),则={,b},于是=2,b=2. ∴k=1,b=2.‎ ‎ (2)由f(x)> g(x),得x+2>x2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-20,则≥-3,其中等号当且仅当x+2=1,即x=-1时成立 ‎ ∴的最小值是-3.‎ 推理与证明问题：‎ 合情推理（类比、归纳）、演绎推理、直接证明与间接证明，本内容只能结合其它知识进行命题，在新课标课程未出台，已由该内容的考查，相信今后对此知识块的考查也不会松懈．反证法作为一种证明问题的办法，是解决高等数学中一些问题的良药，确信命题专家会在今后高考的命题中会施展它的作用的。‎ 例12．①已知实数，求证：.‎ ‎②类似的有：‎ 若实数，则；‎ 若实数，‎ 则；‎ 若实数，‎ ‎ 则；‎ ‎……‎ 观察上述命题的规律特点，你能归纳出什么结论呢？（不要求证明）‎ 解析：①证：∵，‎ ‎ ∴，‎ ‎ 由均值不等式得 ‎ ，‎ 即.‎ ‎②根据所给命题的规律的特点可归纳出结论（猜想）：‎ 若实数 则 例13．已知，且，‎ ‎(Ⅰ)若恒成立，求实数的最小值；‎ ‎(Ⅱ)探究若恒成立，‎ ‎ 试求实数的取值范围.‎ 解析：(Ⅰ)∵，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 要使恒成立，则.‎ 故所求实数的最小值为.‎ ‎(Ⅱ) ∵，且，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 要使恒成立，则.‎ 故所求实数的取值范围为.‎ 算法与框图：算法、程序框图、基本算法语句，应注意复习要加强训练“读图和识图能力”． 鉴于同一个问题可能有很多不同的算法可行，不宜出解答题，极有可能出选择题或填空题。作为新课标内容的必修内容今年高考肯定涉及不能不重视。‎ 开始 输入x x≥0‎ X<0‎ 输出 结束 例14．在下面的程序框图中，如果输入，则输出的的值为 ‎ 否 是 否 是 A.0 B‎.1 C.2 D.3‎ 答案选B 概率与统计：‎ 随机抽样、总体估计、变量的相关性，随机事件与概率、古典概型、几何概型、随机数，统计案例、独立性检验、回归分析。文科重点以频率分布表为载体的统计问题、古典概型、几何概型；理科重点在统计问题、古典概型、几何概型、离散性随机变量分布列、期望与方差。文科没有计数原理、排列组合、二项式定理，但理科应注意这是年年常考的内容多数以小题出现。‎ 例15．某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有Ａ、Ｂ两个等级，对每种产品，两道工序的加工结果都为Ａ级时，产品为一等品，其余均为二等品．‎ 表一 概 工 ‎ 率 序 产品 第一工序 第二工序 甲 ‎0.8‎ ‎0.85‎ 乙 ‎0.75‎ ‎0.8‎ ‎（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的 加工结果为Ａ级的概率如表一所示，分别求生 产出的甲、乙产品为一等品的概率Ｐ甲、Ｐ乙；‎ 表二 利 等 ‎ 润 级 产品 一等 二等 甲 ‎5(万元)‎ ‎2.5(万元)‎ 乙 ‎2.5(万元)‎ ‎1.5(万元)‎ ‎（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用、‎ 分别表示一件甲、乙产品的利润，在（Ⅰ）‎ 的条件下，求、的分布列及、；‎ 表三 ‎ 用 项 ‎ 量 目 产品 工人(名)‎ 资金(万元)‎ 甲 ‎8‎ ‎5‎ 乙 ‎2‎ ‎10‎ ‎（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资 金如表三所示，该工厂有工人40名，可用资 金60万，设、分别表示生产甲、乙产品 的数量，在（Ⅱ）的条件下，、为何值时 最大？最大值是多少？‎ ‎（解答时须给出图示）‎ 解析：（Ⅰ） ‎ ‎（Ⅱ）随机变量、的分别列是 ‎5‎ ‎2.5‎ P ‎0.68‎ ‎0.32‎ ‎2.5‎ ‎1.5‎ P ‎0.6‎ ‎0.4‎ ‎ ‎ ‎（Ⅲ）由题设知 目标函数为 ‎ ‎ 作出可行域（如图）：‎ 作直线 将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上 的点M点与原点距离最大，此时 ‎ 取最大值. 解方程组 ‎ ‎ 得即时，z取最大值，z的最大值为25.2 . ‎ 试题预测：‎ 选择题主要突出知识面，多数以基础题为主，要注意新增知识的考查（比如算法、几何概率、统计案例等方面）；填空题往往有一道富有新意的题，背景新，但立足出课本知识，要善于联系所学知识进行解题；解答题一般安排三角题（三角变换、图像性质、解三角形或与向量相结合）为第一题，概率与统计为第二题（文科可能出现函数导数应用问题），立体几何为第三题（文科主要考点线面的平行与垂直关系以及几何体的体积，理科除平行垂直关系外可以涉及夹角与距离），导数与函数相结合综合问题（体现函数与方程思想）为第四题，解析几何为第五题（文科侧重于圆、椭圆的知识，理科侧重于椭圆、抛物线，题目背景可能是几何图形或平面向量，文科可能是第六题），数列与其它知识的交汇综合为题（体现基本方法、基本思路，理科可能利用数学归纳法，文科的数列题综合性不强可能往前放）。‎ 应用题：应用题是以“贴近生活、背景公平、控制难度”原则，新课标的内容涉及这方面的知识比较广：函数应用（函数与方程）、数列应用（分期付款）、生活中最优化（线性规划）、统计概率、解三角形、解析几何、立体几何、导数的应用等。另外，可能出现知识迁移型、开放型、归纳推广型、类比型、探究型等问题。‎