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- 2021-05-13 发布
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2013年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷
本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分,考试时间120分钟。
注意事项:
1、答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目。
2、选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案填在答题卡相应的位置上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回。
第Ⅰ卷 选择题(共50分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.设全集集合集合,则=( )
A. B. C. D.
2.设复数(其中为虚数单位),则z的共轭复数等于( )
A.1+ B. C. D.
3.已知条件p:,条件q:,则p是q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既非充分也非必要条件
4.如右图的程序框图所示,若输入,则输出的值是( )
A. B.1 C. D. 2
5.若抛物线上一点到轴的距离为3,则点到抛物线的焦点的距离为( )
A.3 B.4 C.5 D.7
6.公差不为零的等差数列第2,3,6项构成等比数列,则这三项的公比为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知是单位向量,且夹角为60°,则等于( )
A.1 B. C.3 D.
8. 已知、满足约束条件,
若,则的取值范围为( )
A. [0,1] B. [1,10] C. [1,3] D. [2,3] http:/ /www .xkb1.com
9.设函数,则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
10.一个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的体积为( )
A. B. C.1 D.
第Ⅱ卷 非选择题(共100分)
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,满分25分,把答案填写在答题卡相应的位置)
11.若函数的图象在处的切线方程是,则 .
12.若椭圆的短轴为,它的一个焦点为,则满足为等边三角形的椭圆的离心率是 .
13.已知变量满足约束条件,则的最大值为 ;
14.若则 ;
15.选做题(请考生在以下三个小题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分)
A(选修4—4坐标系与参数方程)已知点是曲线上任意一点,则点到直线的距离的最小值是 ;
B(选修4—5不等式选讲)已知则的最大值是 .;
C(选修4—1几何证明选讲)如图,内接于,,直线切于点C,交于点.若则的长为 .
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分)
16.(本小题满分12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:w_w*w.k_s_5 u.c*o*m
. k#s5_u.c
(Ⅰ)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40岁的观众应该抽取几名?
(Ⅱ)在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.w_w*w
17.(本小题满分12分)在中,角A,B,C的对边分别为,b,c,且满足,.
(Ⅰ)求的面积;
(Ⅱ)若,求边与的值.
18.(本小题满分12分)各项均为正数的等比数列中,.
(Ⅰ)求数列通项公式;
(Ⅱ)若等差数列满足,求数列的前项和.
19.(本小题满分12分)已知是矩形,,分别是线段的中点,平面.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)在棱上找一点,使∥平面,并说明理由.
20.(本小题满分13分)已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)当时,判断方程在区间上有无实根.
(Ⅲ)若时,不等式恒成立,求实数
的取值范围.
21.(本题满分14分)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率,且点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知、为椭圆上的动点,当时,求证:直线恒过一个定点.并求出该定点的坐标.
2013年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第四次适应性训练
数学(文科)参考答案与评分标准
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
A
D
B
C
C
C
A
D
二、填空题:
11.3 12. 13.11 14.
15.A; B.; C.
三、解答题
16.(本小题满分12分)
【解】:在100名电视观众中,收看新闻的观众共有45人,其中20至40岁的观众有18人,大于40岁的观众共有27人。
故按分层抽样方法,在应在大于40岁的观众中中抽取
人. ……4分
(2)抽取的5人中,年龄大于40岁的有3人,分别记作1,2,3;20岁至40岁的观众有2人,分别高为,若从5人中任取2名观众记作,……6分
则包含的总的基本事件有:共10个。…8分
其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有:共6个. ……10分
故(“恰有1名观众的年龄为20至40岁”)=; ……12分
17. (本小题满分12分)
【解】:(Ⅰ)由正弦定理得,……2分
,,,……6分
由得,的面积为.……8分
(Ⅱ)因,故,……10分
由余弦定理得 ……12分
18.(本小题满分12分)由条件知……………………2分
………… 4分
(2)设数列公差为,则,…………6分
……………………8分
……………………10分
……………………12分
19.(本小题满分12分)
【解】:证明:在矩形ABCD中,因为AD=2AB,点F是BC的中点,所以∠AFB=∠DFC=45°.
所以∠AFD=90°,即AF⊥FD. ……………………4分
又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥FD.所以FD⊥平面PAF. ……………………6分
(Ⅱ)过E作EH//FD交AD于H,
则EH//平面PFD,且 AH =AD.
再过H作HG//PD交PA于G, ……………………9分
所以GH//平面PFD,且 AG=PA.
所以平面EHG//平面PFD. ……………………11分
所以EG//平面PFD.
从而点G满足AG=PA. ……………………12分
20.(本小题满分13分)
【解】:(1)时,,,切点坐标为,
切线方程为 …………………… 3分
(2)时,令,
,在上为增函数…………………… 5分
又,所以在内无实数根 ……………………7分
(3)恒成立, 即恒成立,
又,则当时,恒成立,……………………9分
令,只需小于的最小值,
,…………………… 11分
, , 当时,
在上单调递减,在的最小值为,
则的取值范围是 ……………………13分
21.(本小题满分14分)
【解】:(1)椭圆C的方程是:…………………………4分
(2) 当直线l不垂直于x轴时,设:
得 ………………………6分
…………………… 8分
即 ……………10分
当时,恒过定点
当时,恒过定点,不符合题意舍去… 12分
当直线l垂直于x轴时,若直线AB: 则AB与椭圆C相交于,,,满足题意
综上可知,直线恒过定点,且定点坐标为……………… 14分
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